Fysiikan olympiavalmennus, perussarja Kirje 1 Palautus 31.1.2014 mennessä Olet menestynyt hyvin MAOL:n fysiikkakilpailussa, ja sinut on valittu mukaan fysiikan olympiavalmennukseen. Valmennuskirjeitä on yhteensä kolme, ja niihin aktiivisesti vastaamalla voit päästä valmennusleirille maaliskuussa Jyväskylään ja jopa valintakilpailuun vapun aikoihin Tallinnaan (ajankohdat varmistuvat myöhemmin), jossa valitaan Suomen joukkue vuoden 2014 fysiikkaolympialaisiin Kazakstaniin. Osallistumisesta ei aiheudu kuluja. Perussarjan valmennukseen osallistuminen auttaa myös pääsemään ensi vuonna avoimen sarjan valmennukseen, ja sitä kautta tulee mahdollisuus päästä kesän 2015 fysiikkaolympialaisiin Intiaan. Lisätietoa löytyy fysiikkavalmennuksen sivuilta osoitteesta http://www.jyu.fi/ipho/valmennus. Tässä on ensimmäinen valmennuskirje, jonka vastaukset tulee lähettää minulle 31.1.2014 mennessä joko kirjeitse tai sähköpostitse 1. Jotkin tehtävät ovat pitkiä, mutta sitä ei kannata hätkähtää; arvostelun kannalta tässä on 1 + 1 + 4 + 4 = 10 saman arvoista tehtävää. Osatehtävät on pyritty laatimaan siten, että vaikka jokin kohta jäisi tekemättä, voi seuraavat silti ratkaista. Tehtävissä käsitellyt asiat eivät luultavasti ole kaikilta osin lukion kursseilta tuttuja, vaan niiden on tarkoitus opettaa jotain uutta klassisesta mekaniikasta. Olen alleviivauksin korostanut ne kohdat, joihin edellytetään vastausta. Jos ongelmia tulee vastaan, minulta voi kysellä asioita sähköpostitse. Tämä ei ole ylioppilas- tai kurssikoe, joten voit vastata järkeväksi katsomallasi tavalla. Kirjoita välivaiheita sen verran, että pystyt itse seuraamaan tekstiäsi ja uskot minunkin siihen pystyvän. Minulle ei tarvitse välivaihein vakuuttaa, että osaat ratkaista toisen asteen yhtälön tai tehdä jonkin muun mekaanisen laskun. Välivaiheet eivät kuitenkaan ole kiellettyjä. Jos et ole jostain syystä osallistunut MAOL:n fysiikkakilpailuun mutta haluat mukaan valmennukseen, vastaa tähän kirjeeseen. (Voit siis kertoa valmennuksesta kaverillesikin, jos arvelet hänen kiinnostuvan.) Lisäksi on hyödyksi ilmoittaa asiasta sähköpostitse minulle mahdollisimman pian, jotta myöhemmät kirjeet ja tiedotteet päätyvät sinullekin. Joonas Ilmavirta Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos PL 35 (MaD) 40014 Jyväskylän yliopisto joonas.ilmavirta@jyu.fi Tehtävä 1. Tutkitaan pyöreää ja homogeenista taivaankappaletta, jonka massa on M ja säde R. Laske, kuinka suuri on pakonopeus, eli pienin mahdollinen nopeus, jolla taivaankappaleen pinnalta lähtevä kappale pääsee gravitaatiokentästä vapaaksi. Taivaankappale ei pyöri ja lähtevään kappaleeseen kohdistuu (moottorin tai muun) työntövoima vain hyvin lyhyen aikaa sen lähtiessä liikeelle. Ratkaise R, jos pakonopeus on valonnopeus c. Jos taivaankappaleen säde on tätä sädettä pienempi, kappaletta sanotaan mustaksi aukoksi. Miksi? Vaikka emme ottaneet suhteellisuusteoriaa lainkaan huomioon, saimme täsmälleen suhteellisuusteorian ennustaman tuloksen tälle kriittiselle säteelle, joka tunnetaan tavallisesti Schwarzschildin säteenä 2. Jos kappaleen massa on tätä pienemmän säteen sisässä, kaikki aine ja valo putoaa vääjäämättä yhä lähemmäksi massakeskipistettä. 1 Paperinen vastaus on helpoin käsitellä, mutta jos palautat tehtävät sähköisesti, varmista, että palautusten koko on ainakin alle 500 kt ja vastaukset ovat helposti luettavissa. Pdf-muotoinen vastaus on varmin. Voit myös laittaa vastauksesi kotisivullesi ja antaa linkin. 2 Varsinaisesti pitäisi siis käyttää Newtonin mekaniikan sijasta Einsteinin kenttäyhtälöä G = 8πG N c 4 T, 1/5
Arvioi, kuinka suuri on sinun omaa massaasi vastaava Schwarzschildin säde ja totea, ettet ole vielä lähelläkään luhistumista eikä kyllä kukaan muukaan. Tehtävä 2. Tässä tehtävässä selvitetään, kuinka kauas lumi putoaa harjakattoisen talon katolta. Olkoon katon reuna korkeudella H ja katon korkein kohta korkeudella H + h. Merkitään α:lla katon kallistuskulmaa (α = 0 vastaa tasakattoa). Kuinka kauas katon reunasta sivusuunnassa voi katolta (levosta) liukumaan lähtevä lumi enintään pudota? Keksi järkevät lukuarvot H:lle, h:lle ja α:lle, ja laske, kuinka suuri tämä etäisyys on. Vertaa etäisyyttä jalkakäytävän leveyteen tai arvioi sen kokoa muuten. [Lisätehtävä] Jos aikaa ja intoa riittää, tutki vielä seuraavaa tilannetta. Talon mitat H ja h on annettu, mutta α voi olla mikä tahansa. Kuinka kauas lumi voi korkeintaan lentää? Ilmaise tämä suurin mahdollinen etäisyys H:n ja h:n avulla. Tästä saa lisäpisteen, mutta hyödyllisempää lienee tehdä ensin muut tehtävät. Tehtävä 3. Varjot ovat arkielämästä varsin tuttu ilmiö. Jos valonlähde on pistemäinen, varjot ovat terävärajaisia. Todellisuudessa siirtymä varjoisesta hyvin valaistuun on monesti varsin pehmeä, mikä johtuu valonlähteen koosta. Yritämme tässä tehtävässä ymmärtää varjoja teoreettisesti ja kokeellisesti. Kaksi keskimmäistä osaa ovat kokeellisia, ja osat (a) ja (d) teoreettisia, jotka voi hyvin tehdä vaikka koe jäisi väliinkin. (a) Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, ettei valo heijastu. (Tämä on yllättävän hyvä oletus. Valosta kovinkaankaan suuri osa ei yleensä heijastu, joten heijastuneen valon vaikutus valaistukseen on melko pieni. Valoa kuitenkin aina heijastuu jonkin verran; muutenhan emme näkisi mitään, mikä ei itse tuota valoa.) Sanomme, että kohta valonlähdettä ympäröivässä avaruudessa on täysin varjossa, jos valonlähteestä ei pääse siihen lainkaan valoa. Kohta on osittain varjossa, jos vain osa valonlähteestä tulevasta valosta ei esteiden vuoksi pääse siihen. Tarkastellaan yksinkertaista tilannetta, jossa valonlähde on kiekko, ja sen säde on R. Valonlähde on suuren tasomaisen varjostimen edessä etäisyydellä H. Valonlähteen ja ja varjostimen välissä on este, joka on r-säteinen kiekko ja imee kaiken siihen osuvan valon. Este on etäisyydellä h varjostimesta. Valonlähde, este ja varjostin ovat suoraan peräkkäin. Oletamme, että 0 < r < R ja 0 < h < H. Asetetaan valonlähde ja este siten, että varjostimelle juuri ja juuri muodostuu täysin varjossa oleva kohta. Piirrä kuva tilanteesta ja perustele sen avulla, että Rh = rh. Jos valonlähteen halkaisija on D = 2R ja esteen d = 2r, niin saamme yhtälön Dh = dh. (b) Selvitä lampun valaisevan osan koko edellisessä kohdassa saatua tulosta Dh = dh hyödyntäen seuraavalla tavalla. Tässä kohdassa tehdään mittaukset, seuraavassa analysoidaan niitä. Tarvitset välineiksi liikuteltavan lampun (esim. pöytä- tai taskulamppu), muutaman lamppua kapeamman tasapaksun tikun (esim. kynä), varjostimen (esim. seinä) ja pituuden mittaamiseen soveltuvan välineen (esim. viivain). Etsi käyttöösi kolme sopivaa eripaksuista tikkua (kokeile esimerkiksi eri kyniä, sormia missä Einsteinin kaarevuustensori G kuvaa avaruuden ja ajan kaarevuutta sekä energia-impulssitensori T aineen ja energian liikettä. Newtonin gravitaatiovakio ja valonnopeus ovat G N ja c. Tämän viattoman näköisen yhtälön ratkaiseminen on hirvittävän työlästä yksinkertaisissakin tilanteissa. 2/5
tai kalapuikkoja). Mittaa tikkujen leveydet d virheineen 3 ja kirjaa ne ylös. Tee seuraavat mittaukset ja kirjaa tulokset: Aseteta lamppu jollekin etäisyydelle varjostimesta ja mittaa tämä etäisyys virheineen (H ± δh). Ota yksi tikku ja aseta sellaiseen kohtaan lampun ja varjostimen väliin, että täysvarjo juuri ja juuri häviää. Mittaa tikun etäisyys seinästä virheineen (h ± δh). Toista sama muille tikuille. Toista tämä mittaus kolmelle eri H:n arvolle. Taulukoi saamasi tulokset siten, että joka rivillä ovat d ± δd, h ± δh sekä H ± δh. Eri mittauksia pitäisi olla 9. Samana toistuvaa lukuarvoa (d:n ja H:n osalta) ei tarvitse toistaa, kunhan merkitset selvästi, mikä lukuarvo mihinkin kuuluu. (c) Määritetään mittausdatasta D kahdella tavalla. Piirrä kutakin tikkua vastaavasti kuvaaja, jossa on toisella akselilla on h ja toisella H (valitse itse kummin päin teet). Kaikki kolme kuvaajaa voi hyvin piirtää samaan kuvaan. Merkitse kuvaajaan kyseisen tikun mittaustulokset virheineen. (Merkitse virheet sekä pysty- että vaakasuuntaan, kun molemmat on kerran arvioitu.) Sovita kuvaajaan suora, ja määritä sen kulmakerroin virheineen 4. Laske kulmakertoimen avulla D ja arvioi sen virhettä (esim. min max-metodilla 5 ). Vertaa eri tikkujen avulla saatuja tuloksia. Onko saatu tulos D ± δd (lähes) sama eri tikuilla? Kulkevatko sovitetut suorat origon läheltä? Voitko kolme tulostasi yhdistäen vetää johtopäätlksen siitä, kuinka suuri D on? Tehdään sitten määritys toisella tavalla. Taulukoimistasi tuloksista laske jokaiselta riviltä dh/h (tämänhän pitäisi olla D) laskematta virhearvioita. Laske tulosten keskiarvo ja etsi suurin poikkeama tästä keskiarvosta. Ilmoita näiden avulla D ± δd. Vertaa käyttämääsi kahta määritystapaa. Mieti esimerkiksi näiden asioiden osalta: helppous, virhearvion järkevyys, luotettavuus, herkkyys mittausvirheille. Tutki lamppua ja arvioi silmämääräisesti, ovatko saamasi tulokset järkeviä. Älä katso palavaa lamppua suoraan, vaan katkaise virta ja tutki lamppua muun valaistuksen avulla. (d) Aurinko paistaa zeniitistä (suoraan ylhäältä päin) ja Auringon suunnassa lentää lintu. Kuinka korkealla linnun pitää lentää, jotta se ei synnyttäisi maahan ollenkaan täysvarjoa? Onko tämä tavallinen tai mahdollinen lentokorkeus linnuille? Lasku sopii päässä laskettavaksi, jos arvioimme, että Auringon etäisyys Maasta on noin 1, 4 10 8 km, Auringon säde 7 10 5 km ja lintu on kiekko, jonka säde on 5 cm. (Voit halutessasi käyttää tarkempia arvoja ja käyttää hieman sivistyneempää mallia linnusta.) Tehtävä 4. Kappaleen, jonka massa on m, liikettä kuvailee Newtonin mekaniikassa tuttu laki 6 (Newtonin toinen laki) F = ma, (1) missä F on kappaleeseen kohdistuva voima ja a sen kiihtyvyys. Voima on siis suoraan verrannollinen liikutettavan kappaleen kiihtyvyyteen. Arkikokemus taas monissa tilanteissa näyttää, että voima on jollain tavalla verrannollinen nopeuteen: esimerkiksi vedessä liikkuva kappale näyttää 3 Virhe arvioidaan, ei mitata. Esimerkiksi etäisyyden mittauksessa viivoittimella virhe on tyypillisesti joitain millimetrejä. 4 Arvioi virhettä niin kuin sopivalta tuntuu. 5 D:n pienin arvo löytyy sijoittamalla lausekkeeseen kulmakertoimen ja h:n sopivat äärimmäiset arvot. Mieti, kummasta käytetään maksimia ja kummasta minimiä. Sama metodi päinvastoin antaa suurimman arvon D:lle. Valitse δd siten, että saamasi minimi ja maksimi mahtuvat juuri ja juuri välille D + δd. Tämä metodi yliarvioi D:n virhettä, mutta on helppo käyttää. Olympiavalmennuksen sivuilta löytyy parempia virhearviointiohjeita, jos asia kiinnostaa. 6 Tutkimme tilannetta yksinkertaisuuden vuoksi nyt yhdessä ulottuvuudessa. 3/5
putoavan alaspäin vakionopeudella tasaisen kiihtymisen sijaan. Yritämme nyt ymmärtää, miksi näin käy. (a) Nesteessä hitaasti liikkuvaan kappaleeseen vaikuttaa vastusvoima F v = Cv, (2) missä C on jokin kappaleen muodosta ja koosta sekä nesteen ominaisuuksista riippuva positiivinen vakio. Jos vastusvoiman lisäksi kappaleeseen vaikuttaa jokin ulkoinen voima F u, saadaan yhdistämällä yhtälöt (1) ja (2) yhtälö ma = Cv+F u. Jos sekä nopeus että kiihtyvyys riippuvat ajasta mutta F u on vakio, kirjoitamme edellisen muotoon ma(t) = Cv(t) + F u. Kiihtyvyys on määritelmän mukaan nopeuden aikaderivaatta 7 : a(t) = v (t). Näin ollen saamme differentiaaliyhtälön mv (t) = Cv(t) + F u. (3) Seuraavaksi ratkaisemme tämän differentiaaliyhtälön, eli etsimme sellaisen funktion v(t), joka toteuttaa ehdon (3). 8 Lisäksi vaadimme ratkaisulta, että alkuhetkellä t = 0 nopeus on jokin annettu v 0. Kun siis tiedämme kappaleen nopeuden hetkellä t = 0 olevan tasan v 0, yritämme yhtälöä (3) käyttäen päätellä, mikä nopeus on myöhemmin. Teemme valistuneen arvauksen, että ratkaisu on muotoa v(t) = A 1 + A 2 e A 3t, (4) missä A 1, A 2 ja A 3 ovat joitain vakioita. Laske tämän funktion derivaatta ja laske lausekkeen mv (t) + Cv(t) F u arvo. Jotta funktiomme todella olisi ratkaisu differentiaaliyhtälöön (3), on tämän lausekkeen oltava nolla kaikilla t. Päättele tästä sekä tiedosta v(0) = v 0 vakioiden A 1, A 2 ja A 3 arvot. (Hyvää harjoitusta on myös ratkaista yhtälö (3) alkuehdon v(0) = v 0 kanssa käyttämättä yritettä (4), jos satut tuntemaan jonkin tähän sopivan menetelmän.) (b) Edellisen kohdan lopputuloksena saamme siis ratkaistua nopeuden v(t). Tuloksen pitäisi näyttää tältä: v(t) = F u C + (v 0 F u C )e Ct/m. (5) Perustele, miksi nopeus lähestyy arvoa v r = F u /C eli lim t v(t) = v r. Vertaillaan tätä tulosta yhtälöön (3), jonka kirjoitamme nyt muotoon ma = Cv + F u. Millä nopeuden v arvolla kiihtyvyys a on nolla? Miten ja miksi tämä liittyy edellä laskettuun raja-arvoon? Tehdään lisäksi tärkeä oletus: nesteen aiheuttama vastusvoima on hyvin suuri, jolloin siis C on suuri. Edellä todettiin, että lim t v(t) = v r. Perustele (mahdollisesti sopivin lisäoletuksin), miksi olettamassamme tilanteessa v(t) v r on hyvinkin tarkka arvio, jo melko pienillä ajoilla. (Tässä ei odoteta tarkkoja laskuja, vaan osoitus siitä, että ymmärrät, mistä on kyse.) Näin saamme siis yhtälön v F u /C. (6) 7 Lukiokursseilla on mahdollisesti määritelty keskikiihtyvyys aikavälillä t 1... t 2 erotusosamääräksi v(t 2) v(t 1) t 2 t 1. Ottammalla raja-arvo t 2 t 1 saadaan suoraan derivaatan määritelmä: v (t 1 ) = v(t lim 2) v(t 1) t2 t 1 t 2 t 1, joka on tuttu matematiikan kursseilta. 8 Differentiaaliyhtälöistä kerrotaan valmennussivuilta löytyvässä matemaattisten menetelmien materiaalissa. Kyseisestä materiaalista voi olla hyötyä myös muissa tehtävissä. 4/5
(c) Edellä oletimme, että ulkoinen voima F u (t) on vakio. Nyt annamme sen muuttua, mutta vain hitaasti. Koska nopeus lähestyy arvoa v r hyvinkin nopeasti, voimme siis olettaa, että v v r koko ajan, vaikka v r muuttuukin. Saamme siis yhtälön v(t) F u (t)/c, jonka voimme (unohtaen likiarvoisuuden) kirjoittaa muotoon F u (t) = Cv(t). (7) Jos olisimmekin olettaneet, että vastusvoimaa kuvaava kerroin C on mitättömän pieni (tai jopa C = 0), olisimmekin saaneet tutun yhtälön (tässä siis F u tarkoittaa kappaleeseen vaikuttavia ulkoisia voimia poislukien väliaineen vastuksen tai kitkan): F u (t) = ma(t). (8) Vertaile näitä kahta liikeyhtälöä seuraavissa tapauksissa. Millä tavoin kappale putoaa painovoiman vaikutuksesta, kun F u on vakio? Mitä tapahtuu kappaleelle, joka heitetään ylöspäin? Jos kaksi samanmassaista kappaletta pudotetaan yhtä aikaa samalta korkeudelta, putoaako toinen nopeammin? Jos kyllä, missä tilanteessa molemmat putoavat yhtä nopeasti? Näyttää siltä, että jos kappale noudattaa liikeyhtälöä (7), sen liike-energian ja potentiaalienergian summa (siis kokonaisenergia) ei olekaan vakio. Keksi esimerkkitilanne, jossa näin käy. Miksi energia ei näytä säilyvän? (d) Liikevastus voi olla edellä kuvatun kaltainen muutenkin kuin nesteissä. Myös ilmanvastus ja kitka voivat toimia kuvatulla tavalla. Jos vastusvoima riippuukin nopeudesta jotenkin toisin, esimerkiksi yhtälön F v = K v v mukaisesti, muuttuu liikeyhtälö (7) hieman, mutta oleellinen tulos on sama: voima aiheuttaa nopeuden, ei kiihtyvyyttä 9. Keksi kaksi esimerkkiä arkisista tilanteista, joissa liikeyhtälö (7) (tai jokin sen kaltainen yhtälö) kuvaa tilannetta paremmin, ja toiset kaksi, joissa liikeyhtälö (8) on sopivampi. Keksi vielä kaksi sellaista tilannetta, jossa kumpikin on huono. Jos tuntuu tarpeelliselta, voit jaotella kappaleeseen vaikuttavat voimat ulkoiseen ja vastusvoimaan F u ja F v haluamallasi tavalla. Voit tutkia myös useampiulotteista liikettä; tällöin yllä esitetyt liikeyhtälöt tulevat muotoihinn F u (t) = C v(t) ja F u (t) = m a(t), kuten voi odottaa. 9 Tässä tilanteessa saamme vastaavin oletuksin F u (t) = K v(t) v(t). 5/5