Trigonometriset funk/ot Suorakulmainen kolmio sin(θ) = a c cos(θ) = b c hypotenuusa c tan(θ) = sin(θ) cos(θ) = a b kulma θ b katee8 a katee8 a = c sin(θ) b = c cos(θ) cot(θ) = cos(θ) sin(θ) = b a
Trigonometriset funk/ot Suorakulmainen kolmio hypotenuusa c a katee8 kulma θ Pythagoraan lause: b katee8 a 2 + b 2 = c 2 (c sin(θ)) 2 + (c cos(θ)) 2 = c 2 c 2 sin 2 (θ) + c 2 cos 2 (θ) = c 2 sin 2 (θ) + cos 2 (θ) = 1 Huomaa merkintä: sin 2 (θ) = (sin(θ)) 2
Miten sin, cos, tan määritellään Yksikköympyrä (ympyrä jonka säde on 1) ( 1,0) muilla kulmilla? (0,1) θ cos θ (cos θ, sin θ) sin θ (1,0) (0, 1)
Kehän pituus on 2πR Yksikköympyrä, R = 1 Kedän pituus 2π Radiaanit ja asteet Kulman suuruus radiaaneina vastaa kulman sisään jäävän yksikköympyrän kaaren pituuqa Koko ympyrä = 360 = 2π radiaania
Nega/iviset kulmat cos( θ) = cos(θ) sin( θ) = sin(θ) (0,1) (cos θ, sin θ) ( 1,0) θ θ sin θ (1,0) (0, 1) (cos θ, sin θ)
Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa selville? 1. Erikoiskulmien arvot
0
Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa selville? 1. Erikoiskulmien arvot cos(0) = 1 sin(0) = 0
π/2
Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa selville? 1. Erikoiskulmien arvot cos(0) = 1 cos(π/2) = 0 sin(0) = 0 sin(π/2) = 1
π
Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa selville? 1. Erikoiskulmien arvot cos(0) = 1 cos(π/2) = 0 cos(π)= 1 sin(0) = 0 sin(π/2) = 1 sin(π)=0
3π/2
Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa selville? 1. Erikoiskulmien arvot cos(0) = 1 cos(π/2) = 0 cos(π)= 1 sin(0) = 0 sin(π/2) = 1 sin(π)=0 cos(3π/2) = 0 sin(3π/2) = 1
2π
Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa selville? 1. Erikoiskulmien arvot cos(0) = 1 cos(π/2) = 0 cos(π)= 1 sin(0) = 0 sin(π/2) = 1 sin(π)=0 cos(3π/2) = 0 cos(2π) = 1 sin(3π/2) = 1 sin(2π) = 0
Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa selville? 1. Erikoiskulmien arvot cos(0) = 1 cos(π/2) = 0 cos(π)= 1 sin(0) = 0 sin(π/2) = 1 sin(π)=0 cos(3π/2) = 0 cos(2π) = 1 sin(3π/2) = 1 sin(2π) = 0 2. Trigonometristen funk/oiden jaksollisuus
2π
Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa selville? 1. Erikoiskulmien arvot cos(0) = 1 cos(π/2) = 0 cos(π)= 1 sin(0) = 0 sin(π/2) = 1 sin(π)=0 cos(3π/2) = 0 cos(2π) = 1 sin(3π/2) = 1 sin(2π) = 0 2. Trigonometristen funk/oiden jaksollisuus Sinin ja kosinin arvot toistuvat 2π välein. Sanotaan eqä sinin ja kosinin jakso on 2π. sin(x+2π) = sin(x) cos(x+2π) = cos(x) yleisemmin: sin(x ± N 2π) = sin(x) cos(x ± N 2π) = cos(x)
Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa selville? 3. π radiaanin (180 asteen) siirron vaikutus
θ
θ + π θ
θ θ + 2π
Mitä kaikkea yksikköympyrästä saa selville? 3. π radiaanin (180 asteen) siirron vaikutus cos(x + π) = cos x sin(x + π) = sin x 4. Tangen/n jaksollisuus Tangen/n arvot toistuu π:n välein eli tangen/n jakso on π. tan(x+π) = sin(x + π)/cos(x + π) = sin x / cos x = sin x/cos x = tan x huom! tan(x) määri0elemätön kun cos(x) = 0 5. Trigonometristen funk/oiden etumerkit Välillä [0, π/2]? Välillä [π/2, π]? Välillä [π, 3π/2]? Välillä [3π/2, 2π]?
Mitkä funk/ot (sin, cos, tan) ovat posi/ivisia? [0, π/2] kaikki
Mitkä funk/ot (sin, cos, tan) ovat posi/ivisia? [π/2, π] sin
Mitkä funk/ot (sin, cos, tan) ovat posi/ivisia? tan [π, 3π/2]
Mitkä funk/ot (sin, cos, tan) ovat posi/ivisia? cos [3π/2, 2π]
Trigonometriset käänteisfunk/ot Sinin käänteisfunk/o on arkus sini, merkitään arcsin, laskimissa usein hämääväs/ sin 1 (x) Määritelmä: jos sin(x) = a, x = arcsin(a) Vastaavas/ arkus kosini, arkus tange8 Jos cos(x) = a, x =arccos(a) Jos tan(x) = a, x = arctan(a) Geometrinen tulkinta suorakulmaisesta kolmiosta tai yksikköympyrästä: sin, cos, tan funk/ot oqavat kulman ja antavat kolmion tahkojen suhteita tai yksikköympyrän koordinaaqeja, arkus funk/ot taas oqavat tahkojen suhteita tai yks. ympyrän koordinaaqeja ja antavat kulman.
Trigonometriset käänteisfunk/ot Arkusfunk/ot voi a) päätellä (ainakin helpoille kulmille kuten π/2, π jne) b) löytää taulukkokirjasta c) laskea laskimella (opetelkaa tämä, ja opetelkaa myös vaihtamaan asteiden & radiaanien välillä!) KäyQö trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa. Esim: sin x = 0.5, mikä on x? Vastaus: x = arcsin (0.5) = 0.523598776 rad = π/6 rad = 30 asteqa (tarkemmin o0aen π/6 + N 2π rad, eli 30 + N 360 aste0a, missä N on mikä tahansa kokonaisluku)
Muista jaksollisuus trigonometrisia yhtälöitä ratkaistessa! Sini ja kosini on määritelty kaikilla kulman x arvoilla 2π sin(x)
Muista jaksollisuus trigonometrisia yhtälöitä ratkaistessa! Sini ja kosini on määritelty kaikilla kulman x arvoilla 2π cos(x)
Muista jaksollisuus trigonometrisia yhtälöitä ratkaistessa! Tangen8 määritelty kun cos(x) 0 π tan(x)
Muista jaksollisuus trigonometrisia yhtälöitä ratkaistessa! Usein fysikaalisia reunaehtoja voidaan käyqää rajoiqamaan kulma jollekin välille, esim [0,2π]. Jollei näin ole, arkusfunk/ot tuoqavat ääreqömän määrän mahdollisia ratkaisuja: sin (x) = a x = arcsin(a) ± N 2π (N=0,1,2...) cos (x) = a x = arccos(a) ± N 2π (N=0,1,2...) tan (x) = a x = arctan(a) ± N π (N=0,1,2...)
Trigonometrisia kaavoja Näitä löytyy taulukkokirjoista kymmeniä ellei satoja... Joidenkin johto varsin helppo läh/en Pythagoraan lauseesta tai yksikköympyrästä, usein myös Eulerin kaava: e iθ = cos(θ) + isin(θ) EriQäin hyödyllinen ja "voimakas" kaava joka kytkee yhteen eksponen8funk/ot ja trigonometrian. Eulerin kaavalla voi helpos/ johtaa esim. tupla ja puolikulmien lausekkeet. Tästä lisää kompleksilukujen yhteydessä. Kaavoja tarvitaan trigonometristen yhtälöjen ratkaisemisessa ja etenkin trigonometristen funk/oiden differen/aalilaskennan yhteydessä. Ei tarvitse opetella kaavojen johtoja tai muistaa niitä ulkoa, muqa kaavojen käyqö on osaqava!
Trigonometrisia kaavoja: summa & erotus ± = ± cos( a ± b) = cos a cosb! sin a sin b tan a ± tan b tan( a ± b) = 1! tan a tan b sin ( a b ) sin a cos b cos a sin b ( a+ b) ( a" b) sin a " sin b = cos sin 2 2 2 ( a+ b) ( a" b) cosa + cosb = cos cos 2 2 2 ( a+ b) ( a" b) cosa " cosb = " sin sin 2 2 2
Trigonometrisia kaavoja: tupla ja puolikulmat Double angle formulas: 2tan! tan 2! = 2 1 " tan! sin2! = 2sin! cos! cos2! = 2cos! " 1 2 2 2 cos 2! = 1" 2sin! cos2! = cos! " sin! 2 2 Pythagorean Identities: sin! + cos! = 1 tan 2 2 2 2! + 1 = sec! cot! + 1 = csc! Half angle formulas: 2 1 2 1 sin! = ( cos ) 2 1" 2! cos! = ( cos ) 2 1+ 2!! 1" cos!! 1+ cos! sin = ± cos = ± 2 2 2 2! 1" cos! sin! 1 cos! tan = ± = = " 2 1+ cos! 1 + cos! sin!
Trigonometristen funk/oiden arvoja TRIGONOMETRIC VALUES FOR COMMON ANGLES Degrees Radians sin! cos! tan! cot! sec! csc! 0 0 0 1 0 Undefined 1 Undefined 30 #/6 1/2 3 / 2 3 / 3 3 2 3 / 3 2 45 #/4 2 / 2 2 / 2 1 1 2 2 60 #/3 3 / 2 1/2 3 3 / 3 2 2 3 / 3 90 #/2 1 0 Undefined 0 Undefined 1 120 2#/3 3 / 2-1/2-3 - 3 / 3-2 2 3 / 3 135 3#/4 2 / 2-2 / 2-1 -1-2 2 150 5#/6 1/2-3 / 2-3 / 3-3 -2 3 / 3 2 180 # 0-1 0 Undefined -1 Undefined 210 7#/6-1/2-3 / 2 3 / 3 3-2 3 / 3-2 225 5#/4-2 / 2-2 / 2 1 1-2 - 2 240 4#/3-3 / 2-1/2 3 3 / 3-2 -2 3 / 3 270 3#/2-1 0 Undefined 0 Undefined -1 300 5#/3-3 / 2 1/2-3 - 3 2-2 3 / 3 315 7#/4-2 / 2 2 / 2-1 -1 2-2 330 11#/6-1/2 3 / 2-3 / 3-3 2 3 / 3-2 360 2# 0 1 0 Undefined 1 Undefined
Polaariset koordinaa/t (napakoordinaa/t) Kuvaavat tasossa olevia pisteitä eli vektoreita y x p(x,y) y x
Polaariset koordinaa/t (napakoordinaa/t) Kuvaavat tasossa olevia pisteitä eli vektoreita y x p(r,θ) R θ y x
Polaariset koordinaa/t (napakoordinaa/t) Napakoordinaateilla yhteys kompleksilukuihin (näistä myöhemmin) y x p(r,θ) KolmiuloQeisessa avaruudessa vastaava asia ovat pallokoordinaa/t. Muunnokset karteesisista (x,y) polaarisiin koordinaaqeihin: R θ y x cos(ϑ) = x/r x = Rcos(ϑ) sin(ϑ) = y/r y = Rsin(ϑ)
Polaariset koordinaa/t (napakoordinaa/t) Muunnos toisinpäin: x 2 + y 2 = R 2 cos 2 (ϑ) + R 2 sin 2 (ϑ) =R 2 (sos 2 (ϑ) + sin 2 (ϑ)) = R 2 (1) =R 2 y R x p(r,θ) y R = (x 2 +y 2 ) tan(ϑ)=y/x ϑ = arctan(y/x) θ Huom: tangen/n jaksollisuuden (π) takia arctan(y/x) ei määriqele kulmaa ϑ täydellises/ arkustangen/n arvoon saaqaa joutua lisäämään π, kuten esimerkeistä nähdään. x
Esimerkki Esim: löydä pisteen (R,ϑ) = (2, π/6) karteesiset koordinaa/t. Ratkaisu: x = Rcos(ϑ) = 2cos(π/6) = 3 y = Rsin(ϑ) = 2sin(π/6) = 1 2 π/6
Esimerkki Esim: löydä pisteen (R,y) = ( 1,2) napakoordinaa8esitys. Ratkaisu: R = (x 2 +y 2 ) = (( 1) 2 +2 2 ) = 5 arctan(y/x) = arctan (2/ 1) = arctan( 2) 1.107 rad 63.4 Kuvasta nähdään eqä tämä ei voi olla oikea kulma, Koska piste on kvadran/ssa (90...180 ). Oikea kulma on 1.107 + π = 2.034 rad = 63.4 + 180 = 117.4
Trigonometriset funk/ot kemiassa Ehkä vähän harvinaisempia kuin logaritmi ja eksponen8funk/ot, muqa kuitenkin hyödyllisiä Tarvitaan minkä tahansa jaksollisen (säännöllises/ toistuvan) ilmiön kuvaamiseen Oskilloivat reak/ot Kaikenlaiset värähtelyt ja aaltoliikkeet Tarvitaan kuvaamaan sähkömagnee8sen säteilyn kulkua ja vuorovaikutusta Lähes kaikki eri spektroskopian muodot... Kvan8kemiassa he/ alusta alkaen, esim. vetyatomin aaltofunk/ossa on myös trigonometrisia funk/oita
Polaaristen koordinaa8en hyöty Joitain funk/oita on huomaqavas/ helpompi esiqää /etyssä koordinaa/stossa Esim 2 säteinen ympyrä Napakoordinaateissa: r = 2 Karteesisissa: y = ± (2 x 2 )
Esimerkki: klassinen harmoninen värähtelijä toteuqaa liikeyhtälön F = ma kx = m d2 x dt 2 jonka ratkaisu on x(t) = Acos(ωt) missä A = maksimipoikkeama tasapainoasemasta ω = (k/m) = kulmataajuus x(t) on jaksollinen funk/o ja sen jaks on τ = 2π/ω, sillä x(t +τ) = x(t + 2π ω ) = Acos(ω(t + 2π )) = Acos(ωt + 2π) ω = Acos(ωt) = x(t)
Esimerkki: sähkömagnee8nen säteily on sähkö ja magnee8kentän poikiqaista aaltoliikeqä, jota voidaan kuvata sini tai kosinifunk/oilla. Esim. sähkökentän suuruuqa paikan funk/ona kuvaa aalto ψ 1 (x) = E cos( 2πx λ ) Tehtävä: tämän aallon edellä kulkee toinen aalto ψ 2 (x) = E cos( 2πx λ + ϕ) Tutki vahvistavatko vai kumoavatko aallot toisensa kun a)φ = 0 b)φ = π
Ratkaisu a)φ = 0 ψ 1 (x) +ψ 2 (x) = E cos( 2πx λ ) + E cos(2πx λ + 0) = 2E cos( 2πx aallot vahvistavat toisiaan λ ) b) φ = π ψ 1 (x) +ψ 2 (x) = E cos( 2πx λ ) + E cos(2πx λ + π) = E cos( 2πx λ ) E cos(2πx λ ) = 0 aallot kumoavat toisensa
Esimerkki: Vetyatomin (protoni + elektroni) aaltofunk/o: ψ n,l,m (R,θ,ϕ) = N n,l,m e r na 0 ( 2r )L 2l+1 n l 1 ( 2r )Y m l (θ,ϕ) na 0 na 0 missä n, m, l ovat kvan8lukuja, N on normitusvakio, a 0 on Nohrin säde, L on Laguerren polynomi ja Y on palloharmoninen funk/o:
palloharmonisia funk/oita