Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2, w 1 w 1, w 1 w 1 w 3 = v 3 v 3, w 1 w 1, w 1 w 1 v 3, w 2 w 2, w 2 w 2. w n = v n v n, w 1 w 1, w 1 w 1 v n, w 2 w 2, w 2 w 2 v n, w n 1 w n 1, w n 1 w n 1 LM2, Kesä 2012 273/310
Tällöin ( w 1,..., w k ) on aliavaruuden V k ortogonaalinen kanta jokaisella k {1,..., n}. Erityisesti ( w 1,..., w n ) on sisätuloavaruuden V ortogonaalinen kanta. Jokaisesta ortogonaalisesta kannasta ( w 1,..., w k ) saadaan ortonormaali kanta (ū 1,..., ū k ) asettamalla kaikilla i {1, 2,..., k}. ū i = 1 w i w i LM2, Kesä 2012 274/310
Ortogonaalisen kannan etsiminen Esimerkki 95 Merkitään v 1 = (1, 1, 0) ja v 2 = ( 2, 0, 1). Olkoon V = span( v 1, v 2 ). Etsi ortogonaalinen kanta aliavaruudelle V. Valitaan w 1 = v 1 = (1, 1, 0) w 2 = v 2 v 2 w 1 w 1 w 1 w 1 = v 2 2 2 w 1 = v 2 + w 1 = ( 1, 1, 1). Jono ( w 1, w 2 ) on aliavaruuden V ortogonaalinen kanta. LM2, Kesä 2012 275/310
Ortogonaalisen kannan etsiminen v 2 v 1 w2 w 1 w 2 w 1 LM2, Kesä 2012 276/310
Esimerkki 96 Ortogonaalisen kannan etsiminen Etsi avaruudelle R 3 ortogonaalinen kanta, jonka yksi vektori on w 1 = (1, 2, 3). Valitaan aluksi esimerkiksi v 2 = (0, 1, 0) ja v 3 = (0, 0, 1). Tällöin jono ( w 1, v 2, v 3 ) on avaruuden R 3 kanta, sillä yhtälöllä c 1 w 1 + c 2 v 2 + c 3 v 3 = ū on tasan yksi ratkaisu riippumatta vektorista ū R 3. Ortogonalisoidaan kanta ( w 1, v 2, v 3 ): Valitaan w 1 = (1, 2, 3) w 2 = v 2 v 2 w 1 w 1 w 1 w 1 = v 2 2 14 w 1 = = ( 1/7, 5/7, 3/7) w 2 = 7 w 2 = ( 1, 5, 3) LM2, Kesä 2012 277/310
ja w 3 = v 3 v 3 w 1 w 1 w 1 w 1 v 3 w 2 w 2 w 2 w 2 = v 3 3 14 w 1 3 35 w 2 = = ( 3/10, 0, 1/10) w 3 = 10 w 3 = ( 3, 0, 1). Tällöin ( w 1, w 2, w 3 ) on avaruuden R 3 ortogonaalinen kanta. LM2, Kesä 2012 278/310
Lauseen 94 todistus. Osoitetaan induktiolla, että jono ( w 1,..., w k ) on aliavaruuden V k ortogonaalinen kanta kaikilla k {1,..., n}. Alkuaskel: vektori w 1 = v 1 muodostaa aliavaruuden span( v 1 ) ortogonaalisen kannan. Ok. Induktio-oletus: jono ( w 1,..., w k ) on aliavaruuden V k ortogonaalinen kanta. Induktioväite: jono ( w 1,..., w k, w k+1 ) on aliavaruuden V k+1 ortogonaalinen kanta. LM2, Kesä 2012 279/310
Induktioväitteen perustelu: 1. Jonon ( w 1,..., w k, w k+1 ) vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan: Määritelmän mukaan w k+1 = v k+1 v k+1, w 1 w 1, w 1 w 1 v k+1, w 2 w 2, w 2 w 2 v k+1, w k w k, w k w k. Induktio-oletuksen mukaan jono ( w 1,..., w k ) on aliavaruuden V k ortogonaalinen kanta, joten edellä w k+1 = v k+1 proj Vk ( v k+1 ) = perp Vk ( v k+1 ) V k. Näin w k+1 on kohtisuorassa kaikkia ortogonaalisen jonon ( w 1,..., w k ) vektoreita vastaan. LM2, Kesä 2012 280/310
2. Jonon ( w 1,..., w k, w k+1 ) vektorit kuuluvat aliavaruuteen V k+1 : Induktio-oletuksen mukaan jono ( w 1,..., w k ) on aliavaruuden V k ortogonaalinen kanta, joten w 1,..., w k V k = span( v 1,..., v k ) span( v 1,..., v k, v k+1 ) = V k+1. Siis w 1,..., w k V k+1. Lisäksi määritelmän mukaan w k+1 on lineaarikombinaatio vektoreista v k+1, w 1,..., w k V k+1 ja V k+1 on aliavaruus, joten w k+1 V k+1. LM2, Kesä 2012 281/310
3. Mikään jono ( w 1,..., w k, w k+1 ) vektoreista ei ole nollavektori: Induktio-oletuksen mukaan jono ( w 1,..., w k ) on ortogonaalinen, joten w i 0 kaikilla i {1,..., k}. Jos olisi w k+1 = 0, niin kohdan 1. mukaan 0 = v k+1 proj Vk ( v k+1 ) eli v k+1 = proj Vk ( v k+1 ) Tällöin v k+1 V k = span( v 1,..., v k ), mikä on ristiriidassa sen kanssa, että ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta ja siten vapaa. Siis w k+1 0. LM2, Kesä 2012 282/310
4. Jono ( w 1,..., w k, w k+1 ) on aliavaruuden V k+1 kanta: Jono ( v 1,..., v k, v k+1 ) on vapaa (koska se on kannan B osajono) ja siten virittämänsä aliavaruuden V k+1 = span( v 1,..., v k, v k+1 ) kanta. Siis dim(v k+1 ) = k + 1. Kohdat 1. 3. osoittavat, että ( w 1,..., w k, w k+1 ) on ortogonaalinen jono aliavaruudessa V k+1. Siten se on vapaa lauseen 93 nojalla. On mahdollista osoittaa, että mikä tahansa oikean pituinen vapaa jono on kanta. Siten k + 1 vektorista koostuva vapaa jono ( w 1,..., w k, w k+1 ) on aliavaruuden V k+1 kanta. LM2, Kesä 2012 283/310
Kohtisuora komplementti Lause 97 Oletetaan, että V on äärellisulotteinen sisätuloavaruus ja W sen aliavaruus. Tällöin dim(w ) + dim(w ) = dim(v ). Todistus. Oletetaan, että ( w 1,..., w k ) on aliavaruuden W ortogonaalinen kanta ja että ( v 1,..., v l ) on aliavaruuden W ortogonaalinen kanta. Tällaiset kannat ovat olemassa lauseen 94 nojalla. Osoitetaan, että ( w 1,..., w k, v 1,..., v l ) on avaruuden V kanta, mikä todistaa väitteen. LM2, Kesä 2012 284/310
Havaitaan, että w i, v j = 0 kaikilla i {1,..., k} ja j {1,..., l}, sillä w i W ja v j W. Näin jono ( w 1,..., w k, v 1,..., v l ) on ortogonaalinen ja siten vapaa lauseen 93 nojalla. Oletetaan, että ū V. Lauseen 92 mukaan on olemassa yksi sellainen vektori w W ja yksi sellainen vektori w W, että ū = w + w. Vektori w W voidaan kirjoittaa kantavektorien ( w 1,..., w k ) lineaarikombinaatiota ja vektori w W voidaan kirjoittaa kantavektorien ( v 1,..., v l ) lineaarikombinaationa, joten vektori ū voidaan kirjoittaa jonon ( w 1,..., w k, v 1,..., v l ) vektorien lineaarikombinaationa. Siis span( w 1,..., w k, v 1,..., v l ) = V. Näin ollen ( w 1,..., w k, v 1,..., v l ) on avaruuden V kanta. Siis dim(v ) = k + l = dim(w ) + dim(w ). LM2, Kesä 2012 285/310
Kertausta: ortonormaali kanta Vektorin koordinaatit ortonormaalin kannan suhteen on helppo määrittää: Lause 98 Oletetaan, että B = (ū 1,..., ū k ) on sisätuloavaruuden V ortonormaali kanta. Oletetaan, että v V. Tällöin vektorin v koordinaatit kannan B suhteen ovat v, ū 1, v, ū 2,..., v, ū k eli v = v, ū 1 ū 1 + v, ū 2 ū 2 + + v, ū k ū k. LM2, Kesä 2012 286/310
Ortogonaalinen kanta Vastaavasti voidaan osoitaa seuraava lause: Lause 99 Oletetaan, että B = ( w 1,..., w k ) on sisätuloavaruuden V ortogonaalinen kanta. Oletetaan, että v V. Tällöin vektorin v koordinaatit kannan B suhteen ovat v, w 1 w 1, w 1,..., v, w k w k, w k eli v = v, w 1 w 1, w 1 w 1 + v, w 2 w 2, w 2 w 2 + + v, w k w k, w k w k. LM2, Kesä 2012 287/310
Ortogonaalinen matriisi Määritelmä Neliömatriisi Q, jonka sarakkeet muodostavat ortonormaalin jonon, on ortogonaalinen matriisi. Esimerkki 100 Matriisi 0 1 0 Q = 0 0 1 1 0 0 on ortogonaalinen, sillä sen sarakkeiden jono on (ē 3, ē 1, ē 2 ). LM2, Kesä 2012 288/310
Ortogonaalinen matriisi Lause 101 Oletetaan, että Q on neliömatriisi. Matriisi Q on ortogonaalinen, jos ja vain jos Q T Q = I. Todistus. Tarkastellaan tulon Q T Q alkiota (i, j). Se on saatu laskemalla matriisin Q T rivin i ja matriisin Q sarakkeen j pistetulo eli matriisin Q sarakkeiden i ja j pistetulo. : Oletetaan, että matriisi Q on ortogonaalinen. Tällöin sen sarakkeiden jono on ortonormaali, joten Siis Q T Q = I. (Q T Q)(i, j) = { 0 jos i j; 1 jos i = j. LM2, Kesä 2012 289/310
: Oletetaan, että Q T Q = I. Tällöin (Q T Q)(i, j) = { 0 jos i j; 1 jos i = j. Tämä tarkoittaa, että matriisin Q sarakkeiden i ja j pistetulo on 0, jos i j, ja 1, jos i = j. Siis matriisin Q sarakkeiden jono on ortonormaali eli matriisi Q on ortogonaalinen. LM2, Kesä 2012 290/310
Ortogonaalinen matriisi Lause 102 Neliömatriisi Q on ortogonaalinen, jos ja vain jos Q on kääntyvä ja Q 1 = Q T. Todistus. : Oletetaan, että Q on kääntyvä ja Q 1 = Q T. Tällöin Q T Q = Q 1 Q = I, joten matriisi Q on ortogonaalinen lauseen 101 nojalla. LM2, Kesä 2012 291/310
: Oletetaan, että Q on ortogonaalinen. Tällöin lauseen 101 nojalla Q T Q = I. Kertomalla yhtälöä Q x = 0 vasemmalta matriisilla Q T saadaan Q T Q x = 0 eli I x = 0 eli x = 0. Yhtälöllä Q x = 0 on siis ainoastaan triviaaliratkaisu x = 0, joten matriisi Q on kurssin Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I tietojen mukaan kääntyvä. Kertomalla yhtälöä Q T Q = I oikealta käänteismatriisilla Q 1 saadaan Q T = Q 1. LM2, Kesä 2012 292/310
Ortogonaalinen diagonalisointi Määritelmä Neliömatriisi A on ortogonaalisesti diagonalisoituva, jos on olemassa sellainen ortogonaalinen matriisi Q ja sellainen lävistäjämatriisi D, että Q T AQ = D. Lause 103 Oletetaan, että A on neliömatriisi. Matriisi A on ortogonaalisesti diagonalisoituva, jos ja vain jos A on symmetrinen. LM2, Kesä 2012 293/310
Lauseen 103 todistuksen osa. : Oletetaan, että A on ortogonaalisesti diagonalisoituva. Tällöin on olemassa ortogonaalinen matriisi Q ja lävistäjämatriisi D, joilla Q T AQ = D. Ortogonaalinen matriisi Q on kääntyvä ja Q 1 = Q T, joten kertomalla yhtälöä Q T AQ = D vasemmalta matriisilla Q ja oikealta matriisilla Q T saadaan A = QDQ T. Siten transpoosin laskusääntöjen mukaan A T = (QDQ T ) T = (DQ T ) T Q T = (Q T ) T D T Q T = QD T Q T = QDQ T = A. Huomaa, että lävistäjämatriisilla D pätee D T = D. Siis A on symmetrinen. LM2, Kesä 2012 294/310
: Tämä suunta on vaikeampi ja jätetään todistamatta. LM2, Kesä 2012 295/310
Symmetristen matriisien ominaisvektorit Lauseessa 60 osoitettiin, että matriisin mitkä tahansa eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia. Symmetrisillä matriiseilla mitkä tahansa eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat jopa ortogonaaliset: Lause 104 Oletetaan, että matriisi A on symmetrinen. Oletetaan, että λ 1 ja λ 2 ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1 ja v 2 ovat jotkin niitä vastaavat ominaisvektorit. Tällöin v 1 v 2. LM2, Kesä 2012 296/310
Lauseen 104 todistus. Havaitaan, että jos ū, w R n, niin ū w = u 1 w 1 + u 2 w 2 + + u n w n w 1 w 2 ] = [u 1 u 2... u n. = ūt w. Siis vektoreiden pistetuloa voi ajatella myös tietynlaisena matriisitulona. w n LM2, Kesä 2012 297/310
Oletuksesta seuraa, että A v 1 = λ 1 v 1 ja A v 2 = λ 2 v 2. Käyttämällä tätä ja äskeistä havaintoa sekä matriisin A symmetrisyyttä saadaan λ 1 ( v 1 v 2 ) = (λ 1 v 1 ) v 2 = (A v 1 ) v 2 = (A v 1 ) T v 2 = ( v T 1 A T ) v 2 = ( v T 1 A) v 2 = v T 1 (A v 2 ) = v 1 (A v 2 ) = v 1 (λ 2 v 2 ) = λ 2 ( v 1 v 2 ). Siten λ 1 ( v 1 v 2 ) λ 2 ( v 1 v 2 ) = 0 eli (λ 1 λ 2 )( v 1 v 2 ) = 0. Ominaisarvot λ 1 ja λ 2 eivät ole sama, joten λ 1 λ 2 0. Siten v 1 v 2 = 0 eli v 1 v 2. LM2, Kesä 2012 298/310
Ortogonaalinen diagonalisointi Esimerkki 105 Diagonalisoi ortogonaalisesti matriisi 2 1 1 A = 1 2 1. 1 1 2 Huomataan, että matriisi A on symmetrinen, joten se voidaan diagonalisoida ortogonaalisesti lauseen 103 nojalla. LM2, Kesä 2012 299/310
1. Määritetään matriisin A ominaisarvot: Karakteristinen polynomi on 2 λ 1 1 det(a λi) = 1 2 λ 1 1 1 2 λ 2 λ 1 = (2 λ) 1 2 λ 1 1 1 2 λ + 1 2 λ 1 1 = = (4 λ)(λ 1) 2. Siis det(a λi) = 0 (4 λ)(λ 1) 2 = 0 λ = 4 λ = 1. LM2, Kesä 2012 300/310
2. Ominaisarvoja vastaavat ominaisavaruudet: Ominaisarvoa λ 1 = 4 vastaava ominaisavaruus on V 4 = { v R 3 A v = 4 v }. Ratkaistaan yhtälö A x = 4 x eli yhtälö (A 4I) x = 0: 2 1 1 0 1 0 1 0 1 2 1 0... 0 1 1 0. 1 1 2 0 0 0 0 0 Havaitaan, että x 3 on vapaa muuttuja, merkitään x 3 = t R. Tällöin ratkaisut ovat x = (t, t, t), missä t R. Siis V 4 = { t(1, 1, 1) t R } = span ( (1, 1, 1) ). LM2, Kesä 2012 301/310
Ominaisarvoa λ 2 = 1 vastaava ominaisavaruus on V 1 = { v R 3 A v = v }. Ratkaistaan yhtälö A x = x eli yhtälö (A I) x = 0: 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0... 0 0 0 0. 1 1 1 0 0 0 0 0 Havaitaan, että x 2 ja x 3 ovat vapaita muuttujia, merkitään x 2 = s, x 3 = t (s, t R). Tällöin ratkaisut ovat x = ( s t, s, t), missä s, t R. Siis V 1 = { s( 1, 1, 0) + t( 1, 0, 1) s, t R } = span ( ( 1, 1, 0), ( 1, 0, 1) ). LM2, Kesä 2012 302/310
3. Tarvitaan kolme ominaisvektoria, joiden jono on ortonormaali. Edellä havaittiin, että matriisin A ominaisavaruudet ovat V 1 = span ( ( 1, 1, 0), ( 1, 0, 1) ) ja V 4 = span ( (1, 1, 1) ). Lisäksi vektorit v 1 = ( 1, 1, 0) ja v 2 = ( 1, 0, 1) ovat lineaarisesti riippumattomat, joten ne muodostavat ominaisavaruuden V 1 kannan. Ortogonalisoidaan tämä kanta Gramin-Schmdtin menetelmällä: Valitaan w 1 = v 1 = ( 1, 1, 0), w 2 = v 2 v 2 w 1 w 1 w 1 w 1 = v 2 1 2 w 1 = ( 1/2, 1/2, 1) ja w 2 = 2 w 2 = ( 1, 1, 2). Jono ( w 1, w 2 ) on ominaisavaruuden V 1 ortogonaalinen kanta ja siten w 1 ja w 2 ovat matriisin A ominaisarvoon 1 liittyviä ominaisvektoreita. LM2, Kesä 2012 303/310
Matriisi A on symmetrinen, joten sen eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan lauseen 104 nojalla. Siten ominaisavaruuden V 1 ortogonaalisen kannan ( w 1, w 2 ) vektorit ovat molemmat kohtisuorassa ominaisavaruuden V 4 kantavektoria (1, 1, 1) vastaan. Valitaan ū 1 = 1 w 1 w 1 = 1 2 ( 1, 1, 0) ū 2 = 1 w 2 w 2 = 1 ( 1, 1, 2) 6 1 1 ū 3 = (1, 1, 1) = (1, 1, 1). (1, 1, 1) 3 Tällöin (ū 1, ū 2, ū 3 ) on matriisin A ominaisvektoreista muodostuva ortonormaali jono. LM2, Kesä 2012 304/310
4. 5. Ominaisvektoreiden muodostama jono (ū 1, ū 2, ū 3 ) on ortonormaali, joten se on vapaa. Merkitään ] 1/ 2 1/ 6 1/ 3 Q = [ū 1 ū 2 ū 3 = 1/ 2 1/ 6 1/ 3 0 2/ 6 1/ 3 1 0 0 D = 0 1 0. 0 0 4 ja Tällöin lauseen 69 todistuksen mukaan Q on kääntyvä ja Q 1 AQ = D. Lisäksi Q on ortogonaalinen matriisi (sen sarakkeiden jono on ortonormaali), joten lauseen 101 mukaan Q 1 = Q T. Siten Q T AQ = D. LM2, Kesä 2012 305/310
Schwarzin epäyhtälö Lause 106 (Schwarzin epäyhtälö) Oletetaan, että V on sisätuloavaruus ja v, w V. Tällöin v, w v w. Todistus. Oletetaan ensin, että w = 0. Tällöin v, w = 0 ja w = 0, joten väite pätee muodossa 0 0. LM2, Kesä 2012 306/310
Oletetaan sitten, että w 0. Merkitään W = span( w). Tällöin 0 v proj W ( v), v proj W ( v) = w, v w, v v w, v w, w w, w w = v, v = v 2 = v 2 v, w w, w v, w v, w w, w v, w 2 v, w 2 v, w 2 + w 2 w 2 w 2 v, w 2 w 2. v, w 2 w, v + w, w w, w 2 LM2, Kesä 2012 307/310
Saadusta epäyhtälöstä 0 v 2 v, w 2 w 2 seuraa, että v, w 2 v 2 w 2. Nyt voidaan päätellä, että v, w = v, w 2 v 2 w 2 = v w. LM2, Kesä 2012 308/310
Kolmioepäyhtälö Lause 107 (Kolmioepäyhtälö) Oletetaan, että V on sisätuloavaruus ja v, w V. Tällöin v + w v + w. Todistus. Laskemalla saadaan v + w 2 = v + w, v + w =... = v 2 + 2 v, w + w 2 v 2 + 2 v, w + w 2. LM2, Kesä 2012 309/310
Schwarzin epäyhtälön nojalla v 2 + 2 v, w + w 2 v 2 + 2 v w + w 2 = ( v + w ) 2. Yhdistämällä edelliset päättelyt saadaan v + w 2 ( v + w ) 2. Koska normit ovat positiivisia, tästä voidaan päätellä, että v + w v + w. LM2, Kesä 2012 310/310