DEE-111 Lineaariset järjestelmät Luento 8 1 Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen 7.8.214
Luento 7 - Recap Z-muunnos ja sen ominaisuudet Lineaaristen dierenssiyhtälöiden käsittely Alku- ja loppuarvot Konvoluutio 2 Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen 7.8.214
Luento 8 - sisältö Konvoluutio muunnostasossa Z-muunnos yhteenveto Laplace-muunnos ja sen ominaisuudet Laplace-muunnos ja lineaariset dierentiaaliyhtälöt Muunnostason sijaiskytkennät 3 Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen 7.8.214
Siirto-ominaisuus x k k z k X ( z) x z x 1... x k k z k X ( z) x 1 z 1 x 2 z 2... 4 Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen 7.8.214
Alku- ja loppuehdot lim z F ( z) 1 z lim k k lim z 1 z F ( z) 5 Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen 7.8.214
Konvoluutio Aikatason konvoluutiosumma korvautuu muunnostasossa kertolaskulla. Y( z) H( z) U( z) Kaskadikytkentä Y( z) H1( z) H2( z)... Hn( z) U( z) 6 Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen 7.8.214
Esimerkki Diskreettiaikaisen järjestelmän impulssivaste on lukujono h k,1,3,7,15,31,... Määritä H(z). Mikäli sisäänmeno u k 1 3 k k mikä on järjestelmän ulostulo? 7 Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen 7.8.214
Review Question 1 Määritä oheisen järjestelmän siirtounktiossa H(z) esiintyvä vakio A. 8 Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen 7.8.214
Z-muunnos; yhteenveto Z-muunnosta voidaan käyttää lineaaristen, vakiokertoimisten dierenssiyhtälöiden ratkaisemisessa. Esimerkki: Määritä oheisessä piirissä k:nnen silmukan silmukkavairran lauseke i k. X 9 Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen 7.8.214
Laplace-muunnos Aikatason DY Aikatason ratkaisu Laplacemuunnos Käänteismuunnos Ratkaisu s-tasossa 1 Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen 7.8.214
Laplace-muunnos Laplace-muunnos on yksi integraalimuunnoksista. Funktion (t) Laplace-muunnosta merkitään F(s):llä ja se määritellään seuraavasti (t ). L ( t) F( s) ( t) e st 11 Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen 7.8.214
Idea 2 y''( t)? 5 y'( t) 3 y( t)? Y ( s) Aikatason dierentiaaliyhtälöt korvautuvat muunnostasossa algebrallisilla yhtälöillä. 2e 2 s 2 st 12 Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen 7.8.214
Taulukkojen hyödyntäminen 13 Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen 7.8.214
Esimerkki Laplace-muunnetussa piirissä tietyn haaran virta I( s) 6s 2s 5 Määritä virran aikatason lauseke i(t). s 2 14 Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen 7.8.214
Laplace-muunnoksen ominaisuuksia 15 Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen 7.8.214
Derivaatan Laplace-muunnos Olkoon unktion (t) Laplace-muunnos F(s). Funktion derivaatan (t) muunnos voidaan määritelmän mukaan kirjoittaa '( t) Osittaisintegrointi, merkitään Osittaisintegroinnin mukaisesti u L du e st se st '( t) e dv v st '( t) ( t) 16 Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen 7.8.214
Derivaatan Laplace-muunnos (Cont.) L '( t) / ( t) e st s ( t) e st F ( s) Siis unktion derivaatan Laplace-muunnos L '( t) s F( s) () Alkuarvon vaikutus näkyy suoraan muunnostason lausekkeessa. 17 Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen 7.8.214
Derivaatan Laplace-muunnos (Cont.) Soveltamalla tulosta edelleen, saadaan toisen derivaatan Laplace-muunnokseksi: L d 2 2 s 2 F( s) s () '() Ja yleisesti n:n derivaatan muunnokseksi L d n ( t) n n 1 n 2 ( n 1) s F( s) s () s '()... () n 18 Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen 7.8.214
Esimerkki Määritä unktion ( t) sin at Laplace-muunnos 19 Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen 7.8.214
Integraalin Laplace-muunnos Olkoon unktion (t) Laplace-muunnos F(s). Mitä on Koska L ( t) t ( t) d Niin (derivaatan Laplace-muunnoksen mukaisesti) L ( t) F( s) t s L? ( t) t ( t) ( t) alkuarvo 2 Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen 7.8.214
Integraalin Laplace-muunnos (Cont.) Siis t F ( s) L ( t) s 21 Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen 7.8.214
Esimerkki Pallo pudotetaan massan M keskelle korkeudelta d ja otetaan kiinni ensimmäisen kimmokkeen jälkeen. Mikä on alkujaan levossa olevan kappaleen (M) liike pallon siihen osuttua, kun törmäys voidaan olettaa täysin kimmoisaksi. M = 1 kg, m =.1 kg, b = 4 Ns/m, k = 125 N/m, d = 1 m. 22 Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen 7.8.214
Esimerkki Määritä oheisessa kytkennässä kondensaattorin yli olevan jännitteen hetkellisarvon lauseke v(t). Kondensaattori on alkujaan varautumaton. 23 Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen 7.8.214