Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali 1 1 Taloustiede tutkii niukkojen resurssien kohdentamista kilpaileviin tarkoituksiin mikä on hyvä tapa kohdentaa? miten arvioida tuloksia? mitä niukkuus tarkoittaa? kuinka näitä kysymyksiä voidaan arvioida täsmällisesti? 1.1 Lähestymistapa taloustieteessä individualistinen: taloudenpitäjillä on autonomia päätöstensä suhteen taloudenpitäjät toimivat johdonmukaisesti taloudenpitäjien tavoitteet ovat rationaaliset taloudenpitäjät eivät tee systemaattisia virheitä pyrkiessään tavoitteisiinsa taloudenpitäjät toimivat rajallisessa maailmassa taloudenpitäjät reagoivat muutoksiin ympäristössään tasapainomekanismi takaa yksittäisten päätösten yhteensopivuuden kilpailullisilla markkinoilla hintamekanismi tekee tämän pelitilanteissa odotusten ja toteutuneiden päätösten yhtäläisyys Tällä kurssilla käydään läpi matemaattisia menetelmiä, joilla yksittäisen taloudenpitäjän ongelma voidaan esittää ja ratkaista. Rationaaliset tavoitteet: taloudenpitäjällä on tavoitefunktio kuluttajalla hyötyfunktio tuottajalla voitto talouden suunnittelijalla (ehkä) talouden kokonaisylijäämä Autonomiset päätökset: kukin taloudenpitäjä tekee itsenäisesti omat päätöksensä Taloudenpitäjät pyrkivät mahdollisimman hyviin tuloksiin omien tavoitteidensa kannalta kukin taloudenpitäjä maksimoi omaa tavoitefunktiotaan Taloudenpitäjät ottavat huomioon resurssien rajallisuuden. 1
1.2 Optimointiongelma Yleisessä muodossa taloudenpitäjän ongelma on siis: max f(x; ) x ehdolla g (x; ) 0: Mitä tarkoittaa tämän ongelman ratkaiseminen? Löydämme valintamuuttujan arvon x ; jolle pätee: i) g (x ; ) 0: eli ratkaisu on käypä. ii) kaikille y; jotka toteuttavat: f(x ; ) f (y; ) ; g (y; ) 0: Eli optimaalisuus käypien ratkaisujen joukossa. Taloudenpitäjän tavoitefunktio f (x; ) voidaan tulkita eri tavoilla: Kuluttajan teoriassa hyötyfunktio tuottajan tapauksessa voitto Tavoitefunktion arvo riippuu taloudenpitäjän itse valitsemista muuttujista x; endogeenisista muuttujista eri hyödykkeiden kysynnät kuluttajalla lopputuotteen ja panosten määrät tuottajalla oma valinta pelitilanteessa muista muuttujista, joihin taloudnpitäjä ei voi vaikuttaa ; eksogeenisista muuttujista hyötyfunktion parametrit kuluttajalla tuottajalla tuotoksen ja panosten hinnat muiden valinnat pelitilanteessa Niukkuusrajoite g (x; ) 0 Kuluttajan teoriassa budjettirajoite tuottajan teoriassa teknologiarajoite 2
Se riippuu endogeenisista muuttujista x kuten yllä eksogeenisista muuttujista hinnat ja tulot kuluttajan teoriassa tuotantofunktion parametrit tuottajan teoriassa veroaste molemmissa ongelmissa 1.3 Matemaattinen rakenne: millaisia muuttujia ovat x; ;? Yleensä reaalimuuttujia, reaalilukuja tai vektoreita milloin ongelmalla on ratkaisu? Weierstrassin teoreema takaa yleensä tämän miten ratkaisu voidaan löytää kurssin pääkysymys yleensä di erentiaalilaskennan avulla (huomatkaa, että tätä varten funktioiden f ja g tulee olla riittävän säännöllisiä) onko ratkaisu yksikäsitteinen? konkaavisuus ja konveksisuus avainkäsitteitä tälle miten ratkaisu muuttuu eksogeenisten muuttujien tai parametrien muuttuessa? komparatiivinen statiikka implisiittifunktiolause on pääasiallinen työväline tähän 3
1.4 Matematiikan kieltä ja sanastoa: Joukot merkitään yleensä isolla kirjaimella: X; Y; Z; ::: Kokoelma alkioita, joista joukko muodostuu. Voidaan ilmaista ekstensiivisesti luettelemalla kaikki alkiot (vaikeaa jos alkioita on paljon): Tai ominaisuuteen perustuen: X = fx 1 ; x 2 ; :::; x K g: X = fx 2 R j0 x < 1g Erityisiä joukkoja: Reaaliluvut, R; kokonaisluvut Z; rationaaliluvut Q; luonnolliset luvun N jne. Vektorit: Joukkojen X ja Y karteesinen tulo on uusi joukko, joka merkitään X Y: Se määritellään seuraavasti: X Y = f(x; y) jx 2 X; y 2 Y g: Jos X = Y; merkitään X Y = X 2 : Esimerkiksi reaaliarvoiset tasovektorit ovat siis alkioita joukossa R 2 : R 2 = f(x 1 ; x 2 ) jx 1 2 R; x 2 2 Rg: Samalla tavalla voidaan kirjoittaa n ulotteiset vektorit, x 2 R n : Vektorien epäyhtälöt: R n = f(x 1 ; :::; x n ) jx 1 2 R; :::; x n 2 Rg: Tarkastellaan vektoreita x; y 2 R n : x = y jos x i = y i kaikille i 2 f1; :::; ng: x y jos x i y i kaikille i 2 f1; :::; ng ja jollekin i; x i > y i : x y jos x i > y i kaikille i 2 f1; :::; ng: Huomatkaa siis, ettei vektoreille päde: kuten reaalimuuttujille pätee. (x y) tai (y x) tai molemmat 4
Esimerkki: Olkoon taloudessa k kuluttajaa ja n hyödykettä. Vektori x 1 = x 1 1; :::; xn 1 on kuluttajan 1 allokaatio, x 2 = x 2 1; :::; x 2 n on kuluttajan 2 allokaatio jne. Kuluttajan j hyöty allokaatiosta x j on u j x j : Olkoon taloudessa x i yksikköä hyödykettä i: Kokonaisallokaatio x = x 1 ; x 2 ; :::; x k : Kokonaisallokaatio on käypä jos kaikille i 2 f1; :::; ng pätee: Funktiot: k j=1x j i x i: Merkitään u(y) = (u 1 (y 1 ); :::; u k (y k )) ja u(x) = (u 1 (x 1 ); :::; u k (x k )): Kokonaisallokaatio y = y 1 ; :::; y k Pareto-dominoi kokonaisallokaatiota x = x 1 ; x 2 ; :::; x k ; jos u(y) u(x): Kokonaisallokaatio x on Pareto-tehokas jos x on käypä eikä ole olemassa käypää kokonaisallokaatiota y; joka Pareto-dominoi x : aa: Funktio on sääntö, joka liittää jokaiseen määrittelyjoukon X alkioon x 2 X kuvajoukon Y alkion y 2 Y: Kirjoitetaan: ja f : X! Y; y = f (x) : Funktioista f : X! Y ja g : Y! Z voidaan muuodostaa yhdistetty funktio h : X! Z seuraavasti: Funktio on injektiivinen jos h (x) = g (f (x)) : f (x 1 ) = f(x 2 ) ) x 1 = x 2 : Funktio on surjektiivinen jos kaikille y 2 Y on olemassa x 2 X siten, että y = f (x) : Funktio on bijektiivinen jos se on sekä surjektiivinen että injektiivinen. 5
Bijektiivisellä funktiolla on käänteisfunktio f : X! Y f 1 : Y! X; jolle pätee kaikille x 2 X ja kaikille y 2 Y : x = f 1 (f (x)) ja y = f f 1 (y) : Kvanti ointi: Lauseet, joissa esiintyy muuttujia tulee kvanti oida. Esimerkkejä: Kaikille x; pätee x 2 0: 8x; x 2 0: On olemassa x; jolle pätee x 2 0: 9x; x 2 0: Merkitään väittämää, joka sisältää muuttujan x funktiolla q (x) : Edelliset esimerkit voidaan siis ilmaista muodossa: 8x; q (x) ja 9x; q (x) : q (x) voi olla tosi tai epätosi. + q (x) on tosi jos q (x) on epätosi ja epätosi jos q (x) on tosi. Esimerkki kvanti oiduista lauseista: + (8x; q (x)) on sama kuin: (9x; + q (x)) : 6