Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016
Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia Arkussini ja arkuskosini Arkustangentti
Sini- ja kosinifunktio Trigonometriset funktio voidaan määritellä muun muassa potenssisarjana tai yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrään pohjautuvassa määritelmässä sini- ja kosinifunktion muuttujana pidetään vastapäivään mitattua kulmaa (radiaaneina), jonka origosta lähtevä jana muodostaa positiivisen x-akselin kanssa. Sini- ja kosinifunktiolla funktion arvot määräytyvät janan leikkauspisteestä ympyrän kehän kanssa seuraavasti: Leikkauspiste: x 0, y 0 y 0 Määritellään: α sin α = y 0 cos α = x 0 x 0 Koska kulmaa α kohdellaan funktion muuttujana, niin on tavanomaista merkitä sitä kirjaimella x
Sini-ja kosifunktio Saadaan kuvaukset: sin x R 1,1 ja cos x R 1,1 Määrittelyjoukko on koko reaalilukujen joukko, sillä: Kun sallitaan kulman(radiaaneina) tehdä useita kierroksia, niin muuttujana voidaan pitää mitä tahansa reaalilukua. Myötäpäivään kierretyt kulmat tulkitaan negatiivisiksi arvoiksi. Arvojoukko on suljettu väli 1,1, sillä: Yksikköympyrän säteen pituus on määritelmällisesti yksi, joten leikkauspisteen kumpikaan koordinaatti ei voi olla koskaan itseisarvoltaan ykköstä suurempi.
Yksikköympyrä On tärkeää oppia hahmottamaan radiaaneina ilmaistua kulmaa vastaavan janan leikkauspiste ympyrän kehällä ja päinvastoin. Koska kulman on sallittua tehdä useita kierroksia, niin tulee myös huomioida kulmien monikerrat: Esimerkiksi yhtälön sin x = 3 2 eräät ratkaisut ovat: x = 4 3 π tai x = 5 3 π Tämän lisäksi yhtälö toteutuu kaikilla kulmilla: x = 4 π + 2πn tai x = 5 π + 2πn, 3 3 missä n Z, eli kulmiiin voidaan lisätä kokonaisenkierroksen monikerta 360 on radiaaneina 2π, eli yksikköympyrän kehän pituus.
Esimerkki 1. sin 2π ja cos 2π? Vastaus: Kierretään yksikköympyrää ympyrän kehän verran radiaaneissa, eli asteissa 360. Tällöin origosta lähtevä jana leikkaa ympyränkehän pisteessä 1,0. Siis sin 2π = 0 ja cos 2π = 1. 2. sin π? Vastaus: Kun kulma on π, niin origosta lähtevä jana leikkaa 3 3 ympyränkehän pisteessä 1, 3. Siis sin π = 3. 2 2 3 2
Tangentti- ja kotangenttifunktio Tangentti- ja kotangenttifunktio voidaan määritellä sini- ja kosinifunktioiden avulla seuraavasti: tan x = sin x cos x ja cot x = cos x sin x Nimittäjä ei saa olla tietenkään nolla, joten rajoitetaan määrittelyjoukko kummallekin kuvaukselle seuraavasti: tan x x R x π 2 + πn (n Z) R cot x : x R x πn (n Z) R
Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia i. sin 2 x + cos 2 x = 1 ii. iii. sin x = sin x cos x = cos x iv. tan x = tan x ja cot x = cot x v. sin 2x = 2 sin x cos x vi. cos 2x = cos 2 x sin 2 x = 1 2sin 2 x = 2cos 2 x 1 2 tan x vii. tan 2x = 1 tan 2 x viii. sin x + 2nπ = sin x ja cos x + 2nπ = cos x kaikilla x Z ix. tan x + nπ = tan x ja cot x + nπ = cot x kaikilla x Z Ominaisuudet (ii) ja (iii) sanovat, että sinifunktio on ns. paritonfunktio ja kosinifunktio on ns. parillinen funktio. Ominaisuudet (viii) ja (ix) sanovat, että sinin ja kosinin perusjakso on 2π. Vastaavasti tangentin ja kotangentin perusjakso on π.
Esimerkki Ratkaise yhtälö cos 2 x + 1 sin 2x = 0. 2 Hyödynnetään kaksinkertaisin kulman kaavaa sinille: sin 2x = 2 sin x cos x Saadaan, cos 2 x + 1 2 sin 2x = 0 cos2 x + 1 2 sin x cos x = 0 2 cos x cos x + sin x = 0 cos x = 0 tai cos x + sin x = 0 Ratkaistaan kummatkin yhtälöt yksikköympyrän avulla: 1. cos x = 0 x = π + nπ, missä n Z 2 2. cos x + sin x = 0 cos x = sin x Nähdään, että toinen yhtälö toteutuu, kun: x = 3 4 π + nπ, n Z Riittää siis valita kulma ensimmäiseen leikkauspisteeseen ja lisätä siihen mielivaltainen monikerta puoliympyrä kaaren mittaa 1 2, 1 2 3 4 π Koko tehtävän yhtälö toteutuu siis, kun: x = π 2 + nπ tai x = 3 π + nπ, missä n Z 4 7 4 π 1 2, 1 2
Arkussini ja arkuskosini Sini- ja kosinifunktiolle voidaan funktioiden jaksollisuuden vuoksi määritellä käänteisfunktio usealla eri tavalla riippuen siitä, miten käänteisfunktioiden maalijoukko rajoitetaan. Palautetaan mieliin, että sini ja kosini on jatkuva kuvaus: R 1,1 Sinifunktio on bijektio, kun rajoitutaan monotonisuus väleille x π 2 + nπ, π 2 + nπ, missä n on ennalta määrätty kokonaisluku. Kosinifunktio on bijektio, kun rajoitutaan monotonisuus väleille x 0 + nπ, π + nπ, missä n on ennalta määrätty kokonaisluku. Erityisesti (eli tapaus n = 0): Kun x π 2, π 2, niin sinifunktio on aidosti kasvava Kun x 0, π, niin kosinifunktio on aidosti vähenevä
Arkussini ja arkuskosini Käänteisfunktio voidaan asettaa siis äärettömän monella eri tavalla riippuen siitä, miten kokonaisluku n valitaan, joka taas vaikuttaa käänteisfunktion maalijoukkoon ja siihen, onko funktio kasvava vai vähenevä. Tehdään sopimus ja asetetaan(n=0): arc sin x 1,1 π 2, π 2 arc cosx 1,1 0, π Näin saatuja funktioita kutsutaan arkussinin päähaaraksi ja arkuskosinin päähaaraksi. Muut arkussinin haarat ja arkuskosinin haarat saadaan asettamalla(n nollasta poikkeava kokonaisluku): arc sin x 1,1 arc cos x 1,1 π 2 + nπ, π 2 + nπ 0 + nπ, π + nπ Huomaa: Yläviivaavalla painotetaan, että kyseessä on arkusfunktion päähaara.
Esimerkki Tarkastellaan sinifunktiota: π 2 päähaara "kasvava haara" π 2 vaihtoehtoinen haara "vähenevä haara" π Aidosti kasvavan funktion käänteisfunktio on aidosti kasvava ja aidosti vähenevän funktion käänteisfunktio on aidosti vähenevä Näin ollen esimerkiksi, koska sinifunktio on aidosti kasvava välillä π, π 2 2 tarkoittaa sitä, että arkussinin päähaara on aidosti kasvava funktio., niin tämä
Arkustangentti Samoiten tangenttifunktion rajoittumalla: tan π 2, π 2 R On olemassa käänteisfunktio, jota kutsutaan arkustangentin päähaaraksi: arc tan R π 2, π 2 Tangenttifunktio on määrittely joukossaan aidosti kasvava funktio, joten erityisesti arkustangentin päähaara on aidosti kasvava funktio.
Apukolmio α 1 1 Apukolmion valinta ja mitä sivua merkitään muuttujalla x, riippuu tarkasteltavasta ongelmasta.
Esimerkki Sievennä lauseke cos arc tan x. arc tan x ja cos y on määritelty kaikilla x, y R Muodostetaan sopiva apukolmio, eli valitaan isompi kolmio ja merkitään vastakkaista kateettia muuttujalla x. Hypotenuusa saadaan laskettua Pythagoraan lauseella. α 1 + x 2 1 x tan α = x 1 = x arc tan x = α cos α = 1 1 + x 2 Saadaan siis: cos arc tan x = cos α = 1 1 + x 2, kun x R