Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137

Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137

Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi... jos ja vain jos... Sulkeita ( ) käytetään selkeyden vuoksi osoittamaan konnektiivien soveltamisen järjestys. 2/137

Negaation totuustaulu Määritelmä Negaatiolla on seuraava totuustaulu: A A 1 0 0 1 Huom. Yllä 1 tarkoittaa tosi ja 0 epätosi. Jos propositiolause A on tosi, niin A on epätosi. Jos propositiolause A on epätosi, niin A on tosi. 3/137

Konjunktion totuustaulu Määritelmä Konjunktiolla on seuraava totuustaulu: Huom. A B A B 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Propositiolause A B on tosi, jos ja vain jos propositiolauseet A ja B ovat molemmat tosia. Määritelmä vastaa konnektiivin ja intuitiivista merkitystä. 4/137

Disjunktion totuustaulu Määritelmä Disjunktiolla on seuraava totuustaulu: Huom. A B A B 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Propositiolause A B on epätosi, jos ja vain jos propositiolauseet A ja B ovat molemmat epätosia. Määritelmä vastaa konnektiivin tai intuitiivista merkitystä siinä tapauksessa, että kysymyksessä ei ole poissulkeva tai. 5/137

Implikaation totuustaulu Määritelmä Implikaatiolla on seuraava totuustaulu: Huom. A B A B 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Propositiolause A B on epätosi, jos ja vain jos etujäsen A on tosi ja takajäsen B on epätosi. 6/137

Ekvivalenssin totuustaulu Määritelmä Ekvivalenssilla on seuraava totuustaulu: Huom. A B A B 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Propositiolause A B on tosi, jos ja vain jos propositiolauseilla A ja B on sama totuusarvo. 7/137

Looginen ekvivalenssi Propositiolausetta, joka on aina tosi, sanotaan tautologiaksi. Esimerkiksi propositiolause p 0 p 0 on tautologia, mikä nähdään seuraavasta totuustaulusta: Määritelmä p 0 p 0 p 0 p 0 1 0 1 0 1 1 Propositiolauseet A ja B ovat loogisesti ekvivalentteja, jos ekvivalenssi A B on tautologia, ts. jos ekvivalenssin A B totuusarvo on aina 1. 8/130

Kvanttorit Väite, jossa esiintyy ns. vapaa muuttuja, voi olla jollakin muuttujan arvolla tosi ja jollakin epätosi. Tarkastellaan esimerkiksi väitettä x 2 2x + 1 = 0. Jos x = 5, tämä väite on epätosi, sillä 5 2 2 5 + 1 = 16. Jos x = 1, tämä väite on tosi, sillä 1 2 2 1 + 1 = 0. 9/130

Kvanttorit Tällaisten väitteiden tapauksessa ollaan usein kiinnostuneita siitä, onko väite tosi kaikilla muuttujan arvoilla tai ainakin yhdellä muuttujan arvolla. Nämä asiat voidaan ilmaista kvanttoreiden avulla: kaikilla on olemassa 10/130

Kvanttorit Tällaisten väitteiden tapauksessa ollaan usein kiinnostuneita siitä, onko väite tosi kaikilla muuttujan arvoilla tai ainakin yhdellä muuttujan arvolla. Nämä asiat voidaan ilmaista kvanttoreiden avulla: kaikilla on olemassa 10/125

Kvanttorit ja negaatiot Yhteenveto: Lause x P(x) on loogisesti ekvivalentti lauseen x P(x) kanssa. Lause x P(x) on loogisesti ekvivalentti lauseen x P(x) kanssa. Huomaa myös: Propositiolause (P Q) on loogisesti ekvivalentti propositiolauseen P Q kanssa. Propositiolause (P Q) on loogisesti ekvivalentti propositiolauseen P Q kanssa. 11/125

Geometrinen lukujono Määritelmä Lukujonoa (a 0, a 1, a 2, a 3,...) sanotaan geometriseksi, jos on olemassa sellainen q R että kaikilla n N pätee a n+1 = qa n. Lukua q nimitetään geometrisen lukujonon suhdeluvuksi. Huom. Jos a n = 0kaikillan N, niin määritelmän yhtälö voidaan muuttaa muotoon a n+1 a n = q. Toisin sanottuna lukujono on geometrinen, jos kahden peräkkäisen luvun suhde on vakio. 12/120

Geometrinen lukujono Lause 1 Oletetaan, että (a 0, a 1, a 2, a 3,...) on geometrinen lukujono, jonka suhdeluku on q. Tällöin a n = a 0 q n kaikilla luonnollisilla luvuilla n 1. 13/120

Todistus. Alkuaskel: Geometrisen lukujonon määritelmän mukaan a 1 = qa 0 = a 0 q 1. Väite pätee siis luvulla 1 N. Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus: Oletetaan, että k 1 ja a k = a 0 q k. Näytetään, että tällöin vastaava väite pätee seuraavalla luonnollisella luvulla k + 1: Käytetään geometrisen lukujonon määritelmää ja induktio-oletusta: a k+1 = qa k = q(a 0 q k )=a 0 q k+1. Johtopäätös: Alkuaskeleesta ja induktioaskeleesta seuraa induktioperiaatteen nojalla, että väite pätee kaikilla luonnollisilla luvuilla n 1. 14/120

Geometrinen sarja Määritelmä Oletetaan, että a, q R. Geometrinen sarja on päättymätön summa aq k = a + aq + aq 2 + aq 3 +... Huom. k=0 Geometriseen sarjaan päädytään, jos yritetään laskea yhteen jonkin geometrisen lukujonon kaikki termit. Sopimus: yllä olevassa määritelmässä q 0 = 1kaikillaq R, myös jos q = 0. 15/120

Geometrisen sarjan osasumma Määritelmä Oletetaan, että a, q R, n N ja n 1. Geometrisen sarjan n:s osasumma S n tarkoittaa sen n ensimmäisen termin summaa Huom. n 1 S n = aq k = a + aq + aq 2 + + aq n 1. k=0 S 1 = a S 2 = a + aq S 3 = a + aq + aq 2 jne. 16/120

Geometrisen sarjan osasumma Lause 2 Oletetaan, että a, q R ja n N, n 1. Geometrisen sarjan n:s osasumma on n 1 S n = aq k a 1 qn, jos q = 1; = 1 q k=0 na, jos q = 1. Todistus. Induktiolla luvun n suhteen; jätetään harjoitustehtäväksi. 17/120

Geometrisen sarjan summa Oletetaan, että a R, n N ja 1 < q < 1. Tällöin voidaan osoittaa, että luvun n kasvaessa q n lähestyy nollaa eli q n 0. Tästä seuraa edelleen, että luvun n kasvaessa geometrisen sarjan osasummat S n lähestyvät lukua a/(1 q): S n = a 1 qn 1 q a 1 0 1 q = a 1 q. 18/120

Geometrisen sarjan summa Jos 1 < q < 1, niin lukua a 1 q sanotaan geometrisen sarjan aq k = a + aq + aq 2 + aq 3 +... k=0 summaksi. 19/120

Geometrinen sarja Esimerkki 4 Viereisessä kuvassa on esitetty Kochin lumihiutaleen neljä ensimmäistä iteraatiota. Oletetaan, että ensimmäisen kolmion pinta-ala on 1. Mikä on tämän Kochin käyrän rajaaman alueen pinta-ala, jos iteraatioita jatketaan loputtomiin samalla periaatteella? 23/120

Geometrinen sarja Esimerkki 6 Tarkastellaan noppapeliä, jossa kaksi henkilöä heittää noppaa vuorotellen ja voittaja on se pelaaja, joka saa ensimmäisenä kuutosen. Millä todennäköisyydellä aloittaja voittaa? Kannattaako tällaisessa pelissä yrittää saada aloitusvuoro itselleen? 30/120

Binomikertoimet ja osajoukkojen lukumäärä Määritelmä Oletetaan, että n, k N. Jos n = 0, merkitään X n =. Jos n 1, merkitään X n = {1,...,n}. Tarkastellaan niitä joukon X n osajoukkoja, joissa on k kappaletta alkioita. Tällaisten osajoukkojen lukumäärää merkitään ( ) n. k Huom. Tämä merkintä luetaan n yli k. ( ) n Lukuja, missän, k N, kutsutaan binomikertoimiksi. k 31/120

Binomikertoimet ja osajoukkojen lukumäärä Esimerkki 7 Merkitään X 3 = {1, 2, 3}. Joukon X 3 kaksialkioiset osajoukot ovat {1, 2}, {1, 3} ja {2, 3}, joten ( ) 3 = 3. 2 Joukolla X 3 ei ole yhtään viisialkioista osajoukkoa, joten ( ) 3 = 0. 5 32/120

Binomikertoimet ja osajoukkojen lukumäärä Esimerkki 8 Merkitään X 9 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Joukon X 9 ainoa nolla-alkioinen osajoukko on, joten ( ) 9 = 1. 0 Joukon X 9 ainoa 9-alkioinen osajoukko on X 9 itse, joten ( ) 9 = 1. 9 33/120

Joukon X 9 yksialkioiset osajoukot ovat {1}, {2},...,{9}, joten ( ) 9 = 9. 1 Joukon X 9 8-alkioiset osajoukot ovat yksialkioisten osajoukkojen komplementit X 9 {1},...,X 9 {9}, joten Huom. ( ) 9 = 9. 8 Voidaan osoittaa, että jos n,k N ja 0 k n, niin ( ) n = k ( ) n. n k 34/120

Osajoukkojen lukumäärä Esimerkki 9 Kuinka monta osajoukkoa on joukolla X 3 = {1, 2, 3}? Joukolla X 3 on seuraavat osajoukot: tyhjä joukko, yksiöt {1}, {2} ja {3}, kaksiot {1, 2}, {1, 3} ja {2, 3}, joukko itse {1, 2, 3}. Joukon X 3 osajoukkojen lukumäärä on siis 8 = 2 3. 35/120

Osajoukkojen lukumäärä Lause 10 Oletetaan, että joukossa X on n alkiota, missä n N. Tällöin joukon X osajoukkojen lukumäärä on 2 n. Todistus. Jos n = 0, niin X =. Tyhjällä joukolla on vain yksi osajoukko, joka on tyhjä joukko itse. Toisin sanottuna eikä tyhjällä joukolla ole muita osajoukkoja. Siis joukon X osajoukkojen lukumäärä on 1 = 2 0. 36/120

Oletetaan, että joukossa X on n alkiota, missä n 1. Tällöin voidaan merkitä X = {a 1, a 2,...,a n }. Muodostetaan joukon X osajoukko käymällä läpi joukon X alkiot ja päättämällä jokaisen alkion kohdalla, otetaanko se osajoukkoon vai ei. Eri mahdollisuuksia on tällöin yhteensä } 2 2 {{ 2 } = 2 n. n kpl Joukolla X on siis 2 n erilaista osajoukkoa eli joukon X osajoukkojen lukumäärä on 2 n. 37/120

Osajoukkojen lukumäärä Lause 11 Oletetaan, että n N. Tällöin ( ) ( ) n n + + + 0 1 ( ) n + n 1 ( ) n = 2 n. n Todistus. Yhtälön vasemmalla puolella on laskettu yhteen n-alkoisen joukon kaikkien erikokoisten osajoukkojen lukumäärät. Tämä summa kertoo n-alkoisen joukon kaikkien osajoukkojen lukumäärän, joka on lauseen 10 mukaan 2 n. 38/120

Binomikertoimet ja osajoukkojen lukumäärä Määritelmä Oletetaan, että n, k N. Jos n = 0, merkitään X n =. Jos n 1, merkitään X n = {1,...,n}. Tarkastellaan niitä joukon X n osajoukkoja, joissa on k kappaletta alkioita. Tällaisten osajoukkojen lukumäärää merkitään ( ) n. k Huom. Tämä merkintä luetaan n yli k. ( ) n Lukuja, missän, k N, kutsutaan binomikertoimiksi. k 31/120

Osajoukkojen lukumäärä Lause 10 Oletetaan, että joukossa X on n alkiota, missä n N. Tällöin joukon X osajoukkojen lukumäärä on 2 n. Todistus. Jos n = 0, niin X =. Tyhjällä joukolla on vain yksi osajoukko, joka on tyhjä joukko itse. Toisin sanottuna eikä tyhjällä joukolla ole muita osajoukkoja. Siis joukon X osajoukkojen lukumäärä on 1 = 2 0. 36/120

Oletetaan, että joukossa X on n alkiota, missä n 1. Tällöin voidaan merkitä X = {a 1, a 2,...,a n }. Muodostetaan joukon X osajoukko käymällä läpi joukon X alkiot ja päättämällä jokaisen alkion kohdalla, otetaanko se osajoukkoon vai ei. Eri mahdollisuuksia on tällöin yhteensä } 2 2 {{ 2 } = 2 n. n kpl Joukolla X on siis 2 n erilaista osajoukkoa eli joukon X osajoukkojen lukumäärä on 2 n. 37/120

Osajoukkojen lukumäärä Lause 11 Oletetaan, että n N. Tällöin ( ) ( ) n n + + + 0 1 ( ) n + n 1 ( ) n = 2 n. n Todistus. Yhtälön vasemmalla puolella on laskettu yhteen n-alkoisen joukon kaikkien erikokoisten osajoukkojen lukumäärät. Tämä summa kertoo n-alkoisen joukon kaikkien osajoukkojen lukumäärän, joka on lauseen 10 mukaan 2 n. 38/120

Kertoma Määritelmä Oletetaan, että n N. Luvun0kertoma tarkoittaa lukua 0!=1 Luvun (n + 1) kertoma tarkoittaa lukua (n + 1)! = (n + 1)n! Huom. Tässä kertoma määriteltiin rekursiivisesti. 49/120

Kertoma Esimerkki 15 Kertoman määritelmän mukaan 0!=1 1!=1 0!=1 1 = 1 2!=2 1!=2 1 = 2 3!=3 2!=3 2 = 6 4!=4 3!=4 6 = 24 50/120

Lause 16 Kertoma Oletetaan, että n N ja n 1. Tällöin Todistus. n!=1 2 3 n. Todistetaan väite induktiolla. Alkuaskel: määritelmän mukaan 1!=1 0!=1 1 = 1, joten väite pätee luvulla 1. Oletetaan, että jollakin k N pätee k!=1 2 3 k (induktio-oletus). Osoitetaan, että vastaava yhtälö pätee tällöin myös luvulle k + 1. Määritelmää ja induktio-oletusta käyttäen saadaan (k + 1)! = (k + 1) k!=(k + 1) 1 2 3 k = 1 2 3 k (k + 1). 51/120

Binomikertoimet ja kertoma Lause 17 Oletetaan, että n, k N ja k n. Tällöin ( ) n = k n! k!(n k)! 52/120

Lause 18 Oletetaan, että a, b R. Tällöin Binomikertoimet (a + b) n = n k=0 kaikilla luonnollisilla luvuilla n 1. Huom. ( ) n a n k b k k Yhtälön oikealla puolella on summa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n a n + a n 1 b+ a n 2 b 2 + + ab n 1 + b n. 0 1 2 n 1 n 61/120

Pascalin identiteetti Lause 13 Oletetaan, että n, k N ja 0 < k < n. Tällöin ( ) ( ) ( ) n n 1 n 1 = +. k k 1 k Huom. Pascalin identiteetistä saadaan ns. Pascalin kolmio, jonka avulla pieniä binomikertoimia on helppo laskea. 41/120

Pascalin kolmio ( 0 0) ( 1 ) ( 1 0 1) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 0 1 2) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 0 1 2 3) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 0 1 2 3 4) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 0 1 2 3 4 5). 42/120

Pascalin kolmio 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1. 43/120

2-kantainen logaritmi Merkitään jatkossa R + = {x R x > 0}. SiisR + on positiivisten reaalilukujen joukko. Määritelmä Oletetaan, että c R +.Luvunc 2-kantainen logaritmi kertoo, mihin potenssiin luku 2 pitää korottaa, jotta saadaan c. Toisin sanottuna log 2 (c)=t 2 t = c. 67/120

Huom. Voidaan osoittaa, että edellisessä määritelmässä jokaiseen c R + liitetään tasan yksi t R; toisin sanottuna 2-kantainen logaritmi on funktio R + R. Vastaavasti voidaan määritellä esimerkiksi kymmenkantainen logaritmi log 10 : R + R, jolla kantaluku on 10, ja luonnollinen logaritmi ln: R + R, jolla kantaluku on Neperin luku e 2,718. Kymmenkantaista logaritmia kutsutaan myös Briggsin logaritmiksi ja merkitään lg = log 10. Kaksikantaista logaritmia voidaan merkitä lb = log 2. 68/120

2-kantainen logaritmi ja kahdella jakaminen Oletetaan, että c R + ja log 2 (c)=n, missän N, n 1. Logaritmin määritelmästä saadaan log 2 (c)=n c = 2 n c 2 n = 1. Siis 2-kantainen logaritmi luvusta c kertoo mihin potenssiin luku 2 pitää korottaa, jotta saadaan c; kuinka monta kertaa luku c pitää jakaa luvulla 2, jotta saadaan 1. 69/120

2-kantaisen logaritmin määrittäminen jakolaskun avulla Esimerkki 21 Määritä seuraavat logaritmit (tai niiden likiarvot) jakolaskun avulla: (a) log 2 (8) (b) log 2 (1) (c) log 2 (20) ( ) 1 (d) log 2 4 70/120

Esimerkin 21 ratkaisu: (a) log 2 (8)=3, sillä jakolaskuja tarvitaan kolme: 8/2 = 4, 4/2 = 2, 2/2 = 1. Toisin sanottuna 8 2 3 = 1 eli 8 = 23. (b) log 2 (1)=0, sillä jakolaskuja ei tarvita. Toisin sanottuna 1 = 2 0. 71/120

(c) log 2 (20) 4, sillä 20 2 = 10, 10 2 = 5, 5 2 = 2,5, 2,5 2 = 1,25, 1,25 = 0,625. 2 Huomaa, että neljännen jakolaskun tulos on lähimpänä lukua 1. ( ) 1 (d) log 2 = 2, sillä tarvitaan kaksi kertolaskua: 4 2 1 4 = 1 2, 2 1 2 = 1. Toisin sanottuna luku 2 täytyy korottaa negatiiviseen potenssiin, että saadaan 1/4: 2 2 = 1 2 2 = 1 4. 72/120

Logaritmiyhtälöiden ratkaisua Yksinkertaisia logaritmiyhtälöitä voi ratkaista käyttämällä logaritmin määritelmää. Esimerkki 22 Päättele mikä luku x on, jos tiedetään, että (a) log 2 (x)=1. (b) log 2 (x)=4. (c) log 2 (x)=6,5. (d) log 2 (x)= 3. 73/120

Esimerkin 22 ratkaisu: Käytetään logaritmin määritelmää: (a) Jos log 2 (x)=1, niin x = 2 1 = 2. (b) Jos log 2 (x)=4, niin x = 2 4 = 16. (c) Jos log 2 (x)=6,5, niin x = 2 6,5 = 2 6+0,5 = 2 6 2 0,5 = 2 6 2 = 64 2. (d) Jos log 2 (x)= 3, niin x = 2 3 = 1 2 3 = 1 8. 74/120

Potenssien laskusääntöjä: potenssin potenssi Oletetaan, että k, n N {0}. Tällöin (2 k ) n =(2 k ) (2 k ) (2 k ) }{{} n kpl =(2 } 2 {{ 2 }) (2 } 2 {{ 2 }) (2 } 2 {{ 2 }) k kpl k kpl k kpl = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 }{{} nk kpl = 2 nk. Vastaava tulos pätee myös tilanteessa, jossa eksponentit n ja k ovat mitä tahansa reaalilukuja, mutta sen osoittaminen on työläämpää. 75/120

Samankantaisten potenssien tulo Oletetaan edelleen, että k, n N {0}. Tällöin 2 k 2 n =(2 2 2) }{{} k kpl = 2 k+n. (2 2 2) }{{} n kpl = 2 2 2 2 2 2 }{{} k+n kpl Vastaava tulos pätee myös tilanteessa, jossa eksponentit n ja k ovat mitä tahansa reaalilukuja, mutta sen osoittaminen on työläämpää. 76/120

Potenssin logaritmi Oletetaan, että x on positiivinen reaaliluku. Merkitään a = log 2 (x). Tämä tarkoittaa logartimin määritelmän mukaan, että 2 a = x. Oletetaan, että b R. Määritetään log 2 (x b ): x b =(2 a ) b = 2 ba, joten logaritmin määritelmästä saadaan log 2 (x b )=ba. Koska aiemmin merkittiin a = log 2 (x), niin log 2 (x b )=b log 2 (x). Jos luku x korotetaan potenssiin b, logaritmi vain b-kertaistuu! 77/120

Tulon logaritmi Oletetaan, että x ja y ovat positiivisia reaalilukuja. Merkitään a = log 2 (x) ja b = log 2 (y). Tämä tarkoittaa logaritmin määritelmän mukaan, että x = 2 a ja y = 2 b. Tällöin xy = 2 a 2 b = 2 a+b. Tämä puolestaan tarkoittaa logaritmin määritelmän mukaan, että Siis log 2 (xy)=a + b. log 2 (xy)=log 2 (x)+log 2 (y). Tulon logaritmi on logaritmien summa. 78/120

Logaritmin kasvu hidastuu voimakkaasti (2,1) (4,2) (8,3) (1,0) y =log 2 (x) 79/120

Eksponenttiyhtälön ratkaiseminen Esimerkki 23 Ratkaise yhtälö 2 x = 50. Tapa I: Käytetään 2-kantaisen logaritmin määritelmää, jonka mukaan 2 x = 50 x = log 2 (50). Siis yhtälöllä on tasan yksi ratkaisu, joka on log 2 (50). 80/120

Ratkaisun likiarvo saadaan jakolaskun avulla: Jaetaan lukua 50 kantaluvulla 2 kunnes tulos on mahdollisimman lähellä lukua 1: 50 2 = 25, 25 2 = 12,5, 12,5 2 3,125 2 = 1,5625 1,5625 2 = 6,25, 6,25 2 = 0,78125. = 3,125, Päätellään, että log 2 (50) 6, sillä kuudennen jakolaskun tulos on lähimpänä lukua 1. 81/120

Tapa II: Otetaan yhtälön molemmilta puolilta vaikkapa 10-kantainen logaritmi, jolloin saadaan uusi yhtälö log 10 (2 x )=log 10 (50). Muokataan yhtälön vasenta puolta logaritmien laskusäännöillä (potenssin logaritmi), jolloin saadaan yhtälö x log 10 (2)=log 10 (50). Jaetaan tuntemattoman kertoimella: x = log 10(50) log 10 (2). 82/120

Lopuksi tarkistetaan, että löydetty luku on todella alkuperäisen yhtälön ratkaisu. Tämä voidaan tehdä esimerkiksi sijoittamalla saatu tulos alkuperäiseen yhtälöön, jolloin laskimella tms. saadaan 2 log 10 (50) log 10 (2) = 50. Siis yhtälöllä on tasan yksi ratkaisu, joka on log 10 (50) log 10 (2). Ratkaisun likiarvo saadaan tavallisella laskimella: log 10(50) log 10 (2) 5,6. 83/120

Kantaluvun vaihto Edellisestä esimerkistä 23 voi päätellä, että log 2 (50)= log 10(50) log 10 (2). Yleisesti voidaan osoittaa, että jos a, b R + {1} ja x R +,niin log a (x)= log b(x) log b (a). 84/120

Jaollisuus Määritelmä Sanotaan, että kokonaisluku a on jaollinen kokonaisluvulla b, jos on olemassa q Z, jolla a = qb. Tällöin merkitään b a ja sanotaan, että luku bjakaaluvun a. Jos luku a ei ole jaollinen luvulla b, merkitäänb a. Esimerkki 25 Esimerkiksi 6 42, sillä 42 = 7 6. Toisaalta 6 25. Nimittäin 4 6 = 24 < 25 ja 5 6 = 30 > 25. Siten 25 = q 6kaikillaq Z. 87/120

Jakoyhtälö Voidaan osoittaa seuraava tulos, ns. kokonaislukujen jakoyhtälö. Tähän perehdytään tarkemmin kurssilla Algebra I. Lause 26 (Jakoyhtälö.) Oletetaan, että a, b Z ja b = 0. Tällöin on olemassa tasan yksi sellainen q Z ja tasan yksi sellainen r Z, että a = qb + r ja 0 r < b. Määritelmä Lauseessa 26 mainittua lukua r kutsutaan luvun a jakojäännökseksi luvulla b jaettaessa. 88/120

Jakoyhtälö Esimerkki 27 Tarkastellaan kuudella jakamista sekä lukuja 25 ja 13. (a) Huomataan, että 25 = 4 6 + 1, missä 0 1 < 6. Siis luvun 25 jakojäännös kuudella jaettaessa on 1. (b) Huomataan, että 13 = 3 6 + 5, missä 0 5 < 6. Siis luvun 13 jakojäännös kuudella jaettaessa on 5. 89/120

Tietojenkäsittelytieteen puolella jakojäännöksiä merkitään usein seuraavasti: 15 mod 4 = 3. Esimerkki 28 Laske: (a) 34 mod 5. (b) 20 mod 4. (c) 45 mod 6. Luvun 15 jakojäännös neljällä jaettaessa on 3. 90/120

Esimerkin 28 ratkaisu: (a) 34 mod 5 = 4, sillä vastaava jakoyhtälö on 34 = 6 5 + 4. (b) 20 mod 4 = 0, sillä vastaava jakoyhtälö on 20 = 5 4 + 0. (c) 45 mod 6 = 3, sillä vastaava jakoyhtälö on 45 = 7 6 + 3. 91/120

Kongruenssi Määritelmä Oletetaan, että a, b Z ja n N {0}. Jos luvuilla a ja b on sama jakojäännös luvulla n jaettaessa, sanotaan, että luvut a ja b ovat kongruentit modulo n ja merkitään a b (mod n). Huom. Luvuilla a ja b on sama jakojäännös luvulla n jaettaessa, jos ja vain jos luvut a ja b voidaan kirjoittaa muodossa a = q 1 n + r ja b = q 2 n + r, missäq 1, q 2, r Z ja 0 r < n. 92/120

Kongruenssi Esimerkki 29 Esimerkiksi 15 59 (mod 4), sillä lukujen 15 ja 59 jakojäännös neljällä jaettaessa on sama: Toisella tavalla merkittynä 15 = 3 4 + 3 59 = 14 4 + 3. 15 mod 4 = 3 59 mod 4 = 3. 93/120

Kongruenssi ja jaollisuus Seuraava lause yhdistää kongruenssin ja jaollisuuden: Lause 30 Oletetaan, että a, b Z ja n N {0}. Tällöin a b (mod n), jos ja vain jos n (a b). 94/120

Lauseen 30 todistus (osa): : Harjoitustehtävä. : Oletetaan, että n (a b). Tällöin on olemassa sellainen k Z, ettäa b = kn. Tästäseuraa,ettäb = a kn. Oletetaan, että luvun a jakojäännös luvulla n jaettaessa on r. Tällöin a = qn + r, missäq, r Z ja 0 r < n. Näin ollen b = a kn = qn + r kn =(q k)n + r, missä q k Z kahden kokonaisluvun erotuksena ja lisäksi r Z ja 0 r < n. Siisluvunb jakojäännös luvulla n jaettaessa on r. Luvuilla a ja b on siis sama jakojäännös luvulla n jaettaessa, joten a b (mod n). 95/120

Kongruenssien laskusääntöjä Lause 31 Oletetaan, että a, b, c, d Z ja k, n N {0}. Oletetaanlisäksi, että a b (mod n) ja c d (mod n). Tällöin (a) a + c b + d (mod n) (b) ac bd (mod n) (c) a k b k (mod n). 96/120

Verkot Verkot muodostuvat solmuista (pisteistä) ja kaarista (nuolista tai viivoista pisteiden välillä). Määritelmä Verkko G on pari (V, E), missäv = on verkon solmujen joukko ja E = {(a, b) V V solmusta a on kaari solmuun b} on verkon kaarien joukko. 112/120

Suunnattu verkko Verkkoja on useaa tyyppiä. Alla on suunnattu verkko G, jonka solmujen joukko on V = {1, 2, 3, 4} ja kaarien joukko on E. Huomataan, että esimerkiksi (3, 1) E, sillä solmusta 3 on kaari solmuun 1. Sanotaan, että 3 on kaaren (3, 1) lähtösolmu ja 1 on kaaren (3, 1) maalisolmu. 1 2 4 3 Voidaan merkitä 3 1. Sanotaan myös, että solmu 1 on solmun 3 vierussolmu. Koska (4, 4) E, sanotaan että verkossa on silmukka pisteessä 4. Huomataan, että (4, 1) E, sillä solmusta 4 ei ole kaarta solmuun 1. Solmu 1 ei ole solmun 4 vierussolmu. 113/120

Suuntaamaton verkko Alla on suuntaamaton verkko G, jonka solmujen joukko on V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ja kaarien joukko on E. Suuntaamattoman verkon viivojen ajatellaan muodostuvan kahdesta vastakkaissuuntaisesta kaaresta. Esimerkiksi (1, 4) E ja (4, 1) E, koska solmujen 1 ja 4 välillä on viiva. Sanotaan, että solmut 1 ja 4 ovat vierekkäisiä. 2 3 1 4 6 5 Yleisesti suuntaamattomassa verkossa pätee, että jos (x, y) E, niin (y, x) E. 114/120

Solmun aste suuntaamattomassa verkossa Suuntaamattomassa verkossa solmun v aste deg(v) tarkoittaa niiden viivojen lukumäärää, joiden toisena päätepisteenä kyseinen solmu on. Esimerkiksi alla olevassa verkossa deg(4) = 2. Voidaan osoittaa, että jos suuntaamattoman verkon viivojen lukumäärä on m, niin sen solmujen asteiden summa on 2m. 2 3 1 4 6 5 Tästä seuraa, että suuntaamattomassa verkossa on aina parillinen määrä sellaisia solmuja, joiden aste on pariton. 115/120

Kaksijakoinen suuntaamaton verkko Oletetaan, että G =(V, E) on silmukaton suuntaamaton verkko, ts. (x, x) E kaikilla x V. Verkko G on kaksijakoinen, jos solmujen joukko V voidaan jakaa kahdeksi erilliseksi ja epätyhjäksi joukoksi V 1 ja V 2 niin, että V 1 V 2 = V ja jokainen verkon G kaari yhdistää pisteet joukoista V 1 ja V 2. Voidaan osoittaa, että silmukaton suuntaamaton verkko on kaksijakoinen, jos ja vain jos sen solmut voidaan värittää kahdella värillä niin, etteivät mitkään kaksi vierekkäistä solmua ole samanvärisiä. 116/120

Vierusmatriisi Verkon vierusmatriisi tarkoittaa neliömatriisia A, jossa alkio A(i, j)=1, jos solmusta i on kaari solmuun j, jamuuten A(i, j)=0. Tässä A(i, j) tarkoittaa normaaliin tapaan sitä matriisin A alkiota, joka on i:nnellä rivillä 1 2 j:nnessä sarakkeessa. 4 3 Esimerkiksi viereisen verkon G vierusmatriisi on 0 1 0 1 A G = 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 117/120

Suuntaamattomien verkkojen isomorfisuus Oletetaan, että G 1 =(V 1, E 1 ) ja G 2 =(V 2, E 2 ) ovat silmukattomia suuntaamattomia verkkoja. Verkot G 1 ja G 2 ovat isomorfiset, jos on olemassa bijektio f : V 1 V 2, jolla lisäksi pätee seuraava ehto: a ja b ovat vierekkäisiä solmuja verkossa G 1, jos ja vain jos f (a) ja f (b) ovat vierekkäisiä solmuja verkossa G 2. Voidaan osoittaa, että isomorfisilla verkoilla on sama määrä solmuja; on sama määrä kaaria; solmuilla x V 1 ja f (x) V 2 on sama aste. 118/120

Polut ja yhtenäisyys Oletetaan, että G =(V, E) on suunnattu tai suuntaamaton verkko. Solmujono v 1, v 2,...,v n on polku (tai kulku) solmusta v 1 solmuun v n, jos jokaisesta jonossa esiintyvästä solmusta on kaari jonossa seuraavana olevaan solmuun eli v k v k+1 kaikilla k {1, 2,...,n 1}. Polun pituus on polkuun liittyvien kaarien lukumäärä; esimerkiksi polun v 1, v 2,...,v n pituus on n 1. Polku on yksinkertainen, jos kukin solmu esiintyy polussa vain kerran, paitsi ensimmäinen ja viimeinen saavat olla sama solmu. Yksinkertainen polku on sykli (eli kehä eli kierros), jos ensimmäinen ja viimeinen solmu ovat sama. Suuntaamaton verkko on yhtenäinen, jos verkon minkä tahansa kahden eri solmun välillä on polku. 119/120

Polut Mitkä seuraavista ovat polkuja alla kuvatussa suuntaamattomassa verkossa? Määritä jokaisen polun pituus. Mitkä ovat yksinkertaisia polkuja? Entä mitkä ovat syklejä? (a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 (b) 1, 4, 3, 6, 2, 1 (c) 2, 3, 5, 1, 4, 3, 6, 2 2 3 1 4 (d) 5, 3, 4, 1, 2, 6 6 5 120/120