λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.

Šع¾º½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø ¾¼¼ ¹¼¾¹½¾ Ì Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ø Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÐÐ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ä ÙÖ ÂÙ Ò Ã Ò ¼¼ È

Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ø Ù Ø ¾ Ì Ø ÐÙÒ Å Ö ÓÚ Ò Ñ ÐÐ Å Ö ÓÚ Ò Ñ ÐÐ Ò Ø ØØÚ Ý Ò ÖØ ØÙ º½ Ì ÖÚ Ý Ò ÖØ ØÙ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÓØ ØØÙ Ý Ò ÖØ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ò ÖØ ØÙ Ò Ð ÒØ Ñ Ò Ò Ù Ò ÓÙ ÓÒ Ø Ø ÐÙÙÒ º º º º º ½¼ Å ÐÐ ÐÐ Ð ØÙØ ÙÑ ØÙÐÓ Ø ½½ º½ Ê Ø ÙÒ Ö ÝÝ ¹ Ð Ò Ô ØÙÙØ Ò º º º º º º º º º º º º º ½¾ º½º½ ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º½º¾ Ò ÖØ Ø ØØÙ Ñ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ò ÖØ ØÙ Ò Ú ÙØÙ ÙÑ ØÙÐÓ Ò º º º º º º º º º º º º ½ Ø ÒÚ ØÓ ½ Î ØØ Ø ½

½ ÂÓ ÒØÓ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ÚÙÐÐ ÓÒ Ö Ù Ò ÔÝÖ ØØÝ ÖÚ Ó Ñ Ò ÓØ Ð ÐÐ Ò ØÓ Ñ ÒÒ Ò Ú ÙØÙ ÙÓÖ ØØ Ñ Ò ÙÙÒÒ Ø ÐÑ Ò Ú ÖØ ÐÙ Ù Ø ÒÒÙ Ø Ó ¹ ÙÙ Ò ÐÝÝ º ½ ¼¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ÑÙÓ ÒØÙ Ö ÔØ Ú Ø Ø ¹ Ø Ò Ö Ø ¾¾ Ñ Ø Ñ ØØ ÑÑ ¾ ÚÙÓ Ò ÐÓÔÔÙÙÒ Ñ ÒÒ ØØ Ð Ù Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ø ÑÓÒ ÑÙØ ÓÒ ØÖÙ Ø Ó Ø ½ ½ ½ º Ö Ñ Ð Ò ÒØÓ Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ö ÓÒ ØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾½ Ó ØÙÐÓ Ø ÔÝÖ ØÒ ØØÑÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ú ØØÑ Ò ÑÙÓ Ó º Ò ÖØ ÑÑ ÐÐ Ò Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ó Ø Ú Ò ÓÙ ÓÒ Ú ÚÙÙØØ ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ ÙÑ Ò ÓÒ ØÝ Ø ÙÚ Ø Ò Å Ö ÓÚ Ò Ñ ÐÐ ÐÐ ÙØ Ò Ø ØÝ º Ì ØÓØ Ò Ò ØÝ Ò ÑÝ Ø ÓØ Ð ÐÐ Ò ØÓ Ñ ÒÒ Ò Ó Ø Ñ ÔÖÓ Ò ÓÒ Ýع ÝØÝÒÝØ Ö Ð Ø Ò Ó Ø Ñ Ð ØØ Ò Ý ÝÒØÑ Ò Ò ½¼ º ÆÑ Ó ÐÑ ØÓØ ØÙÓع Ø Ú Ø Ú ÐÑ Ø Ò ÐÝÝ ÓÔ Ö Ø Ú Ø Ø Ð ÒØ Ø Ó Ø Ñ ØÓ Ñ ÒÒ Ò Ù¹ Ö Ù Ø º Ì Ö Ø ÐØ Ú Ø Ð ÒØ ÓÒ ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ù Ø ÓÑ Ú ÓÐÐ Ò ÓÙ Ó Ø Ö Ø ÐÙ ÓØ Ø Ò ÙÓÑ ÓÓÒ Ö Ð Ö Ø ÐÑ º ÌÑ ØÝ Ø Ö Ø Ð Ñ Ø Ò Å Ö ÓÚ Ò Ñ ÐÐ ÚÓ Ø Ò ÝØØ ØÐÐ Ú ¹ Ø Ý Ó Ø Ö Ø ÐÙ ÓÒ Ñ Ò Ø Ù ÑÔ ÓÙ Ó º ÌÝ ÓØ Ø Ò Ý Ò ÖØ ØÙ Ø Ð Ò Å Ö ÓÚ Ò Ñ ÐÐ Ò Ñ Ñ ÓÐÐ Ø ÓÙ¹ ÓÒ Ú ÚÙÙ Ò Ø Ö Ø ÐÙÒ Ó ØØ Ò ÖÖ ÐÐ Ò ÑÙ Ø ÓÙ Ó Ø º ÌÑ ÐÙÓ Ð¹ ÐÝØÝ Ø Ð ÒØ Ø Ó ÑÑ ÐÐ ØÓ Ø ÐÐ Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÐÐ ÑÝ Ù Ò ÓÙ ÓÒ Ø Ø ÐÙØ Ð ÒØ º ÌÑ ØÝ ØÙØ ÑÝ Ñ ÐÐ Ò Ò Ú ÙØÙ Ý ÐÐ Ý Ò Ö¹ Ø ØÙ ÐÐ ÓÒ Ð ØØÙ Ò Ú ÚÙÙ ÙÑ Òº ½

¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ø Ù Ø Æ Ò Ù Ò Ù Ò ÓØ ÓÒ ÝØÝ Ò Ò Ð ØØÝÚ Ò ØÓ Ñ Ò ÙÖ Ù ÓÒ ÐÙع ØÙ ÒÒ Ó º Î Ö ÑÑ ØÓÖ Ó Ò ÝÒÒ Ò Ø ÓÖ Ø Ó ÒØ ÓÐ Ö Ð ¹ Ø Ò Ò ÐÐ Ø Ò ØÓ Ñ ÒØ ¹ Ó Ø Ñ ÓÔÔ Ò ØØ ÐÝ Ñº ËÙÒ Ì Òº ¼¼ ÃÖº ¾¾ µº ÖÐ ÚÓÒ Ð Ù Û ØÞ ØØ ÚÙÓÒÒ ½ ¾ ÙÖ Ø Ò Ð Ù Ú Ò ÓÒ ÑÙ Ò ÓÙ ÓÒ Ú ÚÙÙ ÓÒ ØÙÐÓ Ý Ò ÑÖ Ø Ò Ò Ð Ù Ø Ø Ø ÐÙ¹ ÓÐÓ Ù Ø Ø º Î Ö Ò Ø Ñ Ø Ñ ØØ Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ð Ó Ú Ø ½ ¼¼¹ÐÙÚÙÒ ÐÙ Ø Ø ÐÙÙÒ Ð ØØÝÚ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò ØÙØ Ñ ÐÐ º Ì ¹ Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ò ÑÑ ÙÖ ÒÙÙÖØ ÓÐ Ú Ø Ý Ú ÐØ Ð Ò Ò ÙÔ Ö Â Ù Î Ð ÒØ Ò Ö ØØ Ð Ò Ò ØÙØ Ö Ö Ïº Ä Ò Ø Ö Ú ÒÐ Ò Ò Åº Ç ÔÓÚ ÓÒ Ø Ö ÑÔ Ò Ð ÐÐ ÝÝ ÓÒ ÒÝØ ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ º Ä Ò Ø Ö ØÙØ Ø Ø ÐÙÒ ÝÒ Ñ Ö ÒØ Ð Ð ÒÒ Ò Ò ÙÐÑ Ø ÐÓ ØØ Ò Ò Ö Ò ¹Ð ÓÙÐÙ ÙÙ ½ ½ Ö Ò ÙÐ Ù ÓØ ÚÙÓÒÒ ½ ½ ÓÓØØ Ò Ñ Ò Ø Ó Ò ½ º Æ ÖØ Ð Ò ØØ Ð Ö ÒØ ¹ Ð Ý ØÐ Ô Ö ÙÚ Ñ Ò Ø Ö Ð Ø Ø Ø ÐÙØ Ð ÒÒ ØØ º ÀÒ ÙØ Ù Ò Ø Ô ¹ Ö ÒØ Ò ÒÝ Ý Ò Ó Ò ÝÒÒ Ò Ð º Î Ø Ú Ò ÐØ Ö ÒØ Ð ¹ Ý ØÐ Ô Ö ÓÒ Ø ÐØÝ ÚÙÓ ÝÑÑ Ò Ò ÙÐÙ Ù Ø Ö Ð ÑѺ µ Ó Ø ÝÐ Ø ÙØ ÙØ Ò Ò Ñ ÐÐ Ä Ò Ø Ö Ò Ý ØРغ ź Ç ÔÓÚ ØØ Ä Ò Ø Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØ ÑÓ ØÙÐÓ Ö Ø Ú ÐÐ Ó ØØÙÒ ½ Ø Ò ÑÝ Ò ØÖ Ø Ð Ú ÒØÓ Ý ØÐ Ò Ö Ø ÙÒ ÓÑ Ò ÙÙ ¹ Ø º ÎÙÓÒÒ ½ ¾ Ô Ð ØÙ ØØ ÂºÎº ÓÐ ÑÙÓ Ó Ø ÒÙØ Ú Ø Ú Ò ¹ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ô Ö Ò Ó ÚÙÓÒÒ ½ ¼¾ ÑÙØØ ØÙÐÓ Ø ÓÐ Ð ØØÙ ¼ ÚÙÓ º Ì ¹ Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ØÝØØ Ò Ô Ø Ò Ä Ò Ø Ö Ò Ý ØÐ Ò Ú Ð Ù Ò ØÙØ ¹ Ñ Ò ½ Ú Ø Ú Ñ ÚÙÓ ÝÑÑ Ò Ò Ò ÓÒ ÓØ ØØÙ Ñ Ö Ø¹ ØÚ Ð Ø Ä Ò Ø Ö Ò Ý ØÐ Ò Ø Ñ Ø Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ º Ú º ËÑ Ø ÝÖ ØØ ÚÙÓÒÒ ½ ÓÚ ØØ Ä Ò Ø Ö Ò Ý ØÐ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ¹ Ð ÒØ Ò ÑÙÓØÓ Ð Å Ö ÓÚ Ò Ø Ù Ò ÚÙÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÑ Ò ÐÚ Ý¹ ØÝ Ò ÐÙ ÙÑÖÐÐ ¾½ º ËÑ Ø Ò ÓÖÑÙÐ Ø Ó ÓÒ Ö ØØ Ò ÒØÙ Ø Ú Ò Ò Ý Ò Ö¹ ¾

Ø Ø Ó ØØ Ú Ä Ò Ø Ö Ò Ý ØРغ ÌØ Å Ö ÓÚ Ò ÔÖÓ Ò ÓÑ ¹ Ò ÙÙ ÓÒ ØØ ÑÑ Ò ØÙØ ØØÙ Ø Ö ÑÑ Ò ½ º Ë Ø ÓÒ Ô ØØÝ Ô ÖÙ Ð Ø Ó ¹ Ø Ò Å Ö ÓÚ Ò Ø Ù ÐÐ ÙÓÖ Ø ØØ Ú ÐÐ Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ÐÐ ÐÐ Ú Ø ÙÓ¹ Ö Ò Ä Ò Ø Ö Ò Ý ØРغ ÃÝ Ò Ò Å Ö ÓÚ Ò Ñ ÐÐ ÓÒ Ø ØØÝ ÐÐ ÓÐ Ú ÔÔ Ð º Ì Ø ÐÙÒ Å Ö ÓÚ Ò Ñ ÐÐ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ä Ò Ø Ö Ò ÒÝ Ý Ò Ó Ò ÝÒÒ Ò Ð ÔØ Ð db dt = µ RR dr dt = µ BB, Ñ B,R,µ R µ B ÓÚ Ø Ò Ò ÔÙÒ Ò Ú ÚÙÙ ÔÙÒ Ò Ò Ò ØÙÐ Ò Ø Ó ÙÙ Ú Ø Ú Ö ØÝ º Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ô Ö ÐÐ ÓÒ ÐÙÓÒÒÓй Ð Ø ÑÝ Ð ÙÚ ÚÙÙ Ò ÑÖ ØØÑ Ð Ù ÖÚÓ B(0) = B 0, R(0) = R 0 º ½µ ÂÓ ÒÝØ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙ ÓÒ Ú ÚÙÙ Ø ÙÚ Ò Ø ÓÒ [0,B 0 ] [0,R 0 ] Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó S = { 0,1,...,N B 1,N B } { 0,1,...,N R 1,N R } Ó N B N R ÓÚ Ø Ò Ò ÔÙÒ Ò Ð ÙÚ ÚÙÙ Ø Ô ÝØÒ ÐÔÓ Ø Ø Ö¹ Ø Ð Ñ Ò Ø ÙÚ Ò Ò Å Ö ÓÚ Ò ÔÖÓ ÓÒ Ø Ð ¹ Ú ÖÙÙ ÓÒ S ¹ Ú ÖÙÙ T = R + º ÂÓØØ Ø Ð ÖØÝÑ Ò ÈÓ ÓÒ¹ÔÖÓ Ò ÒØ Ò Ø Ø Ø λ (i,j) (k,l), (i,j),(k,l) S Ú Ø Ú Ø Ä Ò Ø Ö Ò ÒÝ Ý Ò Ó Ò ÝÒÒ Ò Ð ½µ ØÝØÝÝ ÓÐÐ λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin. ¾µ

(N B,N R ) µ R N R µ B N B (N B 1,N R ) (N B,N R 1) µ R N R µ B (N B 1) µ R (N R 1) µ B N B º º (0,1) (1,0) µ B 0 µ R 0 (0,0) ÃÙÚ ½ Ä Ò Ø Ö Ò ÒÝ Ý Ò Ó Ò ÝÒÒ Ò Ð Ú Ø Ú Ø ÙÚ Ò Ò Å Ö ÓÚ Ò ÔÖÓ º ÃÝ Ò Ò Ñ ÐÐ ÓÒ Ø ØØÝ ÙÚ ½º Ì Ø ÚÓ Ø Ò Ø Ø Ð ÖØÝÑÒ Ô ÖÙ ØÙÚ Ö Ø Ø Ó T d = { t i } K i=0 Ó ¹ Ò Ý Ò Ò Ø Ò Ó ÐÐ ÓÑÑ ÐØ ÙÑÑ ÐØ Ó ÔÙÓÐ ÐØ ØÙ ÓÙØÙÙ Ý Ý º Ì Ø Ô ÝØØ Ò Ò ÙÓÖ Ò ËÑ Ø Ò Ø Ö Ø ÐÙÙÒ ¾½ Ò ¹ ÓÖ Ó Ú Ò Ø ÐÓ Ò ÓÖ Ø ÓØÓ ÒÒ ÝÝ Øº Ì Ö Ø ÐÙÒ ÓÒ ÐÑ ÓÒ Ù Ø Ò Ò ØØ ÐÐ Ø ØÓ ØÓ ÐÐ Ø Ø ÙÒ Ò Ø Ò ÝØ ØÒ Ý ¹ Ò ØÙ ÓÙØÙÑ Ó Ò ÚÐ Ò Ò Ô ØÙÙØØ ÙÓÑ Ó º Ì ØÝ ÓÐÐ Ò ÒÒÓ ØÙÒ Ø Ð Ñ Ò Ú ÚÙÙ ÙÑ Ú Ð ØØÙ Ò Ò¹ Ø Òº ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò Ò ÙÐÑ ÓÒ ØÐÐ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ø ÚÐ Ò Ò Ö Ø ¹ Ø Ó T d = { t i } i=0 ÚÐ ÐÐ t = t i+1 t i º Ö Ø Ô Ð Ø Ð ÖØÓØÓ ÒÒ¹

ÝÝ Ñ ØÖ ÓÒ Ö ØÓ ÙÚ Ò ½ ÔÖÓ Ñ Ö Ø ÖØÝÑØ Ó ¹ ÓÐ Ù ÑÑ Ò Ý Ò ØÙ ÓÙØÙÑ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐØÒ ÒÓÐÐ ÐÐ Ò ÓÚ Ø Ö ÒØ Ð Ò Ô Ò ½¾ º ÌÐÐ Ò Ô ÝØÒ ÙÚ Ò ¾ ÑÙ Ò Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÙÒº ÌÑ Ú Ø ÙÚ ½ Ø ØÝÒ ÔÖÓ Ò ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ Ò Ý ØÐ Ò ½ ÒÙÑ Ö Ø Ö Ø Ñ Ø ÙÐ Ö Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ º 1 µ R N R t µ B N B t (N B,N R ) µ R N R t µ B N B t 1 µ R N R t µ B (N B 1) t 1 µ R (N R 1) t µ B N B t (N B 1,N R ) (N B,N R 1) µ R N R t µ B (N B 1) t µ R (N R 1) t µ B N B t ½ º º ½ (0,1) (1,0) 0 0 (0,0) ½ ÃÙÚ ¾ Ä Ò Ø Ö Ò ÒÝ Ý Ò Ó Ò ÝÒÒ Ò Ð Ú Ø Ú Å Ö ÓÚ Ò Ø Ù Ó Ö ÒØ Ð Ø Ø Ð ÖØÝÑØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÓÒ Ö Ø Ø Ó ÔÙ¹ ÓØ ØØÙ ÔÓ º ½¾ ÌÑÒ Ø ÙÒ ÑÙÓ Ó Ø Ñ t Ò Ú Ð ÒØ ÓÒ Ö ØØ Ò Ö ØØ ÖÓÓÐ º ÃÓ ¹ Ý Ò Ò Ø Ò Ò ÚÓ Ø Ô ØÙ Ú Ò Ý ØÙ ÓÙØÙÑ Ò Ò Ù Ò ØÙ ÓÙØÙ¹ Ñ Ø Ô ØÙÑ Ò ÒÓÐÐ Ö ØØÙ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÐÐ ÓÚ Ò ÙÙÖ º ÅÝ Ò

Ò ÑÑ Ò Ø Ò Ø Ð ÖØÝÑØ ÔØ ÚØ Ú Ò Ô Ò ÐÐ t Ò ÖÚÓ ÐÐ ÐÐ Ø ÙÒ ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò Ò Ô ÖÙ ØÙÙ ÈÓ ÓÒ Ò ÔÖÓ Ò Ö ÒØ Ð ÔÔÖÓ Ñ Ø ÓÓÒº ÐÐ Ø ØÝÒ Ý Ø Ñ Ò Ø Ð ÖØÓÑ ØÖ ÓÒ Ý Ò ÖØ Ø Ð ÑÙÙØÙ Ò Ø Ø ØÓ Òº ÃÙ Ø Ò Ò Ø Ö Ø ÐØ ÙÙÖ Ó ÓÒ ÙÙ Ñ Ö ¹ Ñ Ú ÚÙÙ ÐØ Ò ØÙ Ò Ò ÖÑ Ð Ø Ð ÖØÓÑ ØÖ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò Ò ÓÐ Ñ Ò Ð ÒÒ ÐÐ Ø Ö Ø ÐÐ Ø ÐÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ S = (N B + 1)(N R + 1) Ú ÒÓÔ Ø ÓÙ Ó Ò Ó Ó Ò Ú º ÃÝ Ò Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÒ Ø Ð Ö¹ ØÓÑ ØÖ P R S S ÓÒ Ù Ò Ð Ò Ó ÝØÒÒ Ò Ð ÒØ Ú ÖØ Òº º½ Å Ö ÓÚ Ò Ñ ÐÐ Ò Ø ØØÚ Ý Ò ÖØ ØÙ Ì ÖÚ Ý Ò ÖØ ØÙ ÐÐ ÃÙØ Ò Ó ÒÒÓ ÓÒ ÙÚ ØØÙ ÒÝ Ý Ó Ø Ñ Ð ØØ Ø Ö Ø ÐØ Ú Ø Ð ÒØ ÓÒ Ù Ø ÓÙ Ó Ö Ó ÔÙÓÐ ÐØ º Ì Ö Ø ÐÙ ÓÒ ØÖ ØÙØ ÓÙ ¹ Ó Ò Ú ÚÙÙ ÐÙÓ ØØ Ò ÓØ Ò Ø Ö Ø ÐØ Ú Ò ÓÒ Ù Ø ÓÙ Ó Ó Ò Ú ÚÙÙ ÐÙØ Ò ØÙÒØ º ÇÐ ÓÓÒ Ø Ö Ø ÐØ Ú Ò ÓÙ Ó Ò ÑÖ L l ÒÒ Ò ÓÙ ÓÒ Ð ÙÚ ÚÙÙ N l l = 1,...,Lº ÂÓÙ Ó Ò ÚÐ ÐÐ ÚÓ Ò ÑÙÓ Ó Ø ËÑ Ø Ò ØÙ ÑÙ ÐÐ Ò Å Ö ÓÚ Ò Ñ ÐÐ Ó Ø Ð ¹ Ú ÖÙÙ ÓÓ ØÙÙ ¹ Ø Ñ ÓÐÐ Ø Ú ÚÙÙ Ò Ý Ø ÐÑ Ø Ð S = S 1 S 2 S L L Ó S l = {1,...,N l } l = 1,...,Lº ÌÐÐ Ò S = S l º Ë Ò ÐÝÝØØ Ò Ø Ö Ø ÐÙÒ ØØ ÒÙÑ Ö Ò Ð ÒÒ Ò ÒÒ ÐØ ØÑ ÓÒ Ù ¹ Ø Ò Ò Ö ØØ Ò Ò Ð Ð Ø Ó Ø ÐÐ Ø Ð ¹ Ú ÖÙÙ Ò Ó Ó ÑÙÓ Ó ØÙÙ Ö ØØ Ò ÙÙÖ º Ì Ø Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø ÖÚ Ð ÝØ Ø Ô Ð Ú ÚÙÙ ÙÑ Ð ÒÒ Ð¹ Ð Ø ÚÝ ÑÑ Òº Ì ÔÔ Ð Ø ÐÐÒ Ý Ò ÖØ ØÙ Ó ÐÐ ÓÙ ÓÒ Ú ÚÙÙ ÙÑ Ò Ð Ñ Ò Ó ØØ Ò ÖÖ ÐÐ Ò ÑÙ Ø Ú ÚÙÙ ÙÑ Ø º l=1

º¾ ÓØ ØØÙ Ý Ò ÖØ ØÙ Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓÙ Ó Ò Ú ÚÙÙØØ Ø Ò Ò Å Ö ÓÚ Ò Ø Ù Ò Ø ÚÐ ÐÐ ¹ Ö Ø Ø ÓÐÐ T d = { t k } k=0 t = t k+1 t k º ÇÒ ÐÚ ØØ ÓÙ ÓÒ Ø Ð ÖØÓØÓ¹ ÐÙ X Ê Y N B N R º º n B n R p nb,n B 1 n R q nr,n R 1 n B n B 1 n R 1 p nb,n B 2 n R q nr,n R 2 n B n B 2 n R 2 p nb,0 n R q nr,0 n B 0 0 ÃÙÚ ÓØ ØÙ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ð Ø Ó Ò Ø Ø Ð Ú Ò ÓÙ ÓÒ Ú ÚÙÙ ¹ ØÙØ Ø Ò Ö ØØ Ò Ø Ò Ò ØÓ Ø Ò ÔÖÓ Ò Ó Ò Ø Ð Ö¹ ØÓØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ö ÔÔÙÚ Ø ØÓ Ò ÔÖÓ Ò Ø Ð Ø º ÃÙÚ Ò ÓÒ Ñ Ö ØØÝ Ñ Ö¹ ÒÓÑ Ø Ú Ò Ø ÐÓ Ø n B n R Ð Ø Ú Ò ÖØÝÑ Ò Ø Ð ÖØÓØÓ ÒÒ ÝÝ Øº

ÒÒ ÝÝ Ò Ú ÙØØ Ñ ÐÐ Ø ØÙÐ Ò ÝØØ ÑÙÙØ ÓÙ ÓØ Ó Ø Ú Ø Òº ÌÑ ÔÙÓÐ Ø Ò Ö ÔÔÙÙ ÑÙ Ò ÓÙ Ó Ò Ú ÚÙÙ Ø º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ý Ò Ö¹ Ø ÙÙ Ò ÚÙÓ ÐÙ Ò ÓÙ ÓÒ Ø Ø ÐÙ Ó ØÙØ ØØ Ú Ø Ú ÚÙÙ Ø ÓÚ Ø ØÓ Ø ÔÖÓ X = { X k := X(t k ) } k=0 Y = { Y k := Y (t k ) } k=0 Ð Ù Ö¹ ÚÓ ÐÐ X 0 = N B Y 0 = N R º Ì Ð ÒÒ ÓÒ Ø ØØÝ ÙÚ º ÈÖÓ Ò Ø Ð ÖØÓØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ö ÔÔÙÚ Ø ÐÐ Ø ØÝÒ ÔØØ ÐÝÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ØÓ Ò ÔÖÓ Ò Ø Ð Ø º ÌÑÒ Ó Ó Ø ØÙØ ÑÑ ØÓ Ò Ó ¹ ÔÙÓÐ Ò Ú ÚÙÙ Ò ÑÙ Ò ÓÐÐ Ø ØØÙ Ø Ð ÖØÓØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ØÖ P X Y =nr R (N B+1) (N B +1) P Y X=nB R (N R+1) (N R +1) ÓØ ÑÖ Ø ÐÐÒ [P X Y =nr ] ij = p ij nr = P ( X k+1 = j X k = i,y k = n R ) [P Y X=nB ] ij = q ij nb = P ( Y k+1 = j Y k = i,x k = n B ) µ Ø ÐÐ Ò ÐÐ Ò ØØ Ú ÚÙÙ ÐØ Ò n ÓÐ Ú Ò Ø ØÝÒ ÓÙ ÓÒ Ý ØØ Ø Ò Ý ¹ Ò ØÙ ÓÙØÙÑ Ø ÓÚ Ø Ø ØÝÐÐ ÚÐ ÐÐ ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ý Ø ØÓ ÒÒ º ÌÐÐ Ò Ý Ò ØÙ ÓÙØÙÑ Ò Ò Ú Ø ØÓ ØÓ Ó ØØ ØÙ ÓÙØÙÒ ¹ Ò Ý Ò ÑÖ ÓÒ ÒÓÑ ÙØÙÒÙØ Ò n,pµ ÓÐÐ Ò pº ÂÓ Ø ØÝÐÐ ¹ ÚÐ ÐÐ ØÙ ÓÙØÙÒ Ò Ý Ò ÑÖÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ e ØÙÒÒ Ø Ò Ò Ø ÑÝ ÙÓÖ Ò ÐÐ Ø ØØÝ ÒÓÑ ÙÑ ÐÐ ÓÒ ÓÐØ Ú np = e Ð p = e n µ ÇÐ Ø Ø Ò ÐÐ Ò ØØ Ä Ò Ø Ö Ò ÒÝ Ý Ò Ó Ò ÝÒÒ Ò Ð ÔØ Ø Ô¹ Ô Ó Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÐÐ ÓÐÐÓ Ò ÝÐÐ ÓÐ Ú Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò ÙÑÑ Ò Ò Ó ¹ µ ÔÙÓÐ Ò Ø ÔÔ Ó ÙÑ º ÌÐÐ Ò [P X Y =nr ] ij = P( Bin( i, R n R t i ) = i j )º ¹ Ð Ò Ú Ð ÒÒ Ò ØÖ Ý Ò ÝÝ Ø Ø Ö ØØ Ò ÝÚ Ò t ÓÒ Ú Ð ØØ Ú Ø Ò ØØ µ Rn R t i ÓÒ Ò Ð Ø Ô Ò ÑÔ Ù Ò ½º

Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ó ÓÒ Ø Ð ÖØÓØÓ ÒÒ ÝÝØØ p ij = = P(X k+1 = j X k = i) N R n R =0 N R n R =0 P ( Y k = n R X k = i ) P ( X k+1 = j X k = i,y k = n R ) P ( Y k = n R, X k = i ) P(X k = i) P ( X k+1 = j X k = i,y k = n R ) µ ÂÓ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ ÓÙ Ó Ò Ú ÚÙÙ Ø X k Y k ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ÚÓ Ò µ Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó = = N R n R =0 N R n R =0 N R n R =0 P(Y k = n R )P(X k = i) P ( ) X k+1 = j X k = i,y k = n R P(X k = i) P(Y k = n R )P ( X k+1 = j X k = i,y k = n R ) P(Y k = n R )[P X Y =nr ] ij µ ÐÐ Ø ØÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ ÓÐ ØÙ ÓÐ Ø ÓÖ ØØ Ø Ú Ð ÙØØ ØÙÐÓ ¹ Ò Ô ÒØ Ú Ö Øغ ÌÑ ÓÐ ØÙ ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ý Ò ÖØ ØÙ Ó Ñ ÓÐÐ Ø ÓÙ Ó Ò Ú ÚÙÙ ÙÑ Ò Ð Ñ Ò ØÓ Ø Ò ÖÖ ÐÐ Òº Î Ö Ò ÙÙÖÙÙØØ Ú ÙØÙ ÔÓ Ø Ò Ø Ö ÑÑ Ò Ð ÑÔÒº Î Ø Ú ÔØØ ÐÝ ÚÓ Ò Ø ÑÝ Ó ÓÒ Ø Ð ÖØÓØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ q ij µ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ñ ØÖ ÑÙÓ Ó P X = P Y = N R n R =0 N B n B =0 P(Y = n R ) P X Y =nr P(X = n B ) P Y X=nB µ ÐÐ ÓÐ Ú Ñ Ö ÒØ ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ñ Ò Ö Ò Ó Ø Ú ÐÐ Ø ØÙÐ ÐÑ ØØ Ó ÓÒ Ø Ð ÖØÓØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ØÖ Ø Ö ÔÔÙÚ Ø Ø º ÌÑ ÓÒ Ù Ø Ò¹ Ò Ð Ø Ú ØØ Ú ÐÐ P(X = n B ) P(Y = n R ) ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÚ º Ë

Ô Ö ÑÔ ÓÒ Ò Ñ Ö Ø Ó ÓÒ Ø Ð ÖØÓØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ØÖ Ò Ø ÐÐ t k ÙÖ Ú Ø P (k) X = P (k) Y = N R n R =0 N B n B =0 P(Y k = n R ) P X Yk =n R P(X k = n B ) P Y Xk =n B µ Ä ÒØ Ø Ò ÙÖ Ú Ø ½º ÐÙ Ø Ø Ò ÓÙ Ó Ò Ú ÚÙÙ ÙÑ Øº ¾º Ä Ø Ò ÓÐÐ Ø Ø Ð ÖØÓØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ØÖ Ø P X Y =nr P Y X=nB Ú ÐÐ µº º Ä Ø Ò ÐÙØØÙ ¹ ÐØ Ò ÑÖ µ Ä Ø Ò Ò Ø ØØ Ø Ó ÓÒ Ø Ð ÖØÓØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ØÖ Ø P (k) X P (k) Y Ú ÐÐ µº µ È Ú Ø ØÒ ÓÙ Ó Ò Ú ÚÙÙ ÙÑ Ø ÖØÓÑ ÐÐ Ó ÓÒ Ø Ð ÖØÓ¹ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ØÖ ÐÐ º º Ò ÖØ ØÙ Ò Ð ÒØ Ñ Ò Ò Ù Ò ÓÙ ÓÒ Ø Ø ÐÙÙÒ ÐÐ Ø ØØÝ Ò ÓÙ ÓÒ Ø Ø ÐÙ ÓÒ ÐÔÔÓ ÝÐ Ø Ù ÑÑ Ò ÓÙ ÓÒ Ø ¹ Ø ÐÙ Ó Ø ÚÓ Ò Ø Ö Ø ÐÐ ¹ Ð ØØ Ò ÑÓÒ Ò Ô Ö ØØ Ò Ø ¹ Ø ÐÙÒ º Ä ÒØ Ø Ò ØÐÐ Ò ÙÖ Ú Ø ½º ÐÙ Ø Ø Ò ÓÙ Ó Ò Ú ÚÙÙ ÙÑ Øº ¾º Ä Ø Ò ÙÐÐ Ò ÓÙ ÓÔ Ö ÐÐ ÓÐÐ Ø Ø Ð ÖØÓØÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ØÖ Ø Ú ÐÐ µº º Ä Ø Ò ÐÙØØÙ ¹ ÐØ Ò ÑÖ ½¼

µ ÈØ ØÒ ØÙÐ Ò ÝØØ Ð Ñ ÓÙ Ó Ó Ø ØÙÐØ Ñ Ò Òº ¹ Ò ÖØ ÑÑ ÐÐ Ò Ù Ò ÓÙ Ó Ñ ÑÓ ÙØØ Ñ Ò Ø ÔÔ ÓÒ Ó Ó¹ ØÙ ÖÚÓ º µ ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ò Ø ØØ Ø Ô Ö ØØ Ø Ó ÓÒ Ø Ð ÖØÓØÓ ÒÒ¹ ÝÝ Ñ ØÖ Ø Ú ÐÐ µ Ò Ø Ô Ù Ó ØÙÐØ ÝØ ØÒº µ È Ú Ø ØÒ ÙÒ Ò ÓÙ ÓÒ Ú ÚÙÙ ÙÑ ÖØÓÑ ÐÐ ÙÐÐ Ò ÓÙ ¹ ÓÓÒ Ó ØÙÒÙØØ ØÙÐØ Ú Ø Ú ÐÐ Ô Ö ØØ ÐÐ Ó ÓÒ Ø Ð ÖØÓØÓ¹ ÒÒ ÝÝ Ñ ØÖ ÐÐ º ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ù Ò ØÙÐ Ú ÙØÙ ÙØØ ØÙÐ Ò Ñ Ð ÓÙ ÓÐÐ Ø Ð ÖØÓØÓ Ò¹ Ò ÝÝ Ñ ØÖ Ò ÓÐÐ Ò Ú ÚÙÙ ÙÑ ¹ Ð Ò ÐÓÔÙ ÖÖÓØ Òº Å ÐÐ ÐÐ Ð ØÙØ ÙÑ ØÙÐÓ Ø Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÒÝØ Ø ØØÝ Ò Ð ÒØ Ñ Ò Ø ÐÑ Ò ÒØ Ñ ØÙÐÓ º Ì Ö Ø ÐÙ¹ Ñ Ö ÐÔ ÝÚ Ò Ä Ò Ø Ö Ò ÒÝ Ý Ò Ó Ò ÝÒÒ Ò Ñ ÐÐ º È Ö Ñ Ø¹ Ö Ò N B N R µ R µ B Ú Ð ÒÒ ÐÐ ÓÐ Ñ Ö Ò Ø Ö Ø ÐÙ ÙÙÖØ Ñ Ö ØÝ Ø ÐÐ Ö Ø Ù ÓÒ Ð ØØ Ý Ò ÖØ Ø ØÙ Ñ ÐÐ Ú Ð Ø Ø Ú Ø Ñ ÒÐ Ò Ò ÙÒ ¹ Ð t Ú Ð Ø Ò Ö ØØÚÒ Ô Ò ÒÒ ØØÙ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ¹ Ò ÑÙ Ø º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ý ØÐ Ô Ö ½µ Ú Ø Ú µ Ð Ø Ñ ÐÐ ÙÚ ¾µ µ Ý Ò ÖØ Ø ØØÙ Ñ ÐÐ ÙÚ µ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ ÐÐ N B = 100, N R = 120, µ R = 0.005/min, µ B = 0.006/minº ÌÙØ Ø Ò ÓÙ Ó Ò Ú ÚÙÙ ÙÑ ÓÐÑ ØÙÒØ Ø Ø ÐÙÒ Ð Ñ Ø Ð Ø¹ ÐÐ t = 3 hº ½½

º½ º½º½ Ê Ø ÙÒ Ö ÝÝ ¹ Ð Ò Ô ØÙÙØ Ò ÃÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ã Ò Ø Ð ÖØÓØÓ ÒÒ ÝÝ Ò ØÙÐ ÓÐÐ ÚÐ ÐÐ [0,1] ÓØ Ò Ö ØÝ Ø ÓÒ ÓÐØ Ú µ R N R t + µ B N B t 1º ÇÒ Ù Ø Ò Ò ØÓ ÚÓØØ Ú ØØ ØÑ ÙÑÑ ÓÒ ÙÓÑ ØØ Ú Ø Ô Ò ÑÔ Ù Ò Ý Ó ÑÙÙØ Ò ØÓ Ò Ø Ò Ø ÖÑ Ò ÙÓÑ Ó Ñ Ø¹ Ø ØØÑ Ò Ò ÙØØ Ù Ø ÐÐ Ø ÙÙÖ Ò Ú Ö Òº Ñ Ö ÝÚ Ö Ó ØÙ ÓÒ max(µ R N t, µ B N t) 0.01 Ó Ô Ø Ö Ø Ø Ó Ø ÙØÙÚ Ò Ù Ø ÐÐ Ò Ú Ö Ò ¹ ÐØ Ó Ò ÒÓ Ò Ó º Ì Ñ Ö Ú Ø ÑÙ Ø ÙÖ 0.006/min 100 t 0.01 = t 1 s. 0.035 0.03 Joukkojen vahvuusjakaumat eri aikadiskretaatioilla laskettuna (klassinen malli) t = 30 s t = 1 s t = 0,1 s 0.025 todennäköisyys 0.02 0.015 0.01 0.005 0 0 20 40 60 80 100 120 yksiköiden määrä n,n (kpl) B R ÃÙÚ ÃÐ ÐÐ Ñ ÐÐ ÐÐ Ð ØØÙ ÓÙ Ó Ò Ú ÚÙÙ Ò Ö ÙÒ ÙÑ ¹ Ñ Ö Ø Ð ÒØ Ö ¹ Ð Ò Ô ØÙÙ ÐÐ º ½¾

Å Ö ØÒ Ð ÐÐ Ñ ÐÐ ÐÐ Ð ØØÙ Ò Ò ÔÙÒ Ò ÓÙ ÓÒ Ú ÚÙÙ Ò Ö ÙÒ ÙÑ Ø ÐÐ t = 3 h ÙÒ Ð ÒÒ Ò ¹ Ð Ò ÓÒ ÝØ ØØÝ t Ø X t Ŷ tº ÃÙÚ ÓÒ Ø ØØÝ Ð ØØÙ ÙÑ ÑÙÙØ Ñ ÐÐ Ö ¹ Ð ÐÐ º Ì ÙÐÙ Ó ½ ÓÒ ÔÙÓÐ Ø Ò Ø ØØÝ Ö ¹ Ð ÐÐ Ð ØØÙ Ò Ú ¹ ÚÙÙ ÙÑ Ò ÖÚÓØ X Ŷ ÓÒÒ Ø σ X σ Y º Ì ÙÐÙ Ó ½ ÃÐ ÐÐ Ñ ÐÐ ÐÐ Ö ¹ Ð ÐÐ Ð ØØÙ Ò Ú ÚÙÙ ÙÑ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù º X σx Ŷ σ Y t = 30s ¾ ½ ½½ ¾ ½½ ¾ t = 1s ¾ ½½ ¾ ½½ ¼ t = 0,1s ¾ ½ ½½ ¾ ½½ Ä ØÙ Ø ÙÑ Ø ÚÓ Ò ØÓ Ø ØØ ÙÒÒ Ò ¹ Ð ÓÒ Ö ØØÚÒ ÐÝ ÝØ Ø Ö Ó Ò ØÙÐÓ Ø Ò Ñ ÐÐ ÙÒÒ Ò ÝÑÑ Ò Ó Ò ¹ Ð ÐÐ ÙØ ÙÑ Ø ÔÓ Ú Ø ÐÐ Ñ Ò ØÙ Ø Ú Ò ÝÚ Ò Ú Òº Ñ Ö X 1s X 0,1s 2 = 0,1669 10 3 Ŷ1s Ŷ0,1s 2 = 79,996 10 6 º º½º¾ Ò ÖØ Ø ØØÙ Ñ ÐÐ Ò ÖØ Ø ØÙ Ñ ÐÐ ¹ Ð Ò Ô ØÙÙØ Ò Ó ØÙ Ò Ò Ø Ù Ú Ø ÑÙ Ø Ú Ò Ö Ø Ø ÓÒ ÙØØ Ñ Ú Ö ÑÙÓ Ó ØÙÙ Ø ØØ ¹ Ð Ò Ò ÙØÙÒ Ø Ø ÔÔ ÓØ Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò º Å Ø ÙÙÖ ÑÑ Ø ¹ Ð Ò Ò ÙØÙÒ Ø Ø ÔÔ ÓØ ÓÚ Ø Ø ÙÙÖ ÑÔ Ú Ö ØÑÒ ÓÐ ØÙ Ò Ó Ó Ø Ø Ô ØÙÙº Ä Ò Ø Ö Ò ÒÝ Ý Ò Ó Ò ÝÒÒ Ò Ð ÙÓÑ Ó Ó Ø Ò ÓÐ Ú Ò Ý Ò ÑÖ ØÙ ÓÙØÙÑ ÒÓÔ Ù º Ì Ø Ó ØÙ Ò Ø ÔÔ Ó ÒÒÙ Ø ÓÒ ÐÔÓ Ø ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò Ý ÓÐÐÓ Ò Ú Ò µ ÑÙ Ò Ø Ð ÖØÓØÓ ÒÒ ÝÝ ½

Ø Ð Ø ½ Ø Ð Ò ¼ ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò Ý º Ã Ú ÚÓ Ò Ø Ñ ÒØ ( p = min 1, e ), µ n ÓÐÐÓ Ò ØÐØ ÓÒ ÐÑ Ø ÚÐØÝØÒº ÌÐÐ Ò ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ý Ø Ñ ØØ Ò Ú Ö Ò ÚÐØØÑ ÝÝØ ¹ Ð Ò Ú Ð ÒÒ ÐÐ Ú ÖÑ Ø ØØ Ø Ñ ÒÒÝ Ó ÑÙ ¹ Ø Ù Ò Ð ÑÔ Ø ÐÓ º 0.06 0.05 Joukkojen vahvuusjakaumat eri aikadiskretaatioilla laskettuna (yksinkertaistettu malli) t = 5 min t = 1 min t = 30 s 0.04 todennäköisyys 0.03 0.02 0.01 0 0.01 0 20 40 60 80 100 120 yksiköiden määrä n,n (kpl) B R ÃÙÚ Ò ÖØ Ø ØÙÐÐ Ñ ÐÐ ÐÐ Ð ØØÙ ÓÙ Ó Ò Ú ÚÙÙ ÙÑ ¹ Ñ Ö Ø Ð ÒØ Ö ¹ Ð Ò Ô ØÙÙ ÐÐ º Å Ö ØÒ Ý Ò ÖØ Ø ØÙÐÐ Ñ ÐÐ ÐÐ Ð ØØÙ Ò Ò ÔÙÒ Ò ÓÙ ÓÒ Ú ÚÙ¹ Ù Ò ÙÑ Ø ÐÐ t = 3 h ÙÒ Ð ÒÒ Ò ¹ Ð Ò ÓÒ ÝØ ØØÝ t Ø X t Ỹ tº ÃÙÚ ÓÒ Ø ØØÝ Ý Ò ÖØ Ø ØÙÐÐ Ñ ÐÐ ÐÐ Ð ØØÙ ÙÑ Ö ¹ Ð ÐÐ º Ì ÙÐÙ Ó ¾ ÓÒ Ø ØØÝ Ö ¹ Ð ÐÐ Ð ØØÙ Ò Ù¹ ½

Ñ Ò ÖÚÓØ X Ỹ ÓÒÒ Ø σ X σ Y º Ì ÙÐÙ Ó ¾ Ò ÖØ Ø ØÙÐÐ Ñ ÐÐ ÐÐ Ö ¹ Ð ÐÐ Ð ØØÙ Ò Ú ÚÙÙ ¹ ÙÑ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù º X σx Ỹ σ Y t = 5min ¾ ¼ t = 1min ¾ ¾ ¾ ¼ t = 30s ¾ ¾ ¼ t = 1s ¾ ¼ ½ ÌÙÐÓ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ¼ ÙÒÒ Ò ¹ Ð ÓÒ Ó Ö ØØÚÒ ÐÝ ÝØ Ý Ò ÙÒ¹ Ò Ò ¹ Ð ÐÐ Ð ØÙØ ÙÑ Ø ÚØ Ñ Ö ØØÚ Ø Ø Ö ÒØÙÒ Ø ÐРغ X 30s X 1s 2 = 0,5898 10 3 Ỹ30s Ỹ1s 2 = 1,255 10 3 º º¾ Ò ÖØ ØÙ Ò Ú ÙØÙ ÙÑ ØÙÐÓ Ò Ì ÙÐÙ Ó Ö Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ Ð ØØÙ Ò ÙÑ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙغ X Y σ X σ Y Ä Ò Ø Ö Ò ÒÝ Ý Ò ¾ ¼¼ ¹ ¹ Ó Ò ÝÒÒ Ò Ñ ÐÐ ½µ ÃÐ Ò Ò Å Ö ÓÚ Ò ¾ ¾ ½½ ½½ ¼ Ñ ÐÐ ÙÚ ¾µ Ò ÖØ Ø ØØÙ Å Ö ÓÚ Ò ¾ ¾ ¼ Ñ ÐÐ ÙÚ µ ÃÙØ Ò ÐÐ ØÓ ØØ Ò ( X1s Ŷ1s) ( X30s Ỹ30s) ÓÚ Ø Ö Ø Ø ÓÐØ Ò Ö Ø¹ ØÚÒ Ø Ö Ó º Î ÖØ ÐÐ Ò ÒÝØ Ö Ñ ÐÐ ÐÐ Ð ØØÙ ÙÑ º ÃÙÚ ÓÒ Ø ØØÝ Ð ÐÐ ØØ Ý Ò ÖØ Ø ØÙÐÐ Ñ ÐÐ ÐÐ Ð ØÙØ Ú ÚÙÙ ÙÑ Ø ½

Ò Ø ÐÐ t = 3hº ÃÙØ Ò ÙÚ Ø ÚÓ Ò Ú Ø ÓÚ Ø ÙÑ Ø ÓÒ Ò Ú ÖÖ Ò Ö Ð Øº Ä ØØÙ Ò ÙÑ Ò ØÙÒÒÙ ÐÙÚÙØ ÓÒ Ø ØØÝ Ø ÙÐÙ Ó º Ì ÙÐÙ Ó Ø ÚÓ Ò Ò ØØ ÙÑÑ ÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÐÐ Ð ØØÙ Ò ÙÑ Ò ¹ ÖÚÓØ Ú Ø Ú Ø ÝÚ Ò Ð ÙÔ Ö Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ô Ö Ò Ö Ø Ù º ÃÐ Ò Ñ ÐÐ Ò ÚÙÐÐ Ò Ù Ø Ò Ò ÓÒ Ò Ú ÖÖ Ò Ð Ú ÑÔ ÙÑ Ù Ò Ý Ò Ö¹ Ø Ø ØÙÐÐ Ñ ÐÐ ÐÐ º 0.06 Klassisella ja yksinkertaistetulla mallilla laskettujen jakaumien vertailu Klassinen malli ( t = 1 s) Yksinkertaistettu malli ( t = 30 s) 0.05 0.04 todennäköisyys 0.03 0.02 0.01 0 0.01 0 20 40 60 80 100 120 yksiköiden määrä n,n (kpl) B R ÃÙÚ ÃÐ Ò Ý Ò ÖØ Ø ØÙÒ Ñ ÐÐ Ò ÑÙ Ø Ð ØØÙ Ò Ú ÚÙÙ ¹ ÙÑ Ò Ú ÖØ ÐÙº ÌÙØ Ø Ò ÒÝØ Ð ØØÙ Ò ÙÑ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÙØØ º ÌØ Ú ÖØ Ò Ø ÖÚ Ø ÑÑ ÙÖ Ú ØØ Ø ÇÐ ÓÓÒ ÙÑ Z ÑÖ Ø ÐØÝ Ö Ø ÐÐ ÓÙ ÓÐÐ Dº Å Ö¹ ØÒ Z Ø Ø ÑÓ ÙÒ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò Ú Ø Ò ØØ D ÐÐ N Z ÐÐ º Ö Ñ ¹ ½

ÓÐÐ ÙÙ ØÙØ Ø ÝÝØØ Ø Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÓÒ ÝØØ Ò º Ø Ð ØÓÐÐ Ø Ø ÝÝØØ Ò Ðº Ø Ø Ø Ð Ø Ò µ ¾¼ Z N Z SD := sup P(X S) P(N Z S) S D ½¼µ ËÓÚ ÐÐ Ø Ò ÑÖ Ø ÐÑ ½¼µ Ö Ñ ÐÐ ÐÐ Ð ØØÙ Ò ÙÑ Òº Æ Ò Ø Ð ØÓй Ð Ø Ø ÝÝ Ø Ò Ø Ø ÑÓ Ù Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø ÓÒ Ø ØØÝ Ø ÙÐÙ Ó º Ø ÝÝ Ø ÚÓ Ò Ú Ø ØØ ÙÑÑ ÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÐÐ Ð ØÙØ ÙÑ Ø ÒÓÙ¹ ØØ Ú Ø Ö ØØ Ò Ø Ö Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ º Ì ÙÐÙ Ó Ö Ñ ÐÐ ÐÐ Ð ØØÙ Ò ÙÑ Ò Ø Ð ØÓÐÐ Ø Ø ÝÝ Ø Ò Ø Ø ¹ ÑÓ Ù Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø º X N X SD Y N Y SD ÃÐ Ò Ò Å Ö ÓÚ Ò Ñ ÐÐ ÙÚ ¾µ 24,31 10 3 20,01 10 3 Ò ÖØ Ø ØØÙ Å Ö ÓÚ Ò Ñ ÐÐ ÙÚ µ 14,85 10 3 15,79 10 3 Ø ÒÚ ØÓ Ì ØÝ ÓÒ Ø ÐØÝ Ö Ø Ô Ñ ÐÐ ÒØ Ø Ø ÐÙ Å Ö ÓÚ Ò ÔÖÓ Ò ÚÙÐÐ º ÌÝ ÓÒ ØÙØ ØØÙ Ð Ò Ñ ÐÐ Ò ÒÙÑ Ö Ø Ö Ø Ñ Ø Ò ÓÒ ÐÑ Ó Ø Ó Ø Ñ Ð ØØ Ò ØÓØ ÙØØ Ñ Ò Ò ÙÐÑ Ø º ÌÑ ØÝ ØØ Ð Ý Ò ÖØ Ø ØÙÒ Å Ö ÓÚ Ò Ñ ÐÐ Ò Ó ÓÙ Ó Ò Ú ÚÙÙ ÙÑ Ø Ö Ø Ð¹ Ð Ò Ó ØØ Ò ÖÖ ÐÐ Ò ÑÙ Ò ÓÙ Ó Ò Ú ÚÙÙ ÙÑ Ø º ÌÑ Ñ ÓÐÐ Ø Ñ ÐÐ Ò Ð ÒÒ ØØ ÚÙÙ Ò Ù Ò ÓÙ ÓÒ Ø Ø ÐÙÙÒ ÐÑ Ò ØØ Ð ÒØ Ô Ø ØØ ÑÙÓ Ó ØÙÙ ÓÒ ÐÑ º ÌÝ ÓÒ ØÙØ ØØÙ ÑÝ Ý Ò ÖØ Ø ØÙÒ Ñ ÐÐ Ò ÒÙÑ Ö Ø Ö Ø Ñ Ø Ú ÖØ ÐØÙ Ø ØÝÐÐ Ý Ò ÖØ ØÙ ÐÐ Ð ØØÙ ÙÑ Ð ÐÐ Ñ ÐÐ ÐÐ Ð ¹ ØØÙ Ò ÙÑ Òº ÌÙÐÓ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÚÓ Ò ÒÓ ØØ Ý Ò ÖØ Ø ØÙÐÐ ½

Ñ ÐÐ ÐÐ Ð ØÙØ ÙÑ ØÙÐÓ Ø Ú Ø Ú Ø Ó ØÙÙÐÐ Ò ÝÚ Ò Ð ÐÐ Ñ ÐÐ ÐÐ Ð ØØÙ ØÙÐÓ Ú ¹ Ð Ò Ô ØÙÙ ÓÐ ÑÓÒ ÝÑÑ Ò ÖØ Ò Ò Ð ¹ Ò Ñ ÐÐ Ò Ò Òº ÃÙÑÑ ÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÐÐ Ð ØÙØ ÓÙ Ó Ò Ú ÚÙÙ ÙÑ Ø ÒÓÙ ØØ Ú Ø Ö ØØ Ò Ø Ö Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ÑÙØØ Ý Ò ÖØ Ø ØØÙ Ñ ÐÐ ØÙÓØØ Ñ Ò Ô Ò Ñ¹ ÑØ ÓÒÒ Øº Ò ÖØ Ø ØØÙ Ñ ÐÐ ÓÒ ÑÝ ØÙÐÓ Ø Ò Ú ÐÓ ÑÙÓ¹ ØÓ ÐÙÐØ Ò ÐÐ Ò Ò ØØ ÖÚÓ Ø ÔÓ ÓÙ ÓÒ ÖÓÑ Ø Ñ Ò Ð ØØÝÚÒ ÖØ ÒØÙÚ Ò Ú ÙØÙ Òº ÌÝ Ø ÐØÝ Ñ Ò Ø ÐÑ Ø Ö Ó Ó Ø Ñ Ð ØØ Ò Ò ÙÐÑ Ø ØÓØ ÙØØ Ñ ¹ ÐÔÓ Ò Ð ÒØ Ø Ó Ò Å Ö ÓÚ Ò Ñ ÐÐ Ò Ó ÓÚ ÐØÙÙ Ù Ò ÓÙ ÓÒ Ø ¹ Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Òº Ä ØÙØ ØÙÐÓ Ø Ú Ø Ú Ø Ó ØÙÙÐÐ Ø Ð ÐÐ Ñ ÐРй Ð Ø Ú ØÙÐÓ Ó Ò ÓÒÒ ØÙÑ Ò ÔÓÒÒ ØÙÑ Ò ÖØ ÒØÙÚ Ú ÙØÙ Ò Ò Ó ØØ Ò ØÙÐÓ ÙÓÑ ÓØØ º ÃÓ ÑÓÐ ÑÑ ÐÐ Ñ ÐÐ ÐÐ Ð ØÙØ Ú ÚÙÙ ÙÑ Ø ÒÓÙ ØØ Ú Ø Ö ØØ Ò Ø Ö¹ Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ö Ñ Ð Ò ÒØÓ Ò Ò Ø ÓØÙØ ÑÙ Ò Ó ÚÓ ÓÐÐ Ø ÙÓÖ Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÙ ÓÒ Ú ÚÙÙ Ò ÖÚÓÒ ÓÒÒ Ò ÑÖ Ø¹ ØÑ º ÆÓÖÑ Ð ÙÙ ÓÐ ØÙ ÐÐ Ò Ø ÚÓ Ø Ò ÝØØ Ó Ó Ú ÚÙÙ ÙÑ Ò ÑÖ ØØÑ Ò ÓÐÐÓ Ò Ø ÙÑ Ò Ð ÒØ Ø ÖÚ Ø ÙÓÖ ØØ Å Ö ÓÚ Ò Ø Ù ÐÐ º ½

Î ØØ Ø ½ Ø ÍºÆº ½ µº Ð Ñ ÒØ Ó ÔÔÐ ËØÓ Ø ÈÖÓ Ë ÓÒ Ø ÓÒº ÂÓ Ò Ï Ð Ý ² ËÓÒ ÁÒº ¾ ÓÒ Ö Ëº ÖÖ Ð ÊºÄº ½ ¼µº Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ó ÅÓ Ð ÓÖ Ò ÈÐ ÒÒ Ò ËÝ Ø Ñ Ê Ö Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Å Ò ÒÒ Ö ÓÖ Ê Ôغ ËÊÄ ¾½ Ìʹ ¼¹¾ ½ º Ð Ù Û ØÞ º ÚÓÒº ½ ¾ µº ËÓ Ø º ËÙÓÑ Ò Ð Ò Ò ÒÒ ÐѺ ½ ¾ ÏËÇ º Ø Ñ Ò ËºÂº ½ ¾µº Ä Ò Ø Ö ÅÓ Ð Ó Ù Ö ÐÐ Ï Ö Ö ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ê Ö ÎÓк½¼ ÔÔº ½ ¹ ¾ º Ò Ð ÂºÀº ½ µº Î Ö Ø ÓÒ Ó Ä Ò Ø Ö³ Ä Ûº ÂÓÙÖÒ Ð Ó Ø ÇÔ Ö¹ Ø ÓÒ Ê Ö ËÓ ØÝ Ó Ñ Ö ÎÓк ¾ ÔÔº ½ ¹½ ½º ÖÓ Ñ Ò ËºÁº ½ µº ÅÙÐØ Ú Ö Ð ÐÙÐÙ Ä Ò Ö Ð Ö Ò Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ø ÓÒº Ë ÙÒ Ö ÓÐÐ ÈÙ Ð Ò º À ÐÑ ÓРʺĺ ½ ½µº Ä Ò Ø Ö È Ö Ñ Ø Ö ÓÖ ÓÑ ØØÐ Ó Ø Ä Ø ÌÛÓ ÀÙÒ Ö Ö º ÓÑ Ø ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ê Ö ÖÓÙÔ ÓÖØ ÐÚÓ Ö Î ÇÊ ¹Ëȹ½¾¾º À ÐÑ ÓРʺĺ ½ µº À ØÓÖ Ð Ø Ò Ä Ò Ø Ö³ Ì ÓÖÝ Ó ÓÑ Øº ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ê Ö ÖÓÙÔ ÓÖØ ÐÚÓ Ö Î ÇÊ ¹Ëȹ½ ¼º À ÐÑ ÓРʺĺ ½ µº ÅÓ Ø ÓÒ Ó Ä Ò Ø Ö³ ÕÙ Ø ÓÒ º ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ê Ö ÎÓк ½ ÔÔº ¹ º ½¼ ÀÝÝØ Ò Ò Åº ¾¼¼ µº È Ø ØÓÝÐ ÚÓ Ñ Ø Ð ÐÐ Ø Ø ÐÙ ÒØÐÐ ËÓØ Ð ÐÐ Ø Ò Ñ ØÓ Ò ÐÝÝ Ò Ñ Ø Ñ ÐÐ º Î Ø Ö Ã ÖØÓ Ö Ò Ó Ò¹ ÓÖÑ Ø Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Óº ÁË Æ ½¹¾ ¹½ ¼ ¹ º ½½ Ã Ò ÄºÂº Ä ÔÔ ºÁº ¾¼¼ µº Ò Ü ÑÔÐ Ó Å Ö ÓÚ Ò ÓÑ Ø ÅÓ Ð Ò º ÆÓÖ Å Ð Ø ÖÝ ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ê Ö ËÝÑÔÓ ÙÑ ¾¼¼ À Ð Ò º ½

½¾ Ã Ò ÄºÂº ¾¼¼ µº Ì Ø ÐÙÒ ØÓ Ø Ò Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ º ÔÐÓÑ ØÝ ËÝ Ø Ñ ¹ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙº ½ ÃÖ Ò Ìº ¾¼¼ µº ËÝÒØ Ø ÓÒ¹Å Ò Ò Ø Ä Ò ÓÑ Ø ÅÓ Ð ÝÒ ÓѺ ÆÓÖ Å Ð Ø ÖÝ ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ê Ö ËÝÑÔÓ ÙÑ ¾¼¼ À Ð Ò º ½ Ä Ò Ø Ö ºÏº ½ ½ µº ÖÖ Ø Ò Ï Ö Ö ¹ Ø ÛÒ Ó Ø ÓÙÖØ ÖѺ ÓÒ Ø Ð ² Óº ½ Ä Ø Ò Ò Åº ¾¼¼ µº ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÝÝ ÓØ Ð ÐÐ º Å ÒÔÙÓÐÙ ØÙ ÓÖ ÓÙ¹ ÐÙ Ì Ò Ò Ð ØÓ º ½ Ä٠̺Ϻ ¾¼¼¼µº Ì ËØÓ Ø Î Ö Ù Ø ÖÑ Ò Ø Ö ÙÑ ÒØ ÓÖ Óѹ Ø Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ì Ð Ó Ï Ò Ø Ú Ö ÏÓÒ³Ø Óº Å Ð Ø ÖÝ ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ê Ö ÎÓк ÆÓº º ½ Ç ÔÓÚ Åº ½ ½ µº Ì ÁÒ Ù Ò Ó ÆÙÑ Ö Ð ËØÖ Ò Ø Ó Ò ÓÖ ÓÒ Ì Ö Ù ÐØ º Ò Ð ÒÒ Ò Ð Ò Ò ÒÒ À ÐÑ ÓРʺĺ Ê Ñ ºËºµ Ø Ó Ï Ö Ö ÅÓ Ð Ò ØÓ Ñº Ö Ò Âº ÃÖ Åº ÊÓ ÒØ Ð Êº º ½ µº Å Ð Ø ÖÝ ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ê Ö ËÓ Øݺ ÂÓ Ò Ï Ð Ý ² ËÓÒ ÁÒº ½ È Ø Ö ÓÒ ÊºÀº ½ µº Å Ø Ó Ó Ì Ò ÓÑ Ø Ò ÐÝ Ø Ó Ê ÔÓÖØ Ó Ø Ì Ò ÓÒ Ö Ò À Ð Ø Ö Ò ØÓ Ñº ÓÐ Ñ Ò Àº ÐÐ Ö º Ê ÔÓÖØ ÆÓº ½ ÐÐ Ø Ê Ö Ä ÓÖ ØÓÖ Ö Ò ÈÖÓÚ Ò ÖÓÙÒ º ½ Ê Ë Ð Ñ Ð¹Ã Ð µ ºËº À Ñ ÏºÅº ¾¼¼½µº Ý Ò ËØÓ Ø ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ä Ò Ø Ö ÓÑ Ø Ì ÓÖÝ Å Ð Ø ÖÝ ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ê Ö ÎÓк ÆÓº ÔÔº ¹ º ¾¼ Ë º Î Ò Ëº ¾¼¼ µº ÓÑÔÐ Ø ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖ ËØ Ø Ø ÖÓ ÃÒÓÛÐ ÂÓÙÖÒ Ð Ó Ø Å ÎÓк ¼ ÆÓº ¾ ÔÔº ½ ¹¾ º ¾½ ËÑ Ø º º ½ µº Ì ÈÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø ÆÙÑ Ö Ó ËÙÖÚ ÚÓÖ Ò ÌÛÓ¹Ë ÓÑ Ø Ë ØÙ Ø ÓÒº ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ê Ö ÎÓк ½ ÆÓº ÔÔº ¾ ¹ º ¾¾ Ì ËÙÒº Òº ¼¼ ÃÖºµ ËÓ Ò ÝÒÒ Ò Ø ØÓº ËÙÓÑ Ò Ð Ò Ò ÒÒ ÐѺ ½ ¾ ÄÓÚ Ö Øº ¾¼