Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi... jos ja vain jos... Sulkeita ( ) käytetään selkeyden vuoksi osoittamaan konnektiivien soveltamisen järjestys. JYM, Kesä 2017 48/225
Esimerkiksi tarkoittaa eri asiaa kuin A (B C) (A B) C. Tässä A, B ja C symboloivat ns. propositiolauseita. JYM, Kesä 2017 49/225
Propositiolauseet Propositiolauseet ovat abstrakteja vastineita väitelauseille. väitelause ei väitelause 10 > 8 7 4 4 < 3 < 4 ( 3) 2 > 16 2 Z sin π N Väitelauseen voidaan ajatella olevan totta tai epätotta. JYM, Kesä 2017 50/225
Negaation totuustaulu Määritelmä Negaatiolla on seuraava totuustaulu: A A 1 0 0 1 Huom. Yllä 1 tarkoittaa tosi ja 0 epätosi. Jos propositiolause A on tosi, niin A on epätosi. Jos propositiolause A on epätosi, niin A on tosi. JYM, Kesä 2017 51/225
Konjunktion totuustaulu Määritelmä Konjunktiolla on seuraava totuustaulu: Huom. A B A B 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Propositiolause A B on tosi, jos ja vain jos propositiolauseet A ja B ovat molemmat tosia. Määritelmä vastaa konnektiivin ja intuitiivista merkitystä. JYM, Kesä 2017 52/225
Disjunktion totuustaulu Määritelmä Disjunktiolla on seuraava totuustaulu: Huom. A B A B 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Propositiolause A B on epätosi, jos ja vain jos propositiolauseet A ja B ovat molemmat epätosia. Määritelmä vastaa konnektiivin tai intuitiivista merkitystä siinä tapauksessa, että kysymyksessä ei ole poissulkeva tai. JYM, Kesä 2017 53/225
Implikaation totuustaulu Määritelmä Implikaatiolla on seuraava totuustaulu: Huom. A B A B 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Propositiolause A B on epätosi, jos ja vain jos etujäsen A on tosi ja takajäsen B on epätosi. JYM, Kesä 2017 54/225
Ekvivalenssin totuustaulu Määritelmä Ekvivalenssilla on seuraava totuustaulu: Huom. A B A B 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Propositiolause A B on tosi, jos ja vain jos propositiolauseilla A ja B on sama totuusarvo. JYM, Kesä 2017 55/225
Looginen ekvivalenssi Propositiolausetta, joka on aina tosi, sanotaan tautologiaksi. Esimerkiksi propositiolause A A on tautologia, mikä nähdään seuraavasta totuustaulusta: Määritelmä A A A A 1 0 1 0 1 1 Propositiolauseet A ja B ovat loogisesti ekvivalentteja, jos ekvivalenssi A B on tautologia, ts. jos ekvivalenssin A B totuusarvo on aina 1. JYM, Kesä 2017 56/225
Esimerkki 16 Olkoon A, B ja C propositiolauseita. Määritetään propositiolauseiden (A B) B ja (A B) C totuustaulut. Esimerkki 17 Tässä esimerkissä P tarkoittaa "Puhun"ja K "Kuuntelen". Mitä suomenkielen lauseita seuraavat propositiolauseet ilmaisevat? P K P K (P K) Määritetään lauseiden totuustaulut. Mitä huomaamme? JYM, Kesä 2017 57/225
Kvanttorit Väite, jossa esiintyy ns. vapaa muuttuja, voi olla jollakin muuttujan arvolla tosi ja jollakin epätosi. Tarkastellaan esimerkiksi väitettä x 2 2x + 1 = 0. Jos x = 5, tämä väite on epätosi, sillä 5 2 2 5 + 1 = 16. Jos x = 1, tämä väite on tosi, sillä 1 2 2 1 + 1 = 0. JYM, Kesä 2017 58/225
Kvanttorit Tällaisten väitteiden tapauksessa ollaan usein kiinnostuneita siitä, onko väite tosi kaikilla muuttujan arvoilla tai ainakin yhdellä muuttujan arvolla. Nämä asiat voidaan ilmaista kvanttoreiden avulla: kaikilla on olemassa JYM, Kesä 2017 59/225
Esimerkki 18 Kvanttorit Tulkitse seuraavat reaalilukuja koskevat lauseet suomen kielelle ja päättele, ovatko ne tosia vai epätosia. (a) x(x 2 0) Kaikilla reaaliluvuilla x pätee, että x 2 0. Väite on tosi. (b) x(x 2 2x + 3 = 0) Yhtälöllä x 2 2x + 3 = 0 on ainakin yksi ratkaisu reaalilukujen joukossa. Väite on epätosi, sillä 2. asteen yhtälön ratkaisukaavassa neliöjuuren alle tuleva lauseke eli yhtälön ns. diskriminantti 2 2 4 1 3 = 4 12 = 8 < 0 eikä yhtälöllä sen vuoksi ole ratkaisuja reaalilukujen joukossa. JYM, Kesä 2017 60/225
(c) x(x < 2 x 2 < 4) Kaikilla reaaliluvuilla x pätee, että jos x < 2, niin x 2 < 4. Väite on epätosi, sillä esimerkiksi 5 < 2 mutta kuitenkin ( 5) 2 = 25 4. (d) x(3x 12 = 3) On olemassa reaaliluku, joka toteuttaa yhtälön 3x 12 = 3. Väite on tosi, sillä 3 5 12 = 15 12 = 3. JYM, Kesä 2017 61/225
Kvanttorit Esimerkki 19 Kirjoita seuraavat joukkoja A, B, C ja D koskevat väitteet logiikan symbolien avulla: (a) A B. x(x A x B) (b) B C. x(x B x C) (c) A B B C. x ( (x A x B) (x B x C) ) (d) A B = C D. x ( (x A x B) (x C x D) ) JYM, Kesä 2017 62/225