Yhteen- ja vähennyslaskukaavoiksi sanotaan trigonometriassa niitä kaavoja, jotka sisältävät kehitelmät kahden reaaliluvun summan tai erotuksen trigonometriselle funktiolle, kuten sin( + y) sin cos y + cos sin y cos( y) cos cos y + sin sin y. tai Johdetaan aluksi näistä viimemainittu eräiden yksikkövektoreiden pistetulon avulla paikkavektorinkin käsitteeseen turvautuen. Olkoot aluksi ja y kaksi välin [ 0, ] sellaista lukua, että > y ja y <. Asetetut ennakkoehdot takaavat sen, että näitä lukuja vastaavien (kulmien) kehäpisteiden X ja Y paikkavektoreiden välinen kulma on y. Koska X ja Y ovat yksikköympyrän kehän pisteitä, niiden paikkavektorit ovat yksikkövektoreita. OX cos î + sin ĵ ja OY cos y î + sin y ĵ. Näiden suuntajanojen välinen kulma ( OX, OY) y. Määrätään tämä kulma sanottujen vektoreitten pistetulon avulla: Y (cosy, siny) y y O X (cos, sin) 1(5)
OX OY (cos i + sin j) (cos yi + sin y j) cos( y) cos( OX, OY) 1 1 OX OY coscosy + sinsiny Esim. 18. Määritä cos105 o (tarkka arvo). o o o o o o o cos105 cos( 135 30 ) cos135 cos30 + sin135 sin 30 o o o o o o cos( 180 45 )cos30 + sin( 180 45 )sin 30 o o o o 1 3 cos 45 cos30 + sin 45 sin 30 + 3 + 1 ( 3 + 1) 6. 4 4 1 1 Väljennetään oletuksia. Olkoot ja y kaksi välin [ 0, ] lukua, > y, mutta luovutaan vaatimuksesta y <. Tällöin suuntajanojen OX ja OY välinen kulma on ( y ), mutta koska eksplementtikulmien (kulmien summa ) kosinit ovat aina yhtä suuret [cos cos (360 o )], niin yhä cos(ox, OY ) cos( y ). (Tutki tämä esimerkiksi asettamalla 40 ja y 40 ). Seuraavaksi vapaudutaan oletuksesta > y, sillä jos onkin < y, niin kosinin parillisuuden nojalla cos( y) cos(y ). Vastalukujen kosinit ovat siis samat. Loppu viimeksi vapaudutaan vielä siitäkin oletuksesta, että ja y olisivat välin [ 0, ] lukuja. Olkoot siis ja y täysin mielivaltaisia reaalilukuja. Kuitenkin löydetään sellaiset reaaliluvut 1 ja y1, että + n, 0, ja n Z (eli n on kokonaisluku) 1 1 [ ] y [ 0 ] y1 + m, y1, ja m Z, jolloin edellä saatu tulos pätee luvuille 1 n ja y1 y m ts. cos( 1 y1 ) cos [( n ( y m) ] cos( y ( m n) ) cos( y), ja toisaalta o o (5)
cos( 1 y1 ) cos( n)cos( y m) + sin( n)sin( y m ) cos cos y + sin sin y jaksollisuuden nojalla. Kootaan tulos: LAUSE 13. Olkoot ja y kaksi mielivaltaista reaalilukua. Tällöin on aina cos( y) cos cos y + sin sin y Kosinin yhteenlaskukaavaan päästään seuraavasti: cos( + y) cos[ ( y)] cos cos( y) + sin sin( y) cos cos y sin sin y, koska kosini on parillinen ja sini pariton funktio. Suorakulmaisen kolmion käsittelyn yhteydessä on tutustuttu komplementtikulmien trigonometrisiin funktioihin. Tiedetään, että esim. o o sin 3 cos58 ja yleisesti sin α cos(90 o α). Koska kosinin vähennyslaskukaava aina pätee, on mille tahansa reaaliluvulle voimassa cos( ) cos cos + sin sin 0 cos + 1 sin sin. Silloinpas on myös cos ( ) cos sin( ) ja edelleen sinin yhteenlaskukaava: sin ( + y) cos ( + y) cos ( ) y cos( )cos y + sin( ) sin y sin cos y + cos sin y. Vähennyslaskukaava saadaan taas helposti sin( y) sin( + ( y)) sin cos( y) + cos sin( y) sin cos y cos sin y. 3(5)
LAUSE 14. YHTEEN- JA VÄHENNYSLASKUKAAVAT Olkoot ja y kaksi mielivaltaista reaalilukua. sin( + y) sin cos y + cos sin y sin( y) sin cos y cos sin y cos( + y) cos cos y sin sin y cos( y) cos cos y + sin sin y cos sin sin cos Sijoittamalla yhteenlaskukaavoihin y saadaan erittäin keskeiset kaksinkertaisen kulman kaavat, jotka pelaavat kahteen suuntaan, ja jotka on syytä osata lähes yhtä hyvin kuin ( a b) +... : sin sin( + ) sin cos + cos sin sin cos cos cos( + ) cos cos sin sin cos sin 1 sin sin 1 sin cos 1+ cos cos 1 Kaksinkertaisen kulman kosinilla on siis kolme eri esitysmuotoa. LAUSE 15. Kaksinkertaisen kulman kaavat sin sincos cos cos sin 1 sin cos 1 1 Esim. 19. cos 1 sin sin 1 cos sin cos 1 cos cos cos 1 cos 1+ cos cos + 4(5)
Näillä kaavoilla on integraalilaskennassa tärkeä merkitys. Luvun trigonometrisen funktion neliö (asteluku kaksi) saadaan lausutuksi ensiasteisena lausekkeena. 1 Esim. 0. Määritä cos 4, kun cos (Kevät 1981). Tämä oli laajan oppimäärän ensimmäinen tehtävä, tarkoitettu helpoksi, mutta osoittautui olevan kaikkea muuta. Jos ratkaisee niin kuin monet yrittivät - ensin :n, saa melkoisen määrän lukuja, jotka pitäisi kertoa neljällä ja ottaa taas kosini. Siinä sai tuottaa sivukaupalla tekstiä, ja jo historiallisista syistä olisi pitänyt huomata olevansa hakoteillä, sillä yo-kokeen ensimmäisen tehtävän suorituksen pitäisi sopia yhdelle sivulle. Käytetään kaksinkertaisen kosinin kaavoja ja pysytään kosinissa, jotta päästään käyttämään tehtävässä annettua tietoa: cos4 cos( + ) cos( ) cos 1 (cos ) 1 (cos 1) 1 4 1 4 1 (4cos 4cos + 1) 1 8( ) 8( ) + 1 8 8 1 1 + 1 + 1. 16 4 Esim. 1. Ratkaise yhtälö sin( + 1) cos( ). Tässä päästään samaan trigonometriseen funktioon käyttämällä komplementtikulman kaavoja; joko sin(koira) cos( koira) tai vaihtoehtoisesti cos(kissa) sin( kissa). sin( + 1) cos( ) cos[ ( + 1)] cos( ) 1 ± ( ) + n 1 + n 1 + n 3 1 + n + 3 + n 1 + + n 3 + n 6 3 3 5(5)