Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 9 1 of 17
Differentiaaliyhtälöt (DY:t) Määritelmä Differentiaaliyhtälöllä tarkoitetaan yhtälöä F (t, y, y, y,..., y (n) ) = 0, missä F on lauseke, joka sisältää muuttujan t, tuntemattoman funktion y = y(t) sekä tämän yhden- tai useammankertaisia derivaattoja y, y..., y (n). Lukua n kutsutaan differentiaaliyhtälön kertaluvuksi. Määritelmä Differentiaaliyhtälön ratkaisun kuvaajaa kutsutaan integraalikäyräksi. Yleensä integraalikäyriä on ääretön määrä, mutta yksikäsitteiseen ratkaisuun voidaan päätyä reunaehdoilla (tai alkuehdoilla) y(0) = c 0, y (0) = c 1,..., y (n) (0) = c n. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 9 2 of 17
Yksinkertaiset DY:t Määritelmä Muotoa y (n) (t) = f (t) oleva differentiaaliyhtälö on yksinkertainen. Yksinkertaisen DY:n ratkaiseminen on integrointitehtävä. Esimerkki Yksinkertaisen DY:n y (t) = 3t 2 ratkaisu saadaan integroimalla: y(t) = 3t 2 dt = t 3 + C. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 9 3 of 17
Integroimistekniikoista Osittaisintegrointi f g = fg fg Sijoitus integraaliin Sijoitetaan integraaliin x = g(t) ja dx = g (t)dt. Saadaan f (x)dx = f (g(t))g (t)dt. Osamurtohajotelma Rationaalipolynomi voidaan integroida hajoittamalla se osamurtoihin ja sen jälkeen integroida erikseen saadut yksinkertaisemmat funktiot. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 9 4 of 17
Yksinkertaiset DY:t Esimerkkejä Ratkaistaan seuraavat yksinkertaiset DY:t: y (t) = te t y (t) = ln t t y (t) = 1 t 2 1. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 9 5 of 17
Yksinkertaiset DY:t Esimerkki Radioaktiivisen hajoamisen DY N (t) = λn(t) ei ole yksinkertainen, mutta sen ekvivalentti muoto on. Saadaan edelleen N (t) N(t) = d ln N(t) = λ dt ln N(t) = λt ja N(t) = e λt. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 9 6 of 17
Lineaariset DY:t Määritelmä Differentiaaliyhtälö a n y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 2 y + a 1 y + a 0 y = b(t) on lineaarinen. Jos funktiot a n, a n 1,..., a 1 ja a 0 ovat vakioita, sanotaan yhtälöä vakiokertoimiseksi. Jos b(t) on nollafunktio, sanotaan yhtälöä homogeeniseksi. Määritelmä C n on n kertaa derivoituvien funktioiden joukko. C n [a, b] on välillä [a, b] määriteltyjen, n kertaa derivoituvien funktioiden joukko. Lause Homogeenisen DY:n ratkaisut muodostavat C n :n aliavaruuden M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 9 7 of 17
Lineaariset DY:t Lause Jos funktiot a i ovat jatkuvia, on homogeenisella DY:llä a n y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 2 y + a 1 y + a 0 y = 0 n lineaarisesti riippumatonta ratkaisua y 1,..., y n ja yleinen ratkaisu saadaan näiden lineaarikombinaationa: y = c 1 y 1 + c 2 y 2 +... + c n y n. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 9 8 of 17
Lineaariset DY:t Lause Jos funktiot a i ja b ovat jatkuvia, ovat epähomogeenisen DY:n a n y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 2 y + a 1 y + a 0 y = b kaikki ratkaisut muotoa y = c 1 y 1 + c 2 y 2 +... + c n y n + y 0, missä y 1,..., y n ovat homogeenisen DY:n riippumattomat ratkaisut ja y 0 epähomogeenisen DY:n yksittäisratkaisu. Vertaa: Yhtälöryhmän Ax = b kaikki ratkaisut ovat muotoa c 1 x 1 +... + c k x k + x 0, missä x i ovat homogeenisen ryhmän Ax = 0 riippumattomat ratkaisut ja x 0 alkuperäisen ryhmän yksittäisratkaisu. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 9 9 of 17
Lineaariset DY:t Määritelmä Ääretön vektorijoukko on lineaarisesti riippumaton jos sen jokainen äärellinen osajoukko on. Lause Joukko {1, x, x 2, x 3,...} on lineaarisesti riippumaton Lause Joukko {e λt λ C} on lineaarisesti riippumaton. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 9 10 of 17
Vakiokertoimiset lineaariset DY:t Huomautus Vakiokertoimisen homogeenisen DY:n a n y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 2 y + a 1 y + a 0 y = 0 ratkaisuja voidaan löytää yritteellä y = e λt : Tällöin y = λe λt, y = λ 2 e λt,..., y (n) = λ n e λt ja sijoittamalla saadaan a n λ n e λt + a n 1 λ n 1 e λt +... + a 2 λ 2 e λt + a 1 λe λt + a 0 e λt = 0 ja jakamalla e λt ( 0) pois a n λ n + a n 1 λ n 1 +... + a 2 λ 2 + a 1 λ + a 0 = 0. Algebran peruslauseen mukaan tällä karakteristisella yhtälöllä on ratkaisu. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 9 11 of 17
Vakiokertoimiset lineaariset DY:t Lause Jos λ i on karakteristisen yhtälön j-kertainen juuri, on vakiokertoimisella homogeenisella DY:llä lineaarisesti riippumattomat ratkaisut e λ i t, te λ i t, t 2 e λ i t,..., t j 1 e λ i t. Huomautus Jos karakteristisella polynomilla on kompleksinen juuri λ, on myös tämän liittoluku λ myös ratkaisu. Merkitään λ = α + iβ ja silloin λ = α iβ. Edelleen voidaan kirjoittaa e (α±iβ)t = e αt e ±iβt ja Eulerin kaavan perusteella e αt (cos βt ± i sin βt). Täten ratkaisut e λt ja e λt voidaan korvata reaalisilla ratkaisuilla e αt cos(βt) ja e αt sin(βt). M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 9 12 of 17
Vakiokertoimiset lineaariset DY:t Esimerkki Ratkaistaan vakiokertoiminen, homogeeninen lineaarinen DY y (5) + 2y (4) + 10y = 0. Esimerkki 91 Ratkaistaan vakiokertoiminen, homogeeninen lineaarinen DY y + 4y = 0. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 9 13 of 17
Vakiokertoimiset lineaariset DY:t Epähomogeeninen DY Epähomogeeninen, vakiokertoiminen DY a n y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 2 y + a 1 y + a 0 y = b(t) voidaan ratkaista seuraavasti: Etsitään kaikki homogeenisen DY:n ratkaisut y 1,..., y n yritteellä y = e λt. Etsitään epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisu y 0 Laplace-muunnosten avulla. (Mikäli alkuehtoja ei ole annettu, ne voidaan valita sopivasti.) Kaikki ratkaisut ovat tällöin muotoa y = c 1 y 1 +... c n y n + y 0. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 9 14 of 17
Kertausta Laplace-muunnoksista Määritelmä Originaalifunktion f Laplace-muunnos määritellään seuraavasti: F (s) = Merkitään L[f (t)](s) = F (s). 0 f (t)e st dt Lineaarisuus Jos f ja g ovat originaalifunktioita ja a, b R, niin af + bg on originaalifunktio ja L[af + bg] = al[f ] + bl[g]. M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 9 15 of 17
Kertausta Laplace-muunnoksista Originaalifunktion derivointi On voimassa L[f (n) ](s) = s n L[f ](s) s n 1 f (0+) s n 2 f (0+) f (n 1) (0+). Tunnettuja Laplace-muunnospareja L[t n ](s) = n! s n+1 L[e λt ](s) = 1 s λ L[sin ωt](s) = L[cos ωt](s) = ω s 2 +ω 2 s. s 2 +ω 2 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 9 16 of 17
Vakiokertoimiset lineaariset DY:t Esimerkki 93 Ratkaistaan DY y + 4y = t alkuehdoilla y(0) = 1 ja y (0) = 2. Yksittäisratkaisuksi saadaan y(t) = cos 2t + 7 8 sin 2t + 1 4t. Esimerkin 91 nojalla saadaan DY:n kaikki ratkaisut, jotka ovat muotoa: y(t) = C 1 cos 2t + C 2 sin 2t + cos 2t + 7 8 sin 2t + 1 4 t Esimerkki 94 Ratkaistaan DY alkuehdolla y(0) = 2. y 3y = 8e 2t M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot 9 17 of 17