Osa VI Fourier analyysi A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 127 / 246
1 Johdanto 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 128 / 246
1 Johdanto Funktion parillisuus ja parittomuus Jaksollisuus Signumfunktio, Diracin, ja Heavisiden funktio 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 129 / 246
Joseph Fourier (1768 1830) A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 130 / 246
Paloittain jatkuva funktio Reaali- tai kompleksimuuttujan funktio f on paloittain jatkuva alueessa D, jos se on epäjatkuva korkeintaan alueen D erillisissä pisteissä. Kuva: Paloittain jatkuva funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 131 / 246
Funktion parillisuus ja parittomuus Jatkuva tai paloittain jatkuva funktio f on parillinen, jos f ( t) = f (t) kaikilla t. Kuva: Parillinen funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 132 / 246
Funktion parillisuus ja parittomuus, jatkoa Jatkuva tai paloittain jatkuva funktio f on pariton, jos f ( t) = f (t) kaikilla t. Kuva: Pariton funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 133 / 246
Esimerkkejä ja huomautuksia Funktiot c (vakiofunktio), x, cos x, x 2 ja exp( x 2 ) ovat parillisia. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 134 / 246
Esimerkkejä ja huomautuksia Funktiot c (vakiofunktio), x, cos x, x 2 ja exp( x 2 ) ovat parillisia. Funktiot x, x 3, sin x ja tan x ovat parittomia. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 134 / 246
Esimerkkejä ja huomautuksia Funktiot c (vakiofunktio), x, cos x, x 2 ja exp( x 2 ) ovat parillisia. Funktiot x, x 3, sin x ja tan x ovat parittomia. Jos pariton funktio on derivoituva, sen derivaatta on parillinen funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 134 / 246
Esimerkkejä ja huomautuksia Funktiot c (vakiofunktio), x, cos x, x 2 ja exp( x 2 ) ovat parillisia. Funktiot x, x 3, sin x ja tan x ovat parittomia. Jos pariton funktio on derivoituva, sen derivaatta on parillinen funktio. Vastaavasti, jos parillinen funktio on derivoituva, sen derivaatta on pariton funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 134 / 246
Esimerkkejä ja huomautuksia Funktiot c (vakiofunktio), x, cos x, x 2 ja exp( x 2 ) ovat parillisia. Funktiot x, x 3, sin x ja tan x ovat parittomia. Jos pariton funktio on derivoituva, sen derivaatta on parillinen funktio. Vastaavasti, jos parillinen funktio on derivoituva, sen derivaatta on pariton funktio. Parillisen ja parittoman funktion tulo on pariton funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 134 / 246
Parittoman/parillisen funktion integraali Lemma Jos f on pariton ja c > 0, niin c Jos f on parillinen, niin c c c f (t) dt = 0. c f (t) dt = 2 f (t) dt. 0 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 135 / 246
Todistus Oletetaan, että f on pariton, siis f ( t) = f (t) kaikilla t. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 136 / 246
Todistus Oletetaan, että f on pariton, siis f ( t) = f (t) kaikilla t. Saadaan c c f (t) = 0 c c f (t) dt + f (t) dt 0 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 136 / 246
Todistus Oletetaan, että f on pariton, siis f ( t) = f (t) kaikilla t. Saadaan c c f (t) = 0 c c f (t) dt + f (t) dt 0 Tekemällä sijoitus t = s, saadaan edelleen 0 c c f (t) dt + f (t) dt = 0 0 c c f ( s) ( 1) ds + f (t) dt 0 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 136 / 246
Todistus Oletetaan, että f on pariton, siis f ( t) = f (t) kaikilla t. Saadaan c c f (t) = 0 c c f (t) dt + f (t) dt 0 Tekemällä sijoitus t = s, saadaan edelleen 0 c c f (t) dt + f (t) dt = 0 = c 0 0 c c f ( s) ( 1) ds + f (t) dt 0 c f ( s) ds + f (t) dt. 0 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 136 / 246
Todistus Oletetaan, että f on pariton, siis f ( t) = f (t) kaikilla t. Saadaan c c f (t) = 0 c c f (t) dt + f (t) dt 0 Tekemällä sijoitus t = s, saadaan edelleen 0 c c f (t) dt + f (t) dt = 0 0 c c f ( s) ( 1) ds + f (t) dt 0 c c = f ( s) ds + f (t) dt. 0 0 c c = f (s) ds + f (t) dt = 0. 0 0 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 136 / 246
Todistus Oletetaan, että f on pariton, siis f ( t) = f (t) kaikilla t. Saadaan c c f (t) = 0 c c f (t) dt + f (t) dt 0 Tekemällä sijoitus t = s, saadaan edelleen 0 c c f (t) dt + f (t) dt = 0 0 c c f ( s) ( 1) ds + f (t) dt 0 c c = f ( s) ds + f (t) dt. 0 0 c c = f (s) ds + f (t) dt = 0. 0 0 Parillisen funktion osalta todistus sujuu samaan tapaan. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 136 / 246
Jaksollisuus Jatkuva tai paloittain jatkuva funktio f on jaksollinen (jaksona T ), jos f (t + T ) = f (t) kaikilla t. Kuva: Jaksollinen funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 137 / 246
Etumerkkifunktio eli signumfunktio Etumerkkifunktio määritellään sgn (t) = { 1, kun t < 0, 1, kun t 0. Kuva: Etumerkkifunktio eli signumfunktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 138 / 246
Yksikköaskelfunktio eli Heavisiden funktio Paloittain jatkuva yksikköaskelfunktio u(t) määritellään { 0, kun t < 0, u(t) = 1, kun t 0. Kuva: Yksikköaskelfunktio eli Heavisiden funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 139 / 246
Yksikköaskelfunktio eli Heavisiden funktio Paloittain jatkuva yksikköaskelfunktio u(t) määritellään { 0, kun t < 0, u(t) = 1, kun t 0. Huomautus 1: Joskus yksikköaskelfunktiota ei määritellä 0:ssa tai sen arvoksi 0:ssa asetetaan 1/2. Tämän kurssin asioiden kannalta ei ole merkitystä sillä, mikä arvo 0:ssa on. Kuva: Yksikköaskelfunktio eli Heavisiden funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 139 / 246
Yksikköaskelfunktio eli Heavisiden funktio Paloittain jatkuva yksikköaskelfunktio u(t) määritellään { 0, kun t < 0, u(t) = 1, kun t 0. Huomautus 1: Joskus yksikköaskelfunktiota ei määritellä 0:ssa tai sen arvoksi 0:ssa asetetaan 1/2. Tämän kurssin asioiden kannalta ei ole merkitystä sillä, mikä arvo 0:ssa on. Huomautus 2: Yksikköaskelfunktio voidaan kirjoittaa sigumfunktion avulla u(t) = (1 + sgn (t))/2. Kuva: Yksikköaskelfunktio eli Heavisiden funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 139 / 246
Yksikköimpulssifunktio eli Diracin deltafunktio Määritellään ensin funktio f ε (t) = { 1/ε, kun t [0, ε], 0, muulloin. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 140 / 246
Yksikköimpulssifunktio eli Diracin deltafunktio Määritellään ensin funktio f ε (t) = { 1/ε, kun t [0, ε], 0, muulloin. Selvästi aina f ε (t) dx = 1. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 140 / 246
Yksikköimpulssifunktio eli Diracin deltafunktio Määritellään ensin funktio Selvästi aina f ε (t) = { 1/ε, kun t [0, ε], 0, muulloin. f ε (t) dx = 1. Jos annetaan epsilonin lähestyä nollaa, piikin leveys pienenee ja korkeus kasvaa. Saadaan origossa äärettömän korkea ja kapea pulssi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 140 / 246
Diracin deltafunktio, jatkoa Tätä pulssia sanotaan Diracin deltafunktioksi ja se määritellään δ(t) = lim ε 0+ f ε(t). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 141 / 246
Diracin deltafunktio, jatkoa Tätä pulssia sanotaan Diracin deltafunktioksi ja se määritellään δ(t) = lim ε 0+ f ε(t). Diracin deltafunktio ei ole oikea funktio vaan nk. distribuutio. Vaikka sillä ole äärellistä arvoa origossa, pätee: f ɛ (t)g(t)dt g(0) =: f ɛ (t)g(t)dt A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 141 / 246
1 Johdanto 2 Fourier-sarja Dirichlet n ehdot Fourier-sarjan laskeminen Gibbsin ilmiö Kompleksinen Fourier-sarja Sovelluksia differentiaaliyhtälöihin 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 142 / 246
Dirichlet n ehdot Oletetaan, että f : R R (tai C) on jaksollinen reaali- tai kompleksiarvoinen funktio, jonka jakso on T. Tällöin funktio f toteuttaa Dirichlet n ehdot välillä [ T /2, T /2], jos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 143 / 246
Dirichlet n ehdot Oletetaan, että f : R R (tai C) on jaksollinen reaali- tai kompleksiarvoinen funktio, jonka jakso on T. Tällöin funktio f toteuttaa Dirichlet n ehdot välillä [ T /2, T /2], jos (1) f on paloittain jatkuva, A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 143 / 246
Dirichlet n ehdot Oletetaan, että f : R R (tai C) on jaksollinen reaali- tai kompleksiarvoinen funktio, jonka jakso on T. Tällöin funktio f toteuttaa Dirichlet n ehdot välillä [ T /2, T /2], jos (1) f on paloittain jatkuva, (2) f :llä on korkeintaan äärellinen määrä lokaaleja ääriarvokohtia (ko. välillä), ja A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 143 / 246
Dirichlet n ehdot Oletetaan, että f : R R (tai C) on jaksollinen reaali- tai kompleksiarvoinen funktio, jonka jakso on T. Tällöin funktio f toteuttaa Dirichlet n ehdot välillä [ T /2, T /2], jos (1) f on paloittain jatkuva, (2) f :llä on korkeintaan äärellinen määrä lokaaleja ääriarvokohtia (ko. välillä), ja (3) integraali on äärellinen. T /2 T /2 f (t) dt A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 143 / 246
Fourier-sarja, trigonometrinen muoto Dirichlet n ehdot toteuttava funktio f voidaan esittää sarjana missä ω = 2π/T, f (t) = a 0 2 + [ ak cos(kωt) + b k sin(kωt) ], (2.1) k=1 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 144 / 246
Fourier-sarja, trigonometrinen muoto Dirichlet n ehdot toteuttava funktio f voidaan esittää sarjana missä ω = 2π/T, f (t) = a 0 2 + [ ak cos(kωt) + b k sin(kωt) ], (2.1) k=1 a 0 = 2 T T /2 T /2 f (t) dt, A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 144 / 246
Fourier-sarja, trigonometrinen muoto Dirichlet n ehdot toteuttava funktio f voidaan esittää sarjana missä ω = 2π/T, f (t) = a 0 2 + [ ak cos(kωt) + b k sin(kωt) ], (2.1) a k = 2 T k=1 a 0 = 2 T T /2 T /2 T /2 T /2 f (t) dt, f (t) cos(kωt) dt, A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 144 / 246
Fourier-sarja, trigonometrinen muoto Dirichlet n ehdot toteuttava funktio f voidaan esittää sarjana missä ω = 2π/T, f (t) = a 0 2 + [ ak cos(kωt) + b k sin(kωt) ], (2.1) k=1 ja a k = 2 T b k = 2 T a 0 = 2 T T /2 T /2 T /2 T /2 T /2 T /2 f (t) dt, f (t) cos(kωt) dt, f (t) sin(kωt) dt. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 144 / 246
Fourier-sarja, trigonometrinen muoto Dirichlet n ehdot toteuttava funktio f voidaan esittää sarjana missä ω = 2π/T, ja f (t) = a 0 2 + [ ak cos(kωt) + b k sin(kωt) ], (2.1) a k = 2 T b k = 2 T k=1 a 0 = 2 T T /2 T /2 T /2 T /2 T /2 T /2 f (t) dt, f (t) cos(kωt) dt, f (t) sin(kωt) dt. Kertoimia a 0, a k, b k sanotaan funktion f Fourier-kertoimiksi ja sarjaa (2.1) sen Fourier-sarjaksi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 144 / 246
Fourier-sarja, olemassaolo Lause Olkoon f jaksollinen Dirichlet n ehdot toteuttava funktio, jonka jakso on T. Tällöin sarja a 0 2 + [ ak cos(kωt) + b k sin(kωt) ] k=1 suppenee, ja sen summa on Todistus. Sivuutetaan. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 145 / 246
Fourier-sarja, olemassaolo Lause Olkoon f jaksollinen Dirichlet n ehdot toteuttava funktio, jonka jakso on T. Tällöin sarja a 0 2 + [ ak cos(kωt) + b k sin(kωt) ] k=1 suppenee, ja sen summa on 1 f (t 0 ), jos f on jatkuva t 0 :ssa, Todistus. Sivuutetaan. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 145 / 246
Fourier-sarja, olemassaolo Lause Olkoon f jaksollinen Dirichlet n ehdot toteuttava funktio, jonka jakso on T. Tällöin sarja a 0 2 + [ ak cos(kωt) + b k sin(kωt) ] k=1 suppenee, ja sen summa on 1 f (t 0 ), jos f on jatkuva t 0 :ssa, 2 1 2 [ lim f (t) + t t 0 + Todistus. Sivuutetaan. lim f (t)], jos f on epäjatkuva t 0:ssa. t t 0 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 145 / 246
Fourier-sarja, parilliset ja parittomat funktiot Lause Jos f on parillinen funktio, niin b k = 0, kun k = 1, 2, 3,.... Jos f on pariton funktio, niin a k = 0, kun k = 0, 1, 2,.... Todistus. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 146 / 246
Fourier-sarja, parilliset ja parittomat funktiot Lause Jos f on parillinen funktio, niin b k = 0, kun k = 1, 2, 3,.... Jos f on pariton funktio, niin a k = 0, kun k = 0, 1, 2,.... Todistus. Jos f on parillinen, niin g(t) = f (t) sin(kωt) on pariton. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 146 / 246
Fourier-sarja, parilliset ja parittomat funktiot Lause Jos f on parillinen funktio, niin b k = 0, kun k = 1, 2, 3,.... Jos f on pariton funktio, niin a k = 0, kun k = 0, 1, 2,.... Todistus. Jos f on parillinen, niin g(t) = f (t) sin(kωt) on pariton. Lemman nojalla b k = 2 T T /2 T /2 g(t) dt = 0. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 146 / 246
Fourier-sarja, parilliset ja parittomat funktiot Lause Jos f on parillinen funktio, niin b k = 0, kun k = 1, 2, 3,.... Jos f on pariton funktio, niin a k = 0, kun k = 0, 1, 2,.... Todistus. Jos f on parillinen, niin g(t) = f (t) sin(kωt) on pariton. Lemman nojalla b k = 2 T T /2 T /2 g(t) dt = 0. Vastaavasti, jos f on pariton, niin h(t) = f (t) cos(kωt) on pariton ja siten a k = 0. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 146 / 246
Fourier-sarjan laskeminen Lause Oletetaan, että f on T -jaksoinen integroituva funktio. Tällöin T 2 T 2 f (t) dt = T 2 +r T 2 +r f (t) dt kaikilla r R. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 147 / 246
Todistus T 2 T 2 f (t) dt = T 2 +r T 2 T 2 f (t) dt+ f (t) dt T 2 +r A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 148 / 246
Todistus T 2 T 2 f (t) dt = T 2 +r T 2 T 2 f (t) dt+ f (t) dt T 2 +r = T 2 +r T 2 T 2 f (t) dt + f (t) dt + T 2 +r T 2 +r T 2 T 2 +r f (t) dt f (t) dt T 2 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 148 / 246
Todistus T 2 T 2 f (t) dt = T 2 +r T 2 T 2 f (t) dt+ f (t) dt T 2 +r = T 2 +r T 2 T 2 f (t) dt + f (t) dt + T 2 +r T 2 +r T 2 T 2 +r f (t) dt f (t) dt T 2 = T 2 +r T 2 +r f (t) dt + T 2 +r T 2 T 2 +r f (t) dt f (t) dt T 2 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 148 / 246
Todistus T 2 T 2 f (t) dt = T 2 +r T 2 T 2 f (t) dt+ f (t) dt T 2 +r = T 2 +r T 2 T 2 f (t) dt + f (t) dt + T 2 +r T 2 +r T 2 T 2 +r f (t) dt f (t) dt T 2 = T 2 +r T 2 +r f (t) dt + T 2 +r T 2 T 2 +r f (t) dt f (t) dt T 2 = T 2 +r T 2 +r f (t) dt + T 2 +r T 2 T 2 +r T 2 +r f (s + T ) ds f (t) dt = f (t) dt. T 2 T 2 +r A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 148 / 246
Fourier-sarjan laskeminen, jatkoa Seuraus Fourier-sarjan kertoimet voidaan laskea a k = 2 T b k = 2 T T /2+r T /2+r T /2+r T /2+r f (t) cos(nωt) dt, f (t) sin(nωt) dt. Huomautus. Erityisesti, jos r = T /2, saadaan a k = 2 T T 0 f (t) cos(nωt) dt, b k = 2 T T 0 f (t) sin(nωt) dt. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 149 / 246
Esimerkki Määritetään kuvan funktion Fourier-kertoimet A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 150 / 246
Esimerkki Määritetään kuvan funktion Fourier-kertoimet Selvästi T = 4 ja ω = 2π/4 = π/2. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 150 / 246
Esimerkki Määritetään kuvan funktion Fourier-kertoimet Selvästi T = 4 ja ω = 2π/4 = π/2. Saadaan a 0 = 2 T 2 2 f (t) dt = 1 2 1 2 2 dt = 3. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 150 / 246
Esimerkki, jatkoa Lasketaan a k, kun k = 1, 2,...: a k = 2 4 2 2 f (t) cos(kωt) dt = 1 2 cos ( kπt ) dt 2 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 151 / 246
Esimerkki, jatkoa Lasketaan a k, kun k = 1, 2,...: a k = 2 4 2 2 f (t) cos(kωt) dt = = 2 ( kπt ) kπ sin 1 = 2 [ ( kπ sin 2 2 kπ 2 1 2 cos ( kπt ) dt 2 ) ( 2kπ sin 2 )] A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 151 / 246
Esimerkki, jatkoa Lasketaan a k, kun k = 1, 2,...: a k = 2 4 2 2 f (t) cos(kωt) dt = 1 = 2 ( kπt ) kπ sin 1 = 2 [ ( kπ sin 2 2 kπ 2 = 2 [ ( kπ ) ] sin + sin(kπ) kπ 2 2 cos ) sin ( kπt ) dt 2 = 2 kπ sin ( kπ 2 ( 2kπ )] 2 ). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 151 / 246
Esimerkki, jatkoa Vastaavasti lasketaan b k : b k = 2 4 2 2 f (t) sin(kωt) dt = 1 2 sin ( kπt ) dt 2 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 152 / 246
Esimerkki, jatkoa Vastaavasti lasketaan b k : b k = 2 4 2 2 f (t) sin(kωt) dt = 1 2 = 2 ( kπt ) kπ cos 1 = 2 [ ( kπ cos 2 2 kπ 2 sin ( kπt ) dt 2 ) ( 2kπ cos 2 )] A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 152 / 246
Esimerkki, jatkoa Vastaavasti lasketaan b k : b k = 2 4 2 2 f (t) sin(kωt) dt = 1 2 = 2 ( kπt ) kπ cos 1 = 2 [ ( kπ cos 2 2 kπ 2 = 2 [ ( kπ cos kπ 2 sin ) ] cos(kπ). ( kπt ) dt 2 ) cos ( 2kπ )] 2 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 152 / 246
Esimerkki Tutkitaan funktiota f (t) = t, kun t [ 1, 1], f (t + 2) = f (t). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 153 / 246
Esimerkki Tutkitaan funktiota f (t) = t, kun t [ 1, 1], f (t + 2) = f (t). Koska f (t) on pariton funktio, kosinitermi a k = 0 kaikilla k. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 153 / 246
Esimerkki Tutkitaan funktiota f (t) = t, kun t [ 1, 1], f (t + 2) = f (t). Koska f (t) on pariton funktio, kosinitermi a k = 0 kaikilla k. Sinitermiksi saadaan laskettua b k = 2(π cos(kπ) sin(kπ)) k 2 π 2. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 153 / 246
Esimerkki Tutkitaan funktiota f (t) = t, kun t [ 1, 1], f (t + 2) = f (t). Koska f (t) on pariton funktio, kosinitermi a k = 0 kaikilla k. Sinitermiksi saadaan laskettua b k = 2(π cos(kπ) sin(kπ)) k 2 π 2. Funktio f ja sen Fourier-sarjan neljä ensimmäistä approksimaatiota: A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 153 / 246
Esimerkki Tutkitaan funktiota f (t) = 1 (1/2 + t) 2, kun t [ 1/2, 1/2], f (t + 1) = f (t). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 154 / 246
Esimerkki Tutkitaan funktiota f (t) = 1 (1/2 + t) 2, kun t [ 1/2, 1/2], f (t + 1) = f (t). Fourier-kertoimiksi saadaan a 0 = 4/3, a k = k2 π 2 sin(kπ) + sin(kπ) kπ sin(kπ) k 3 π 3 ja b k = kπ cos(kπ) sin(kπ) k 2 π 2. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 154 / 246
Esimerkki Tutkitaan funktiota f (t) = 1 (1/2 + t) 2, kun t [ 1/2, 1/2], f (t + 1) = f (t). Fourier-kertoimiksi saadaan a 0 = 4/3, a k = k2 π 2 sin(kπ) + sin(kπ) kπ sin(kπ) k 3 π 3 ja kπ cos(kπ) sin(kπ) b k = k 2 π 2. Funktio f ja sen Fourier-sarjan neljä ensimmäistä approksimaatiota: A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 154 / 246
Gibbsin ilmiö Fourier-sarja suppenee kohti arvoa (f (x 0 +) + f (x 0 ))/2. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 155 / 246
Gibbsin ilmiö Fourier-sarja suppenee kohti arvoa (f (x 0 +) + f (x 0 ))/2. Jos f on epäjatkuva kohdassa x 0, esiintyy kohdassa x 0 Fourier-sarjojen osasummilla S n f (x) kohdassa x 0 erikseen hyppyilmiö ns. Gibbsin ilmiö, joka voidaan helposti kokeellisesti todentaa MATLAB-testein (ks. esimerkki). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 155 / 246
Gibbsin ilmiö Fourier-sarja suppenee kohti arvoa (f (x 0 +) + f (x 0 ))/2. Jos f on epäjatkuva kohdassa x 0, esiintyy kohdassa x 0 Fourier-sarjojen osasummilla S n f (x) kohdassa x 0 erikseen hyppyilmiö ns. Gibbsin ilmiö, joka voidaan helposti kokeellisesti todentaa MATLAB-testein (ks. esimerkki). Jatkuville funktioille, joiden derivaatta on myös jatkuva paitsi äärellisen monessa pisteessä, pätee Fourier-sarjan nk. tasainen suppeneminen. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 155 / 246
Kompleksinen Fourier-sarja Oletetaan, että f on 2π-jaksoinen funktio, ja sen Fourier-sarja on f (t) = a 0 2 + (a k cos kt + b k sin kt). (2.2) k=1 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 156 / 246
Kompleksinen Fourier-sarja Oletetaan, että f on 2π-jaksoinen funktio, ja sen Fourier-sarja on f (t) = a 0 2 + (a k cos kt + b k sin kt). (2.2) k=1 Eulerin kaavasta saadaan suhde funktioiden cos t, sin t ja e it välille: e it = cos t + i sin t. (2.3) A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 156 / 246
Kompleksinen Fourier-sarja Oletetaan, että f on 2π-jaksoinen funktio, ja sen Fourier-sarja on f (t) = a 0 2 + (a k cos kt + b k sin kt). (2.2) k=1 Eulerin kaavasta saadaan suhde funktioiden cos t, sin t ja e it välille: e it = cos t + i sin t. (2.3) Sinin parittomuudesta seuraa, että e it = cos t + i sin t. (2.4) A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 156 / 246
Kompleksinen Fourier-sarja Oletetaan, että f on 2π-jaksoinen funktio, ja sen Fourier-sarja on f (t) = a 0 2 + (a k cos kt + b k sin kt). (2.2) k=1 Eulerin kaavasta saadaan suhde funktioiden cos t, sin t ja e it välille: e it = cos t + i sin t. (2.3) Sinin parittomuudesta seuraa, että e it = cos t + i sin t. (2.4) Kaavoista (2.3), (2.4) saadaan cos t = 1 2 (eit + e it ), sin t = 1 2i (eit e it ). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 156 / 246
Kompleksinen Fourier-sarja, jatkoa Soveltamalla kaavaa 1/i = i funktion sin t lausekkeeseen ja sijoittamalla t = kx molempiin kaavoihin, saadaan a k cos kx + b k sin kx = 1 2 a k(e ikx + e ikx ) + 1 2i b k(e ikx e ikx ) A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 157 / 246
Kompleksinen Fourier-sarja, jatkoa Soveltamalla kaavaa 1/i = i funktion sin t lausekkeeseen ja sijoittamalla t = kx molempiin kaavoihin, saadaan a k cos kx + b k sin kx = 1 2 a k(e ikx + e ikx ) + 1 2i b k(e ikx e ikx ) = 1 2 (a k ib k )e ikx + 1 2 (a k + ib k )e ikx. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 157 / 246
Kompleksinen Fourier-sarja, jatkoa Soveltamalla kaavaa 1/i = i funktion sin t lausekkeeseen ja sijoittamalla t = kx molempiin kaavoihin, saadaan a k cos kx + b k sin kx = 1 2 a k(e ikx + e ikx ) + 1 2i b k(e ikx e ikx ) = 1 2 (a k ib k )e ikx + 1 2 (a k + ib k )e ikx. Sijoitetaan tämä Fourier-sarjan esitykseen (2.2). Saadaan f (x) = c 0 + (c k e ikx + d k e ikx ), k=1 missä c 0 = a 0 /2, c k = (a k ib k )/2 ja d k = (a k + ib k )/2. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 157 / 246
Kompleksinen Fourier-sarja, jatkoa Kompleksisille Fourier-kertoimille saadaan kaavat c k = (a k ib k )/2 = 1 2π = 1 π f (t)e ikt dt 2π π π π f (t)(cos kt i sin kt) dt A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 158 / 246
Kompleksinen Fourier-sarja, jatkoa Kompleksisille Fourier-kertoimille saadaan kaavat c k = (a k ib k )/2 = 1 2π = 1 π f (t)e ikt dt 2π π π π f (t)(cos kt i sin kt) dt A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 158 / 246
Kompleksinen Fourier-sarja, jatkoa Kompleksisille Fourier-kertoimille saadaan kaavat ja c k = (a k ib k )/2 = 1 2π = 1 π f (t)e ikt dt 2π π π π f (t)(cos kt i sin kt) dt d k = (a k ib k )/2 = 1 2π = 1 π f (t)e ikt dt. 2π π π π f (t)(cos kt + i sin kt) dt A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 158 / 246
Kompleksinen Fourier-sarja, jatkoa Kompleksisille Fourier-kertoimille saadaan kaavat ja c k = (a k ib k )/2 = 1 2π = 1 π f (t)e ikt dt 2π π π π f (t)(cos kt i sin kt) dt d k = (a k ib k )/2 = 1 2π = 1 π f (t)e ikt dt. 2π π π π Havaitaan, että d k = c k ja a 0 /2 = c 0. f (t)(cos kt + i sin kt) dt A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 158 / 246
Kompleksinen Fourier-sarja, jatkoa Määritelmä Olkoon funktiolla f : R C periodi T, ja ω = 2π/T. Funktion kompleksinen Fourier-sarja f (t) = c k e ikωt, k= c k = ω 2π T /2 T /2 f (t)e ikωt dt. Merkitsemme usein ˆf k := c k. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 159 / 246
Kompleksinen Fourier-sarja, jatkoa Määritelmä Olkoon funktiolla f : R C periodi T, ja ω = 2π/T. Funktion kompleksinen Fourier-sarja f (t) = c k e ikωt, k= c k = ω 2π T /2 T /2 f (t)e ikωt dt. Merkitsemme usein ˆf k := c k. Huomaa: Sarjan summa on reaaliarvoinen kaikilla t joss c k e ikωt + c k e ikωt R kaikilla t, joss c k = c k. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 159 / 246
Esimerkki 1 Etsitään funktion f (x) = e x, kun x ( π, π] ja f (x + k2π) = f (x) kaikilla kokonaisluvuilla k kompleksinen Fourier-sarja. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 160 / 246
Esimerkki 1 Etsitään funktion f (x) = e x, kun x ( π, π] ja f (x + k2π) = f (x) kaikilla kokonaisluvuilla k kompleksinen Fourier-sarja. Koska sin kπ = 0 kaikilla kokonaisluvuilla k, saadaan e ±ikπ = cos kπ ± sin kπ = cos kπ = ( 1) k. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 160 / 246
Esimerkki 1 Etsitään funktion f (x) = e x, kun x ( π, π] ja f (x + k2π) = f (x) kaikilla kokonaisluvuilla k kompleksinen Fourier-sarja. Koska sin kπ = 0 kaikilla kokonaisluvuilla k, saadaan e ±ikπ = cos kπ ± sin kπ = cos kπ = ( 1) k. Sijoittamalla tämä kaavaan saadaan c k = 1 π e x e ikx dx = 1 2π π 2π = 1 2π 1 1 ik ex ikx π x= π 1 1 ik (eπ e π )( 1) k. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 160 / 246
Esimerkki 1, jatkoa Yhtälön oikealla puolella voidaan kirjoittaa 1 1 ik = 1 + ik (1 ik)(1 + ik) = 1 + ik 1 + k 2 ja eπ e π = 2 sinh π. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 161 / 246
Esimerkki 1, jatkoa Yhtälön oikealla puolella voidaan kirjoittaa 1 1 ik = 1 + ik (1 ik)(1 + ik) = 1 + ik 1 + k 2 ja eπ e π = 2 sinh π. Kompeksiseksi Fourier-sarjaksi saadaan siis e x = sinh π π k= ( 1) k 1 + ik 1 + k 2 eikx ( π < x < π). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 161 / 246
Esimerkki 1, jatkoa Yhtälön oikealla puolella voidaan kirjoittaa 1 1 ik = 1 + ik (1 ik)(1 + ik) = 1 + ik 1 + k 2 ja eπ e π = 2 sinh π. Kompeksiseksi Fourier-sarjaksi saadaan siis e x = sinh π π k= ( 1) k 1 + ik 1 + k 2 eikx ( π < x < π). Trigonometrisessa muodossa oleva Fourier-sarja voidaan johtaa tästä seuraavasti. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 161 / 246
Esimerkki 1, jatkoa Sijoitetaan Eulerin kaavaan t = kx ja i 2 = 1: (1 + ik)e ikx = (1 + ik)(cos kx + i sin kx) = (cos kx k sin kx) + i(k cos kx + sin kx). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 162 / 246
Esimerkki 1, jatkoa Sijoitetaan Eulerin kaavaan t = kx ja i 2 = 1: (1 + ik)e ikx = (1 + ik)(cos kx + i sin kx) = (cos kx k sin kx) + i(k cos kx + sin kx). Sinin parittomuudesta ja kosinin parillisuudesta saadaaan (1 ik)e ikx = (1 ik)(cos kx i sin kx) = (cos kx k sin kx) i(k cos kx + sin kx). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 162 / 246
Esimerkki 1, jatkoa Sijoitetaan Eulerin kaavaan t = kx ja i 2 = 1: (1 + ik)e ikx = (1 + ik)(cos kx + i sin kx) = (cos kx k sin kx) + i(k cos kx + sin kx). Sinin parittomuudesta ja kosinin parillisuudesta saadaaan (1 ik)e ikx = (1 ik)(cos kx i sin kx) = (cos kx k sin kx) i(k cos kx + sin kx). Lasketaan edelliset yhteen, jolloin imaginaariosaa häviää ja saadaan 2(cos kx k sin kx). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 162 / 246
Esimerkki 1, jatkoa Sijoitetaan Eulerin kaavaan t = kx ja i 2 = 1: (1 + ik)e ikx = (1 + ik)(cos kx + i sin kx) = (cos kx k sin kx) + i(k cos kx + sin kx). Sinin parittomuudesta ja kosinin parillisuudesta saadaaan (1 ik)e ikx = (1 ik)(cos kx i sin kx) = (cos kx k sin kx) i(k cos kx + sin kx). Lasketaan edelliset yhteen, jolloin imaginaariosaa häviää ja saadaan Sarjaksi saadaan e x = 2 sinh π π 2(cos kx k sin kx). [ 1 2 1 1 ] (cos x sin x)+ 1 + 12 1 + 2 2 (cos 2x 2 sin 2x).... A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 162 / 246
Esimerkki 2 Etsitään differentiaaliyhtälön y (t) + 2y(t) = f (t) jaksolliset ratkaisut, kun f on 2π-jaksollinen funktio. Oletetaan, että differentiaaliyhtälön ratkaisu y(t) on 2π-jaksollinen funktio. Kirjoitetaan f ja y Fourier sarjana f (t) = c k e ikt, y(t) = k= k= y k e ikt, y (t) = iky k e ikt. k= A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 163 / 246
Esimerkki 2 Etsitään differentiaaliyhtälön y (t) + 2y(t) = f (t) jaksolliset ratkaisut, kun f on 2π-jaksollinen funktio. Oletetaan, että differentiaaliyhtälön ratkaisu y(t) on 2π-jaksollinen funktio. Kirjoitetaan f ja y Fourier sarjana f (t) = k= c k e ikt, y(t) = k= y k e ikt, y (t) = Differentiaaliyhtälöstä y + 2y f (t) = 0 saadaan (iky k + 2y k c k )e ikt = 0 k Joten iky k + 2y k = c k eli y k = c k /(2 + ik) kaikilla k. k= iky k e ikt. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 163 / 246
Esimerkki 2 Etsitään differentiaaliyhtälön y (t) + 2y(t) = f (t) jaksolliset ratkaisut, kun f on 2π-jaksollinen funktio. Oletetaan, että differentiaaliyhtälön ratkaisu y(t) on 2π-jaksollinen funktio. Kirjoitetaan f ja y Fourier sarjana f (t) = k= c k e ikt, y(t) = k= y k e ikt, y (t) = Differentiaaliyhtälöstä y + 2y f (t) = 0 saadaan (iky k + 2y k c k )e ikt = 0 k k= iky k e ikt. Joten iky k + 2y k = c k eli y k = c k /(2 + ik) kaikilla k. Ratkaisu saadaan Fourier sarjan muodossa y(t) = k= c k 2 + ik eikt A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 163 / 246
Esimerkki 3 Etsitään differentiaaliyhtälön y + 2y + y = sin(t) 2π jaksolliset ratkaisut. Yhtälön jaksollinen ratkaisu voidaan kirjoitaa Fourier-sarjana y(t) = k= y ke ikt. samoin kuin yhtälön oikea puoli sin(t) = 1 2i (eit e it ) = k= c k e ikt, A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 164 / 246
Esimerkki 3 Etsitään differentiaaliyhtälön y + 2y + y = sin(t) 2π jaksolliset ratkaisut. Yhtälön jaksollinen ratkaisu voidaan kirjoitaa Fourier-sarjana y(t) = k= y ke ikt. samoin kuin yhtälön oikea puoli sin(t) = 1 2i (eit e it ) = k= c k e ikt, joka pätee kertoimille c ±1 = i 2 ja c k = 0, kun k ±1. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 164 / 246
Esimerkki 3 Etsitään differentiaaliyhtälön y + 2y + y = sin(t) 2π jaksolliset ratkaisut. Yhtälön jaksollinen ratkaisu voidaan kirjoitaa Fourier-sarjana y(t) = k= y ke ikt. samoin kuin yhtälön oikea puoli sin(t) = 1 2i (eit e it ) = k= c k e ikt, joka pätee kertoimille c ±1 = i 2 ja c k = 0, kun k ±1. Differentiaaliyhtälöstä saadaan kertoimille y k yhtälöt [(ik) 2 + 2(ik) + 1]y k = c k, k ja siis y ±1 = 1/4 ja y k = 0 muuten. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 164 / 246
Esimerkki 3 Etsitään differentiaaliyhtälön y + 2y + y = sin(t) 2π jaksolliset ratkaisut. Yhtälön jaksollinen ratkaisu voidaan kirjoitaa Fourier-sarjana y(t) = k= y ke ikt. samoin kuin yhtälön oikea puoli sin(t) = 1 2i (eit e it ) = k= c k e ikt, joka pätee kertoimille c ±1 = i 2 ja c k = 0, kun k ±1. Differentiaaliyhtälöstä saadaan kertoimille y k yhtälöt [(ik) 2 + 2(ik) + 1]y k = c k, k ja siis y ±1 = 1/4 ja y k = 0 muuten. Saadaan vain yksi jaksollinen ratkaisu, joka on y(t) = 1 4 (eit + e it ) = 1 cos t. 2 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 164 / 246
Esimerkki 3 Jousen liikettä voidaan kuvata differentiaaliyhtälöllä my + γy + κy = r(t), missä y(t) on etäisyys lepotilasta, m on jousessa olevan painon massa, γ vaimennusvakio, κ jousivakio ja r(t) on ulkoinen voima. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 165 / 246
Esimerkki 3 Jousen liikettä voidaan kuvata differentiaaliyhtälöllä my + γy + κy = r(t), missä y(t) on etäisyys lepotilasta, m on jousessa olevan painon massa, γ vaimennusvakio, κ jousivakio ja r(t) on ulkoinen voima. Jos r(t) on sini tai kosini, saadaan harmoninen värähtely. Yleisesti r(t) voi olla mikä tahansa muukin jaksollinen funktio. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 165 / 246
Esimerkki 3 Jousen liikettä voidaan kuvata differentiaaliyhtälöllä my + γy + κy = r(t), missä y(t) on etäisyys lepotilasta, m on jousessa olevan painon massa, γ vaimennusvakio, κ jousivakio ja r(t) on ulkoinen voima. Jos r(t) on sini tai kosini, saadaan harmoninen värähtely. Yleisesti r(t) voi olla mikä tahansa muukin jaksollinen funktio. Tutkitaan tilannetta, jossa m = 1, γ = 0, 05 ja κ = 25, jolloin yhtälöksi saadaan y + 0, 05y + 25y = r(t). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 165 / 246
Esimerkki 3 Jousen liikettä voidaan kuvata differentiaaliyhtälöllä my + γy + κy = r(t), missä y(t) on etäisyys lepotilasta, m on jousessa olevan painon massa, γ vaimennusvakio, κ jousivakio ja r(t) on ulkoinen voima. Jos r(t) on sini tai kosini, saadaan harmoninen värähtely. Yleisesti r(t) voi olla mikä tahansa muukin jaksollinen funktio. Tutkitaan tilannetta, jossa m = 1, γ = 0, 05 ja κ = 25, jolloin yhtälöksi saadaan y + 0, 05y + 25y = r(t). Valitaan r(t):ksi 2π-jaksollinen funktio { t + π r(t) = 2, jos π < t 0, t + π 2, jos 0 < t π, A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 165 / 246
Esimerkki 3, jatkoa Esitetään r(t) Fourier-sarjana r(t) = 4 π ( 1 cos t + 3 2 cos 3t + 1 ) cos 5t, +... 52 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 166 / 246
Esimerkki 3, jatkoa Esitetään r(t) Fourier-sarjana r(t) = 4 π Tutkitaan differentiaaliyhtälöä ( 1 cos t + 3 2 cos 3t + 1 ) cos 5t, +... 52 x k + 0.05x k + 25x k = 4 k 2 cos kt. (2.5) π A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 166 / 246
Esimerkki 3, jatkoa Esitetään r(t) Fourier-sarjana r(t) = 4 π Tutkitaan differentiaaliyhtälöä Tiedetään, että ratkaisu on muotoa ( 1 cos t + 3 2 cos 3t + 1 ) cos 5t, +... 52 x k + 0.05x k + 25x k = 4 k 2 cos kt. (2.5) π x k = A k cos kt + B k sin kt. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 166 / 246
Esimerkki 3, jatkoa Esitetään r(t) Fourier-sarjana r(t) = 4 π Tutkitaan differentiaaliyhtälöä Tiedetään, että ratkaisu on muotoa ( 1 cos t + 3 2 cos 3t + 1 ) cos 5t, +... 52 x k + 0.05x k + 25x k = 4 k 2 cos kt. (2.5) π x k = A k cos kt + B k sin kt. Sijoittamalla tämä yhtälöön (2.5) saadaan ratkaistua A k = 4(25 k2 ) k 2 πd k, B k = 0, 2 kπd k, missä D k = (25 k 2 ) 2 + (0, 05k) 2. Ratkaisu voidaan kirjoitaa y(t) = k=1 A k cos(kt) + B k sin(kt). A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 166 / 246
Esimerkki 3, jatkoa Esitetään y ja r Fourier-sarjoina y(t) = k y k e ikt, r(t) = k c k e ikt, c k = { 2 πk 2, k pariton 0, k parillinen Differentiaaliyhtälöstä saadaan kertoimille y k yhtälöt [m(ik) 2 +γ(ik)+κ]y k = [ k 2 +0.05ik+25]y k = c k = joten y k = 0 kun k on parillinen ja y k = { 2 πk 2 2 π(25 k 2 + 0.05ik)k 2 = 50 2k2 0.1ik πk 2 D k, k pariton 0, k parillinen A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 167 / 246
Dirichlet n ongelma yksikkökiekossa Halutaan löytää funktio u, joka on harmoninen yksikkökiekossa B = {z : z < 1} ja saa jatkuvan funktion f antamat reuna-arvot yksikkökiekon reunalla, eli u(cos t, sin t) = f (t), t ( π, π]. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 168 / 246
Dirichlet n ongelma yksikkökiekossa Halutaan löytää funktio u, joka on harmoninen yksikkökiekossa B = {z : z < 1} ja saa jatkuvan funktion f antamat reuna-arvot yksikkökiekon reunalla, eli u(cos t, sin t) = f (t), t ( π, π]. Funktio f voidaan jatkaa jaksolliseksi funktioksi, jonka jakso on 2π. Siis f :lle saadaan Fourier-sarja f (t) = a 0 2 + (a k cos(kt) + b k sin(kt)). k=1 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 168 / 246
Dirichlet n ongelma yksikkökiekossa Halutaan löytää funktio u, joka on harmoninen yksikkökiekossa B = {z : z < 1} ja saa jatkuvan funktion f antamat reuna-arvot yksikkökiekon reunalla, eli u(cos t, sin t) = f (t), t ( π, π]. Funktio f voidaan jatkaa jaksolliseksi funktioksi, jonka jakso on 2π. Siis f :lle saadaan Fourier-sarja f (t) = a 0 2 + (a k cos(kt) + b k sin(kt)). k=1 Dirichlet n ongelman ratkaisu yksikkökiekossa saadaan kaavasta u(r cos t, r sin t) = a 0 2 + (a k r k cos(kt) + b k r k sin(kt)), missä z = re it. k=1 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 168 / 246
Dirichlet n ongelma yksikkökiekossa: Kompleksinen sarja Halutaan löytää funktio u, joka on harmoninen yksikkökiekossa B = {z : z < 1} ja saa jatkuvan funktion f antamat reuna-arvot yksikkökiekon reunalla, eli u(e it ) = f (t), t ( π, π]. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 169 / 246
Dirichlet n ongelma yksikkökiekossa: Kompleksinen sarja Halutaan löytää funktio u, joka on harmoninen yksikkökiekossa B = {z : z < 1} ja saa jatkuvan funktion f antamat reuna-arvot yksikkökiekon reunalla, eli u(e it ) = f (t), t ( π, π]. Funktio f voidaan jatkaa jaksolliseksi funktioksi, jonka jakso on 2π. Siis f :lle saadaan Fourier-sarja f (t) = k= c k e ikt. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 169 / 246
Dirichlet n ongelma yksikkökiekossa: Kompleksinen sarja Halutaan löytää funktio u, joka on harmoninen yksikkökiekossa B = {z : z < 1} ja saa jatkuvan funktion f antamat reuna-arvot yksikkökiekon reunalla, eli u(e it ) = f (t), t ( π, π]. Funktio f voidaan jatkaa jaksolliseksi funktioksi, jonka jakso on 2π. Siis f :lle saadaan Fourier-sarja f (t) = k= c k e ikt. Dirichlet n ongelman ratkaisu yksikkökiekossa saadaan kaavasta u(z = re it ) = k= c k r k e ikt = k= c k z k. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 169 / 246
1 Johdanto 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos DFT: diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 170 / 246
DFT: diskreetti Fourier muunnos Määritelmä Diskreetti Fourier muunnos (DFT) on kuvaus C n C n. Vektorin v C n DFT on ˆv C n, missä elementeittäin ˆv k = 1 n ja missä z = e 2πi/n C. n v j z jk, j=1 k = 1,... n Huomaa z n = 1, z k 1, k = 1,..., n 1, zz = 1. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 171 / 246
DFT ja Fourier sarjat Tarkastellaan T -periodista funktiota 2 f (t) = c k e iωt k= 2 f voidaan kirjoittaa Fourier-sarjana A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 172 / 246
DFT ja Fourier sarjat Tarkastellaan T -periodista funktiota 2 f (t) = k= c k e iωt = k= kt n/t c k z missä ω = 2π/T ja kuten edellä z = e 2πi/n. Valitaan tasavälein t j = Tj/n (0, T ], j = 1,..., n, ja poimitaan funktiosta f näytteitä eli asetetaan v j := f (t j ) = = k c k z kj. 2 f voidaan kirjoittaa Fourier-sarjana A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 172 / 246
DFT ja Fourier sarjat, jatkuu Diskreetti Fourier muunnos on summa Fourier-sarjan kertoimista. ˆv l = 1 n n v k z kl = 1 n k=1 1 n = c j z k(j l) n j= k=1 }{{} n c j z kj z kl k=1 j= = j= c l+jn missä 1 n n z k(j l) = k=1 { 0, (j l) mod n 0 1, (j l) mod n = 0 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 173 / 246
DFT ja Fourier sarjat, jatkuu Valitsemalla absoluttiarvoltaan pienin indeksi ˆv l lausekkeen summassa saadaan (indeksiehdot yhteiset) { c k + { j 0 ˆv k = c k+nj c k n + c k, 1 k n/2 j 1 c k+nj c k n, n/2 < k n Huomaa, että ˆv n = c 0 + j 0 c nj Kun n on riittävän suuri, summat muodostuvat pieniksi, koska c k 0 kun k. Pienillä n näin ei kuitenkaan tapahdu. Tätä ilmiötä kutsutaan laskostumiseksi, se tapahtuu aina, mutta on merkittävä ilmiö kun näytteenottotaajuus on liian pieni eli n on liian pieni. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 174 / 246
FFT DFT on tullut erittäin tärkeäksi työkaluksi käytännön sovelluksissa erityisesti sen jälkeen kun J. W. Cooley ja J. W. Tukey 1965 julkaisivat 3 ja tekivät tunnetuksi erittäin nopean tavan Fast Fourier Transform (FFT) laskea DFT annetulle vektorille v C n, n = 2 k jollekin k N. Joskin jo Gauss:in väitetään tunteneen algoritmin 1805, katso http://en.wikipedia.org/wiki/fft. Signaalinkäsittely on eräs erittäin keskeinen FFT:n sovellus. Laskennan työmäärän ero on valtava. FFT laskenta vaatii O(n log n) operaatiota, triviaali tapa vuorostaan O(n 2 ) operaatiota. Ero on huomattava, kun on tyypillisessä sovelluksessa, n = (2 10 ) 2 = 2 20. (Arvioi vaadittava laskenta-aika, jos FFT vie 1ms. ) 3 Cooley, James W., and John W. Tukey, 1965, An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series, Math. Comput. 19: 297. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 175 / 246