Fysiikan olympiavalmennus, avoin sarja Palautus mennessä
|
|
- Tiina Jokinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Fysiikan olympiavalmennus, avoin sarja Kirje 1 Palautus mennessä Olet menestynyt hyvin MAOL:n fysiikkakilpailussa, ja sinut on valittu mukaan fysiikan olympiavalmennukseen. Valmennuksen ensimmäinen vaihe koostuu valmennuskirjeistä, joita saat yhteensä kolme, ja niihin aktiivisesti vastaamalla voit päästä mukaan Suomi Viro-fysiikkamaaotteluun, jossa valitaan Suomen joukkue vuoden 2012 fysiikkaolympialaisiin. Lisätietoa löytyy fysiikkavalmennuksen sivuilta osoitteesta valmennus. Tässä ensimmäinen valmennuskirje. Osa tehtävistä on perinteisiä laskuja, toisissa tutustutaan osittain sellaiseen fysiikkaan, mitä lukiokursseilla ei välttämättä käsitellä, mutta mitä fysiikkaolympialaisissa on hyvä hallita. Muutamat tehtävänannot ovat pitkähköjä, mutta laskut eivät välttämättä ole niin vaikeita. Tehtävät on pyritty laatimaan siten, että vaikka jotakin kohtaa ei saisi ratkaistua, voi tehtävän loppuosan silti tehdä. Tehtäviin liittyvissä kysymyksissä voi olla yhteydessä allekirjoittaneeseen. Ensimmäinen kirje keskittyy pääasiassa klassiseen mekaniikkaan. Palauta ratkaisusi mennessä osoitteeseen Heikki Mäntysaari Fysiikan laitos PL 35 (YFL) Jyväskylän yliopisto tai sähköpostitse osoitteeseen heikki.mantysaari@jyu.fi 1 Liitä ratkaisuihisi mukaan oma nimesi, sähköpostiosoitteesi, kotiosoitteesi ja puhelinnumerosi. Tarkastetut ratkaisut jaetaan takaisin valintakilpailussa tai palautetaan postitse. Seuraa sähköpostiasi säännöllisesti valmennuksen ajan. Tehtävä 1. Vastaa lyhyesti perustellen (a) Heität ankkurin veneestä järveen. Nouseeko vai laskeeko järven pinta? (b) Kun pitkää viivotinta tai karttakeppiä pitää vasemman ja oikean käden etusormien varassa vaakasuorassa ja vetää sormet hitaasti yhteen, sormet kohtaavat viivottimen tai kepin painopisteen kohdalla. Näin tapahtuu riippumatta siitä, missä kohtaa sormet alussa ovat. Selitä ilmiö mahdollisimman tarkasti. (c) Miksi pyörivä hyrrä ei kaadu, vaikka se on pyöriessään kallellaan? (d) Miksi veden pinnalla oleva öljyläikkä näkyy monivärisenä? Tehtävä 2. Tarkastellaan sateenkaaren muodostumista, kun auringon valo siroaa ilmassa olevista vesipisaroista. Yritetään ymmärtää ensin, miten valo siroaa yhdestä vesipisarasta, ja tarkastellaan tämän jälkeen todellista tilannetta, jossa ilmassa on suuri määrä pisaroita. Kuvassa 1 on esitetty auringosta tulevan valonsäteen siroaminen yksittäisestä vesipisarasta. Aurinko on hyvin kaukana, joten pisaraan osuvat valonsäteet ovat käytännössä yhdensuuntaisia. Tarkastellaan valonsädettä, joka ei tule suoraan kohti pisaran keskipistettä, vaan sen tulokulma vesipisaran pinnan normaaliin nähden on α. Osa tästä valosta taittuu pisaran sisään taitekulmalla β. Tämä valo heijastuu pisaran takaseinästä, ja taittuu tämän jälkeen ulos vesipisarasta. Olkoon δ ulosmenevän säteen ja vesipisaran keskipisteetä aurinkoon menevän suoran välinen kuva kuten kuvassa 1. (a) Näytä, että δ = 4β 2α. (b) Punaiselle valolle veden taitekerroin on n p = 1,331 ja siniselle n s = 1,343. Määritä δ:n suurin mahdollinen arvo δ max punaiselle ja siniselle valolle. (Punaiselle 42,37, siniselle 40,65.) (c) Piirrä kuva, josta käy ilmi, mihin suuntaan lähtee minkäkin väristä valoa, kun auringon valo osuu ilmassa olevaan vesipisaraan. Ilmaise kuvassa olevat kulmat suhteessa pisaran keskipisteestä aurinkoon menevään suoraan. (d) Tarkastellaan sitten tilannetta, jossa ilmassa on useita vesipisaroita. Merkitään ihmisen katseen suunnan (katse poispäin auringosta) ja silmien kohdalta aurinkoon menevän suoran välistä kulmaa θ:lla. Mitä havaitsija näkee, kun θ on pieni? Miten kirkkaus eroaa tilanteesta, jossa θ on suuri? Missä järjestyksessä sateenkaaren eri värit näkyvät? (e) Kuvassa 2 näkyy kaksi sateenkaarta samanaikaisesti. Miten selität ilmiön? (laskuja ei vaadita). 1 Mielellään PDF-muodossa, Windowsilla PDF:iä voi tehdä esimerkiksi PDFCreatorilla: Skannatut käsinkirjoitetut ratkaisut käyvät, mutta käsinkirjoitetut paperilla palautetut ratkaisut ovat mukavimpia käsitellä. 1/5
2 Aurinko Kuva 1: Valon hiejastuminen vesipisarasta Kuva 2: Kaksi sateenkaarta. Tehtävä 3. Newtonin toinen laki F = m a pätee vain, kun kappaleen massa on vakio. Jos kappaleen massa muuttuu, on NII korvattava sen yleisemmällä versiolla tai liikemäärän avulla kirjoitettuna d(m v) dt = F, (1) d p dt = F. (2) Huomaa erikoistapauksena, että jos voima F on vakio ja vaikuttaa aikavälin t, niin p = t F, mikä on lukiomekaniikasta tuttu impulssin ja liikemäärän yhteys. Tässä siis merkitään liikemäärän derivaattaa ajan suhteen muodossa d p/dt = p (t). Tarkastellaan tästä lähtien liikettä yhdessä ulottuvuudessa, jolloin voidaan unohtaa vektorimerkit, p = p. Huomaa yhteys derivaatan geometriseen tulkintaan, sillä nyt dp on liikemäärän pieni muutos, kun aikaa kuluu pieni aikaväli dt. Tämä suhdehan on käyrän p = p(t) kulmakerroin (p,t)-tasossa. 2 Tarkastellaan nyt avaruusrakettia, joka kiertää maapalloa korkeudella h ympyräradalla. Raketti halutaan ampua pois maapallon vetovoiman vaikutuspiiristä, jolloin sen nopeus tulee kasvattaa pakonopeutta suuremmaksi 3. Raketin massa on aluksi M 0, ja se kiihdyttää pakonopeuteen käyttämällä rakettimoottoria, josta purkautuu pakokaasua vakionopeudella nopeudella u. Laske alla olevan ohjeen mukaan, kuinka paljon polttoainetta tarvitaan, jotta maan painovoimakentästä päästään pois. (a) Mikä on raketin nopeus v 0 = v(t = 0) aluksi sen ollessa ympyräradalla korkeudella h? (b) Kuinka suuri nopeus raketilla tulee olla, jotta se voi poistua maapallon painovoimakentästä? (c) Tarkastellaan raketin kiihtymistä ajanhetkien t ja t + dt välillä (nyt siis dt on pieni aikaväli). Voimme tarkastella rakettia ja pakokaasua kokonaisuutena, johon ei kohdistu ulkoisia voimia, joten kokonaisliikemäärä P on vakio. Kun tarkasteltava aikaväli on pieni, voimme ajatella, että raketista poistuu yksi pakokaasualkio ja laskemme, miten se vaikuttaa raketin liikkeeseen. Tarkastelujakson aluksi raketin nopeus on v(t) ja massa m(t). Tarkastelujakson aikana raketin nopeus kasvaa dv:n verran ja massa vähenee dm:llä (eli raketista poistuu pakokaasua massan dm verran). 2 Matematiikan kurssilta saattaa olla tuttu derivaatan määritelmä erotusosamäärän raja-arvona: f (x) = f(x+h) f(x) lim h 0, joka siis on muotoa f:n muutos / x:n muutos. 3 h Raketti voi toki poistua maan vetovoimakentästä myös kävelyvauhtia, mutta käytännössä paras tapa (kun huomioidaan käytettävissä oleva rajallinen polttoainemäärä) on kiihdyttää raketti ripeästi sopivalle radalle ja sammuttaa moottorit. 2/5
3 Alkutilassa meillä ei ole pakokaasualkiota, joten systeemin kokonaisliikemäärä on P (t) = m(t)v(t). Kirjoita koko järjestelmän liikemäärä lopuksi, P (t+dt), eli liikemäärä sen jälkeen, kun dm-massainenpakokaasualkio on poistunut raketista raketin suhteen nopeudella u. (d) Kun tarkasteltava aikaväli dt on lyhyt, ovat muutokset dv ja dm pieniä, joten muotoa dv dm olevat termit voidaan jättää huomiotta. Näytä, että nyt liikemäärän muutos on dp = P (t + dt) P (t) = mdv + udm. (3) (e) Yhtälön (2) mukaisesti nyt dp/dt = 0, koska rakettiin ei kohdistu ulkoisia voimia (gravitaatio on paljon heikompi kuin tehokkaan rakettimoottorin aiheuttama voima kiihdytyksen aikana, joten se voidaan jättää huomiotta). Siten yhtälön (3) nojalla (miksi?) m dv(t) dt = u dm dt. (4) Tämä yhtälö on niin sanottu differentiaaliyhtälö, jonka ratkaisuna saadaan raketin nopeusfunktio v(t) kun alkuehto, eli nopeus hetkellä t = 0, tunnetaan. Totea, että yhtälön ratkaisufunktio on v(t) = v 0 + u ln M 0 m(t). (5) Jos differentiaaliyhtälöiden käsittely on tuttua, voit myös ratkaista suoraan alkuperäisen differentiaaliyhtälön. (f) Arvioi karkeasti (mahdollisesti esimerkiksi Wikipediaa hyödyntäen) sopivat lähtöarvot esimerkiksi kuuraketille ja laske suuruusluokka-arvio sille, paljonko polttoainetta tarvitaan raketin kiihdyttämiseen. Tehtävä 4. Kappaleen, jonka massa on (vakio) m, liikettä yhdessä ulottuvuudessa kuvaa tuttu Newtonin toinen laki F = ma, (6) missä F on kappaleeseen kohdistuva voima ja a sen kiihtyvyys. Voima on siis suoraan verrannollinen liikutettavan kappaleen kiihtyvyyteen. Arkikokemus taas monissa tilanteissa näyttää, että voima on jollain tavalla verrannollinen nopeuteen: esimerkiksi vedessä liikkuva kappale näyttää putoavan alaspäin vakionopudella tasaisen kiihtymisen sijaan. Yritämme nyt ymmärtää, miksi näin käy. (a) Nesteessä hitaasti liikkuvaan kappaleeseen vaikuttaa vastusvoima F v = Cv, (7) missä C on kappaleen muodosta ja koosta sekä nesteen ominaisuuksita riippuva positiivinen vakio. Jos kappaleeseen vaikuttaa lisäksi ulkoinen voima F u, saadaan yhtälön (6) ja (7) yhdistämällä yhtälö ma = Cv + F u. Oletetaan, että F u ei riipu ajasta, mutta kiihtyvyys ja nopeus varmasti voivat muuttua ajan funktiona. Siten kirjoitamme edellisen yhtälön muotoon ma(t) = Cv(t) + F u. Kiihtyvyys on määritelmän mukaan nopeuden derivaatta: a(t) = v (t). Tätä määritelmää käyttäen saamme yhtälön mv (t) = Cv(t) + F u. (8) Tämä on niin sanottu differentiaaliyhtälö, ja tehtävämme on nyt löytää sellainen funktio v(t), että se toteuttaa ehdon (8). Lisäksi vaadimme, että alkuhetkellä t = 0 kappaleen nopeus on tasan v 0. Tämän jälkeen saamamme ratkaisufunktio v(t) kertoo kappaleen nopeuden milloin tahansa myöhemmin. Tarkastelemme hieman samankaltaista differentiaaliyhtälöä myös tehtävässä Tehtävä 3. Jos differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen on sinulle tuttua esimerkiksi matematiikan syventäviltä kursseilta, ratkaise yhtälö (8). Toisaalta voimme yrittää ratkaista yhtälöä myös tekemällä valmistuneen arvauksen, että ratkaisu on muotoa v(t) = A 1 + A 2 e A3t, (9) missä A 1, A 2 ja A 3 ovat vakioita. Totea, että tämä funktio toteuttaa yhtälön (8) kun vakiot valitaan tietyllä tavalla. Huomaa, että yhtälön täytyy päteä kaikilla ajan t arvoilla. Ota lisäksi huomioon alkuehto v(t = 0) = v 0 ja päättele vakioiden A 1, A 2 ja A 3 arvot. 3/5
4 (b) Edellisen kohdan tuloksena saamme ratkaistua nopeuden v(t). Tuloksen pitäisi näyttää tältä: v(t) = F ( u C + v 0 F ) u e Ct/m. (10) C Perustele, miksi kappaleen rajanopeus v r on v r = lim t v(t) = F u /C? Verrataan tätä tulosta yhtälöön (8), jonka kirjoitamme nyt muotoon ma = Cv + F u. Millä nopeuden v arvoilla kiihtyvyys a on nolla? Miten ja miksi tämä liittyy edellä laskettuun raja-arvoon? Tehdään lisäksi tärkeä oletus: nesteen aiheuttama vastusvoima on hyvin suuri, jolloin siis C on suuri. Edellä todettiin, että lim t = v r. Perustele (mahdollisesti sopivin lisäoletuksin), miksi olettamassamme tilanteessa v(t) v r on hyvinkin tarkka arvio jo melko pienillä ajoilla (tässä ei odoteta tarkkoja laskuja, vaan osoitus siitä, että ymmärrät, mistä on kyse, riittää). Tuloksena saamme yhtälön v F u C. (11) (c) Edellä oletimme ulkoisen voiman F u olevan vakio. Nyt annamme sen muuttua ajan funktiona, F u = F u (t), mutta vain hitaasti. Koska nopeus lähestyy arvoa v r hyvinkin nopeasti, voimme olettaa, että v(t) = v r koko ajan, vaikka v r muuttuukin. Saamme siis yhtälön v(t) F u (t)/c, jonka voimme (unohtaen likiarvoisuuden) kirjoittaa muotoon F u (t) = Cv(t). (12) Jos olisimme olettaneet, että vastusvoimaa kuvaava kerroin C on mitättömän pieni (tai jopa C = 0), olisimmekin saaneet tutun yhtälön F u (t) = ma(t), (13) missä F u tarkoittaa kappaleeseen vaikuttavia ulkoisia voimia poislukien väliaineen vastus ja kitka. Vertaile näitä kahta liikeyhtälöä seuraavissa tapauksissa. Millä tavoin kappale putoaa painovoiman vaikutuksessa, kun F u on vakio? Mitä tapahtuu kappaleelle, joka heitetään ylöspäin? Jos kaksi samamassaista kappaletta pudotetaan ythä aikaa samalta korkeudelta, putoaako toinen nopeammin? Jos kyllä, niin missä tilanteessa molemmat putoavat yhtä nopeasti? Näyttää siltä, että jos kappale toteuttaa liikeyhtälön (12), sen liike-energian ja potentiaalienergian summa (kokonaisenergia) ei olekaan vakio. Keksi esimerkkitilanne, jossa näin käy. Miksi energia ei näytä säilyvän? (d) Liikevastus voi olla edellä kuvatun kaltainen muutenkin kuin nesteissä. Myös ilmanvastus ja ktika voivat toimia kuvatulla tavalla. Jos vastusovima riippuukin nopeudesta jotenkin toisin, esimerkiksi yhtälön F v = K v v mukaisesti, muuttuu liikeyhtälö (12) hieman, mutta oleellinen tulos on sama: voima aiheuttaa nopeuden, ei kiihtyvyyttä 4. Keksi kaksi esimerkkiä arkisista tilanteista, joissa liikeyhtälö (12) (tai jokin sen kaltainen yhtälö) kuvaa tilannetta paremmin, ja toiset kaksi, joissa liikeyhtälö (13) on sopivampi. Keksi vielä kaksi sellaista tilannetta, joissa kumpikin on huono. Jos tuntuu tarpeelliselta, voit jaotella kappaleeseen vaikuttavat voimat ulkoiseen ja vastusvoimaan F u ja F v haluamallasi tavalla. Voit tutkia myös useampiulotteista liikettä, jolloin yllä esitetyt liikeyhtälöt tulevat muotoon F u (t) = C v(t) ja F u (t) = m a(t), kuten voi odottaa. Tehtävä 5. Tarkastellaan tilannetta, jossa kaksi massiivista kappaletta (massat m ja M) pyörivät avaruudessa yhteisen massakeskipisteensä O ympäri. Tilanne on esitetty kuvassa 3. (a) Määritä kulmanopeus, jolla kappaleita m ja M yhdistävä jana pyörii. (b) Näiden kahden kappaleen kanssa samalle tasolle halutaan asettaa satelliitti (massa µ m,m) siten, että se pysyy paikallaan M:n ja m:n suhteen. Mikä on µ:n etäisyys m:stä ja M:stä? Tehtävä 6. CERNin LHC-hiukkaskiihdyttimellä törmäytetään vastakkaisiin suuntiin eteneviä protoneja. Tarkastellaan kahden tällaisen protonin törmäystä. Yhden protonin kokonaisenergia on E p = 3,5 TeV. Tällaisissa törmäyksissä on pienessä tilassa niin paljon energiaa, että siitä voi muodostua lukuisia uusia hiukkasia. Hiukkasfysiikassa mitataan mm. tuotettujen hiukkasten kulmajakaumia, joista saadaan tietoa esimerkiksi protonin rakenteesta. 4 Tässä tilanteessa saamme vastaavin oletuksin F u(t) = K v(t) v(t). 4/5
5 M R O r m Kuva 3: Kappaleet, joiden massat ovat m, M, pyörivät massakeskipisteensä ympäri. Samalla tasolla on kolmas pienimassainen kappale µ. Lähellä valonnopeutta kulkevien hiukkasten kuvailussa tarvitaan erityistä suhteellisuusteoriaa. Lukiossa sitä ei nykyään juuri käsitellä, mutta fysiikkaolympialaisten aihealueisiin se kuuluu. Tarvittaessa tutustu aiheeseen tutkimalla kirjeen mukana toimitettua materiaalia. (a) Mikä on protonien nopeus laboratoriokoordinaatistossa? (b) Jos toinen protoni olisi levossa, niin kuinka suuri pitäisi toisen protonin energian olla, jotta systeemin kokonaisenergia massakeskipistekoordinaatistossa olisi sama? Miksi suurienergisia törmäyksiä haluttaessa käytetään vastakkaisiin suuntiin kulkevia suihkuja, vaikka niiden hallitseminen on teknisesti paljon vaikeampaa? Ohje: siirry alkuperäisestä koordinaatistosta koordinaatistoon, jossa toinen protoni on levossa. (c) Jos massakeskipistekoordinaatistossa syntyy hiukkanen, jonka liikemäärä on 10 GeV/c ja sirontakulma θ = 45. Mikä on tämän hiukkasen suuntakulma koordinaatistossa, jossa toinen protoni on levossa. Tehtävä 7. Havaintojemme mukaan maailmankaikkeus on suuressa mittakaavassa homogeeninen. Perustele, miksi universumi ei voi olla äärettömän vanha ja staattinen. Suhteellisuusteoriaa ei tarvita. Ohje: tarkastele tähtiä, jotka ovat etäisyydellä R... R+ R maasta. Paljonko näitä tähtiä on? Entä etäisyydellä 2R... 2R+ R. Kuinka kirkkaita nämä tähdet ovat maasta katsottuna? Tehtävä 8. Kokeellinen tehtävä: määritä voima, joka tarvitaan rullalangan katkaisemiseen. Käytettävissä on pitkähkö pala rullalankaa, millimetripaperia/mittanauha, teippiä ja esine, jonka massa on n. 0,1 1,0 kg. Anna tuloksellesi virhearvio käyttäen maksimi-minimimentelmää, joka on esitelty olympiavalmennuksen virheanalyysimateriaalissa, joka löytyy osoitteesta 5/5
Fysiikan olympiavalmennus, perussarja Palautus mennessä
Fysiikan olympiavalmennus, perussarja Kirje 1 Palautus 31.1.2013 mennessä Olet menestynyt hyvin MAOL:n fysiikkakilpailussa, ja sinut on valittu mukaan fysiikan olympiavalmennukseen. Valmennuskirjeitä on
LisätiedotFysiikan olympiavalmennus, perussarja Palautus mennessä
Fysiikan olympiavalmennus, perussarja Kirje 1 Palautus 31.1.2012 mennessä Olet menestynyt hyvin MAOL:n fysiikkakilpailussa, ja sinut on valittu mukaan fysiikan olympiavalmennukseen. Valmennuskirjeitä on
LisätiedotFysiikan olympiavalmennus, avoin sarja Palautus mennessä
Fysiikan olympiavalmennus, avoin sarja 2017 2018 Kirje 1 Palautus 8.2.2018 mennessä Arvoisa lukiolainen, Onnittelut hyvästä menestyksestäsi MAOLin valtakunnallisen fysiikkakilpailun avoimessa sarjassa.
LisätiedotFysiikan olympiavalmennus, perussarja Palautus mennessä
Fysiikan olympiavalmennus, perussarja Kirje 1 Palautus 11.2.2018 mennessä Olet menestynyt hyvin MAOL:n fysiikkakilpailussa, ja sinut on valittu mukaan fysiikan olympiavalmennukseen. Valmennuskirjeitä on
LisätiedotFysiikan olympiavalmennus, perussarja Palautus mennessä
Fysiikan olympiavalmennus, perussarja Kirje 1 Palautus 31.1.2014 mennessä Olet menestynyt hyvin MAOL:n fysiikkakilpailussa, ja sinut on valittu mukaan fysiikan olympiavalmennukseen. Valmennuskirjeitä on
LisätiedotFysiikan olympiavalmennus, perussarja Palautus mennessä
Fysiikan olympiavalmennus, perussarja Kirje 1 Palautus 31.1.2015 mennessä Olet menestynyt hyvin MAOL:n fysiikkakilpailussa, ja sinut on valittu mukaan fysiikan olympiavalmennukseen. Valmennuskirjeitä on
LisätiedotLuento 6: Liikemäärä ja impulssi
Luento 6: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste
LisätiedotLuento 8: Liikemäärä ja impulssi. Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä
Luento 8: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä 1 / 46 Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
LisätiedotTarkastellaan tilannetta, jossa kappale B on levossa ennen törmäystä: v B1x = 0:
8.4 Elastiset törmäykset Liike-energia ja liikemäärä säilyvät elastisissa törmäyksissä Vain konservatiiviset voimat vaikuttavat 1D-tilanteessa kappaleiden A ja B törmäykselle: 1 2 m Av 2 A1x + 1 2 m Bv
Lisätiedot= 6, Nm 2 /kg kg 71kg (1, m) N. = 6, Nm 2 /kg 2 7, kg 71kg (3, m) N
t. 1 Auringon ja kuun kohdistamat painovoimat voidaan saada hyvin tarkasti laksettua Newtonin painovoimalailla, koska ne ovat pallon muotoisia. Junalle sillä saadaan selville suuruusluokka, joka riittää
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotLuvun 8 laskuesimerkit
Luvun 8 laskuesimerkit Esimerkki 8.1 Heität pallon, jonka massa on 0.40 kg seinään. Pallo osuu seinään horisontaalisella nopeudella 30 m/s ja kimpoaa takaisin niin ikään horisontaalisesti nopeudella 20
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotMonissa fysiikan probleemissa vaikuttavien voimien yksityiskohtia ei tunneta
8 LIIKEMÄÄRÄ, IMPULSSI JA TÖRMÄYKSET Monissa fysiikan probleemissa vaikuttavien voimien yksityiskohtia ei tunneta Tällöin dynamiikan peruslain F = ma käyttäminen ei ole helppoa tai edes mahdollista Newtonin
LisätiedotNEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI
NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI eli jatkavuuden laki tai liikkeen jatkuvuuden laki (myös Newtonin I laki tai inertialaki) Kappale jatkaa tasaista suoraviivaista liikettä vakionopeudella tai pysyy
Lisätiedotg-kentät ja voimat Haarto & Karhunen
g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure Aiheuttaa kappaleelle
LisätiedotNopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit
Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat
LisätiedotLuku 7 Työ ja energia. Muuttuvan voiman tekemä työ Liike-energia
Luku 7 Työ ja energia Muuttuvan voiman tekemä työ Liike-energia Tavoitteet: Selittää työn käsite Mallittaa voiman tekemä työ Mallittaa liike-energian ja työn keskinäinen riippuvuus Esitiedot Newtonin lait
LisätiedotFysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto
Fysiikan perusteet Voimat ja kiihtyvyys Antti Haarto.05.01 Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure
LisätiedotLuento 2: Liikkeen kuvausta
Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä
LisätiedotLuento 8: Liikemäärä ja impulssi
Luento 8: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä Ajankohtaista Konseptitesti 1 ÄLÄ KOKEILE TÄTÄ KOTONA! Kysymys
LisätiedotKitka ja Newtonin lakien sovellukset
Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Haarto & Karhunen Tavallisimpia voimia: Painovoima G Normaalivoima, Tukivoima Jännitysvoimat Kitkavoimat Voimat yleisesti F f T ja s f k N Vapaakappalekuva Kuva, joka
LisätiedotErityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)
Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen
LisätiedotLiikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima
Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima Tämän luennon tavoitteet Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat ja binomiapproksimaatio gravitaatio jatkuu viime viikolta Jousivoima: mikä se on ja miten
LisätiedotShrödingerin yhtälön johto
Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä
LisätiedotLuento 7: Voima ja Liikemäärä. Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä
Luento 7: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä 1 / 36 Johdanto Dynamiikka tutkii voimia ja niiden aiheuttamaa liikettä Newtonin liikelait
LisätiedotMassakeskipiste Kosketusvoimat
Massakeskipiste Kosketusvoimat Luennon tavoitteet Kosketusvoimia Kitka Tukivoima Jännitys Jousivoima Massakeskipisteen käsite ja sillä laskeminen (Resonanssi tiedottaa tarjoavansa kahvia luentotauolla)
LisätiedotFysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2
Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 1. (a) W on laatikon paino, F laatikkoon kohdistuva vetävä voima, F N on pinnan tukivoima ja F s lepokitka. Kuva 1: Laatikkoon kohdistuvat voimat,
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
LisätiedotLuento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt
Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Suoraviivainen liike integrointi Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa ELEC-A3110 Mekaniikka
Lisätiedot6 Monen kappaleen vuorovaikutukset (Many-body interactions)
6 Monen kappaleen vuorovaikutukset (Many-body interactions) 6.1 Newtonin III laki Voimme laskea kappaleen liiketilan Newtonin II lain avulla, jos tunnemme kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat. Jos kappaleita
LisätiedotVedetään kiekkoa erisuuruisilla voimilla! havaitaan kiekon saaman kiihtyvyyden olevan suoraan verrannollinen käytetyn voiman suuruuteen
4.3 Newtonin II laki Esim. jääkiekko märällä jäällä: pystysuuntaiset voimat kumoavat toisensa: jään kiekkoon kohdistama tukivoima n on yhtäsuuri, mutta vastakkaismerkkinen kuin kiekon paino w: n = w kitka
Lisätiedotinfoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
Lisätiedot1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot
1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1.1 Tieteellinen esitystapa Maan ja auringon välinen etäisyys on 1 AU. AU on astronomical unit, joka määritelmänsä mukaan on maan ja auringon välinen keskimääräinen
LisätiedotTähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi
Tähtitieteen perusteet, harjoitus 2 Yleisiä huomioita: Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi aurinkokunnan etäisyyksille kannattaa usein
LisätiedotELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2016 1 / 21 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia
LisätiedotLuento 3: Käyräviivainen liike
Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike 2015-09-14 13:50:32 1/40 luentokalvot_03_combined.pdf (#36) Luennon
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 3 Kevät E 1 + c 2 m 2 = E (1) p 1 = P (2) E 2 1
763306A JOHDATUS SUHTLLISUUSTORIAAN Ratkaisut 3 Kevät 07. Fuusioreaktio. Lähdetään suoraan annetuista yhtälöistä nergia on suoraan yhtälön ) mukaan + m ) p P ) m + p 3) M + P 4) + m 5) Ratkaistaan seuraavaksi
LisätiedotPietarsaaren lukio Vesa Maanselkä
Fys 9 / Mekaniikan osio Liike ja sen kuvaaminen koordinaatistossa Newtonin lait Voimavektorit ja vapaakappalekuvat Työ, teho,työ-energiaperiaate ja energian säilymislaki Liikemäärä ja sen säilymislaki,
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 31.3.2016 Susanna Hurme Dynamiikan välikoe 4.4.2016 Ajankohta ma 4.4.2016 klo 16:30 19:30 Salijako Aalto-Sali: A-P (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen
LisätiedotLuento 3: Käyräviivainen liike
Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luennon sisältö Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.
LisätiedotFysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012
Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 LIIKE Jos vahvempi kaveri törmää heikompaan kaveriin, vahvemmalla on enemmän voimaa. Pallon heittäjä antaa pallolle heittovoimaa, jonka
Lisätiedot5.9 Voiman momentti (moment of force, torque)
5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) Voiman momentti määritellään ristitulona M = r F missä r on voiman F vaikutuspisteen paikkavektori tarkasteltavan pisteen suhteen Usean voiman tapauksessa
LisätiedotELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Syksy 2016 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia Ajankohtaista Presemokyselyn poimintoja Millä odotuksilla aloitat
LisätiedotVUOROVAIKUTUS JA VOIMA
VUOROVAIKUTUS JA VOIMA Isaac Newton 1642-1727 Voiman tunnus: F Voiman yksikkö: 1 N (newton) = 1 kgm/s 2 Vuorovaikutus=> Voima Miten Maa ja Kuu vaikuttavat toisiinsa? Pesäpallon ja Maan välinen gravitaatiovuorovaikutus
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Viereisessä kuvassa leppäkerttu istuu karusellissa,
LisätiedotTheory Finnish (Finland) Suuri hadronitörmäytin (Large Hadron Collider, LHC) (10 pistettä)
Q3-1 Suuri hadronitörmäytin (Large Hadron Collider, LHC) (10 pistettä) Lue erillisessä kuoressa olevat yleisohjeet ennen tämän tehtävän aloittamista. Tässä tehtävässä tarkastellaan maailman suurimman hiukkasfysiikan
LisätiedotTÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA
TÄSSÄ ON ESMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETSMOPN KEVÄÄN 2017 MATERAALSTA a) Määritetään magneettikentän voimakkuus ja suunta q P = +e = 1,6022 10 19 C, v P = (1500 m s ) i, F P = (2,25 10 16 N)j q E = e = 1,6022
LisätiedotPakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi
Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Tällä luennolla tavoitteena Mikä on pakkovoiman aiheuttama vaikutus vaimennettuun harmoniseen värähtelijään? Mikä on resonanssi? Kertaus: energian
Lisätiedotdl = F k dl. dw = F dl = F cos. Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 1 P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl
Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl Kukin siirtymä dl voidaan approksimoida suoraviivaiseksi, jolloin vastaava työn elementti voidaan
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
LisätiedotLeptonit. - elektroni - myoni - tauhiukkanen - kolme erilaista neutriinoa. - neutriinojen varaus on 0 ja muiden leptonien varaus on -1
Mistä aine koostuu? - kaikki aine koostuu atomeista - atomit koostuvat elektroneista, protoneista ja neutroneista - neutronit ja protonit koostuvat pienistä hiukkasista, kvarkeista Alkeishiukkaset - hiukkasten
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän
LisätiedotSuhteellinen nopeus. Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää
3.5 Suhteellinen nopeus Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää P:n nopeus junassa istuvan toisen matkustajan suhteen on v P/B-x = 1.0 m/s Intuitio :
LisätiedotH7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin
LisätiedotKuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla.
FYS 103 / K3 SNELLIN LAKI Työssä tutkitaan monokromaattisen valon taittumista ja todennetaan Snellin laki. Lisäksi määritetään kokonaisheijastuksen rajakulmia ja aineiden taitekertoimia. 1. Teoriaa Huygensin
LisätiedotLuku 8. Mekaanisen energian säilyminen. Konservatiiviset ja eikonservatiiviset. Potentiaalienergia Voima ja potentiaalienergia.
Luku 8 Mekaanisen energian säilyminen Konservatiiviset ja eikonservatiiviset voimat Potentiaalienergia Voima ja potentiaalienergia Mekaanisen energian säilyminen Teho Tavoitteet: Erottaa konservatiivinen
LisätiedotLuento 5: Voima ja Liikemäärä
Luento 5: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä Johdanto Dynamiikka tutkii voimia ja niiden aiheuttamaa liikettä Newtonin liikelait (Newton
LisätiedotFysiikka ei kerro lopullisia totuuksia. Jokin uusi havainto voi vaatia muuttamaan teorioita.
766323A Mekaniikka Mansfield and O Sullivan: Understanding physics kpl 1 ja 2. Näitä löytyy myös Young and Freedman: University physics -teoksen luvuissa 2 ja 3, s. 40-118. Johdanto Fysiikka on perustiede.
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Syksy 009 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.
LisätiedotLuento 7: Voima ja Liikemäärä
Luento 7: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Viereisessä kuvaajassa on kuvattu kappaleen nopeutta
Lisätiedot:37:37 1/50 luentokalvot_05_combined.pdf (#38)
'VLTJ,)Ł /Ł 2015-09-21 13:37:37 1/50 luentokalvot_05_combined.pdf (#38) Luento 5: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä 2015-09-21 13:37:37
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
Lisätiedot1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot
1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1.1 Tieteellinen esitystapa Maan ja auringon välinen etäisyys on 1 AU. AU on astronomical unit, joka määritelmänsä mukaan on maan ja auringon välinen keskimääräinen
LisätiedotJakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti
Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Kertausta Ympyrärataa kiertävälle kappaleelle on määritelty käsitteet kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys seuraavasti: ω = dθ dt dω ja α = dt Eli esimerkiksi
LisätiedotLiikemäärä ja voima 1
Liikemäärä ja voima 1 Tällä luennolla tavoitteena Kinematiikan ongelma ja sen ratkaisu: Miten radan ja nopeuden saa selville, jos kappaleen kiihtyvyys tunnetaan? Analyyttinen ratkaisu Liikemäärän, voiman
LisätiedotLuvun 5 laskuesimerkit
Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän
Lisätiedoty + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
Lisätiedota) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.
Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi
LisätiedotFT, dosentti Kauppakatu 7 e Jyväskylä p Arvoisa lukiolainen!
Anssi Lindell Jyväskylässä FT, dosentti Kauppakatu 7 e 50 7.1.2016 40100 Jyväskylä p. + 358 40 80 533 48 anssi.lindell@jyu.fi Arvoisa lukiolainen! Olet menestynyt varsin hyvin Matemaattisten aineitten
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Lisätiedotf(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim
Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike Ajankohtaista Konseptitesti 1 http://presemo.aalto.fi/mekaniikka2017 Kysymys Sotalaivasta
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Kevät 2010 Jukka Maalampi LUENTO 2-3 Vääntömomentti Oletus: Voimat tasossa, joka on kohtisuorassa pyörimisakselia vastaan. Oven kääntämiseen tarvitaan eri suuruinen voima
LisätiedotL a = L l. rv a = Rv l v l = r R v a = v a 1, 5
Tehtävä a) Energia ja rataliikemäärämomentti säilyy. Maa on r = AU päässä auringosta. Mars on auringosta keskimäärin R =, 5AU päässä. Merkitään luotaimen massaa m(vaikka kuten tullaan huomaamaan sitä ei
Lisätiedot12. Differentiaaliyhtälöt
1. Differentiaaliyhtälöt 1.1 Johdanto Differentiaaliyhtälöitä voidaan käyttää monilla alueilla esimerkiksi tarkasteltaessa jonkin kohteen lämpötilan vaihtelua, eksponentiaalista kasvua, sähkölatauksen
LisätiedotSuhteellisuusteorian perusteet 2017
Suhteellisuusteorian perusteet 017 Harjoitus 5 esitetään laskuharjoituksissa viikolla 17 1. Tarkastellaan avaruusaikaa, jossa on vain yksi avaruusulottuvuus x. Nollasta poikkeavat metriikan komponentit
LisätiedotLuento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r
Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic
LisätiedotBM30A0240, Fysiikka L osa 4
BM30A0240, Fysiikka L osa 4 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Young & Freedman: University Physics Luku 14 - Periodic motion Luku 15 - Mechanical waves Luku 16 - Sound and hearing Muuta - Diffraktio,
LisätiedotKULJETUSSUUREET Kuljetussuureilla tai -ominaisuuksilla tarkoitetaan kaasumaisen, nestemäisen tai kiinteän väliaineen kykyä siirtää ainetta, energiaa, tai jotain muuta fysikaalista ominaisuutta paikasta
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
LisätiedotW el = W = 1 2 kx2 1
7.2 Elastinen potentiaalienergia Paitsi gravitaatioon, myös materiaalien deformaatioon (muodonmuutoksiin) liittyy systeemin rakenneosasten keskinäisiin paikkoihin liittyvää potentiaalienergiaa Elastinen
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x
LisätiedotDerivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r
Vuka HT 4 Tehtävä. Lyhyenä alustuksena tehtävään johdetaan keskeiskiihtyvyys tasaisessa pyörimisessä. Meillä on ympyräradalla liikkuva kappale joka pyörii vakiokulmanopeudella ω dϕ säteellä r origosta.
LisätiedotKeski-Suomen fysiikkakilpailu
Keski-Suomen fysiikkakilpailu 28.1.2016 Kilpailussa on kolme kirjallista tehtävää ja yksi kokeellinen tehtävä. Kokeellisen tehtävän ohjeistus on laatikossa mittausvälineiden kanssa. Jokainen tehtävä tulee
LisätiedotVUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN. Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka, luento Kari Sormunen
VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka, 1.-2. luento Kari Sormunen Mitä yhteistä? Kirja pöydällä Opiskelijapari Teräskuulan liike magneetin lähellä
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. b) 105-kiloisella puolustajalla on yhtä suuri liikemäärä, jos nopeus on kgm 712 p m 105 kg
TEHTÄVIEN RATKAISUT 15-1. a) Hyökkääjän liikemäärä on p = mv = 89 kg 8,0 m/s = 71 kgm/s. b) 105-kiloisella puolustajalla on yhtä suuri liikemäärä, jos nopeus on kgm 71 p v = = s 6,8 m/s. m 105 kg 15-.
Lisätiedot766323A-02 Mekaniikan kertausharjoitukset, kl 2012
766323A-02 Mekaniikan kertausharjoitukset, kl 2012 Gravitaatio, liikemäärämomentti, ellipsiradat T 1: Oleta, että Marsin kuu Phobos kiertää Marsia ympyrärataa pitkin. Ympyrän säde on 9380 km ja kiertoaika
Lisätiedot