Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu

Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu Useita riippumattomia vapausasteita q i, i =,..., n ja potentiaali vastaavasti U(q, q 2,..., q n). Tasapainoasema {q 0, q0 2,..., q0 n} q 0 Käytetään merkintää q i = q 0 i + x i, missä x i :tä käsitellään pieninä. Taylorin sarja (n-ulotteinen): U(q, q 2,..., q n) = U(q 0 ) + i = 2 i,j U q0 x i + 2 U q0 x i x j +... q i 2 q i,j i q j 2 U q i q j q0 x i x j +... Oletetaan lineaariset oskillaattorit 3! Käytetään merkintää k ij = 2 U q i q j q0. 3 U q0 i,j,k x q i q j q i x j x k 0 k aanantai 22.9.204 /7

q i = q 0 i + x i q i = ẋ i Maanantai 22.9.204 2/7 Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu U = 2 U q0 x i x j = k ij x i x j = 2 q i,j i q j 2 2 xt K x i,j x k k 2 k n x 2 k 2 k 22 x =. xt = (x x 2... x n) K =.... x n k n k nn Tarkastellaan seuraavaksi T :tä. Otetaan käyttöön ensin karteesiset koordinaatit {y k } ja oletetaan, että systeemi on skleronominen: y k = y k (q, q 2,..., q n) ẏ k = j ẏ 2 k = j ẏ 2 k = i,j y k y k q j q i q j q i i y k y k q i q j q i q j }{{} ẋ i ẋ j i,j y k q j q j y k q i y k q j q0 ẋ i ẋ j

Maanantai 22.9.204 3/7 Kineettiselle termille saadaan Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu T = m k ẏk 2 2 = y k y k m k q i q j 2 q k k i,j i q j ( ) y k y k m k ẋ 2 q i,j k i q j i ẋ j ; M = (m ij ) q0 }{{} m ij Ja siis Lagrangen funktio on komponenttiesityksessä L = T U = m ij ẋ i ẋ j k ij x i x j 2 2 i,j i,j ja matriisiesityksessä x L = 2 ẋt M ẋ 2 xt K x, x =. x n Lagrangen LY d dt L L = 0 antaa n:n kytketyn värähtelijän liikeyhtälöt: ẋ i x i j (m ij ẍ j + k ij x j ) = 0, i =,..., n

Ominaisarvoyhtälö Käytetään yritettä x j = Ca j e iωt, C C, a j R liikeyhtälöihin (m ij ẍ j + k ij x j ) = 0 j j ( m ij Ca j ( ω 2 )e iωt + k ij Ca j e iωt) = 0 j ( kij ω 2 m ij ) aj = 0 Tämä on ominaisarvoyhtälö. Matriisimuodossa sama: a ( K ω 2 M ) a = 0, a =. a n Epätriviaalit ratkaisut: det(k ω 2 M) = 0 k ω 2 m k 2 ω 2 m 2 k n ω 2 m in k 2 ω 2 m 2 k 22 ω 2 m 22. = 0... k n ω 2 m n k nn ω 2 m nn Tämä on n:n asteen polynomiyhtälö ω 2 :lle n juurta. ω 2, ω2 2,..., ω2 n reaalisia (HT). aanantai 22.9.204 4/7

aanantai 22.9.204 5/7 Ominaisvektorit Muistutus: (K ω 2 M)a = 0, käyttämällä det() = 0 ω 2 = ωi 2, i =,..., n. Tehtävänä on seuraavaksi määrittää kuhunkin ominaisarvoon ωi 2 ominaisvektori a i : a i (K ωi 2 M)a i = 0, a i =. a ni Saadaan siis 2n kpl ratkaisuja x i = Ca i e ±iω i t. liittyvä (ω 2 i ω 2 j )(at j M a i ) = a T j ω 2 i M a i (ω 2 j M a j ) T a i = a T j K a i (K a j ) T a j = 0 (K, M symmetrisiä) jos lisäksi i j ja ei-degeneroitunut ω 2 i ω 2 j, niin (at j M a i ) = 0, niin tästä seuraa, että a i, a j ovat ortogonaalisia M:n suhteen. Voidaan valita siis normitus: { (a T, i = j j M a j ) = δ ij, Kroneckerin delta δ ij = 0, i j Myös a j :t reaalisia (HT).

Maanantai 22.9.204 6/7 Normaalikoordinaatisto Alkuperäinen yrite oli muotoa x j = Ca j e iωt Systeemin värähtelyt x i superpositioita niistä muotoa e iω j t olevista värähtelyistä, joille a ij 0. On olemassa koordinaatisto, jossa ratkaisu on diagonaalinen eli jossa jokainen koordinaatti värähtelee vain yhdellä taajuudella: Normaalikoordinaatisto Määritellään matriisi A: a a n A =....... a n a nn (A T M A) ij = a T i M a j = δ ij A T M A = I yksikkömatriisi Muita ominaisuuksia: (K A) ij = ωj 2 (M A) ij (K ωj 2 M)a j = 0 (A T K A) ij = ωj 2 (AT M A) ij = ωj 2 δ ij

Maanantai 22.9.204 7/7 Normaalikoordinaatisto (A T K A) ij = ω 2 j (AT M A) ij = ω 2 j δ ij A T K A = Ω 2 ω 2 0 ω 2 2... 0 ω 2 n Määritellään sitten normaalikoordinaatit {η i } s.e. x = A η η = A x A T M A = I A = A T M Lagrangen funktio voidaan viimein kirjoittaa muodossa L = 2 ẋt M ẋ 2 xt K x = 2 ηt A } T {{ M A } η 2 ηt A } T {{ K A } η I Ω 2 = 2 ηt η 2 ηt Ω 2 η = 2 i ( η 2 i ωi 2 ) η2 i

Maanantai 22.9.204 8/7 Liikeyhtälö ja sen ratkaisu L = 2 i ( η 2 i ωi 2 ) η2 i d L L = 0 η j + ωi 2 dt η j η η j = 0, j =,..., n j n kpl yksittäisiä harmonisia oskillaattoreita η j = C j cos(ω j t + δ j ) j =, 2,..., n ja alkuperäisissä (yleistetyissä) koordinaateissa x i = q i q 0 i = j a ij η j : x i = n C j a ij cos(ω j t + δ j ), C j :t vakioita (alkuarvot) j= taajuudet ω j ja vektorit a j = (a j, a 2j,..., a nj ) T ovat ratkaisut ominaisarvoyhtälölle (K ω 2 M) a = 0 ( ) (K) ij = k ij = 2 U y k y k, (M) q i q j ij = m ij = m k q q0 k i q j q 0

Maanantai 22.9.204 9/7 Esimerkki: Lineaarinen kolmiatominen molekyyli T = 2 m( q2 + q2 3 ) + 2 M q2 2 U = 2 k [ (q 2 q b) 2 + (q 3 q 2 b) 2] Tasapaino qi 0: x i = q i qi 0 b = q2 0 q0 = q0 3 q0 2 : T = 2 m(ẋ2 + ẋ2 3 ) + 2 Mẋ2 2 U = 2 k [ (x 2 x ) 2 + (x 3 x 2 ) 2] = 2 k ( x 2 + 2x2 2 + x2 3 2x ) x 2 2x 2 x 3 L = 2 m(ẋ2 + ẋ2 3 ) + 2 Mẋ2 2 2 k ( x 2 + 2x2 2 + x2 3 2x ) x 2 2x 2 x 3 = [ ] mij ẋ i ẋ j k ij x i x j 2 i,j M = m 0 0 0 M 0 0 0 m ; K = k 2 0 0

Maanantai 22.9.204 0/7 Esimerkki: Lineaarinen kolmiatominen molekyyli Ominaisarvoyhtälö (K ω 2 M) a = 0: k ω 2 m k 0 k 2k Mω 2 k a a 2 = 0 0 k k ω 2 m a 3 a 0 k ω 2 m k 0 k 2k Mω 2 k 0 k k ω 2 m = 0 ω 2 (k ω 2 m) [ mmω 2 k(2m + M) ] = 0 ω 2 = 0 ω2 2 = k ominaistaajuudet m ω3 2 = k ( ) m + 2m M Ominaisvektorit saadaan taas sijoittamalla ominaisarvoyhtälöön k ωi 2m k 0 k 2k Mωi 2 k a i a 2i = 0 0 k k ωi 2m a 3i

Maanantai 22.9.204 /7 Esimerkki: Lineaarinen kolmiatominen molekyyli k ω 2 i m k 0 k 2k Mω 2 i k 0 k k ω 2 i m a i a 2i a 3i = 0 ω 2 = ω 2 = 0 : k 2k k k k 0 0 k k a a 2 = 0 a + 2a 2 a 3 = 0 a 2 a 3 = 0 a a 2 a 3 = 0 a = a 2 = a 3 a Normitus: = a T M a = ( a a a ) m 0 0 M 0 0 a a = a 2 (2m + M) 0 0 m a a = a = 2m + M 2m + M

Maanantai 22.9.204 2/7 Esimerkki: Lineaarinen kolmiatominen molekyyli k ω 2 i m k 0 k 2k Mω 2 i k 0 k k ω 2 i m a i a 2i a 3i = 0 ω 2 = ω 2 2 = k m : k k(2 M/m) k 0 k 0 0 k 0 a 22 = 0 a 2 + (2 M/m)a 22 a 32 = 0 a 22 = 0 a 2 a 22 a 32 = 0 a 2 = a 32 a Normitus: = a T M a = ( a 0 a ) m 0 0 M 0 0 a 0 = 2ma 2 0 0 m a a = a 2 = 0 2m 2m

Maanantai 22.9.204 3/7 Esimerkki: Lineaarinen kolmiatominen molekyyli k ω 2 i m k 0 k 2k Mω 2 i k 0 k k ω 2 i m a i a 2i a 3i = 0 ω 2 = ω3 2 = k ( + 2m/M) : m 2m/Ma 3 a 23 = 0 a 3 + M/ma 23 a 33 = 0 a 23 2m/Ma 33 = 0 2km/M k 0 k km/m k 0 k 2km/M { a 3 = a 33 a a 23 = 2ma/M a 3 a 23 a 33 = 0 Normitus: M a = 2mM + 4m 2 a M 3 = 2mM + 4m 2 2m/M

Maanantai 22.9.204 4/7 Esimerkki: Lineaarinen kolmiatominen molekyyli Mitkä ovat tämän systeemin normaalimoodit? A = x = x 2 = x 3 = 2m+M 2m M 2mM+4m 2 2m+M 0 2m M 2 +2mM 2m+M 2m M 2mM+4m 2 2m+M η + 2m η 2 + M 2m+M η 2m M 2 +2mM η 3 2mM+4m 2 η 3 2m+M η η 2m 2 + M 2mM+4m 2 η 3

Maanantai 22.9.204 5/7 Jatkuvan aineen värähtelyt Tarkastellaan jännitetyn kielen värähtelyjä, josta esimerkkinä käy viulun kieli. Olkoon kielen pituus l ja merkitään massa pituusyksikköä kohti µ = m/l. Olkoon poikittainen siirtymä y = y(x, t), jolloin kielenpätkälle dx (huom! merkintä ẏ y/ t tässä esimerkissä sekä y y/ x): dt = 2 µdxẏ 2 T = l 2 µ ẏ 2 dx 0 Venytys: l l + l = ds = + y 2 dx 0 Jos oletetaan, että siirtymä on pieni: l l y 2 dx 2 0 Viulusti joutuu tekemään viuluun varastoitunutta jännitysvoimaa F vastaan työtä W = F l sitä venytettäessä. Tätä vastaava potentiaali on: U = F l = l 2 F y 2 dx L = l (µẏ 2 Fy 2 )dx 0 2 0 Oletetaan tässä esimerkissä vakioksi yksinkertaisuuden vuoksi.

Jatkuvan aineen värähtelyt L = l (µẏ 2 Fy 2 )dx, y = y(x, t), ẏ = ty, y = x y 2 0 Jännitetyn kielen voi ajatella olevan äärettömän monen harmonisen lineaarisen oskillaattorin kytketty systeemi. Eli voidaan ajatella jatkumorajaa, jossa yleisessä tarkastelussa:. Tämä Lagrangen funktio on erikoistapaus yleisestä muodosta: l L = L(y, ẏ, y )dx ; L = 0 2 µẏ 2 2 Fy 2 Lagrangen tiheys Hamiltonin vaikutusintegraali: t2 I = Ldt = t t2 l t 0 L(y, ẏ, y )dxdt Kuinka tälle lasketaan variaatio? Variaatio δy(x, t) s.e.: { t = t δy = 0, kun ja δy = 0, kun t = t 2 { x = 0 x = l Lasketaan sitten seuraavaksi δi. Maanantai 22.9.204 6/7

aanantai 22.9.204 7/7 Jatkuvan aineen värähtelyt t2 I = Ldt = t t2 l [ L δi = t 0 y t2 l [ L = t 0 y t2 l = t 0 t2 l t 0 L(y, ẏ, y )dxdt ] L L δy + δẏ + ẏ y δy dxdt L δy δy + + L δy ẏ t y x [ L y L t ẏ x L y ] dxdt ] δy dx dt = 0 L y L t ẏ L x y = 0 Palataan esimerkkiin viulun kieli, jolle L = 2 µẏ 2 2 Fy 2 : 2 y t 2 = F 2 y µ x 2 mikä on tuttu aaltoyhtälö, jossa aallon nopeus on F /µ.