3. Differen*aalilaskenta

3. Differen*aalilaskenta Differen*aali "hyvin pieni muutos" Derivaa9a kuvaa funk*on muutosnopeu9a Esim. 1 kertaluvun kemiallinen reak*o A > B Reak*on nopeus on A:n tai B:n konsentraa*on muutosnopeus. Reak*on hetkellinen nopeus on v = d [ A ] = d [ B ] dt dt Muita derivaatan merkintätapoja: df(x) dx = f'(x) = f1 (x) = D x f(x) = Df(x)

df(x) dx = f'(x) = f1 (x) = D x f(x) = Df(x) Kaikissa näissä derivoidaan x:n suhteen. Jos funk*o f riippuu myös muista muu9ujista, ja halutaan erikseen korostaa e9ä derivoidaan (vain ja ainoastaan) x:n suhteen, käytetään osi9aisderivaatan merkintää: f(x) x = ( f(x) x ) y,z,... nämä pidetään vakiona osi9aisderivaa9aa laske9aessa

Derivaatan graafinen tulkinta df (x) Δf (x) kun Δx hyvin pieni. dx Δx df (x) Muodollinen määritelmä: dx = lim f (x + h) f (x) h 0 h f(x) f(x+h) h

Derivaatan graafinen tulkinta df (x) Δf (x) kun Δx hyvin pieni. dx Δx df (x) Muodollinen määritelmä: dx = lim f (x + h) f (x) h 0 h f(x+h) f(x) h

Derivaatan graafinen tulkinta df (x) Δf (x) kun Δx hyvin pieni. dx Δx df (x) Muodollinen määritelmä: dx = lim f (x + h) f (x) h 0 h f(x) f(x+h) h

Derivaatan graafinen tulkinta df (x) Δf (x) kun Δx hyvin pieni. dx Δx df (x) Muodollinen määritelmä: dx = lim f (x + h) f (x) h 0 h f(x+h) f'(x) h

Derivaatan graafinen tulkinta df (x) Δf (x) kun Δx hyvin pieni. dx Δx df (x) Muodollinen määritelmä: dx = lim f (x + h) f (x) h 0 h f'(x)

Derivaa9a kohdassa x = funk*on kulmakerroin, voidaan kuvata tangentviivalla

Esim: Vetyjodidin hajoamisreaak*o 2HI(g) > H 2 (g) + I 2 (g) Etenemistä voi seurata mi9aamalla HI:n konsentraa*ota ajan funk*ona. Mi9austulokset 50 C lämpö*lassa: 1 0.8 [HI],mol/L 0.6 0.4 0.2 0 0 50 100 150 200 t,s Mikä on vetyjodidin hetkellinen hajoamisnopeus kun t = 70 s?

Ratkaisu: piirretään tangent t = 70s kohdalle [HI],mol/L 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 50 100 150 200 t,s

Ratkaisu: piirretään tangent t = 70s kohdalle [HI],mol/L 1 0.8 0.6 Δ[HI] 0.4 0.2 Δt 0 0 50 100 150 200 t,s

Ratkaisu: piirretään tangent t = 70s Kohdalle [HI],mol/L 1 0.8 0.6 Δ[HI] 0.4 0.2 Δt Nyt voidaan arvioida muutosnopeus 0 0 50 100 150 200 t,s d[ HI] dt Δ [ HI ] Δt 0.24mol/L 72s 0.0033mol/Ls

Vakio Alkeisfunk*oiden derivaatat D x a = 0 Esim D x 8 = 0 Potenssifunk*o D x x n = nx n 1 Esim. D x x 7 = 7x 7 1 = 7x 6 D x x 2 = 2x 3 D x x = D x x 1 = 1x 0 = 1 D x (1/x 3 ) = D x x 3 = 3x 4 D y y ab+2 = (ab+2)y ab+1

Missä sin(x) muu9uu nopeiten? Entä vähiten? Missä cos(x) muu9uu nopeiten ja vähiten? cos(x) sin(x)

Alkeisfunk*oiden derivaatat Trigonometriset funk*ot D x sin x = cos x D x cos x = sin x EksponenTfunk*o D x e x = e x Logaritmifunk*o D x ln x = 1/x

Derivoin*säännöt Vakiokertoimen käsi9ely (tässä k = vakio) D x k = 0 D x [kf(x)] = kd x f(x) =kf'(x) Esim. D x (5e x ) = 5D x e x = 5e x Summa ja erotus D x [f(x) ± g(x)] = f'(x) ± g'(x) Esim. D x [3x 2 4x +2] = D x 3x 2 + D x ( 4x) + D x (2) = 3 2x 2 1 + 4 1x 1 1 + 0 = 6x 4

Tulo Derivoin*säännöt D x [f(x) g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) Esim. D x [x sin(x)] = D x (x) sin x + x D x (sin x) = 1 sin x + x cos x = sin x + x cos x Esim. D x [(x 2 1)e x cos(x)] = 2x e x cos(x) +(x 2 1)e x cos(x) (x 2 1)e x sin(x)

Derivoin*säännöt Osamäärä D x f(x) g(x) Esim. = f'(x)g(x) f(x)g'(x) g(x) [ ] 2 d e x d x x = D x (ex ) x - e x D x (x) x 2 = xex e x x 2 Toinen tapa: d e x d x x = d (e x x 1 ) = D x (e x ) x 1 + e x D x (x 1 ) d x = e x x 1 + e x ( 1 x 2 ) = e x (x 1 x 2 ) = ex x ex x 2 = xex e x x 2

Sisäfunk*on käsi9ely D x [f(x) n ] = n f(x) n 1 f'(x) Esim. D x (sin 3 x) = D x (sin x) 3 = 3 sin 2 x cos x D x cos[f(x)] = sin[f(x)] f'(x) D x sin[f(x)] = cos[f(x)] f'(x) Esim. D x [cos(2x)] = sin(2x) 2 D x [sin(x 2 1)] = cos(x 2 1) 2x D x [e f(x) ] = e f(x) f'(x) Esim. D x (e x2 ) = e x2 2x

Sisäfunk*on käsi9ely D x ln[ f(x) ] = 1 f'(x) f'(x) = f(x) f(x) Esim D x ln(x+1) = 1/(x+1) D x (x+1) = 1/(x+1) 1 = 1/(x+1) Esim D x ln(cos(x)) = 1/(cos(x)) D x cos(x) = 1/(cos(x)) sin(x) = sin(x)/cos(x) = tan(x)

Yleinen tapaus Funk*o f jossa muu9ujana on funk*o g: f(g(x)) Esim f(x) = e x ulkofunk*o g(x) = x 2 sisäfunk*o f(g(x)) = e x2 yhdiste9y funk*o D x f(g(x)) = df(u) dg(x) du u=g(x) dx D x e x2 = deu du u=x 2 dx2 dx = e u u=x 2 2x = e x2 2x

Derivoimiskaavoja Näitä löytyy MAOL:in taulukoista, muista taulukkokirjosita, ne*stä, jnpp... Useimmat kaavat johde9avissa melko helpos* edellä esite9yjen sääntöjen perusteella, kunhan alkeisfunk*oiden derivaatat muistaa Esim D x (tan x) = D x (sin x / cos x) = (cos x cos x sin x sin x)/(cos 2 x) = (cos 2 x + sin 2 x )/cos 2 x = 1/cos 2 x Ope9ele ymmärtämään ja käy9ämään; älä ope9ele ulkoa pitkää listaa kaavoja...

d dx n n# 1! x " nx DERIVATIVE RULES $! sin x" $ cos x! cos x" d dx d dx $# sin x d! a x " ln a dx x 2 $ %a! " d dx tan x d 2 $ sec x! cot x" $# csc dx x d dx! f ( x) % g( x) " $ f ( x) % g& ( x) ' g( x) % f &( x)! sec x" $ sec x tan x! " d dx d dx csc x $# csc xcot x d ( f ( x) ) g( x) % f &( x) # f ( x) % g& ( x) * + $ dx, g( x) - gx ( )! " 2 d dx 1! arcsin x" $ 2 1# x d dx 1 $ 1 ' x! arctan x" 2 d dx d dx d 1 dx x x! f ( g( x)) " $ f &( g( x)) % g& ( x)! arc sec x" $ 2 1 x! ln x" $! sinh x" $ cosh x! cosh x" d dx # 1 d dx $ sinh x

Esimerkki: d/dt[e t t 2 + (2t cos(3t) 1) 8 e t ] =D t [e t t 2 ] + D t [(2t cos(3t) 1) 8 e t ] =D t (e t ) t 2 + e t D t [t 2 ] + D t [(2t cos(3t) 1) 8 ] e t + (2t cos(3t) 1) 8 D t (e t ) = 1 e t t 2 + e t 2 t + 8 (2t cos(3t) 1) 7 D t [2t cos(3t) 1] e t + (2t cos(3t) 1) 8 e t = t 2 e t + 2te t + 8 (2t cos(3t) 1) 7 (D t [2t cos(3t)] D t (1)) e t + (2t cos(3t) 1) 8 e t

= t 2 e t + 2te t + (2t cos(3t) 1) 8 e t + 8 (2t cos(3t) 1) 7 [D t (2t) cos(3t) + 2t D t (cos(3t)) 0)] e t = t 2 e t + 2te t + (2t cos(3t) 1) 8 e t + 8 (2t cos(3t) 1) 7 [2cos(3t) + 2t 3 sin(3t)] e t = t 2 e t + 2te t + (2t cos(3t) 1) 8 e t + 8 (2t cos(3t) 1) 7 (2cos(3t) 6tsin(3t)) e t

Derivaatan käy9ö kemiassa Muutosnopeuden laskeminen Esim. reak*onopeus = konsentraa*on muutosnopeus Minimi ja maksimiarvojen löytäminen Funk*on saavu9aa minimi ja maksimiarvonsa joko määri9elyalueen rajoilla tai derivaatan nollakohdissa KvanTkemian operaa9oreissa usein mukana derivaa9a Tarvitaan esim. aaltofunk*oiden ratkaisemiseen

Esimerkki: Hückelin approksimaa*on avulla kuvataan konjugoituneen hiiliketjun (muotoa C=C C=C C) omaavan molekyylin orbitaalienergioita. Teorian mukaan eteenin C 2 H 4 pi elektronien orbitaalienergiat (ε) ovat ε = α + 2c(1 c 2 ) 0.5 β α ja β ovat Hückelin parametrit ja c on muu9uja. Sta*onääririssä pisteissä dε/dc = 0. Laske ε:n mahdolliset arvot. Ratkaisu: aloitetaan laskemalla ne c:n arvot joilla dε/dc = 0. dε dc = 0 + 2β D c c(1 c2 ) 1 = 2β D c (c) (1 c 2 ) 2 + c D c (1 c 2 ) 1 2 1 2

1 = 2β 1 (1 c 2 ) 2 + c 1 2 (1 c2 ) 1 2 ( 2c)) = 2β (1 c 2 ) 1 2 c 2 (1 c 2 ) 1 2 dε dc = 0 (1 c2 ) (1 c 2 ) - c 2 = 0 1 2c 2 = 0 1 2 c 2 (1 c 2 ) 1 2 1 = 0 (1 c) 2 c = ± 1 2 = ± 1 2

Sijoitetaan nyt lasketut c:n arvot alkuperäiseen yhtälöön: c = + 1 2 ε = α + 2 1 2 (1- ( 1 1 2 )2 ) 2 β = α + 2 1 2 (1-1 2 ) 1 2 β = α + 2 1 2 1 2 β = α + β c = 1 2 ε = α + 2-1 2 (1- ( 1 2 )2 ) = α - 2 1 2 (1-1 2 ) 1 2 β 1 2 β = α - 2 1 2 1 2 β = α β

Derivaa9a ja ääriarvot Funk*on derivaa9aa *etyssä pisteessä kuvataan tangentviivalla.

Derivaa9a ja ääriarvot Funk*on derivaa9aa *etyssä pisteessä kuvataan tangentviivalla. Missä kohdissa derivaa9a (tangen*n kulmakerroin) on nolla?

Derivaa9a ja ääriarvot Funk*on derivaa9aa *etyssä pisteessä kuvataan tangentviivalla. Missä kohdissa derivaa9a (tangen*n kulmakerroin) on nolla? Vastaus: funk*on ääriarvokohdissa

Derivaatan nollakohdat f'(x) = 0 voi merkitä f(x):n maksimia f'(x) = 0 f(x):n minimiä f'(x) = 0 ei kumpaakaan (engl. "inflec*on point") f'(x) = 0

Derivaatan etumerkki Jos f'(x) > 0, funk*o on kasvava Jos f'(x) < 0, funk*o on pienenevä f'(x)=0: kasvuvauh* on nolla f'(x) = 0 f'(x) = 0 f'(x) > 0 funk*o kasvaa f'(x) < 0 funk*o pienenee f'(x) > 0 funk*o kasvaa

Ääriarvotehtävät Funk*on ääriarvokohdat voivat löytyä: Derivaatan nollakohdista Määri9elyalueen rajoilta Derivaatan nollakohdan luonne (maksimi, minimi vai ei kumpaakaan) selviää tarkastelemalla derivaatan etumerkkiä nollakohdan molemmin puolin f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0 f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) < 0

Funk*on maksimikohdassa derivaatan f'(x) etumerkki on posi*ivinen sen nollakohdan vasemmalla (pienempi x) puolella ja nega*ivinen sen oikealla (suurempi x puolella) Funk*on minimikohdassa derivaatan f'(x) etumerkki on nega*ivinen sen nollakohdan vasemmalla (pienempi x) puolella ja posii*ivinen sen oikealla (suurempi x puolella) Jos derivaatan etumerkki on sama nollakohdan molemmin puolin, kyseessä ei ole funk*on minimi tai maksimikohta. f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0 f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) < 0

Toimintastrategia ääriarvotehtävissä ("löydä funk*on pienin/suurin arvo") 1) Selvitä f(x) määri9elyjoukko Joskus tämä on selkeäs* anne9u tehtävässä, joskus taas se täytyy itse päätellä. Kemialliset ja fysikaaliset perustelut käyvät hyvin, esim "konsentraa*o tai massa ei voi olla nega*ivinen => yksi raja on c=0 tai m=0". 2) Derivoi f(x) 3)Etsi derivaatan f'(x) nollakohdat 4)Selvitä f'(x):n etumerkin avulla onko kyseessä minimi vai maksimi 5)Laske f(x) arvo derivaatan nollakohdissa sekä määri9elyalueen rajoilla

Esim: mikä on funk*on f(x) = x 2 3x + 2 suurin ja pienin arvo välillä [ 5,+5]? Ratkaisu: 1)Määri9elyjoukko on anne9u; välillä [ 5,+5] 2)f'(x) = 2x 3 3)f'(x)=0 => 2x 3 = 0 => x = 3/2 = 1.5 4) kyseessä on minimi f'(x) + 5) f( 5) = 42 x=1.5 f(1.5) = 0.25 f(5) = 12 pienin arvo on 0.25 ja suurin arvo 42.

Esimerkki: Lennard Jones poten*aali Molekyylien välistä poten*aalienergiaa V(r) kuvataan usein Lennard Jones poten*aalienergiafunk*olla V(r) = 4ε ( δ r )12 - ( δ r )6 missä r on molekyylien etäisyys toisistaan, ε on vuorovaikutuksen voimakkuu9a kuvaava parametri ja δ on etäisyys jolla V(r) = 0. Selvitä poten*aalienergiafunk*on minimin paikka ja arvo.

Ratkaisu: 1)Määri9elyjoukkoa ei ole erikseen anne9u, mu9a etäisyys ei voi olla nega*ivinen: määri9elyjoukko on siis ]0, [ 2)Derivoidaan: V(r) = 4ε ( δ r )12 - ( δ r )6 = 4ε(δ12 r 12 δ 6 r 6 ) V'(r) = 4ε(δ 12 ( 12) r 13 δ 6 ( 6) r 7 ) = 4ε( 12δ 12 r 13 + 6δ 6 r 7 ) 3)Lasketaan derivaatan nollakohdat: V'(r) = 4ε( 12δ 12 r 13 + 6δ 6 r 7 ) = 0 12δ 12 r 13 + 6δ 6 r 7 = 0 2δ 6 r 13 + r 7 = 0

2δ 6 r 13 + r 7 = 0 2δ 6 r 6 +1 = 0 2δ 6 r 6 = 1 r 6 = 1 r 6 = 1 2δ 6 r 6 = 2δ 6 6 r = 2δ 4)Onko kyseessä minimi vai maksimi? V'(r) + r=(2) 1/6 δ

5)Lasketaan V((2) 1/6 δ) V(r) = 4ε ( δ 6 2δ )12 - ( δ 6 2δ )6 δ 12 = 4ε ( ) - ( δ 6 ) 12 6 2 6 δ 12 2 6 δ 6 = 4ε ( 1 4 ) - (1 2 ) = 4ε 1 4 = ε V(0) ei ole määritelty (tosin helpos* huomataan e9ä V(r) kun r 0), ja V(r) 0 kun r. Löyde9y derivaatan nollakohta r = (2) 1/6 δ on siis poten*aalienergian minimikohta, jonka arvo on ε

V(r) V=0 r=(2) 1/6 δ V= ε

Esimerkki: Maxwell Bolzmann jakauma Todennäköisyys e9ä m massaisen hiukkasen nopeus lämpö*lassa T on v saadaan Maxwell Bolzmannin jakaumasta: 3 m f(v) = 4π( 2πkT ) 2 v 2 e mv2 2kT missä k on Bolzmannin vakio. Määritä molekyylin todennäköisin nopeus. Ratkaisu: 1)Määri9elyjoukkoa ei ole erikseen anne9u, mu9a nopeus ei voi olla nega*ivinen: määri9elyjoykko on siis ]0, [

2)Derivoidaan: 3 m f'(v) = 4π( 2πkT ) 2 D v (v 2 e mv2 3 m = π( 2πkT ) 2 D v (v 2 ) e mv2 2kT 3 m = π( 2πkT ) 2 2v e mv2 2kT 3 m = π( 2πkT ) 2 e mv2 2kT 2kT ) + v 2 D v (e mv2 + v 2 e mv2 2kT 2v + v 2 2mv 2kT 3 m = π( 2πkT ) 2 e mv2 2kT v(2 mv2 kt ) 2kT ) D v ( mv2 2kT )

3)Lasketaan derivaatan nollakohdat: 3 m π( 2πkT ) 2 e mv2 2kT v(2 mv2 kt ) = 0 tulo on nolla jos joku sen tekijöistä on nolla, eli 2kT = 0 tai v=0 tai (2 mv2 kt ) = 0 v = ± 2kT m e mv2 EksponenTfunk*o on aina nollaa suurempi, ja nega*ivinen nopeus (2kT/m) 0.5 on määri9elyalueen ulkopuolella. Jää siis kaksi nollakohtaa: v=0 ja v=(2kt/m) 0.5

4) Tarkastellaan f'(v) etumerkkiä: f'(v) + v=0 v=(2kt/m) 0.5 3 m f'(v) = π ( 2πkT ) 2 e mv2 2kT v(2 mv2 kt ) = 0 Huom: koska vakio ja eksponentosa ovat aina > 0, ja määri9elyjoukko on v > 0, etumerkin laskemiseksi tarvitsee laskea ainoastaan tekijän (2 mv 2 /kt) etumerkki. 5) v = (2kT/m) 0.5 vastaa siis f(v) maksimiarvoa, ja vastaus on: molekyylin todennäköisin nopeus on (2kT/m) 0.5 (huom: f(v) arvoa ei kysy2y joten sitä ei tarvitse laskea)