SCI-C0200 Fysiikan ja matematiikan menetelmien studio (10 op) Aloitusluento. Mika Sillanpää Kai Virtanen

SCI-C0200 Fysiikan ja matematiikan menetelmien studio (10 op) Aloitusluento Mika Sillanpää Kai Virtanen

Luennon sisältö 1. Kurssin järjestelyt 2. Tekninen raportti 3. Mittaukset ja niiden luotettavuuden arviointi 4. Graafinen esitys

Oppimistavoitteet E = m? 2 (a) (b) (c) a b c

Oppimistavoitteet E = m? 2 (a) (b) (c) a b c... 3.14159.. 2.71828.....

Oppimistavoitteet Kurssin suoritettuasi osaat Suunnitella ja toteuttaa yksinkertaisia laboratoriomittauksia Analysoida, visualisoida ja raportoida mittaustuloksia käyttäen apuna kurssilla käsiteltyjä ohjelmistoja Toteuttaa ja ratkaista yksinkertaisia matemaattisia malleja soveltuvalla ohjelmistolla Visualisoida tuloksia ja viedä niitä raportteihin Kurssilla opitaan pääsääntöisesti itse tekemällä ja kokeilemalla

Sisältö Tietokoneluokkaharjoitukset (12x3h, III-V periodin alku) Viikottaiset tuntitehtävät ja kotitehtävät Harjoitustyö Laboratoriotyöskentely (6x3h, IV periodi) Parityönä Ennakkotehtäviä Lomakevastauksia Yksi raportti Projektityö (5x3h, V periodi) Raportti Parityönä

Työmäärä Tietokoneharjoitukset Tietokoneluokkatyöskentely (12x3h=36h) Itsenäinen työskentely (12x4h=48h) Sisältäen valmistautumisen ja kotitehtävät Harjoitustyö (25h) Laboratoriotyöskentely Valmistautuminen (11x1h=11h) Työskentely laboratoriossa (11x3h=33h) Raportointi (2x25h=50h) Projektityö (50h) Yhteensä 257h

Mukaan pääseminen Ilmoittautuminen WebOodissa Ryhmiin otetaan opiskelijat ilmoittautumisjärjestyksessä max 21 / Tietokoneluokkaharjoitusryhmä max 16 / Laboratorioryhmä

Suorittaminen ja arvostelu Osa-alueet Tietokoneharjoitustehtävät (30%) Tietokoneharjoitustyö (10%) Laboratorioharjoitustehtävät (15%) Laboratorioraportti (15%) Projektityö (30%) Kaikki osa-alueet pitää olla hyväksytysti suoritettu ja niistä saa arvosanan 1-5 Kokonaisarvosana on painotettu summa osa-alueiden arvosanoista (painot suluissa)

Suorittaminen ja arvostelu Lisäksi Läsnäolopakko tietokoneharjoituksissa Hätätilassa yhteys Yrjänä H:een ja laboratoriossa hätätilassa yhteys Mika S:hän Ennakkoharjoituspaketti pitää olla hyväksytysti suoritettu ennen laboratorioharjoituksia Paritöiden arviointi Sama arvosana molemmille Vertaisarvioinnin perusteella toisen arvosana raportista voi kuitenkin laskea -1

Kommunikointi Oppimistyökalu MyCourses https://mycourses.aalto.fi/ Kaikki materiaalit in / out Työohjeet Tehtävien ja raporttien palautukset Voidaan ohjata ensi viikolla 1. tietokoneharjoituksessa

Henkilökunta Vastuuopettajat Mika Sillanpää (labrat) mika.sillanpaa@aalto.fi Kai Virtanen (tietokoneharjoitukset) kai.virtanen@aalto.fi

Henkilökunta Assistentit (labrat) Petri Hirvonen petri.hirvonen@aalto.fi Lahja Martikainen lahja.martikainen@aalto.fi Mikael Kervinen Mikael.Kervinen@aalto.fi

Henkilökunta Assistentit (labrat) Shilpi Singh shilpi.singh@aalto.fi Antti Vepsäläinen antti.vepsalainen@aalto.fi Miika Mäkelä Miika.Makela@aalto.fi

Henkilökunta Assistentit (tietokoneharjoitukset) Yrjänä Hynninen yrjana.hynninen@aalto.fi Vili Meriläinen vili.merilainen@aalto.fi

Henkilökunta Assistentit (tietokoneharjoitukset) Jimmy Envall jimmy.envall@aalto.fi Markus Wilkman markus.wilkman@aalto.fi

Tietokoneharjoitukset (12x3h, periodit III-V alku) Viikoittain 4 vaihtoehtoista 3h harjoituskertaa Ilmoittaudu vain yhteen Kierrokset 1-11 Alun luento-osuus esittelee käsiteltävää ohjelmistoa ja/tai malliluokkaa (n. 25min) Loppuaika tehdään tuntitehtäviä Vastaukset koti- ja tuntitehtäviin yhtenä pdf-tiedostona nettiin Virheet korjataan, mutta arvostelu ensimmäisen palautuksen perusteella Kierros 12 Teoriatentti (20min) Loppuaika käytetään harjoitustöiden tekemiseen Harjoitustyö tehdään pareittain

Tietokoneharjoitukset (12x3h, periodit III-V alku) Käsiteltävät ohjelmistot Matlab, Mathematica, Excel ja Simulink Näillä rakennetaan ja ratkaistaan malleja mm. Regressio Differentiaaliyhtälöt Optimointi Diskreettiaikaiset simuloinnit Säätöteoria

Laboratoriotyöskentely (12x3h, periodit IV-V) Aloitustyö Mittausten tekemisen ja datan analysoinnin perusteet Termodynamiikka Lämpövoimakone, kaasun tilanyhtälö,... Aineen rakenne Radioaktiivisuus Aineen rakenne RAPORTTI Valosähköinen ilmiö, puolijohteen sähkönjohtavuus, jne... Sähkömagnetismi optiikka

Laboratoriotyöskentely (projektityö 50 h, periodi V) Mitataan kvartsivärähtelijän resonanssia 33 khz taajuudella Tätä varten perehdytään elektroniikkaan Rakennetaan jännitevahvistin Mitataan tietokoneelle Matlabohjelmistolla Analysoidaan data Matlabilla RAPORTTI

Laboratoriotyöskentely (projektityö 50 h, periodi V)

Turvallisuus Työskentely laboratoriossa on turvallista, kun noudattaa annettuja ohjeita. Työskentely on itsenäistä, joten harkitse mitä teet. Sähkö: Tarkasta ennen jännitteen kytkentää Lämpö: Varo kuumia pintoja Valo: Älä katso suoraan laseriin Säteily: Älä poista koteloista Älä syö laboratoriotiloissa Valmistaudu lukemalla työn oppimateriaali

Turvallisuus Työskentely laboratoriossa on turvallista, kun noudattaa annettuja ohjeita. Työskentely on itsenäistä, joten harkitse mitä teet. Sähkö: Tarkasta ennen jännitteen kytkentää Lämpö: Varo kuumia pintoja Valo: Älä katso suoraan laseriin Säteily: Älä poista koteloista Älä syö laboratoriotiloissa Valmistaudu lukemalla työn oppimateriaali Työskentely tietokoneluokassa on turvallista

Opetustilat Tietokoneharjoitukset: tietokoneluokka U256 Labrat: Otakaari 1:n U-osan kellarikerroksessa huoneessa U003. Sisäänkäynti labraan onnistuu esim. M-oven kautta (sisään M-ovesta ja heti oikealle ja portaat alas)

2: Tekninen raportti ( selkkari ) Hyvän tekstin vaatimuksia Rakenne Yleisiä käytäntöjä Tämä kurssi: LATEX

Teknisen tekstin lukija Kohderyhmä tiedeyhteisö esimies, alaiset, kollegat insinöörikunta tavalliset ihmiset

Teknisen tekstin lukija Kohderyhmä tiedeyhteisö esimies, alaiset, kollegat insinöörikunta tavalliset ihmiset Millaiset ovat lukijan Esitiedot? Odotukset? Käyttötarkoitus? Ennakkoasenne? Kirjoitustyyppi tieteellinen artikkeli yleistajuinen artikkeli opinnäytetyö projektiraportti käyttöohje

Teknisen tekstin lukija Kohderyhmä tiedeyhteisö esimies, alaiset, kollegat insinöörikunta tavalliset ihmiset Millaiset ovat lukijan Esitiedot? Odotukset? Käyttötarkoitus? Ennakkoasenne? Yleiset periaatteet pätee kaikille Kirjoitustyyppi tieteellinen artikkeli yleistajuinen artikkeli opinnäytetyö projektiraportti käyttöohje

Hyvän teknisen tekstin vaatimuksia Asiatyyli: tietoa ei kokemuksia yksi tulkinta objektiivista kirjoittajaa ei tunnista usein passiivissa Jäsentely ja sisältö selkeää Sisältö riittävän laaja ja oikein rajattu Esitys sisäisesti johdonmukainen Kieli moitteetonta Kokonaisuus helppolukuinen ei ole pakko lukea kaikkea ymmärtääkseen oleellisen Kuvat, taulukot ym. asianmukaisesti tehtyjä Teksti asiatyyliä

Raportin rakenne Kansilehti Tiivistelmä Sisällysluettelo Johdanto Menetelmät Tulokset Yhteenveto Kirjallisuusviitteet Liitteet

Raportin rakenne 1. Johdanto: motivaatio ja tausta herättää lukijan mielenkiinto kertoo mihin teksti vastaa ei sisällä tuloksia 2. Menetelmät: kokeelliset menetelmät ja niiden tarkempi kuvaus laitteiston kuvaus Teoria (matemaattinen malli) ja sen hyödyntäminen Mitkä ovat työn tavoitteet?

Raportin rakenne 3. Tulokset: saadut tulokset välivaiheineen tulosten vertaaminen teoriaan/ malliin tulosten luotettavuuden käsittely 4. Yhteenveto: tärkeimmät tulokset johtopäätökset kirjallisuusvertailu Helpottavat ymmärtämistä Lisäksi: aliotsikointi taulukot kuvat

Raportin rakenne Kirjallisuusviitteet yksilöivät tiedot numerointi viitteet tekstin joukossa Liitteet Alkuperäinen mittauspöytäkirja kaikkea ei tarvitse sijoittaa tekstin sekaan tietokoneohjelmalistaukset suuret kuvat raskaammat lausekkeiden johtamiset

Yleisiä käytäntöjä: kuvat Raportissa tulee aina viitata kaikkiin kuviin. Kuvassa 1 on esitetty, että kuvateksti sijoitetaan pääsääntöisesti kuvan alle. Kuva 1. Tässä esitetään kuva palikoista ja kuvatekstin paikka.

Yleisiä käytäntöjä: taulukot Raportissa tulee aina viitata kaikkiin taulukoihin. Vieressä on esitetty esimerkkinä Taulukko 1, jossa taulukkoteksti on yleisen tavan mukaan sijoitettu taulukon yläpuolelle. Taulukko 1. Tässä on kaksi lukuparia ja niiden summat. luku luku summa 1 2 3 4 5 9

Yleisiä käytäntöjä: kaavat Kaavat numeroidaan, jotta niihin voidaan viitata. Kaavoissa esiintyvät symbolit nimetään joko kaavan yhteydessä tai erillisessä selvityksessä työn alussa. Esimerkiksi hiukkasen kokonaisenergiaa kuvaava kaava E = mc 2, (1) jossa m on hiukkasen massa ja c valon nopeus tyhjiössä, on fysiikan historiassa osoittautunut merkittäväksi löydöksi.

Yleisiä käytäntöjä: viittaukset Kirjallisuusviitteet numeroidaan, jotta niihin voidaan viitata tekstissä. Kaikkiin viitteisiin tulee viitata. Mittaustulosten avulla määritettiin valon nopeudeksi (3,1 ± 0,2) 10 8 m/s. Valon nopeudelle tyhjiössä on sovittu arvo 2,99792458 10 8 m/s [1], joka osuu hyvin mittauksen virherajojen sisäpuolelle. Kirjallisuusviitteet: [1] MAOL-taulukot, matematiikka, fysiikka ja kemia, Seppänen et al, Otava, 1991

Hyvät käytännöt Aalto-yliopiston opiskelua koskevat eettiset säännöt https://into.aalto.fi/pages/viewpage.action? pageid=3776079 Hyvät tieteelliset käytännöt Esim. luvattoman lainaamisen välttäminen Lähdekriittisyys

Raporttien arvostelu Työn tulos laskujen virheettömyys menetelmien sopivuus välivaiheet lopputuloksen arviointi Luotettavuuden arviointi (Virhetarkastelu) (labrat) perustelut valinnoille virhelähteiden erittely virhelähteiden vertailu Teksti ja kaavat jäsentely kattavuus selkeys ja virheettömyys ymmärryksen osoittaminen ulkoasun siisteys ja selkeys Kuvat, kuvaajat ja taulukot kattavuus selkeys ja havainnollisuus ulkoasun siisteys

Raportin kirjoittaminen: yhteenveto Kiinnitä myös rakenteeseen ja muotoon huomiota Sisältöä voi selkeyttää kuvilla ja taulukoilla Palauta selostus ajoissa Assistentilta voi aina kysyä Kysyttävää raporttiasioista? Kannattaa katsoa raportin laatimisohjeet ja malliraportti

LaTeX: tieteellisen tekstin ladontaohjelma

LaTeX lyhyesti l l l Ohjelmointikieli tekstin ladontaan Hyvät puolet: l l l Kaavat helposti syötettävissä Risti- ja lähdeviittaukset helppo hallita LaTeX huolehtii muotoilusta Huonot puolet: l l l Aloittelijaepäystävällinen Komentoja kirjoittaessa oltava tarkkana (kuten ohjelmoinnissa yleensä) Kirjoittaessa et näe lopullista tulosta heti (kuten Wordissa)

LaTeX lyhyesti tekijät instituutti tiivistelmä väliotsakkeet Kuva +kuvateksti Kaavoja, kaavoja

LaTeX-dokumentin rakenne l l Tekstitiedosto (.tex), jota voit editoida haluamallasi editorilla (huom. Editori!= tekstinkäsittelyohjelma) Dokumentin sisältö l l l l Esimäärittelyt (esim. käytettävän paperin koko ym.) Itse teksti Kaavat matematiikkakomennoilla Muut muotoilukomennot

Syntaksi l l l l Leipätekstin kappaleet erotetaan toisistaan tyhjällä rivillä (pelkkä rivinvaihto ei tee mitään) Komennot alkavat aina kenoviivalla \ (backslash) ja niiden vaikutusalue rajataan aaltosulkeilla { } l Esim. \emph{korostettavateksti} Leipätekstin sekaan voi laittaa kaavoja $-merkkien sisään Ympäristöjen (environment) avulla voidaan määritellä monimutkaisempaa muotoilua vaativat elementit, kuten kuvat, yhtälöt, taulukot ym. Nämä alkavat komennolla \begin{ympäristönnimi} ja päättyvät \end{ympäristönnimi}.

Syntaksi: matemaattiset kaavat l l l Halutaan tuottaa kaava: Koodi leipätekstin seassa: $f(x_i) = x_i^3$ Leipätekstistä erillään olevat (automaattisesti) numeroidut kaavat määritellään equation-ympäristöllä: \begin{equation} f(x_i) = e^{x_i}+2 \label{eqn:eksponentti} \end{equation} f ( x ) 3 i = x i

Syntaksi: matemaattiset kaavat l Halutaan tuottaa kaava: \begin{equation} \Psi (0)\rangle = \prod_{q \neq p} 0_q \rangle \otimes \left\{ \exp(- \alpha ^2/2) \sum_{m=0}^{\infty} \frac{\alpha^m}{\sqrt{m!}} m_p \rangle \right\} \end{equation}

Ristiviittaukset l l Kuville, taulukoille, kappaleille ja yhtälöille (kuten edellisellä kalvolla nähtiin) voidaan antaa tunniste komennolla \label{tunniste} Tunnisteen avulla objektiin voidaan viitata muualla tekstissa komennolla \ref{tunniste}, jolloin LaTeX korvaa viittauskomennon objektin numerolla

Tiedoston kääntäminen l l Jotta LaTeX latoisi valmiin tiedoston, pitää koodi kääntää l l Editoriohjelman avulla (Kilessä ja TeXMakerissa valmis nappi) Komentoriviltä komennolla pdflatex selkkari.tex Ristiviittauksien takia koodi pitää kääntää kahdesti

Tiedonhaku l l l Kannattaa kääntää koodi mahdollisimman usein Ongelmatilanteessa englanninkielinen haku Googlella latex + [ongelma englanniksi] auttaa lähes kaikissa tilanteissa Sama toimii, jos haluat latoa tekstin jollain erityisellä tavalla, esim: latex how to align equations

Tiedonhaku: linkkejä ja kirjoja l l l Leslie Lamport: LaTeX: A Document Preparation System Frank Mittelbach ja Michel Goossens: The LaTeX Companion http://www.cs.tut.fi/lintula/manual/tex/texdoc/latex/ general/lyhyt/lyhyt2e.pdf(googleen lyhyt2e)

3: Mittaukset ja niiden luotettavuuden arviointi Historiaa Mittausten luotettavuus Virhetyypit Erilaiset mittaustavat ja niiden epätarkkuuden arviointi Virheen kasautuminen Mittauksiin liittyy epätarkkuutta kriittisyys

Jo muinaiset egyptiläiset Ajan mittaus (Egypti) 3500 eaa., obeliski 1500 eaa., aurinkokello

Jo muinaiset egyptiläiset NPL-CsF2 NIST-F2 cesium fountain clock 1 sekunnin virhe per 300 My NIST-F2

Massan mittaus Kuolleiden Kirja (1300 eaa.)

Pituuden mittaus Egypti, Indus-kulttuuri, Mesopotamia, 3. vuosituhat eaa. Cubit à jalka, tuuma...

Pituuden mittaus LIGO (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory) 2002 à Δx ~ 10-23 metriä (atomin koko~ 3 x 10-10 m)

Sähköiset mittaukset 1000-qubit quantum computer (D-Wave systems, 2015)

Mittaustulosten luotettavuus Mittaukset eivät koskaan ole äärettömän tarkkoja Δy = y real y measured Emme tiedä kuinka suuri virhe on, sillä emme tiedä oikeaa arvoa! è voimme tehdä virheistä vain statistiikkaa Virheitä aiheuttavat: mittalaitteiden tarkkuus mittauksen karkea epäonnistuminen mitattavan ilmiön tilastollinen luonne ulkoiset tekijät

Mittaustulosten luotettavuus Mittaustulosten arviointia on tehtävä työn kaikissa vaiheissa Ennen: havaintoarvojen suuruusluokka ja vaihtelualueet. Mittausten aikana: vastaavatko havainnot ennakkoarvioita/teoriaa? toimivatko laitteet oikein? Jälkeen: tulosten käsittely, kokonaisepätarkkuuden arviointi. Arvioi jokaisen havainnon luotettavuus

Virhetyypit: Karkea virhe Yksittäinen havaintoarvo, joka poikkeaa suuresti muista arvoista. Syitä: Mittaajan epäonnistuminen laitevika (laitteiston hetkellinen toimintahäiriö, ulkoiset tekijät)... Huomataan: laitteen toiminnan tarkkailu havaintoarvojen kirjaaminen taulukkoon selvä poikkeama keskiarvosta tai trendistä graafinen esittäminen

Virhetyypit: satunnaisvirhe Eivät ole seurausta laitteen tai mittaajan yksittäisestä epäonnistumisesta Mittausta ei voi toistaa täysin samalla tavalla joka kerta esim. elektroniikan kohina => epätarkkuus Suureen arvo vaihtelee satunnaisesti havaintokerrasta toiseen Voidaan analysoida laskemalla tunnuslukuja, kuten Keskiarvo Otoskeskihajonta (standardipoikkeama) Keskiarvon keskivirhe Havaintosarjan (toistokokeen) tilastollisen käsittelyn tehtävänä on löytää parhaat mahdolliset estimaatit

Virhetyypit: systemaattinen virhe Virhe vääristää tulosta samaan suuntaan. Syitä: laitteisto: kalibrointivirhe, viallinen laitteisto (mikrometriruuvin 0-kohta siirtynyt) mittaaja: luetaan asteikkoa väärin tai väärää asteikoa, mitataan eri suuretta kuin oletetaan (U vai I?) teoria väärä tai mittausparametrit teorian pätevyysalueen ulkopuolella. Havaitaan: funktiomittauksilla (suureen mittaaminen säätösuureen funktiona).

Virhetyypit Systemaattinen virhe Satunnaisvirhe Karkea virhe

Virhetyypit 4 JÄNNITE (V) 3 2 1 0 0 1 2 3 4 VIRTA (ma) 5 6 7

Mittaustapoja Kertamittaus Yksittäinen mittaustulos Toistokoe Tulos keskiarvona Funktiomittaus (regressio) Suureiden välinen riippuvuuden tutkiminen

Kertamittaus Kertamittaus Laitteistolle annettu tarkkuusarvio tai oma arvio (esim. lukematarkkuus)

Toistokoe Toistokokeella pyritään selvittämään mitattavan suureen arvo ja mittauksen tarkkuus (tietyissä olosuhteissa)

Toistokoe Toistokokeella pyritään selvittämään mitattavan suureen arvo ja mittauksen tarkkuus (tietyissä olosuhteissa) Mitataan matkaa

Toistokoe Toistokokeella pyritään selvittämään mitattavan suureen arvo ja mittauksen tarkkuus (tietyissä olosuhteissa) Yleensä toistomittauksen tulos noudattaa normaalijakaumaa

2 3 4 5 6 1 Toistokoe Toistokokeella pyritään selvittämään mitattavan suureen arvo ja mittauksen tarkkuus (tietyissä olosuhteissa) Yleensä toistomittauksen tulos noudattaa normaalijakaumaa lukumäärä 6 4 2 0 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 20 22 24 26 28 30 matka (m)

Toistokoe Yleensä toistomittauksen tulos noudattaa normaalijakaumaa kun toistojen määrä kasvaa riittävän suureksi lukumäärä 200 150 100 50 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 50 100 150 200 250 20 22 24 26 28 30 matka (m)

Normaalijakauma Normaalijakauman tiheysfunktio G( x) = keskipoikkeama / standardipoikkeama σ keskiarvo µ 1 " σ 2π exp $ x µ # $ 2σ 2 ( ) 2 % ' &' σ =1 µ = 0

Normaalijakauma Todennäköisyys, että arvo on tietyllä välillä a... b P a < x < b b a ( ) = G x G( x) = ( )dx 1 " σ 2π exp $ x µ # $ 2σ 2 ( ) 2 % ' &' P( σ < x < σ ) 68% σ =1 µ = 0

Normaalijakauma Todennäköisyys, että arvo on tietyllä välillä a... b P a < x < b b a ( ) = G x G( x) = ( )dx 1 " σ 2π exp $ x µ # $ 2σ 2 ( ) 2 % ' &' P( 2σ < x < 2σ ) 95% σ =1 µ = 0

Toistokokeen tunnusluvut Äärellinen määrä (N kpl) havaintoja x i : otoskeskiarvo on estimaatti keskiarvolle x 1 N xi N i = 1 = otoskeskihajonta on estimaatti standardipoikkeamalle s = ( x ) 2 i x N 1 1 lim N µ = xi N N i = 1 σ = lim N ( x ) 2 i µ N 1 keskiarvon keskivirhe on estimaatti keskiarvon standardipoikkeamalle ( x ) 2 i x s Δ x = = NN ( 1) N

Toistokokeen tunnusluvut Otoskeskihajonta kertoo mille alueelle yksittäinen (toisto-) mittaus todennäköisesti (68%) saadaan Aina likimain sama otoksen koosta riippumatta Vastaa yksittäisen mittauksen virherajaa 8 8 8 8 Mitattu arvo, otoskeskiarvo ja otoskeskihajonta 7 6 5 4 3 2 7 6 5 4 3 2 7 6 5 4 3 2 7 6 5 4 3 2 Mittaustapahtuma: toistettu 4 x 50 kertaa

Toistokokeen tunnusluvut Otoskeskihajonta kertoo mille alueelle yksittäinen (toisto-) mittaus todennäköisesti (68%) saadaan Aina likimain sama otoksen koosta riippumatta Vastaa yksittäisen mittauksen virherajaa Mitattu arvo, otoskeskiarvo ja otoskeskihajonta 8 7 6 5 4 3 2 8 7 6 5 4 3 2 Mittaustapahtuma: toistettu 4 x 50 kertaa 8 7 6 5 4 3 2 8 7 6 5 4 3 2 ± s = x 1 N xi N i = 1 = ( x ) 2 i x N 1

Toistokokeen tunnusluvut Keskiarvo vaihtelee myös hiukan sarjasta toiseen Keskiarvon keskivirhe kertoo mille alueelle toisen samanlaisen mittaussarjan keskiarvo todennäköisesti (68%) saadaan Sisältää samalla todennäköisyydellä todellisen keskiarvon Mitattu arvo, otoskeskiarvo ja keskiarvon keskivirhe 8 7 6 5 4 3 8 7 6 5 4 3 8 7 6 5 4 3 8 7 6 5 4 3 ±Δ x = x 1 N xi N i = 1 = ( x ) 2 i x NN ( 1) 2 2 2 2 Mittaustapahtuma: toistettu 4 x 50 kertaa

Keskiarvon keskivirhe Toistettaessa mittausta Otoskeskiarvo lähenee jakauman keskiarvoa Otoskeskihajonta pysyy vakiona Keskiarvon keskivirhe 0 => mittauksen virhe pienenee ( x ) 2 i x s Δ x = = NN ( 1) N Tästä saadaan toistomittauksen virherajat

Keskiarvon keskivirhe Tykillä ammuttiin 28 kertaa. Keskiarvo lentomatkalle oli 25,8 m ja otoskeskihajonta 2,1 m. Tästä laskettu keskiarvon keskivirhe oli 0,4 m. Mikä on tämän perusteella tykin keskimääräinen kantomatka 68 %:n luottamusrajalla? a) 25,8 m ± 0,4 m b) 25,8 m ± 0,8 m c) 25,8 m ± 2,1 m d) 25,8 m ± 4,2 m lukumäärä 6 4 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 22 24 26 28 30 matka (m) 0 1 2 3 4 5 6 7

Keskiarvon keskivirhe Tykillä ammutaan kerran ja kantomatkaksi mitataan 24,0 m. Tykin hajonnaksi on ilmoitettu 2,1 m. Mikä on tämän perusteella tykin keskimääräinen kantomatka 68 %:n luottamusrajalla? a) 24,0 m ± 0,4 m b) 24,0 m ± 0,8 m c) 24,0 m ± 2,1 m d) 24,0 m ± 4,2 m lukumäärä 6 4 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 22 24 26 28 30 matka (m) 0 1 2 3 4 5 6 7

Funktiomittaus (regressio) Useita datapisteitä Riippumattoman muuttujan arvoa varioidaan Usein epälineaarinen riippuvuus Osoitetaan mallin pätevyys Määritetään mallin parametrit Graafisesti silmällä Sovittamalla pienimmän neliösumman menetelmällä

Funktiomittaus

Piirtääkö käyrä vai suora? Datajoukko s = at 2 vaikea hahmottaa Eri epälineaarisia riippuvuuksia vaikea erottaa toisistaan Valitaan akselit siten, että datajoukosta tulee suora s (m) 3 2 1 0 0 1 2 3 t (s)

Piirtääkö käyrä vai suora? Datajoukosta s = at 2 saadaan suora käyttämällä t 2 -akselia s (m) 3 2 1 0 0 1 2 3 t (s)

Piirtääkö käyrä vai suora? Datajoukosta s = at 2 saadaan suora käyttämällä t 2 -akselia suoran kulmakertoimesta saadaan helposti vakio a s (m) 3 2 1 0 0 1 9 t 2 (s 2 )

Kulmakertoimen epätarkkuus (a) käsin Voidaan arvioida virhesuorilla Piirretään jyrkin ja loivin suora, joka vielä sopii pistejoukkoon Määritetään kummankin kulmakerroin k min ja k max Kulmakertoimen epätarkkuus Δk = k max k min 2 NOPEUS (m/s) 4 3 2 1 0 k = Δv/Δs = 0,48 m/s 2 2 Δs = 5,8 s 4 AIKA (s) Δv = 2,8 m/s 6

PNS-menetelmä Pienimmän neliösumman menetelmä Suurimman uskottavuuden menetelmä Laskennallinen algoritmi, jolla sovitetaan annettu funktio F(x) pistejoukkoon minimoimalla neliösummaa y 100 80 60 40 20 (x i,y i ) F(x) N i i i = 1 S = y F x ( ) 2 0 5 10 x 15 20

PNS-menetelmä Sovitetaan annettu funktio F(x) pistejoukkoon etsimällä parhaita parametrejä Minimoidaan neliösummaa Esimerkiksi: ( ) 2 = () = + F x s t s at 0 Matka (m) 160 120 80 40 0 5 10 15 Aika (s) 20 25

PNS-menetelmä Sovitetaan annettu funktio F(x) pistejoukkoon etsimällä parhaita parametrejä Minimoidaan neliösummaa Esimerkiksi: ( ) 2 = () = + F x s t s at N 2 2 i ( 0 i ) i = 1 S = s s + at 0 Matka (m) 160 120 80 40 S 16500 m 2 0 5 10 15 Aika (s) s 0 = 10 m a = 0.15 m/s 2 20 25

PNS-menetelmä Sovitetaan annettu funktio F(x) pistejoukkoon etsimällä parhaita parametrejä Minimoidaan neliösummaa Esimerkiksi: ( ) 2 = () = + F x s t s at N 2 2 i ( 0 i ) i = 1 S = s s + at 0 Matka (m) 160 120 80 40 0 S 3080 m 2 5 10 15 20 Aika (s) s 0 11.4 m a 0.22 m/s 2 25

PNS-menetelmä Sovitetaan annettu funktio F(x) pistejoukkoon etsimällä parhaita parametrejä Minimoidaan neliösummaa Esimerkiksi: ( ) 2 = () = + F x s t s at N 2 2 i ( 0 i ) i = 1 S = s s + at 0 Matka (m) 160 120 80 40 0 S 250 m 2 5 10 15 Aika (s) s 0 14 m a 0.27 m/s 2 20 25

Suoran sovittaminen PNS-menetelmällä Suoran y = kx + b sovittaminen pisteisiin (x i,y i ): analyyttinen(kin) ratkaisu löytyy. S = vaaditaan N ( y i kx i b) 2 i =1 S k S = 0 ja = 0 b ja ratkaistaan b ja k

Suoran sovittaminen PNS-menetelmällä Suoran y = kx + b sovittaminen pisteisiin (x i,y i ): analyyttinen(kin) ratkaisu löytyy. S = vaaditaan S k N ( y i kx i b) 2 i =1 S = 0 ja = 0 b ja ratkaistaan b ja k N N N 1 k = N y x y x D i i i i i= 1 i= 1 i= 1 1 b = x y y x x D N N N N 2 i i i i i i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 N N 2 2 = i i i= 1 i= 1 D N x x

Kulmakertoimen epätarkkuus (b) PNS Δ k = σ N D 2 y = kx + b 2 σ Δ b = x D σ 2 = 2 i 1 (y N 2 i kx i b) 2

Kulmakertoimen epätarkkuus (b) PNS Δ k = σ N D 2 y = kx + b 2 σ Δ b = x D σ 2 = 2 i 1 (y N 2 i kx i b) 2 Tämä eksakti menetelmä on sokea virheiden absoluuttiarvoille Se näkee ne datapisteiden hajonnan perusteella.

Painotettu PNS-menetelmä Jos pisteillä erisuuret virherajat y-suuntaan minimoidaan lauseketta N 1 ( ) ( S = y 2 i kxi b )2 i = 1 Δyi Jos virhettä myös x- suuntaan, täytyy tämä huomioida painokertoimissa. Δ y = ( Δ y) + ( kδx) xy 2 2

Lasketaan vai piirretään? 250 200 Voima (N) 150 100 50 0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Venymä (mm)

Lasketaan vai piirretään? Lasketaan 250 200 Voima (N) 150 100 50 0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Venymä (mm)

Lasketaan vai piirretään? Lasketaan Piirretään kuvaaja Käytettäessä PNSmenetelmää tulee aina piirtää kuva Voima (N) 250 200 150 100 Menetelmä ei hylkää vääriä pisteitä siis piirretään ja lasketaan 50 0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 Venymä (mm) 3.0

Lasketaan PNS on implementoitu kaikissa matemaattisissa ohjelmistoissa Sovitettujen parametrien virherajoja on joskus näistä ohjelmistoista vaikea kaivaa esiin

Lasketaan Esimerkkinä Matlab (myöhemmin kurssilla): options=fitoptions('poly1'); options.weights= 1./Delta_y.^2; fitresult = fit(x', y', 'poly1', options); errorbars_k_b = confint(fitresult, 0.68); kplus = errorbars_k_b(1,1); kminus = errorbars_k_b(2,1); bplus = errorbars_k_b(1,2); bminus = errorbars_k_b(2,2); plot(x, y, ro ); hold on; errorbar(x, y, Delta_y, o ); plot(x, kplus*x + bminus, -- ); hold on; plot(x, kminus*x + bplus, -- ); hold on;

Yhteenveto: Kertamittaus Virhearviot mittalaitteesta tai lukematarkkuudesta Toistokoe Arvo keskiarvona, virhe keskiarvon keskivirhe Funktiomittaus Sovitus ja virhearvio silmällä tai PNS:llä

Virheen kasautuminen Useamman muuttujan funktiot Virhetermien erittely

Virheen kasautuminen Miten lopputuloksen epätarkkuus riippuu mitattujen suureiden epätarkkuudesta, kun mitattuja suureita on yksi? Laskettu tulos y riippuu mitatusta suureesta x funktion y = f(x) mukaan df dy = dx dx Mittauksen epätarkkuuden (±)Δx vaikutus tulokseen on likimäärin df Δ y = Δx dx eli epätarkkuutta voi arvoida funktion muutoksen sijaan funktion tangentin avulla. Tangentti Δy Δx dx f(x)-f(x+ x)

Virheen kasautuminen Miten lopputuloksen epätarkkuus riippuu mitattujen suureiden epätarkkuudesta, kun mitattuja suureita on useita? Mittaustulokset x 1, x 2 ja x 3 sekä riippuvuus y = f(x 1,x 2,x 3,...) Epätarkkuudet yksittäisille mittauksille Δx 1, Δx 2, Δx 3,...

Virheen kasautuminen Miten lopputuloksen epätarkkuus riippuu mitattujen suureiden epätarkkuudesta, kun mitattuja suureita on useita? Mittaustulokset x 1, x 2 ja x 3 sekä riippuvuus y = f(x 1,x 2,x 3,...) Epätarkkuudet yksittäisille mittauksille Δx 1, Δx 2, Δx 3,... Yläraja-arvio epätarkkuudelle saadaan laskemalla kokonaisdifferentiaali Δy = f x 1 Δx 1 + f x 2 Δx 2 + f x 3 Δx 3 +... jossa termit f x 1, f x 2 ja f x 3 ovat osittaisderivaattoja

Virheen kasautuminen Miten lopputuloksen epätarkkuus riippuu mitattujen suureiden epätarkkuudesta, kun mitattuja suureita on useita? Mittaustulokset x 1, x 2 ja x 3 sekä riippuvuus y = f(x 1,x 2,x 3,...) Epätarkkuudet yksittäisille mittauksille Δx 1, Δx 2, Δx 3,... Eri virhetermit lisätään neliöllisesti Saatu luku on pienempi kuin lineaarisesti summattu Neliöllinen summaaminen pätee yleisesti korreloitumattomille suureille Δy = # f & % Δx 1 ( $ x 1 ' 2 # + f & % Δx 2 ( $ x 2 ' 2 # + f & % Δx 3 ( $ x 3 ' 2 +...

Suhteellinen epätarkkuus Logaritminen derivointi: helppo tapa suhteellisen epätarkkuuden laskemiseen Toimii vain tulomuotoisille funktiolle Esimerkki d dx ln x ( ) = 1 x f ( x, y, z) = kx a y b z c ln( f ) = ln( k) + a ln( x) + bln( y) + cln( z) Δf f = a Δx x + b Δy y + c Δz z

Esimerkki epätarkkuuden laskemisesta Polttovälin f ± Δf määritys yhtälöllä Mitataan esineen ja kuvan etäisyydet linssistä: 1 f = 1 a + 1 b f = ab a + b a = (50.0 ± 0.2) cm b = (22.3 ± 0.5) cm esine f varjosti n a b kuva f = 50.0 cm 22.3 cm (50.0 + 22.3) cm = 15.422...cm linssi

Esimerkki epätarkkuuden laskemisesta lasketaan funktiolle f osittaisderivaattojen ab = a + b epätarkkuus 2 2 f b( a+ b) ab ba+ b ab b = = = a ( a+ b) ( a+ b) ( a+ b) ja 2 f a( a+ b) ab a = = b ( a+ b) ( a+ b) 2 2 2 2 2 avulla: Δf = $ f & % a Δa ' ) ( 2 $ + & f % b Δb ' ) ( 2 = $ b 2 (a + b) Δa ' & ) % 2 ( 2 $ a 2 + (a + b) Δb ' & ) % 2 ( 2 Sijoittamalla arvot saadaan polttovälin epätarkkuus Δf 0.240... cm

Virhetermien erittely Ajatuksena eritellä muuttujien aiheuttamat epätarkkuudet Lasketaan muuttujien epätarkkuuksien suuruudet esim. taulukkoon Saadaan selville suurimmat epävarmuuden lähteet Taulukko 1. Polttovälin f virhetermien erittely Muuttuja Arvo Epätarkkuus virhetermi a 50.0 cm 0.2 cm b 22.3 cm 0.5 cm f 15.4 cm

Virhetermien erittely Ajatuksena eritellä muuttujien aiheuttamat epätarkkuudet Lasketaan muuttujien epätarkkuuksien suuruudet esim. taulukkoon Saadaan selville suurimmat epävarmuuden lähteet Taulukko 1. Polttovälin f virhetermien erittely Muuttuja Arvo Epätarkkuus virhetermi a 50.0 cm 0.2 cm b 22.3 cm 0.5 cm b 2 Δa 0.019 cm 2 (a + b) a 2 Δb 0.240 cm 2 (a + b) f 15.4 cm Δf 0.2 cm

Virhetermien erittely Tarkastellaan funktiota f : f = abc 2 Jos a = 5 ± 1 ; b = 10 ± 2 ja c = 10 ± 1, niin mikä muuttujista aiheuttaa funktion f arvoon suurimman virheen? a) a b) b c) c d) kaikki yhtä suuren

Lopputuloksen tarkkuus Arvo ja sen epätarkkuus samalla tarkkuudella Tuloksen epätarkkuus riittää ilmoittaa yhden merkitsevän numeron tarkkuudella f = 15.4218 cm Δ f = 0.2581 cm Pyöristys tulokseksi f = 15.4 cm ± 0.3 cm

4: Hyvä graafinen esitys Antaa kuvan laitteesta, tapahtumasta, tuloksista Auttaa ymmärtämään asiakokonaisuutta Osoittaa riippuvuuksia Keventää tekstiä Popularisoiva aloituskuva ok Yksi kuva... tuhat sanaa 60 40 0 20 0 0

Esimerkki huonosta graafista 10 Asteikot nimeämättä Yksiköt puuttuvat Pisteet eivät käytä koko kuva-alaa Pisteet yhdistetty murtoviivalla Virherajat puuttuvat 8 6 4 2 0 0 20 40 60 80 100

Esimerkki huonosta graafista 10 Asteikot nimeämättä Yksiköt puuttuvat Pisteet eivät käytä koko kuva-alaa Pisteet yhdistetty murtoviivalla Virherajat puuttuvat nopeus 8 6 4 2 0 0 20 40 60 80 100 aika

Esimerkki huonosta graafista 10 Asteikot nimeämättä Yksiköt puuttuvat Pisteet eivät käytä koko kuva-alaa Pisteet yhdistetty murtoviivalla Virherajat puuttuvat nopeus (m/s) 8 6 4 2 0 0 20 40 60 80 100 aika (s)

Esimerkki huonosta graafista 6 Asteikot nimeämättä Yksiköt puuttuvat Pisteet eivät käytä koko kuva-alaa Pisteet yhdistetty murtoviivalla Virherajat puuttuvat nopeus (m/s) 5 4 3 2 Nolla ei ole maaginen luku 1 20 40 60 80 100 aika (s)

Esimerkki huonosta graafista 6 Asteikot nimeämättä Yksiköt puuttuvat Pisteet eivät käytä koko kuva-alaa Pisteet yhdistetty murtoviivalla Virherajat puuttuvat nopeus (m/s) 5 4 3 2 1 20 40 60 80 100 aika (s)

Esimerkki ei huonosta graafista 6 Asteikot nimeämättä Yksiköt puuttuvat Pisteet eivät käytä koko kuva-alaa Pisteet yhdistetty murtoviivalla Virherajat puuttuvat nopeus (m/s) 5 4 3 2 1 20 40 60 80 100 aika (s)

Esimerkki ei huonosta graafista 6 Asteikot nimeämättä Yksiköt puuttuvat 5 Pisteet eivät käytä koko kuva-alaa Pisteet yhdistetty murtoviivalla Virherajat puuttuvat Sovitetaan malli nopeus (m/s) 4 3 2 1 20 40 60 80 100 aika (s)

Esimerkki ei huonosta graafista 6 Asteikot nimeämättä Yksiköt puuttuvat 5 Pisteet eivät käytä koko kuva-alaa Pisteet yhdistetty murtoviivalla Virherajat puuttuvat Sovitetaan malli Mallin virherajat nopeus (m/s) 4 3 2 1 20 40 60 80 100 aika (s)

Hyvää studiota!