37 3 ÄÄNI Yksi ihmisen kannalta tärkeimmistä luonnossa esiintyvistä aaltoilmiöistä muodostuu ilmassa etenevistä pitkittäisistä aalloista eli ääniaalloista (sound waves). Tarkastelemme nyt ääntä lähinnä ilmassa, mutta yleisesti ottaen ääni voi edetä myös muissa kaasuissa, nesteissä ja myös kiinteissä aineissa. Tässä kappaleessa tarkastelemme ensin yleisesti pitkittäisten aaltojen ominaisuuksia ja tämän jälkeen keskitymme ääniaaltoihin ja erilaisiin kuulemiseen liittyviin ilmiöihin. 3. PITKITTÄIEN AAON NOPEU JA ENERGIA Kuten poikittaisen aallon tapauksessa myös pitkittäisen aallon nopeus riippuu väliaineen ysikaalisista ominaisuuksista. Tarkastellaan nyt pitkittäisen aallon nopeutta sylinterissä olevassa nesteessä (tai kaasussa). Johto on täysin analoginen kappaleessa.4 esitetyn johdon kanssa. Nesteen tiheys olkoon ja sylinterin poikkipinta-ala A. Tasapainotilanteessa neste on levossa ja vakiopaineessa p. Hetkellä t 0 mäntään kohdistetaan voima ( p) A ja mäntä lähtee liikkeelle vakionopeudella v y. yntyy pulssi, joka etenee kuvassa oikealle nopeudella v. 38 Tilanne ajanhetkellä t on esitetty kuvassa (b). Pisteen P vasemmalla puolella nesteen nopeus on v y ja oikealla puolella vielä nolla. Mäntä on liikkunut matkan v y t ja piste P matkan v t. ovelletaan nytkin impulssiteoreemaa. iikkuvaan nesteosaan vaikuttava voima on ( p) A ja sen aiheuttama liikemäärän muutos, ajassa t, on ( vta) v y 0, missä ( v ta) on nesteosan massa. Tulee siis ( p) At( vta) v y. Kirjoitetaan seuraavaksi liikkuvaan nesteosaan kohdistuva lisäpaine p nesteen tilavuusmodulin B (bulk modulus tai modulus o compression eli puristuvuuskerroin) avulla. Aineen tilavuusmoduli B (Pa = N/m ) kertoo miten paljon paine muuttuu ( p), kun suhteellista tilavuutta muutetaan ( V / V). e määritellään yhtälöllä V pb V. Alkuperäinen tilavuus Av t on pienentynyt määrällä ( Avyt) vy pb B At v v. Tulee v y B At ( vta) vy, v ja kun tästä ratkaistaan v, saadaan Av y t, joten B v. (3..) Pitkittäisen aallon nopeus nesteessä (kaasussa) riippuu siis nesteen tilavuusmodulista B ja tiheydestä.
39 Pitkittäisen aallon nopeus kiinteässä aineessa saadaan myös yhtälöstä (3..), kunhan nesteen tilavuusmoduli korvataan kiinteän aineen kimmomodulilla Y (Young s modulus): Y v. (3..) Kannattaa huomata nopeuskaavojen (.4.), (3..) ja (3..) samankaltaisuus. Kaikkien kaavojen osoittajassa esiintyy väliaineen kimmoisuutta kuvaava ominaisuus, joka kertoo palauttavan voiman suuruudesta. Nimittäjissä kaikilla on väliaineen hitautta kuvaava ominaisuus. Vastaavaa analogiaa voidaan käyttää myös pitkittäisen aallon energiansiirtonopeuteen. Kappaleessa.5 johdimme köydessä etenevän poikittaisen aallon keskimääräiselle teholle lausekkeen Pav F A, missä F on köyden jännitysvoima (edustaa kimmoisuutta) ja massa pituusyksikköä kohti (edustaa hitautta). Vastaava suure pitkittäisille aalloille nesteissä tai kaasuissa on keskimääräinen teho pinta-alayksikköä kohti eli intensiteetti I, joka saadaan korvaamalla ja F B: I B A, (3..3) josta kiinteille aineille korvaamalla B Y : I Y A. (3..4) Esimerkki: aivan kaikuluotain käyttää vedessä eteneviä ääniaaltoja. aske äänen nopeus ja aallonpituus 6 Hz:n taajuiselle äänelle vedessä. Veden (0C) tilavuusmoduli on B =.80 3 9 Pa ja tiheys.00 0 kg/m 3. 9.80 N/m Nm 3 3.000 kg/m kg 40 B v 476.48 480m/s v v 476.48 m/s 5.6354 m 5.64m 6 /s Esimerkki: Matalahkon puheäänen taajuus on noin 00 Hz ja intensiteetti noin 3 0 6 W/m. aske äänen nopeus ja amplitudi, 5 kun ilman tilavuusmoduli on.40 Pa ja tiheys.0 kg/m 3. Nopeus: B v 5.4 0 N/m m m 343.996 344 3.0 kg/m s s Amplitudi yhtälöstä (3..3): I A B( ) 6 Tässä: I 3 0 W/m.0 kg/m 3 5 B.4 0 N/m 00 /s joilla 9 A 9.87940 m 0.9m!! (aika pieni) Yksikkötarkastelu: W/m Ws /m Js/m Nms m m kg N kg kg kg 3 4 m m s ms ms
4 3. ÄÄNEN NOPEU IDEAAIKAAUA / Yhtälö (3..) v ( B / ) pätee pitkittäisille aalloille kaasuissa. Tarkastellaan nyt miten yhtälöä voidaan kehittää ideaalikaasuissa. Tilavuusmodulin B tarkka (ininitesimaalinen) määritelmä on dp B V, dv joten nyt on selvitettävä miten ideaalikaasun paine riippuu tilavuudesta. Oletetaan, että äänen eteneminen ideaalikaasussa on adiabaattinen prosessi, ts. lämmön vaihtoa puristumisten ja laajentumisten aikana ei ehdi tapahtua. Näissä olosuhteissa paineen p ja tilavuuden V välillä vallitsee yhteys (tarkemmin termoysiikan kurssilla) pv vakio, (3..) missä Cp / CV on ominaislämpökapasiteettien (vakiopaineessa ja vakiotilavuudessa) laaduton suhde. Derivoimaalla V:n suhteen dp V pv 0, dv josta dp pv p. dv V V Tilavuusmodulille saamme B p ja äänen nopeudeksi tulee Edelleen ideaalikaasun tilanyhtälöstä m pv nrt RT M saamme tiheydelle m pm V RT, p v. (3..) jonka avulla päädytään yhtälöön 4 RT v, (3..3) M missä R on yleinen kaasuvakio, M moolimassa ja T lämpötila. Esimerkki: aske äänen nopeus ilmassa (0C), kun ilman moolimassa on 8.8 g/mol ja.40. RT v M missä.40 R 8.35 J mol - K - T 93 K (0C) 3 M 8.8 0 kg/mol J tulee v 344.38 344 m/s kg 3.3 ÄÄNIAAOT uonnon äänet leviävät äänilähteestä kaikkiin suuntiin moninaisilla amplitudella. Yksinkertaiset ääniaallot ovat kuitenkin sinimuotoisia (harmonisia) aaltoja, joilla on yksikäsitteinen taajuus, amplitudi ja aallonpituus. Ihminen havaitsee ääntä taajuusalueella 0 Hz 0000 Hz. Aluetta sanotaan kuuloalueeksi (audible range). Kuuloalueen yläpuolinen taajuusalue on ultraäänialue (ultrasonic) ja alapuolinen inraäänialue (inrasonic). Tarkastellaan ideaalista positiivisen x-akselin suuntaan etenevää ääniaaltoa ja kirjoitetaan sen aaltounktio muodossa
43 y( x, t) Asin( kx t). (3.3.) Tässä on muistettava, että ääni on pitkittäistä aaltoliikettä ja poikkeamat tapahtuvat aallon etenemissuunnassa. Kaavassa (3.3.) poikkeama-akseli y on siis samansuuntainen x-akselin kanssa. Amplitudi A on ilmaosasten poikkeama-amplitudi. Ääniaaltoja voidaan kuvata myös paineen vaihteluina ilmanpaineen p a molemmin puolin. Ihminen kuulee nimenomaan paineen vaihtelut, joten on hyödyllistä esittää (3.3.) niiden avulla. Kuvatkoon pxt (,) äänen paineen vaihtelua pa : n ympäristössä, ts. kokonaispaine on pa pxt (,). itä, miten paineen vaihtelu pxt (,) ja hiukkasten poikkeamat yxt (,) riippuvat toisistaan, selvitellään viereisen kuvan avulla. Kuvitteellinen ilmassa oleva sylinteri on x-akselin suuntainen ja sen poikkipinta-ala on. Tasapainotilassa sylinterin pituus on x. Kohdalle tuleva ääniaalto siirtää sylinterin vasemman pään paikasta x paikkaan y ja oikean pään paikasta x x paikkaan y. ylinterin tilavuus V x muuttuu määrän V Vy ( y) [ yx ( xt,) yxt (,)], x josta V [ yx ( xt,) yxt (,)]. V x Muutokset ovat pieniä ja rajalla, kun x 0, saamme dv y( xxt,) yxt (,) yxt (,) lim. (3.3.) V x 0 x x 44 euraavaksi käytämme tilavuusmodulin B määritelmää (katso sivu 4) B dp /( dv / V ). Tässä dp on paineen muutos, joka nyt on pxt (,). aamme siten dv yxt (,) p(,) x t B B. (3.3.3) V x Kun tähän sijoitetaan (3.3.) y( x, t) Asin( kx t), tulee p( x, t) BkAcos( kx t). Käyttämällä identiteettiä sin( / ) cos tulos saadaan muotoon p( x, t) BkAsin( kx t / ). (3.3.4) euraavassa kuvassa ilmaosasten poikkeamat yxt (,) ja paineen vaihtelut pxt (,) äänessä on piirretty samaan kuvaan (ajan hetki kiinnitetty). Havaitaan, että käyrien vaihe-ero on /4 aallonpituudesta. Kun poikkeamalla on maksimi, paine on nollassa (tasapainoarvossaan p a ) ja päinvastoin, ts. kun paine on maksimissa, poikkeama on nollassa. Tuloksesta (3.3.4) nähdään, että painevaihtelun maksimiarvo on pmax Tämä on ns. paineamplitudi (pressure amplitude). BkA. (3.3.5)
45 Esimerkki: ivulla 40 laskimme tavallisen puheäänen amplitudiksi 0.9 m. aske vastaava paineamplitudi. 5 Tunnetaan: B.4 0 N/m 6 A 0.9 0 m v 344 m/s 00 /s asketaan: pmax BkAB A BA v v = 0.049798 N/m = 0.050 Pa Korva on herkkä paineen vaihteluille. Vertaa tulosta ilman paineen tasapainoarvoon pa 0300 Pa (.03 bar). 3.4 ÄÄNEN INTENITEETTI Aallon intensiteetti I (intensity) on keskimääräinen energia, jonka aalto kuljettaa pinta-alayksikön läpi aikayksikössä: J/(m s). Intensiteetti on siis teho pinta-alayksikköä kohti: W/m. Ääniallon intensiteetille ilmassa pätee sama yhtälö (3..3) mikä muillekin kaasuille tai nesteille, ts. I B A, (3.4.) missä on tiheys. Korva havaitsee paineen vaihtelut, joten käyttökelpoisempi esitysmuoto saadaan paineamplitudin p max avulla. Koska v k, A pmax /( Bk) ja v B /, intensiteetille (3.4.) saadaan pmax B pmax pmax I B( kv ) B. (3.4.) Bk B B 46 isäksi voidaan osoittaa, että pistemäisestä äänilähteestä lähtevän äänen intensiteetti on kääntäen verrannollisena etäisyyden neliöön. Tämä on seurausta energian säilymislaista seuraavasti: Olkoon tasaisesti kaikkiin suuntiin lähettävän pistelähteen ääniteho P. Etäisyydellä r teho on jakautunut kuvitellun r säteisen pallon pintaalalle 4 r. Intensiteetti etäisyydel- lä r on siten I teho P. pinta-ala 4 r Vastaavalla tavalla todetaan, että intensiteetti etäisyydellä r on I P/(4 r). Molemmissa tapauksissa teho P on sama, joten Tästä seuraa 4rI 4rI. I I r. (3.4.3) r Intensiteetti I millä tahansa etäisyydellä r on kääntäen verrannollinen r :een. Desibeliasteikko Korva on herkkä hyvin laajalle intensiteettiskaalalle, aina heikosta 0 W/m :stä valtavaan yhteen W/m :iin. Tämän vuoksi on järkevää käyttää intensiteetille logaritmista asteikkoa. Äänen intensiteettitaso (sound intensity level) määritellään
47 (0dB)log I, (3.4.4) I 0 missä vertailuintensiteetiksi I 0 on valittu 0 W/m, joka vastaa suurinpiirtein ihmisen kuulokynnystä (threshold o hearing) taajuudella 000 Hz. Kaavassa I on tutkittavan äänen intensiteetti ja log tarkoittaa 0-kantaista logaritmia. Desibeli (db) on (/0)-osa yksiköstä beli, joka on nimetty puhelimen keksijän Aleksander Graham Bell in mukaan. Kuulokynnystä (000 Hz) vastaavan äänen intensiteetti on 0 W/m ja se vastaa intensiteettitasoa on 0 db. Intensiteetti W/m vastaa intensiteettitasoa 0 db, joka on kuulemisen kipukynnys (threshold o pain). Esimerkki: ivulla 45 laskimme, että tavallisessa puheäänessä paineen vaihtelu on luokkaa 0.050 Pa. aske intensiteetti, kun ilman tiheys on.0 kg/m 3 5 ja tilavuusmoduli.40 Pa. Mikä on vastaava intensiteettitaso? pmax Intensiteettiyhtälöön (3.4.) I B sijoitetaan pmax 0.050 Pa 5 B.4 0 N/m.0 kg/m 3 5 6 N m ja lasketaan: I 3.08 0 3.00 6 W/m. 4 m kgn Intensiteettitaso (3.4.4):stä 6 I 3.080 (0dB)log (0dB)log = 65 db I0 0 48 Esimerkki: Kuinka paljon intensiteettitaso muuttuu, kun etäisyys pistelähteestä kaksinkertaistuu? Olkoot etäisyydet r ja r r, joten (3.4.3):sta I r I r 4 ja intensiteettitason muutos on I I I/ I 0 (0dB) log log (0dB) log I0 I 0 I/ I 0 I (0dB) log (0dB) log(4 ) I (0dB)log 4 (0dB) 0.6006 6.0 db 3.5 EIOVAT ÄÄNIAAOT JA NORMAAI- MUODOT PIIÄ Kaasussa (nesteessä) etenevää pitkittäistä aaltoa voidaan kuvata joko paineen vaihteluina tai kaasuhiukkasten (osasten) poikkeamana tasapainosta. Kappaleessa 3.3 osoitimme, että kun paineella on maksimi, niin poikkeama on nollassa ja päinvastoin. Tämän perusteella on ilmeistä, että seisovan ääniaallon tapauksessa käy niin, että kun paineella on kupukohta niin poikkeamalla on solmukohta ja päinvastoin, ts. paineen solmukohdassa poikkeamalla on kupu. Pohditaan seisovan aallon olemusta putkessa olevassa kaasussa. Putken päät voivat olla avoimia tai suljettuja. Putken sisällä putken päähän saapuva ääniaalto heijastuu takaisin putkeen ja muodostaa siellä jo olevan aallon kanssa seisovan aallon (vrt. kappale.3). On kaksi mahdollisuutta:
49. Jos heijastuminen tapahtuu suljetusta putken päästä, hiukkasten poikkeamat ovat (pakostakin) nollia ja putken päässä on poikkeaman solmukohta ja paineen kupukohta.. Jos heijastuminen tapahtuu avoimesta putken päästä, paine on ulkoilman paine, ts. putken päässä paineella on solmukohta ja poikkeamalla kupukohta. isäksi muistetaan, että seisovassa aallossa kuvut ja solmut esiintyvät /:n välein. Esimerkki: Kovaääninen (speaker) on suunnattu kohti seinää (ks. kuva). Millä etäisyyksillä seinästä kovaäänisen ja seinän välissä ääntä ei kuulla? Kovaäänisen lähettämän äänen taajuus on 00 Hz ja äänen nopeus ilmassa 344 m/s. Korva kuulee paineen vaihtelun, ei ilmaosasten poikkeamia. On siis etsittävä kovaäänisen ja seinän välissä olevassa ilmapatsaassa (ks. kuva) esiintyvän seisovan aallon paineen solmukohdat. Näissä kohdissa paine ei vaihtele, joten ääntä ei kuulla. Huomaa, että kuvassa yllä symbolit N (solmu) ja A (kupu) viittaavat ilmaosasten poikkeamiin, ei paineen vaihteluihin. Paine käyttäytyy viereisen kuvan mukaisesti. uljetussa päässä (siis seinässä) paineella on kupu. Tässä aallonpituus on v 344 m/s.7 00 /s m, joten kuvan perusteella ääntä ei kuulu kohdissa:. solmu / 4 0.43 m seinästä,. solmu 3 / 4.9 m seinästä, 3. solmu 5 / 4.5 m seinästä, jne... 50 Urkupillit ja puhallinsoittimet Pitkittäisten seisovien aaltojen tärkeä sovellutusalue on puhallinsoittimet ja erilaiset (urku)pillit. Urkupillejä on periaatteessa kahdenlaisia: avoimia ja suljettuja. Vasemmanpuoleinen kuvasarja alla esittää avoimia pillejä ja oikeanpuoleinen suljettuja. Avoimessa pillissä molemmat päät (huomaa myös vasen pää) ovat avoimia. uljetussa pillissä toinen pää on suljettu ja toinen on avoin. Kuvissa punaiset käyrät esittävät ilmahiukkasten poikkeamia. Kuten edellä todettiin pillin avoimessa päässä poikkeamalla on kupu ja suljetussa päässä solmu. On huomattava, että käyrät ovat puhtaasti matemaattisia esityksiä. Todellisuudessa ilmaosasten poikkeamat ovat pitkittäisesti pillin suunnassa, ei poikittain niin kuin käyrät on piirretty. eisovassa aaltoliikkeessä solmukohdan etäisyys viereisestä kupukohdasta on /4. uljetun pillin pisin mahdollinen aallonpituus, kuva (a) oikealla, on siten 4, missä on pillin pituus. Vastaavaksi taajuudeksi laskemme v/ v /(4 ).
5 Vastaavat tarkastelut johtavat tuloksiin: Avoin pilli: n, ( n,, 3, ) (3.5.) n uljettu pilli: n n n v. ( n,, 3, ) (3.5.) 4 n, ( n, 3, 5, ) (3.5.3) n n n n v. ( n, 3, 5, ) (3.5.4) 4 Avoimella pillillä arvo n vastaa perustaajuutta, n toista harmonista (ensimmäistä yliääntä) jne. Myös suljetulla pillillä n vastaa perustaajuutta, mutta nyt parilliset harmoniset puuttuvat. Vain parittomat harmoniset 3, 5 jne. ovat mahdollisia. Esimerkki: uljetun urkupillin perustaajuus on 0 Hz. Pillin toisen yliäänen taajuus on sama kuin erään avoimen pillin toisen yliäänen taajuus. Kuinka pitkiä pillit ovat? Äänen nopeus ilmassa on 344 m/s. uljetun pillin pituus : v v 344 m/s n = : 0.3909m = 39 cm. 4 4 40 /s 5 uljetun toinen yliääni: 5 v (n = 5) 4 3 Avoimen toinen yliääni: 3 v (n = 3) A Yhtä suuret, joten 5v 3v 3 4 6 A 0.46909m = 47 cm. 4 A 5 5 5 3.6 HUOJUNTA Äänen huojunta (beats) havaitaan äänen amplitudin (ja siten myös voimakkuuden) säännöllisenä vaihteluna. Huojuntaa esiintyy kun ääni syntyy kahden, lähes samataajuisen äänen summana. Esimerkkinä kaksi äänirautaa, joiden taajuudet ovat hyvin lähellä toisiaan. Jos ääniraudat soivat yhtä aikaa, korva ei havaitse taajuuseroa ja kuullaan vain yksi ääni. Pieni taajuusero aiheuttaa kuitenkin äänen voimakkuuden säännöllisen vaihtelun. Tarkastellaan kahta x-akselin suuntaan etenevää ääniaaltoa (huomaa esitystapa) y( xt, ) Asin( tkx) y( xt, ) Asin( tkx) ja kuunnellaan niiden summaa kiinnitetyssä kohdassa x 0: y () t y () t y () t Asin( t) Asin( t). tot Tässä nyt, mutta kuitenkin niin, että. Koska pätee tulee sin sin sin ( ) cos ( ),
53 Edellä tulos annetaan kulmataajuuksien avulla. Varsinaisten taajuuksien avulla kirjoitetaan ( ) ( ) t ( ) t, josta nähdään, että itse äänen taajuus on ( ), joka on lähes sama kuin alkuperäiset taajuudet. Amplitudin vaihtelutaajuus on ( ), joka on pieni, koska. Korva kuulee kaksi huojahdusta yhden amplitudin jakson aikana (ks. kuva edellisellä sivulla), joten huojuntataajuudeksi (beat requency) saadaan, (3.6.) missä itseisarvomerkit tarvitaan varmuuden vuoksi, koska emme tiedä kumpi alkuperäisista taajuuksista on suurempi. Esimerkki: Kuvassa alla yhdistetään kaksi aalto, joiden taajuudet ovat 8 Hz (punainen) ja 6 Hz (sininen). Alakuva esittää niiden summaa. Alussa ( t 0) osa-aallot ovat vastakkaisessa vaiheessa ja kumoavat toisensa. umma-aallon amplitudi on minimissä. Ajan kuluessa aallot kehittyvät hieman eri taajuudella ja tulevat samaan vaiheeseen, kun t 0.5s. Tällöin summa-aallon amplitudi on maksiminsa. Amplitudi on seuraavan kerran minimissä, kun t 0.50s ja maksimissa kun t 0.75s, jne... 54 Kuvan perusteella amplitudin jaksonaika on.00 s ja huojunnan jaksonaika 0.50 s. Vastaavat taajuudet ovat.00 Hz ja.00 Hz. Edellä esitetyssä teoriassa johdettujen kaavojen avulla saadaan samat tulokset: amplitudin taajuus: (8 6) Hz.00 Hz huojunnan taajuus: (8 6) Hz.00 Hz Esimerkki: Kitaran kieltä viritetään ääniraudan (94 Hz) avulla. Äänirautaa ja kieltä yhtä aikaa kuunneltaessa kuullaan neljä huojumista sekunnissa. Kuinka suuri kielen jännityksen suhteellinen muutos tarvitaan kitaran virittämiseen? - huojuntataajuus 4Hz - kielen taajuutta on siis muutettava 4 Hz - kielen jännitys F v Jännityksen muuttuessa vähän ja luonnollisesti säilyvät ja vain taajuus muuttuu: df d df d F, F josta, kun muutokset oletetaan pieniksi (kuten onkin), saadaan F. F Kun tähän sijoitetaan 4 Hz ja 94 Hz, saadaan F 8 0.07, F 94 ts. kielen jännitystä on muutettava noin.7 %. uuntaa emme tiedä tämän laskun perusteella, mutta se selviää helposti kokeilemalla.
55 3.7 DOPPER - IMIÖ Ambulannsin lähestyessä katsojaa (kuulijaa) sireenin taajuus kuullaan korkeampana kuin ambulanssin loitotessa. Mistä on kysymys? Kysymys on ns. Doppler-ilmiöstä (Dopplerin ilmiöstä, Doppler eect), jota ensimmäisenä kuvasi itävaltalainen Christian Doppler 800-luvulla. Kun äänilähde ja havaitsija ovat toistensa suhteen liikkeessä, havaitsija kuulee äänen eri taajuisena kuin millä lähde sitä lähettää. 56 Äänilähdettä kohti liikkuva havaitsija kuulee siis korkeamman taajuuden kuin paikoillaan pysyvä kuulija. iikkuva lähde ja liikkuva havaitsija Oletetaan nyt, että havaitsijan lisäksi myös lähde liikkuu (kuva alla). Olkoon lähteen nopeus v. Aallon nopeus suhteessa väliaineeseen eli ilmaan on edelleen sama eli v, koska se määräytyy väliaineen ominaisuuksien perusteella, eikä muutu lähteen liikkuessa. Tarkastellaan seuraavassa yksinkertaisuuden vuoksi tapauksia, missä lähde ja havaitsija liikkuvat vain toisiaan yhdistävän janan suuntaisesti. iikkuva havaitsija Kuvassa äänilähde (, taajuus ) pysyy paikoillaan ja havaitsija () liikkuu sitä kohti nopeudella v. Äänen aallonpituus (esim. harjasta harjaan) on v /, missä v on äänen nopeus ilmassa. Aallon harjat lähestyvät havaitsijaa suhteellisella nopeudella ( v v ), joten havaitsija kuulee taajuuden vv v v v v v/ v. (3.7.) Aallonpituus ei kuitenkaan enää ole sama kuin edellisessä tapauksessa. Aika, jonka kuluessa lähde lähettää yhden jakson ääntä on jakson aika T /. Tämän ajan kuluessa aalto etenee matkan vt v / kohti kuulijaa ja lähde etenee matkan vt v / kuulijasta poispäin. Aallonpituus on samassa vaiheessa olevien aallon osien välimatka ja näin siis edellä laskettujen matkojen summa, ts. v v vv. (3.7.) Havaitsijan kuulemaksi taajuudeksi saadaan nyt v v v v v v. (3.7.3) Yleinen tapaus: Vastaavilla tarkasteluilla voidaan johtaa yhtälöt kaikille erilaisille tilanteille, joissa havaitsija ja lähde joko liikkuvat eri tavalla toi-
57 siinsa nähden tai ovat paikallaan. Yleiseksi Dopplerin ilmiötä kuvaavaksi yhtälöksi voidaan kirjoittaa v v v v, (3.7.4) kunhan nopeuksien v ja v merkkisäännöistä sovitaan yksikäsitteisesti. Merkkisääntö: Äänen nopeus ilmassa on aina positiivinen ja muille nopeuksille positiivinen suunta on suunta havaitsijasta lähteeseen. Esimerkki I: Poliisiauton nopeus on v 30 m/s ja sireenin taajuus 300Hz. aske äänen aallonpituus auton takana ja edessä, kun äänen nopeus ilmassa on v 340 m/s. 58 Esimerkki II: Minkä taajuisena auton takana levossa oleva havaitsija kuulee sireenin? Havaitsija on siis takana levossa, ts. v 0, ja auton nopeus on merkkisäännön mukaan positiivinen. Yleisestä yhtälöstä (3.7.4) laskemme v v 3400 300 Hz = 76 Hz v v 340 30 Esimerkki III: Poliisiauto on levossa ja havaitsija liikkuu siitä poispäin nopeudella v 30m/s. Minkä taajuuden havaitsija nyt kuulee? Aallonpituus takana venyy. Yhtälöstä (3.7.) saadaan vv (340 30) m/s 370 behind m.3 m 300 /s 300 Aallonpituus edessä vastaavasti puristuu: vv (340 30) m/s 30 in ront m.03 m 300 /s 300 Nyt merkkisäännön mukaan v on sijoitettava yhtälöön (3.7.4) negatiivisena. isäksi v 0. Tulee v v 340 30 300 Hz = 74 Hz v v 3400 Tärkeä huomio: Havaitsijan ja lähteen keskinäinen suhteellinen nopeus on sama kuin edellisessä esimerkissä. Havaittu taajuus on kuitenkin eri!!
59 Esimerkki IV: Poliisiauto ajaa nopeudella v 45 m/s havaitsijan auton edellä. Havaitsijan nopeus on v 5m/s. aske havaittu taajuus? Merkkisääntö sanoo, että molemmat nopeudet ovat positiivisia, ts. saman suuntaisia kuin etäisyys havaitsijasta lähteeseen. Tulee v v 340 5 300 Hz = 77 Hz v v 340 45 3.8 HOKKIAATO Tarkastellaan kuvan mukaista tilannetta, jossa lentokone liikkuu nopeudella v synnyttäen ääniaaltoja, joiden nopeus on v. entokoneen edessä ääniaallot pakkautuvat yhteen ja niiden aallonpituus on Doppler-ilmiöstä tutun tarkastelun perusteella ( v v )/. Tässä v v, ts. lentokone lentää ääntä hitaammin. Mitä tapahtuu, kun lähestytään äänen nopeutta? Kaavan mukaan aallonpituus lähenee nollaa ja aallot pakkautuvat yhä lähemmäksi toisiaan. entokone puristaa ilmaa kokoon edessään kohdis- 60 taen siihen suuren voiman. Ilma kohdistaa puolestaan lentokoneeseen yhtä suuren, mutta vastakkaissuuntaisen voiman. Ilman vastus kasvaa näin voimakkaasti lentokoneen nopeuden lähestyessä äänen nopeutta. Tätä kutsutaan äänivalliksi. Kun lentokone on ylittänyt äänivallin ja sen nopeus on suurempi kuin äänen nopeus, ei koneen edessä olevan ääniaallon aallonpituutta ja taajuutta enää voida kuvata Doppler-ilmiön yhtälöillä. Kuvassa on esitetty poikkileikkauksena, mitä tällaisessa tilanteessa tapahtuu. entokoneen edetessä syntyy edelleen ääniaaltoja. Ääniaallot etenevät palloaaltoina siten, että jokaisen "äänipallon" keskipiste on siinä kohdassa, missä lentokone oli sillä hetkellä kun ääni syntyi. Ajan t kuluttua pisteestä matkaan lähtenyt aalto on levinnyt v t -säteiselle pallopinnalle ja lentokone on kulkenut matkan v t paikkaan. Eri kohdista matkaan lähteneet palloaallot ovat samassa vaiheessa pitkin kuvaan merkittyä viivaa ja näin vahvistavat toisiaan (konstruktiivinen intererenssi). Muodostuu hyvin voimakas ns. shokkiaalto-rintama, joka etenee äänen nopeudella.
6 Kuvan perusteella saadaan yhtälö vt v sin vt v. (3.5.) uhdetta v / v, joka kertoo lentokoneen nopeuden äänennopeuksina, sanotaan Machin luvuksi. Jos lentokone liikkuu ääntä nopeammin, Machin luku on suurempi kuin yksi. Esimerkki: entokone lentää ylitsesi (hetkellä t 0) 8000 m:n korkeudella.75 Machin nopeudella. Kuinka pitkän ajan kuluttua kuulet shokkiaallon pamauksen, kun oletetaan, että äänen nopeus on 30 m/s ja se pysyy vakiona korkeudesta riippumatta. hokkiaalto muodostaa lentokoneen taakse kartion ja pamaus kuuluu, kun shokkiaalto ohittaa kuulijan. Kuva näyttää tilanteen sillä hetkellä, kun shokkiaalto saavuttaa kuulijan pisteessä. Nopeudella v lentävä lentokone on ehtinyt edetä ohituskohdasta matkan v t. Kuvan geometrian ja yhtälön (3.5.) avulla laskemme: arcsin 34.8..75 entokoneen nopeus on ja kuvasta v.7530 m/s = 560 m/s, 8000m tan, v t josta 6 8000m t 0.5s. (560m/s) tan 34.8 Pamaus siis kuuluu 0.5 sekuntia sen jälkeen, kun lentokone on ohittanut kuulijan. Tänä aikana kone on lentänyt matkan (560m/s) (0.5s).5km. Muita shokkiaaltoja: - veneen keula-aallot - Cherenkov-säteily 3.9 REONANI Käsite resonanssi liittyy energian siirtymiseen värähtelevien systeemien välillä. Värähtelevät systeemit värähtelevät niille ominaisilla normaalitaajuuksilla (normaalimuodoilla). Esimerkiksi kitaran kielen normaalimuotoja ja -taajuuksia tarkastelimme sivulla 3 ja vastaavia urkupillien normaalivärähdysmuotoja sivulla 5. Jos systeemiin syötetään lisäenergiaa muulla kuin systeemin omalla normaalitaajuudella, systeemi ei ota sitä vastaan. Resonanssitilanteessa syöttötaajuus on systeemin jokin normaalitaajuuksista ja energia siirtyy helposti systeemiin. Yksinkertainen koe kaiuttimella ja urkupillillä valaisee asiaa:
63 Viereisessä kuvassa avoin urkupilli on sijoitettu kaiuttimen viereen siten, että ääni kaiuttimesta voi edetä pillin sisään. Kaiutin lähettää puhdasta siniaaltoa, jonka taajuutta voidaan säätää. Ilmapatsas pillin sisällä pakotetaan näin värähtelemään kaiuttimen lähettämällä taajuudella. Kun kaiuttimen taajuutta säädetään, äänen amplitudi putkessa on melko alhainen, paitsi silloin kun taajuus sattuu olemaan jokin putken normaalivärähdystaajuuksista (kuva b). Normaalivärähtystaajuuksilla putkessa oleva ilmapatsas on resonanssissa ulkoisen äänilähteen kanssa. Resonanssi-ilmiöitä havaitaan jatkuvasti jokapäiväisessä elämässä. Esimerkiksi Koskilinjan bussin jokin penkeistä saattaa moottorin kierrosluvun vähetessä aloittaa yhtäkkiä hillittömän värähtelyn ja tärinän. Moottorin taajuus vastaa tällöin penkin normaalitaajuutta ja penkkiin siirtyy värähdysenergiaa tehokkaasti. Esimerkki: uljettua urkupilliä soitetaan lähellä kitaraa, jolloin eräs kielistä alkaa värähdellä. Kielen pituus on 80% pillin pituudesta ja molemmat värähtelevät perustaajuuksillaan. aske kielessä etenevän aallon nopeuden suhde äänen nopeuteen ilmassa. vk Kieli n n K : v K K K n =, K = kieli v Ä Pilli n n 4 P : v Ä 4 P P n =, Ä = ääni, P = pilli Resonanssi: K P 64 vk K K K 0.80P asketaan: 0.40 vä 4PP 4 P P Esimerkki: äädettävän pituinen suljettu pilli soi lähellä kitaran kieltä, jonka massa on 7.5 g ja pituus 85.0 cm. Kielen jännitys on 40 N. Kuinka pitkäksi pilli on säädettävä, jotta sen soidessa perusvärähdystaajuudella kielen toinen yliääni virittyisi soimaan. Oleta äänen nopeudeksi ilmassa 340 m/s. vk 3 F 3 F Kieli: 3 3, n = 3 m / m Ä Pilli: v, n = 4P Resonanssi: 3 vä 3 F asketaan: 4 m P K K K K K 3 P mk v 6 F ijoitetaan: m 7.50 kg K 0.85 m F 40 N v Ä 340 m/s Tulee P 0.069388 m 6.9 cm Ä