Galilei symposio, 13 15. marraskuuta 2009, Helsinki Karl Sundman ratkaisi kolmen kappaleen ongelman 1909. 1 Karl Frithiof Sundmanin elämä ennen vuotta 1906. Karl Frithiof Sundman syntyi 28. lokakuuta 1873. Hänen isänsä tullivirkailija Johan Frithiof Sundman ja hänen äitinsä Adolfina Fredrika Rosenqvist kerrotaan toivoneen pojastaan kalastajaa mutta saivat tulevan matemaatikon. Hän oli nuorena hyvin kiinnostunut opiskelusta ja suoritti ylioppilaskirjoitukset 18. toukokuuta 1893 itseoppineena, jonka jälkeen hän aloitti opinnot eksaktisissa luonnontieteissä Keisarillisessa Aleksanterin Yliopistossa. Vuosina 1894-1897 hän toimi assistenttina Helsingin Observatorion tähtivalokuvausosastolla. Sundman suoritti filosofian kandidaatin tutkinnon toukokuussa 1897 ja promovoitiin maisteriksi samana kuukautena ultimuksena eli korkein lahjakkuus. Hän opiskeli tähtitiedettä Pulkovan Tähtitieteellisessä Observatoriossa Oscar Backlundin alaisena, jonka jälkeen hän väitteli tohtoriksi väitöskirjallaan Uber die Störungen der kleinen Planeten, speciel derjenigen, deren mittlere Bewegung annährend das Doppelte Jupiters beträgt. Väitöskirja käsittelee pikkuplaneettojen häiriöteoriaa joka sovelletaan sellaisiin pikkuplaneettoihin, johon Jupiter vahvasti vaikuttaa. Tässä työssä Sundman jo lähestyy ongelmaa, niin sanottu kolmen kappaleen ongelma, joka vuosikymmen myöhemmin tekee hänestä maailmankuulu. Hänestä tulee dosentti Helsingissä maaliskuussa 1902 [1,2]. Sundman sai Rosenberg stipendin ja hän tutki sen tuella vuosina 1903-1906 teoreettista tähtitiedettä Göttingenissä, Munchenissä, Berliinissä, Leipzigissa ja Pariisissa, jonka aikana hän tutustui Euroopan tähtitieteen ja matematiikan parhaimmistoon, esimerkiksi Karl Schwartzschildiin ja Henri Poincareen. Hän keskusteli häiriöteoriasta ja kolmen kappaleen ongelmasta [3,4,5,6,7] muun muassa Henri Poincaren kanssa. 2 Kolmen kappaleen ongelma ennen vuotta 1900. Isaac Newton on todennäköisesti ensimmäisenä keskustellut kolmen kappaleen ongelmasta, kun hän ensin totesi, että yleinen painovoimalaki jossa kahden massan välinen voima on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön, ja suunta on kappaleiden välinen suunta, antaa luonnollisen ratkaisun Kepler ongelmaan. Newton mainitsi 1687 kolmen kappaleen ongelman vaikeutta Principia teoksen luvussa 66. Leonard Euler käsitteli ja nimesi ongelman vuonna 1742. Myöhemmin vuonna 1767 hän löysi erikoisratkaisun jossa kaikki kolme kappaletta liikkuu pyörivällä janalla. Joseph-Louis Lagrange löysi 1772 ratkaisun jossa kaikki kappaleet ovat samansivuisen kolmion kärjissä. Tämä ratkaisu muistuttaa tapauksen jossa Trojaanit, eli asteroidit Achilleus, Patroclus, Hector, Nestor ja pari muuta, ovat samansivuisen kolmion yhdessä kärjessä ja Aurinko sekä Jupiter ovat kolmion muissa kärjissä. 1990-luvulla ja tämän vuosituhannen alussa löydettiin useampi Trojaani sekä Marsilla että Neptunuksella. Henri Poincare kiinnostui kolmen kappaleen ongelmasta ja teki uraa uurtavaa työtä taivaanmekaniikan uudistuksessa. 1890-luvun alussa näytti selvältä, kiitos Poincaren ja Brunsin työtä, ettei ollut muita integraaleja kuin klassiset, siis kuusi massakeskipisteen, kolme impulssimomentin sekä kokonaisenergian integraalia. Silloin vuonna 1890, Poincaren hedelmättömien yritysten jälkeen, näytti selvältä että ongelma oli ratkaisematon. 3 Kolmen kappaleen ongelman dynamiikka ja geometria. Kepler ongelma, eli kahden kappaleen liikkeet avaruudessa keskinäisen painovoiman alaisina; ongelma voidaan ratkaista täydellisesti (katso kuva 1). 1
Kuva 1. Kepler ongelman rataelementit. Kuva 2. Kirje Anders Donnerille. Kolmen kappaleen ongelma, kolmen kappaleen liikkeet avaruudessa niiden keskinäisen painovoiman alaisina. Rajoitettu kolmen kappaleen ongelma, oletamme että M > m1 >> m2, että M ja m1 liikkuvat ympyrä- tai ellipsiratoja pitkin sekä että kaikki liikkuvat samassa tasossa (x-y). Niin sanotun Jacobi integraalin [8] ja Lagrange pisteiden L1,, L5 avulla (kuvat 3 ja 4) voidaan asteroidin m2 liikerata tutkia. Kuva 3. Kolme kappaletta liikkuu xy-tasossa. Kuva 4. Lagrange pisteet L4 ja L5 ovat stabiileja jos M > 25 m1 >> m2. Mielenkiintoisia esimerkkejä ovat Aurinko Jupiter -Trojaanit ja Aurinko Tellus Webb-kaukoputki. 2
4 Sundmanin kolmen kappaleen ongelman olemassaolotodistus 1909 Anders Donnerille 25. tammikuuta 1903 kirjoittamassaan kirjeessä Sundman kertoo kokemuksistaan Pariisissa. Hän on kuunnellut Poincaren luentoja häiriöteoriasta ja kertoo keskusteluistaan Poincaren kanssa (katso kuvat 2 ja 5). Sundman on aloittanut tutkimuksia planeettaliikkeistä erikoistilanteissa, tilanteissa joissa on liikkeen singulariteetit, ja lähestyy tässä kolmen kappaleen ongelman [3] kysymyksiä. Keväällä vuonna 1906 hän on löytänyt että kolmen kappaleen törmäykset yhteen pisteeseen ovat mahdollisia ainoastaan jos liikemäärämomentti on nolla ja geometristen argumenttien avulla nähdään että kappaleet liikkuvat joko tasasivuisen kolmion kärjissä tai pyörivällä suoralla, toisin sanoen, aikaisemmin mainitut Lagrangen tapaukset. Hän aavistaa nyt että kolmen kappaleen ongelman ratkaisu on hyvin lähellä ja haluaisi julkaista tulokset Gösta Mittag-Lefflerin Acta Mathematicassa (kuva 6). Kuva 5. Kirje Anders Donnerille 09.02.04 Kuva 6. Kirje Mittag-Lefflerille 14.09.06 Mutta tulokset eivät ole täysin uusia. Karl Weierstrass oli tietoinen niistä jo 1889 ja oli kirjeitse ilmoittanut siitä Mittag-Lefflerille ja Sonja Kovalewskayalle. Karl Weierstrass, Gösta Mittag-Leffler, Sonja Kovalewskaya, Georg Cantor, Vito Volterra, Adolf Hurwitz ja todennäköisesti pari muutakin matemaatikkoa tapasivat elokuussa 1888 Wernigerodessa keskustelemaan muun muassa kolmen kappaleen ongelmasta ja Kuningas Oscar II:n matematiikkapalkinnosta [9]. Weierstrass ja Mittag-Leffler muodostivat yhdessä Hermiten kanssa palkintotuomariston joka sittemmin kahdestatoista artikkelista valitsi Poincaren voittajaksi. Sundman julkaisee artikkelin [10] Recherches sur le Probleme des Trois Corps Acta Societas Scientarum Fennicassa 17. joulukuuta 1906. Vallitseva mielipide tänä aikana matemaattikkojen kesken oli että kolmen kappaleen ongelman ratkaisu voitaisiin mahdollisesti esittää sarjana, jossa kappaleiden paikat ja nopeudet esitetään suppenevina sarjoina ajan funktiona. Sundman regularisoi integraalit uudella ajan muuttujalla u, joka toteuttaa du = dt/r, tämä vastaa Kepler ongelman eksentristä anomaliaa. Sen jälkeen hän näyttää että kaikki relevantit koordinaatit voidaan 3
kehittää uuden muuttujan sarjoina, sarjoja jotka voidaan kääntää ja joissa aika erotus t-t esiintyy potenssissa 1/3 (katso kuva 7 alhaalla). Kuva 7. Sundman toteaa että relevantit suureet voidaan kehittää sarjaan jossa potenssi on 1/3. Tässä t on se aika jolloin kaksi kappaleista törmäävät toisiinsa. Silloin t on toisen kertaluvun kiertopiste ja kaikki paikkakoordinaatit ja nopeudet voidaan jatkaa analyyttisesti. Parin apulauseen jälkeen Sundman ottaa käyttöön uuden muuttujan w joka toteuttaa ehdon dw/du = r/p jossa P toteuttaa 0 < P < 1 (Kuva 8). Kuva 8. Yhtälöt 65 ja 66 [11] Tämän lisäksi hän näyttää että on olemassa äärettömän pitkä mutta kapea nauha w-tasossa, leveydeltään 2H, ilman singulariteettia joka toteuttaa H < Im(w) < H. Poincaren käyttöönotetun kompleksimuunnoksen avulla, z = f(w), voi Sundman kuvata nauhan z-tason yksikköympyrän sisälle (kuva 9 ja 10), siis z < 1 ja sarjat suppenevat. Q.E.D! Kuva 9. Sundmanin käyttämä kuvaus. Kuva 10. Sundman on nyt todistanut sen minkä piti todistaa. 4
Sundman julkaisee tämän työn Nouvelles Recherches sur le Probleme des Trois Corps kansainvälisesti tuntemattomassa Acta Soc. Sci. Fenn. 18 tammikuuta 1909 [11]. Artikkeli sisältää todistuksen kaikki perusajatukset mutta se on hyvin raskas kaikkine epäyhtälöketjuineen. Gösta Mittag-Leffler, joka myös aikaisemmin on viitannut tien Sundmanille, on halukas julkaista työn Acta Mathematicassa jos se toimitetaan analyyttisempään muotoon ilman taivaanmekaniikan raskaita yksityiskohtia (kuva 11). Sundman muotoilee artikkelin uudelleen Ernst Lindelöfin avulla ja artikkeli julkaistaan Acta Mathematicassa 1912 [12]. Nyt heräävät matematiikan alan vaikuttajat, jotka tarkasti lukevat Acta Mathematicaa ja Karl Frithiof Sundmanista tulee maailankuulu. Hänelle ojennetaan Ranskan Tiedeakatemian de Pontecoulantin palkinto tuplasti vuonna 1913. Ranskassa huomataan että uusi käänne on tapahtunut taivaanmekaniikassa kun nuori matemaatikko-tähtitieteilijä Helsingistä on todistanut sen mihin viimeinen universalisti Henri Poincare ei pystynyt. Aurel Wintner taas kommentoi kirjassaan [5] ( 432bis), melko katkerasti [13], Sundmanin funktioteoreettista todistusta seuraavalla tavalla tälle triviaalille uudelleen formulaatiolle annetaan liian paljon painoa sanomalla että kolmen kappaleen ongelma on nyt ratkaistu. Sundman on itsekin hieman pettynyt; käy ilmi että, vaikka hän on todistanut sen minkä pitikin todistaa, hänellä oli unelma että ratkaisu olisi myöskin numeerisesti arvokas (katso kuva 5 ylhäällä). Numeerinen laskenta näytti kuitenkin mahdottomalta ratkaisun avulla. Kuva 11. Kirje Mittag-Lefflerilta 09.12.1908 Kuva 12. Poincare ja Mittag-Leffler 1905 Sundman jatkaa työtään tähtitieteen parissa valokuvaamalla auringon koronaa täydellisen auringonpimennyksen aikana 21. elokuuta 1914 Kumlingessa [14]. Hän oli vastuussa pimennysretken onnistumisesta ja hylkäsi sen takia Mittag-Lefflerin tarjouksen kirjoittaa laaja katsausartikkeli Poincaren palkintokirjoitelmasta Acta Mathematicaan (katso kuva 13). Samaan aikaan Sundman suunnittelee perturbograafin [15], tai nykypäivän sanastossa analoogisen tietokoneen, jolla taivaanmekaniikan 5
differentiaaliyhtälöt ratkaistaisiin. Perturbograafia ei koskaan rakennettu ja Sundman jatkaa työtään häiriöteorian parissa. Hän epäilee myös Einsteinin suhteellisuusteorian paikkansapitävyyttä ja on sitä mieltä että häiriöteorian korkeammat termit [16] selittäisivät esimerkiksi Merkuriuksen perihelin prekessiota ja muutkin niin sanotut anomaliat [16,17,18]. Raimo Lehti miettii artikkelissaan [2] miksi Sundman kirjoitti katsausartikkelin Theorie der Planeten vuonna 1915 [18], hänhän oli kolmen kappaleen ongelman kiistaton ekspertti. Vastaus tähän on yksinkertainen ja selviää kirjeenvaihdosta. Karl Schwartzschild pyysi Sundmania kirjoittamaan tämän katsauksen jo helmikuun lopussa 1904 ja Sundman hyväksyi tarjouksen [19] (katso kuva 14). Kuva 13. Kirje Mittag-Lefflerille tammikuu 1914 Kuva 14. Kirje Anders Donnerille 1904. 5 Pari kaskua Sundmanista Teivo Pentikäinen kertoi kesällä vuonna 2003 [20], että hän oli kuunnellut Sundmanin luentoja, todennäköisesti kesällä 1942, yhdessä Gustav Järnefeltin ja Lauri Myrbergin kanssa. Sundman luennoi lyhyesti häiriöteoriasta ja kolmen kappaleen ongelmasta seuraavan säännön mukaisesti: tyhjä taulu meillä on.. taulu täyttyy käsittämättömillä yhtälöillä ja siksi.. taulu pyyhitään tyhjä taulu meillä on.. taulu täyttyy käsittämättömillä yhtälöillä ja siksi.. taulu pyyhitään tyhjä taulu meillä on.. taulu täyttyy käsittämättömillä yhtälöillä ja siksi.. taulu pyyhitään, ja niin edelleen. Kurssi loppuu ilman että kuuntelijoilla olisi selvä käsitys kurssin sisällöstä kunnes Järnefelt eräänä päivänä, kun hän on ehtinyt perinpohjaisesti käydä muistiinpanojaan läpi, tuli juosten ja huutaen että kyllä ukolla oli asiaa. Järnefelt oli ymmärtänyt Sundmanin ajatukset. 6
Nuori Jaakko Tuominen halusi lainata kirjan, todennäköisesti Handbuch der Astrophysik, mutta Yrjö Väisälä ei voinut antaa omaa kappalettaan ja Tuominen kysyi Sundmanilta joka vastasi ei ole tarpeen, kaikki on jo tutkittu. Tässä voi tietysti spekuloida että Sundmanin mielestä kaikki oli jo selvä kun kerran kolmen kappaleen ongelman ratkaisu oli saanut olemassaolotodistuksensa. Sundman oli kyllä vanhanaikainen, hän ei luottanut suhteellisuusteoriaan vaan oli varma siitä että tarkemmat häiriöteorian laskelmat antaisivat esimerkiksi Merkuriuksen perihelin prekession oikein. Kuva 15. Karl Sundman 1904 7
Kirjallisuutta: [1] G. Järnefelt, Karl Frithiof Sundman in memorian, Acta Mathematica, tom 83, 1950 ja G. Järnefelt, Acta Soc. Sci. Fenn. XXXC, N:o 2, toukokuu 1951 [2] R. Lehti, Karl Frithiof Sundman taivaanmekaniikan tutkijana I&II, Arkhimedes, 4/2004 [3] H. Poincare, Sur le probleme des trois corps et les equations de la dynamique, Acta Math. tom 13, 1890 [4] E. Whittaker, A Treatise on Dynamics of Rigid Bodies and Particles, luvut XIII-XVI, 1937 [5] A. Wintner, Analytical Foundations of Celestial Mechanics, Princeton University Press, 1941 [6] S. Sternberg, Celestial Mechanics, W A Benjamin, 1969 [7] J. Barrow-Green, Poincare and the Three Body Problem, AMS, 1997 [8] C.G. Jacobi, Comptes Rendus III, 1836 [9] A. Stubhaug, European Mathematical Society Newsletter, N:o 68, 2008 [10] K.F. Sundman, Recherches sur le probleme des trois corps, Acta Soc. Sci. Fenn. tom XXXIV No 6, 1907 [11] K.F. Sundman, Nouvelles recherches sur le probleme des trois corps, Acta. Soc. Sci.Fenn, XXXV, No 9, 1909 [12] K.F. Sundman, Memoire sur le probleme des trois corps, Acta Mathematica tom 36, 1912 [13] E.T. Bell, Men of Mathematics II, Pelican Books 1963, sivut 599-601 [14] K.F. Sundman, Observations de léclipse de Soleil a Kumlinge le 21 aout 1914, Helsinki, 1919 [15] K.F. Sundman, Plan d úne machine destinee a donner des perturbations des planetes, 1915 [16] K.F. Sundman, Uber die Richtungslinien fur fortgesetzte Untersuchungen in den Planet- und Trabanttheorien, Helsinki 1922 [17] K.F. Sundman, La gravitation universelle et sa vitesse propagation, Ann. Acad. Sci. Fenn. A32,11, 1929 [18] K.F. Sundman, Theorie der Planeten, Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Anschluss ihre Anwendungen, VI.2, 1915 [19] K.F. Sundman, kirjeitä Anders Donnerille, yhteensä 23 kpl. [20] T. Pentikäinen, keskustelut syksyllä 2003 [21] K.F. Sundman, kirjeitä Gösta Mittag-Lefflerille, yhteensä 4 kpl. [22] G. Mittag-Leffler, kirjeitä Karl Frithiof Sundmanille, yhteensä 4 kpl Kiitämme Eva Isakssonia, Helsingin Yliopiston Tähtitieteen Laitokselta, joka on kopioinut Karl Frithiof Sundmanin kirjeitä Anders Donnerille [19]. Kiitämme myös Mikael Rågstedtia, Mittag-Lefflerin Instituutista Djursholmissa, keskusteluista, vieraanvaraisuudesta ja Karl Frithiof Sundmanin ja Gösta Mittag-Lefflerin kirjeenvaihdon [21,22] kopioista. Svenska Kulturfonden on taloudellisesti tukenut tätä työtä. cgk info@akkatalo.fi 8