ja jäännösluokkien joukkoa

3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi on ekvalenssirelaatio. Polynomin f ekvivalenssiluokkaa (kongruenssiluokkaa tai jäännösluokkaa modulo m) merkitään [f] m = {g F [x] g f mod m} = {f + m h h F [x]}, ja jäännösluokkien joukkoa Polynomia m kutsutaan moduliksi. F [x]/(m) = {[f] m f F [x]}. Huomautus 3.1. Edellinen kongruenssirelaatio on erikoistapaus seuraavasta (vrt. [Alg, propositio 11.18]): Olkoot R kommutatiivinen, ykkösellinen rengas, ja I R ideaali. Alkioille f, g R asetetaan g f : g f I g = f + i jollekin i I. Tämä relaatio on ekvalenssirelaatio. Alkion f ekvivalenssiluokka on {g R g f} = {f + i i I} =: f + I, ja jäännösluokkien joukkoa merkitään R/I. Polynomien tilanteessa I = (m) := {m h h F [x]} = m F [x] on polynomin m virittämä ideaali. Määritelmä 3.2. Jäännösluokille [f] m, [g] m F [x]/(m) määritellään yhteen- ja kertolasku asettamalla [f] m + [g] m := [f + g] m, [f] m [g] m := [fg] m. Lause 3.3. Edellisen määritelmän mukaiset yhteen- ja kertolasku ovat hyvin määriteltyjä, ja joukko F [x]/(m) on kommutatiivinen, ykkösellinen rengas. Todistus. Aluksi pitää siis osoittaa, että summa ja tulo eivät riipu valittujen edustajien valinnasta, t.s. jos [f] m = [f ] m ja [g] m = [g ] m, niin [f + g] m = [f + g ] m ja [fg] m = [f g ] m. Yksityiskohdat jätetään lukijalle. Rengasominaisuuksien osoittaminen on suoraviivaista; nolla-alkio on [0] m ja ykkösalkio [1] m. Esimerkki 3.4. Jäännösluokilla laskemisessa voidaan hyödyntää polynominen jakoyhtälöä: jos deg f deg m ja f = q m + r, missä deg r < deg m, on f r mod m, joten [f] m = [r] m. Siis jäännösluokilla laskettaessa käytetään jäännösluokkien edustajia. Kun välivaiheissa esiintyvien polynomien asteet kasvavat vähintään polynomin m asteen suuruisiksi, käytetään jakoyhtälöä: m:n monikerrat voidaan tiputtaa pois. 9 Viimeksi muutettu 4.9.2013. 16

Käsin laskettaessa voidaan menetellä vielä yksikertaisemmin. Tarkastellaan esimerkkinä rengasta Q[x] ja modulia m := x 2 x 1. Määritelmän mukaan jokainen m:n monikerta on kongruentti nollan kanssa. Erityisesti m 0 mod m, joten [m] m = [0] m. Tällöin [x 2 ] m = [x 2 x 1] m + [x + 1] m = [x + 1] m. Esimerkiksi 17 Tällöin [x 3 ] m = [x] m [x 2 ] m = [x] m [x + 1] m = [x 2 + x] m = [x 2 ] m + [x] m = [x + 1] m + [x] m = [2x + 1] m, ja [x 2 + 2x] m = [x 2 ] m + [2x] m = [x + 1] m + [2x] m = [3x + 1] m. [x 3 + 1] m [x 2 + 2x] m [x 3 ] m = ([2x + 1] m + [1] m )[3x + 1] m [2x + 1] m = [(2x + 2)(3x + 1) (2x + 1)] m = [6x 2 + 6x + 1] m = 6[x 2 ] m + [6x + 1] m = 6[x + 1] m + [6x + 1] m = [12x + 7] m. Tarkastellaan yleisesti jäännösluokkarenkaan F [x]/(m) rakennetta. Olkoot m F [x], d := deg m > 0 ja K := F [x]/(m). Olkoon ϕ K mielivaltainen. Tällöin on olemassa f F [x] siten, että ϕ = [f] m. Jakoyhtälön perusteella on olemassa q, r F [x] siten, että f = q m + r ja deg r < deg m. Tällöin f r mod m, joten [f] m = [r] m. Koska deg r < deg m = d, voidaan r esittää muodossa missä r 0, r 1,..., r d 1 F. Tällöin r = r 0 + r 1 x + + r d 1 x d 1, ϕ = [f] m = [r 0 + r 1 x + + r d 1 x d 1 ] m. Jokaista ϕ K vastaa siis polynomi r = r 0 + r 1 x + + r d 1 x d 1, jonka aste on pienempi kuin d. Jos on olemassa toinen polynomi r siten, että deg r < d ja [ r] m = ϕ, on [ r] m = [r] m, joten r r mod m. Tämä tarkoittaa, että m r r, eli r r = g m jollekin g F [x]. Mutta deg( r r) < d ja deg(g m) = deg g + deg m = deg g + d, joten g = 0 ja r = r. Siis jokaista jäännösluokkaa ϕ K = F [x]/(m) edustaa yksikäsitteinen polynomi r F [x], jolle deg r < d = deg m. Luokan [f] m yksikäsitteinen edustaja on polynomin f jakojäännös polynomilla m jaettaessa, [f] m = [f rem m] m. Lisäksi jakojäännöspolynomi f rem m = r = r 0 + r 1 x + + r d 1 x d 1 voidaan samastaa vektorin (r 0, r 1,..., r d 1 ) F d kanssa. Tarkemmin: kuvaus F d K, (r 0, r 1,..., r d 1 ) [r 0 + r 1 x + + r d 1 x d 1 ] m, on F -lineaarinen bijektio. Väitteen todistus jätetään lukijan tehtäväksi, mutta kerrataan tarvittavia käsitteitä. Määritelmä 3.5. Olkoon F kunta. Joukko E on F -kertoiminen vektoriavaruus (tai F -lineaarinen vektoriavaruus), jos 1 joukkoon E on määritelty kaksi laskutoimitusta +: E E E, (u, v) u + v, ja : F E E, (r, u) r u siten, että 2 (E, +) on Abelin ryhmä, ja

18 3 r (u + v) = r u + r v, (r + s) u = r u + s u, (rs) u = r (s u), 1 u = u kaikille u, v E, r, s F. Esimerkkejä 3.6. a) Kun F on kunta ja d Z +, on joukko E = F F = F d (tulossa d tekijää) F -kertoiminen vektoriavaruus, kun asetetaan (a 0,..., a d 1 ) + (b 0,..., b d 1 ) := (a 0 + b 0,..., a d 1 + b d 1 ), r (a 0,..., a d 1 ) := (ra 0,..., ra d 1 ), kun (a 0,..., a d 1 ), (b 0,..., b d 1 ) F d ja r F. Erityisesti, Z d p on Z p -kertoiminen vektoriavaruus. b) Kun F on kunta, on F -kertoimisten polynomien rengas F [x] F -kertoiminen vektoriavaruus. Samoin joukko P d := {f F [x] deg f < d} on F -kertoiminen vektoriavaruus. F -kertoimisia vektoriavaruuk- Määritelmä 3.7. Olkoot F kunta sekä E 1 ja E 2 sia. Kuvaus L: E 1 E 2 on F -lineaarinen, jos 1 L(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v), 2 L(r u) = r ϕ(u) kaikille u, v E, r F. Määritelmä 3.8. Olkoot F kunta, E F -kertoiminen vektoriavaruus, d Z +, r 1,..., r d F ja e 1,..., e d E. Vektorit e 1,..., e d ovat lineaarisesti riippumattomat, jos ehdosta r 1 e 1 +... r d e d = 0 seuraa r 1 = 0,..., r d = 0. Muutoin, vektorit e 1,..., e d ovat lineaarisesti riippuvat. Jos vektorit e 1,..., e d ovat lineaarisesti riippumattomat ja jokainen vektori e E voidaan esittää vektoreiden e 1,..., e d lineaarikombinaationa e = r 1 e 1 +... r d e d joillekin r 1,..., r d F, muodostavat vektorit e 1,..., e d kannan avaruudelle E. Merkitään d =: dim F E. Esimerkkejä 3.9. a) dim F F d = d; kannaksi käyvät vektorit e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1, 0,..., 0),..., e d = (0,..., 0, 1). b) Kun P d := {f F [x] deg f < d}, on dim F P d = d; kannaksi käy e 1 := 1, e 2 := x,..., e d := x d 1 (t.s. e i := x i 1 ). c) Kun m F [x], d := deg m > 0 ja K := F [x]/(m), on dim F K = d; kannaksi käy e 1 := [1] m, e 2 := [x] m,..., e d := [x d 1 ] m. Huomautus 3.10. Vektoriavaruuden dimensio riippuu kerroinkunnasta. Esimerkiksi C on kaksiulotteinen R-vektoriavaruus, mutta yksiulotteinen C-vektoriavaruus. Lukusuora R on Q-kertoimisena vektoriavaruutena ääretönulotteinen! Lause 3.11. Olkoot F kunta ja f, m F [x]. Merkitään R := F [x]/(m). Tällöin [f] m on kääntyvä renkaassa R, jos ja vain jos syt(f, m) = 1. Kun syt(f, m) = 1, löydetään alkion [f] m käänteisalkio LEA:n avulla.

19 Todistus. Alkio [f] m on kääntyvä s F [x] s.e. [s] m [f] m = [1] m s F [x] s.e. s f 1 mod m s, t F [x] s.e. s f + t m = 1 Ehdosta s f + t m = 1 seuraa, että syt(f, m) = 1. Toisaalta, jos syt(f, m) = 1, löydetään LEA:n avulla polynomit s, t F [x] s.e. s f + t m = 1, jolloin [s] m = ([f] m ) 1. Esimerkki 3.12. Olkoot f := x 3, m := x 2 x 1 Q[x]. LEA:n avulla saadaan (2x 3) f + ( 2x 2 + x 1) m = 1, joten syt(f, m) = 1, ja ([f] m ) 1 = [2x 3] m. Olkoot m F [x] jaoton ja f F [x]. Tällöin (lause 3.11) [f] m on kääntyvä, jos ja vain jos syt(f, m) = 1. Osoitetaan, että syt(f, m) = 1 [f] m [0] m. Jos g := syt(f, m) 1, on g m (ja g f), joten m = g h jollekin h F [x]. Koska m on jaoton, on deg g = 0 tai deg h = 0. Koska g 1, on deg g > 0. Siis deg h = 0, joten h F \ {0}, ja m f, joten [f] m = [0] m. Toisaalta, jos [f] m = [0] m, on m f, joten syt(f, m) 1. Ennen seuraavan lauseen muotoilua, otetaan käyttöön seuraava merkinnällinen sopimus: Olkoot R ja S kommutatiivisia renkaita ja ϕ: R S rengashomomorfismi. Tällöin ϕ indusoi rengashomomorfismin ϕ: R[x] S[x], kun asetetaan ϕ(f(x)) := f(x), missä polynomille f(x) = a 0 + a 1 x + + a d x d R[x] asetetaan f(x) := ϕ(a 0 ) + ϕ(a 1 ) x+ +ϕ(a d ) x d. Esimerkiksi jokainen kokonaislukukertoiminen polynomi f(x) = a 0 + a 1 x + + a d x d (missä siis a j Z) määrää Z n -kertoimisen f(x) = ā 0 + ā 1 x + + ā d x d, missä ā j = [a j ] n Z n. Usein tällaisessa tilanteissa polynomeja f ja f ei erotella toisistaan. Lause 3.13. Olkoot F kunta, m F [x], d := deg m > 0, ja K := F [x]/(m). Tällöin K on kunta, jos ja vain jos m on jaoton. Lause 3.14. Olkoot F kunta, m F [x] jaoton ja K := F [x]/(m). Tällöin (i) K sisältää kunnan F (kanssa isomorfisen kunnan) alikuntanaan; (ii) kun α := [x] m K, on m(α) = 0; (iii) kunta K on d-ulotteinen F -kertoimisena vektoriavaruutena. Todistus. Ensimmäisen kohdan väitteen kohta jos seuraa ennen lausetta olleesta tarkastelusta. Vain jos jätetään lukijan tehtäväksi. Toista kohtaa varten olkoon ϕ: F K, ϕ(a 0 ) := [a 0 ] m F [x]/(m), missä a 0 F samastetaan vakiopolynomin kanssa. On helpppo todeta, että ϕ on injektiivinen rengashomomorfismi. Joukko ϕ(f ) on haettu alikunta. Olkoon m(x) = m 0 1 + m 1 x + + m d x d. Tällöin m(α) = m 0 1 + m 1 α + + m d α d = m 0 [1] m + m 1 [x] m + + m d [x] d m = [m 0 1 + m 1 x + + m d x d ] m = [m] m = [0] m. Viimeinen kohta seuraa ennen määritelmää 3.5 olleista tarkasteluista.

Huomautus 3.15. Kunta K = F [x]/(m) on esimerkki kuntalaajennuksesta: alkuperäinen kunta F on isomman kunnan K alikunta. Laajennuskunnalla K on lisäksi se tärkeä ominaisuus, että valitulla polynomilla m on juuri kunnassa K, vaikkei sillä sellaista ole alkuperäisessä kunnassa F (paitsi tapauksessa deg m = 1). Esimerkki 3.16. Tarkastellaan tuttua tilannetta F := R ja m := x 2 + 1. Koska x 2 +1 on jaoton renkaassa R[x], on jäännösluokkarengas R[x]/(x 2 +1). Lisäksi se sisältää kunnan R (kanssa isomorfisen kunnan) alikuntanaan. Olkoon [g] m R[x]/(x 2 +1). Kun polynomi g(x) jaetaan polynomilla x 2 + 1, löydetään yksikäsitteiset q(x) R[x] ja a, b R siten, että g(x) = q(x) (x 2 + 1) + a + b x. Alkiolla I := [x] m on ominaisuus I 2 + 1 = [x 2 + 1] m = [0] m, t.s. I 2 = 1. Jos asetetaan ϕ: C R[x]/(x 2 + 1), a + i b [a + b x] x 2 +1, on kuvaus ϕ bijektiivinen rengashomomorfismi. Siis kompleksilukujen kunta C on isomorfinen jäännösluokkakunnan R[x]/(x 2 + 1) kanssa. Kompleksilukujen kunnan C tulkinta jäännösluokkakuntana R[x]/(x 2 + 1) on algebran kannalta se luonnollinen tapa; tässähän reaalilukujen kuntaan R liitetään polynomin x 2 + 1 juuri I, joka toteuttaa yhtälön I 2 = 1. Näinhän imaginaariyksikköä ajatellaan, ei lukuparina (a, b) R 2! Esimerkki 3.17. Olkoot F := Q ja m := x 2 2. Vastaavanlaisella polynomien jakoyhtälöä käyttävällä päättelyllä nähdään, että jäännösluokkarenagas Q[x]/(x 2 2) on isomorfinen joukon Q[ 2] := {a + 2 b a, b Q} kanssa. Huomaa, että polynomi x 2 2 on jaoton renkaassa Q[x], joten jäännösluokkarenagas Q[x]/(x 2 2) on kunta. Renkaassa R[x] polynomi jakautuu tekijöhin x 2 2 = (x 2)(x + 2). Kunnan Q[x]/(x 2 2) alkiolla α := [x] x 2 2 on nyt ominaisuus α 2 = 2. Esimerkki 3.18. Olkoot F := Z 2 = { 0, 1} ja m := x 2 +x+ 1. Tällöin m on jaoton renkaassa Z 2 [x] (polynomifunktiolla r m(r) on arvot m( 0) = 1 ja m( 1) = 1). Olkoon α := [x] m. Tällöin m(α) = 0, t.s. α 2 + α + 1 = 0. Koska kerroinkunnassa Z 2 on 1 = 1, on α 2 = α + 1. Kunnassa Z 2 [x]/(x 2 + x + 1) on siis alkiot 0, 1, α ja α + 1. Ainoa erityinen laskusääntö, joka tarvitaan kerroinkunnan Z 2 laskusääntöjen lisäksi, on tieto α 2 = α + 1. Määritelmä 3.19. Olkoot p alkuluku, m Z p [x] jaoton ja d := deg m. Galois n kunta, jossa on p d alkiota, on jäännösluokkakunta GF(p d ) := F p d := Z p [x]/(m). Lauseen 3.14 nojalla Galois n kunta on kunta. Mutta millaisia tällaiset kunnat ovat rakenteeltaan? Ja onko tällaisia olemassa? Siis: millaisille alkuluvuille p ja kokonaisluvuille d on olemassa kunnan Z p suhteen jaoton, astetta d oleva polynomi? Ja jos tällaisia on, niin vaikuttaako jaottoman polynomin valinta kuntaan F p d? Eräs tuttu kunta voidaan tunnistaa. Olkoon m(x) := x Z p [x]. Tällöin m on jaoton astetta yksi oleva polynomi, joten F p = Z p [x]/(x) on kunta. Millaisia ovat kunnan F p alkiot? Se saadaan selville polynomien jakoyhtälön avulla. Olkoon f Z p [x]. Jakoyhtälön nojalla f(x) = q(x) x + r joillekin q(x) Z p [x] ja r Z p [x], jolla deg r < deg x = 1. Siis r on vakiopolynomi, r Z p, ja jäännösluokka [f(x)] x = [q(x)] x [x] x + [r] x = [r] x. Kunnan F p = Z p [x]/(x) alkiot voidaan siis samastaa kunnan Z p alkioiden kanssa samastamalla r Z p ja [r] x F p. (Tarkempi selitys olisi: kuvaus Z p F p, r [r] x, on rengasisomorfismi.) 20