Fysiikan olympiavalmennus, avoin sarja Kirje 1 Palautus 31.1.2012 mennessä Olet menestynyt hyvin MAOL:n fysiikkakilpailussa, ja sinut on valittu mukaan fysiikan olympiavalmennukseen. Valmennuksen ensimmäinen vaihe koostuu valmennuskirjeistä, joita saat yhteensä kolme, ja niihin aktiivisesti vastaamalla voit päästä mukaan Suomi Viro-fysiikkamaaotteluun, jossa valitaan Suomen joukkue vuoden 2012 fysiikkaolympialaisiin. Lisätietoa löytyy fysiikkavalmennuksen sivuilta osoitteesta http://www.jyu.fi/ipho/ valmennus. Tässä ensimmäinen valmennuskirje. Osa tehtävistä on perinteisiä laskuja, toisissa tutustutaan osittain sellaiseen fysiikkaan, mitä lukiokursseilla ei välttämättä käsitellä, mutta mitä fysiikkaolympialaisissa on hyvä hallita. Muutamat tehtävänannot ovat pitkähköjä, mutta laskut eivät välttämättä ole niin vaikeita. Tehtävät on pyritty laatimaan siten, että vaikka jotakin kohtaa ei saisi ratkaistua, voi tehtävän loppuosan silti tehdä. Tehtäviin liittyvissä kysymyksissä voi olla yhteydessä allekirjoittaneeseen. Ensimmäinen kirje keskittyy pääasiassa klassiseen mekaniikkaan. Palauta ratkaisusi 31.1.2012 mennessä osoitteeseen Heikki Mäntysaari Fysiikan laitos PL 35 (YFL) 40014 Jyväskylän yliopisto tai sähköpostitse osoitteeseen heikki.mantysaari@jyu.fi 1 Liitä ratkaisuihisi mukaan oma nimesi, sähköpostiosoitteesi, kotiosoitteesi ja puhelinnumerosi. Tarkastetut ratkaisut jaetaan takaisin valintakilpailussa tai palautetaan postitse. Seuraa sähköpostiasi säännöllisesti valmennuksen ajan. Tehtävä 1. Vastaa lyhyesti perustellen (a) Heität ankkurin veneestä järveen. Nouseeko vai laskeeko järven pinta? (b) Kun pitkää viivotinta tai karttakeppiä pitää vasemman ja oikean käden etusormien varassa vaakasuorassa ja vetää sormet hitaasti yhteen, sormet kohtaavat viivottimen tai kepin painopisteen kohdalla. Näin tapahtuu riippumatta siitä, missä kohtaa sormet alussa ovat. Selitä ilmiö mahdollisimman tarkasti. (c) Miksi pyörivä hyrrä ei kaadu, vaikka se on pyöriessään kallellaan? (d) Miksi veden pinnalla oleva öljyläikkä näkyy monivärisenä? Tehtävä 2. Tarkastellaan sateenkaaren muodostumista, kun auringon valo siroaa ilmassa olevista vesipisaroista. Yritetään ymmärtää ensin, miten valo siroaa yhdestä vesipisarasta, ja tarkastellaan tämän jälkeen todellista tilannetta, jossa ilmassa on suuri määrä pisaroita. Kuvassa 1 on esitetty auringosta tulevan valonsäteen siroaminen yksittäisestä vesipisarasta. Aurinko on hyvin kaukana, joten pisaraan osuvat valonsäteet ovat käytännössä yhdensuuntaisia. Tarkastellaan valonsädettä, joka ei tule suoraan kohti pisaran keskipistettä, vaan sen tulokulma vesipisaran pinnan normaaliin nähden on α. Osa tästä valosta taittuu pisaran sisään taitekulmalla β. Tämä valo heijastuu pisaran takaseinästä, ja taittuu tämän jälkeen ulos vesipisarasta. Olkoon δ ulosmenevän säteen ja vesipisaran keskipisteetä aurinkoon menevän suoran välinen kuva kuten kuvassa 1. (a) Näytä, että δ = 4β 2α. (b) Punaiselle valolle veden taitekerroin on n p = 1,331 ja siniselle n s = 1,343. Määritä δ:n suurin mahdollinen arvo δ max punaiselle ja siniselle valolle. (Punaiselle 42,37, siniselle 40,65.) (c) Piirrä kuva, josta käy ilmi, mihin suuntaan lähtee minkäkin väristä valoa, kun auringon valo osuu ilmassa olevaan vesipisaraan. Ilmaise kuvassa olevat kulmat suhteessa pisaran keskipisteestä aurinkoon menevään suoraan. (d) Tarkastellaan sitten tilannetta, jossa ilmassa on useita vesipisaroita. Merkitään ihmisen katseen suunnan (katse poispäin auringosta) ja silmien kohdalta aurinkoon menevän suoran välistä kulmaa θ:lla. Mitä havaitsija näkee, kun θ on pieni? Miten kirkkaus eroaa tilanteesta, jossa θ on suuri? Missä järjestyksessä sateenkaaren eri värit näkyvät? (e) Kuvassa 2 näkyy kaksi sateenkaarta samanaikaisesti. Miten selität ilmiön? (laskuja ei vaadita). 1 Mielellään PDF-muodossa, Windowsilla PDF:iä voi tehdä esimerkiksi PDFCreatorilla: http://sourceforge.net/projects/pdfcreator/. Skannatut käsinkirjoitetut ratkaisut käyvät, mutta käsinkirjoitetut paperilla palautetut ratkaisut ovat mukavimpia käsitellä. 1/5
Aurinko Kuva 1: Valon hiejastuminen vesipisarasta Kuva 2: Kaksi sateenkaarta. Tehtävä 3. Newtonin toinen laki F = m a pätee vain, kun kappaleen massa on vakio. Jos kappaleen massa muuttuu, on NII korvattava sen yleisemmällä versiolla tai liikemäärän avulla kirjoitettuna d(m v) dt = F, (1) d p dt = F. (2) Huomaa erikoistapauksena, että jos voima F on vakio ja vaikuttaa aikavälin t, niin p = t F, mikä on lukiomekaniikasta tuttu impulssin ja liikemäärän yhteys. Tässä siis merkitään liikemäärän derivaattaa ajan suhteen muodossa d p/dt = p (t). Tarkastellaan tästä lähtien liikettä yhdessä ulottuvuudessa, jolloin voidaan unohtaa vektorimerkit, p = p. Huomaa yhteys derivaatan geometriseen tulkintaan, sillä nyt dp on liikemäärän pieni muutos, kun aikaa kuluu pieni aikaväli dt. Tämä suhdehan on käyrän p = p(t) kulmakerroin (p,t)-tasossa. 2 Tarkastellaan nyt avaruusrakettia, joka kiertää maapalloa korkeudella h ympyräradalla. Raketti halutaan ampua pois maapallon vetovoiman vaikutuspiiristä, jolloin sen nopeus tulee kasvattaa pakonopeutta suuremmaksi 3. Raketin massa on aluksi M 0, ja se kiihdyttää pakonopeuteen käyttämällä rakettimoottoria, josta purkautuu pakokaasua vakionopeudella nopeudella u. Laske alla olevan ohjeen mukaan, kuinka paljon polttoainetta tarvitaan, jotta maan painovoimakentästä päästään pois. (a) Mikä on raketin nopeus v 0 = v(t = 0) aluksi sen ollessa ympyräradalla korkeudella h? (b) Kuinka suuri nopeus raketilla tulee olla, jotta se voi poistua maapallon painovoimakentästä? (c) Tarkastellaan raketin kiihtymistä ajanhetkien t ja t + dt välillä (nyt siis dt on pieni aikaväli). Voimme tarkastella rakettia ja pakokaasua kokonaisuutena, johon ei kohdistu ulkoisia voimia, joten kokonaisliikemäärä P on vakio. Kun tarkasteltava aikaväli on pieni, voimme ajatella, että raketista poistuu yksi pakokaasualkio ja laskemme, miten se vaikuttaa raketin liikkeeseen. Tarkastelujakson aluksi raketin nopeus on v(t) ja massa m(t). Tarkastelujakson aikana raketin nopeus kasvaa dv:n verran ja massa vähenee dm:llä (eli raketista poistuu pakokaasua massan dm verran). 2 Matematiikan kurssilta saattaa olla tuttu derivaatan määritelmä erotusosamäärän raja-arvona: f (x) = f(x+h) f(x) lim h 0, joka siis on muotoa f:n muutos / x:n muutos. 3 h Raketti voi toki poistua maan vetovoimakentästä myös kävelyvauhtia, mutta käytännössä paras tapa (kun huomioidaan käytettävissä oleva rajallinen polttoainemäärä) on kiihdyttää raketti ripeästi sopivalle radalle ja sammuttaa moottorit. 2/5
Alkutilassa meillä ei ole pakokaasualkiota, joten systeemin kokonaisliikemäärä on P (t) = m(t)v(t). Kirjoita koko järjestelmän liikemäärä lopuksi, P (t+dt), eli liikemäärä sen jälkeen, kun dm-massainenpakokaasualkio on poistunut raketista raketin suhteen nopeudella u. (d) Kun tarkasteltava aikaväli dt on lyhyt, ovat muutokset dv ja dm pieniä, joten muotoa dv dm olevat termit voidaan jättää huomiotta. Näytä, että nyt liikemäärän muutos on dp = P (t + dt) P (t) = mdv + udm. (3) (e) Yhtälön (2) mukaisesti nyt dp/dt = 0, koska rakettiin ei kohdistu ulkoisia voimia (gravitaatio on paljon heikompi kuin tehokkaan rakettimoottorin aiheuttama voima kiihdytyksen aikana, joten se voidaan jättää huomiotta). Siten yhtälön (3) nojalla (miksi?) m dv(t) dt = u dm dt. (4) Tämä yhtälö on niin sanottu differentiaaliyhtälö, jonka ratkaisuna saadaan raketin nopeusfunktio v(t) kun alkuehto, eli nopeus hetkellä t = 0, tunnetaan. Totea, että yhtälön ratkaisufunktio on v(t) = v 0 + u ln M 0 m(t). (5) Jos differentiaaliyhtälöiden käsittely on tuttua, voit myös ratkaista suoraan alkuperäisen differentiaaliyhtälön. (f) Arvioi karkeasti (mahdollisesti esimerkiksi Wikipediaa hyödyntäen) sopivat lähtöarvot esimerkiksi kuuraketille ja laske suuruusluokka-arvio sille, paljonko polttoainetta tarvitaan raketin kiihdyttämiseen. Tehtävä 4. Kappaleen, jonka massa on (vakio) m, liikettä yhdessä ulottuvuudessa kuvaa tuttu Newtonin toinen laki F = ma, (6) missä F on kappaleeseen kohdistuva voima ja a sen kiihtyvyys. Voima on siis suoraan verrannollinen liikutettavan kappaleen kiihtyvyyteen. Arkikokemus taas monissa tilanteissa näyttää, että voima on jollain tavalla verrannollinen nopeuteen: esimerkiksi vedessä liikkuva kappale näyttää putoavan alaspäin vakionopudella tasaisen kiihtymisen sijaan. Yritämme nyt ymmärtää, miksi näin käy. (a) Nesteessä hitaasti liikkuvaan kappaleeseen vaikuttaa vastusvoima F v = Cv, (7) missä C on kappaleen muodosta ja koosta sekä nesteen ominaisuuksita riippuva positiivinen vakio. Jos kappaleeseen vaikuttaa lisäksi ulkoinen voima F u, saadaan yhtälön (6) ja (7) yhdistämällä yhtälö ma = Cv + F u. Oletetaan, että F u ei riipu ajasta, mutta kiihtyvyys ja nopeus varmasti voivat muuttua ajan funktiona. Siten kirjoitamme edellisen yhtälön muotoon ma(t) = Cv(t) + F u. Kiihtyvyys on määritelmän mukaan nopeuden derivaatta: a(t) = v (t). Tätä määritelmää käyttäen saamme yhtälön mv (t) = Cv(t) + F u. (8) Tämä on niin sanottu differentiaaliyhtälö, ja tehtävämme on nyt löytää sellainen funktio v(t), että se toteuttaa ehdon (8). Lisäksi vaadimme, että alkuhetkellä t = 0 kappaleen nopeus on tasan v 0. Tämän jälkeen saamamme ratkaisufunktio v(t) kertoo kappaleen nopeuden milloin tahansa myöhemmin. Tarkastelemme hieman samankaltaista differentiaaliyhtälöä myös tehtävässä Tehtävä 3. Jos differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen on sinulle tuttua esimerkiksi matematiikan syventäviltä kursseilta, ratkaise yhtälö (8). Toisaalta voimme yrittää ratkaista yhtälöä myös tekemällä valmistuneen arvauksen, että ratkaisu on muotoa v(t) = A 1 + A 2 e A3t, (9) missä A 1, A 2 ja A 3 ovat vakioita. Totea, että tämä funktio toteuttaa yhtälön (8) kun vakiot valitaan tietyllä tavalla. Huomaa, että yhtälön täytyy päteä kaikilla ajan t arvoilla. Ota lisäksi huomioon alkuehto v(t = 0) = v 0 ja päättele vakioiden A 1, A 2 ja A 3 arvot. 3/5
(b) Edellisen kohdan tuloksena saamme ratkaistua nopeuden v(t). Tuloksen pitäisi näyttää tältä: v(t) = F ( u C + v 0 F ) u e Ct/m. (10) C Perustele, miksi kappaleen rajanopeus v r on v r = lim t v(t) = F u /C? Verrataan tätä tulosta yhtälöön (8), jonka kirjoitamme nyt muotoon ma = Cv + F u. Millä nopeuden v arvoilla kiihtyvyys a on nolla? Miten ja miksi tämä liittyy edellä laskettuun raja-arvoon? Tehdään lisäksi tärkeä oletus: nesteen aiheuttama vastusvoima on hyvin suuri, jolloin siis C on suuri. Edellä todettiin, että lim t = v r. Perustele (mahdollisesti sopivin lisäoletuksin), miksi olettamassamme tilanteessa v(t) v r on hyvinkin tarkka arvio jo melko pienillä ajoilla (tässä ei odoteta tarkkoja laskuja, vaan osoitus siitä, että ymmärrät, mistä on kyse, riittää). Tuloksena saamme yhtälön v F u C. (11) (c) Edellä oletimme ulkoisen voiman F u olevan vakio. Nyt annamme sen muuttua ajan funktiona, F u = F u (t), mutta vain hitaasti. Koska nopeus lähestyy arvoa v r hyvinkin nopeasti, voimme olettaa, että v(t) = v r koko ajan, vaikka v r muuttuukin. Saamme siis yhtälön v(t) F u (t)/c, jonka voimme (unohtaen likiarvoisuuden) kirjoittaa muotoon F u (t) = Cv(t). (12) Jos olisimme olettaneet, että vastusvoimaa kuvaava kerroin C on mitättömän pieni (tai jopa C = 0), olisimmekin saaneet tutun yhtälön F u (t) = ma(t), (13) missä F u tarkoittaa kappaleeseen vaikuttavia ulkoisia voimia poislukien väliaineen vastus ja kitka. Vertaile näitä kahta liikeyhtälöä seuraavissa tapauksissa. Millä tavoin kappale putoaa painovoiman vaikutuksessa, kun F u on vakio? Mitä tapahtuu kappaleelle, joka heitetään ylöspäin? Jos kaksi samamassaista kappaletta pudotetaan ythä aikaa samalta korkeudelta, putoaako toinen nopeammin? Jos kyllä, niin missä tilanteessa molemmat putoavat yhtä nopeasti? Näyttää siltä, että jos kappale toteuttaa liikeyhtälön (12), sen liike-energian ja potentiaalienergian summa (kokonaisenergia) ei olekaan vakio. Keksi esimerkkitilanne, jossa näin käy. Miksi energia ei näytä säilyvän? (d) Liikevastus voi olla edellä kuvatun kaltainen muutenkin kuin nesteissä. Myös ilmanvastus ja ktika voivat toimia kuvatulla tavalla. Jos vastusovima riippuukin nopeudesta jotenkin toisin, esimerkiksi yhtälön F v = K v v mukaisesti, muuttuu liikeyhtälö (12) hieman, mutta oleellinen tulos on sama: voima aiheuttaa nopeuden, ei kiihtyvyyttä 4. Keksi kaksi esimerkkiä arkisista tilanteista, joissa liikeyhtälö (12) (tai jokin sen kaltainen yhtälö) kuvaa tilannetta paremmin, ja toiset kaksi, joissa liikeyhtälö (13) on sopivampi. Keksi vielä kaksi sellaista tilannetta, joissa kumpikin on huono. Jos tuntuu tarpeelliselta, voit jaotella kappaleeseen vaikuttavat voimat ulkoiseen ja vastusvoimaan F u ja F v haluamallasi tavalla. Voit tutkia myös useampiulotteista liikettä, jolloin yllä esitetyt liikeyhtälöt tulevat muotoon F u (t) = C v(t) ja F u (t) = m a(t), kuten voi odottaa. Tehtävä 5. Tarkastellaan tilannetta, jossa kaksi massiivista kappaletta (massat m ja M) pyörivät avaruudessa yhteisen massakeskipisteensä O ympäri. Tilanne on esitetty kuvassa 3. (a) Määritä kulmanopeus, jolla kappaleita m ja M yhdistävä jana pyörii. (b) Näiden kahden kappaleen kanssa samalle tasolle halutaan asettaa satelliitti (massa µ m,m) siten, että se pysyy paikallaan M:n ja m:n suhteen. Mikä on µ:n etäisyys m:stä ja M:stä? Tehtävä 6. CERNin LHC-hiukkaskiihdyttimellä törmäytetään vastakkaisiin suuntiin eteneviä protoneja. Tarkastellaan kahden tällaisen protonin törmäystä. Yhden protonin kokonaisenergia on E p = 3,5 TeV. Tällaisissa törmäyksissä on pienessä tilassa niin paljon energiaa, että siitä voi muodostua lukuisia uusia hiukkasia. Hiukkasfysiikassa mitataan mm. tuotettujen hiukkasten kulmajakaumia, joista saadaan tietoa esimerkiksi protonin rakenteesta. 4 Tässä tilanteessa saamme vastaavin oletuksin F u(t) = K v(t) v(t). 4/5
M R O r m Kuva 3: Kappaleet, joiden massat ovat m, M, pyörivät massakeskipisteensä ympäri. Samalla tasolla on kolmas pienimassainen kappale µ. Lähellä valonnopeutta kulkevien hiukkasten kuvailussa tarvitaan erityistä suhteellisuusteoriaa. Lukiossa sitä ei nykyään juuri käsitellä, mutta fysiikkaolympialaisten aihealueisiin se kuuluu. Tarvittaessa tutustu aiheeseen tutkimalla kirjeen mukana toimitettua materiaalia. (a) Mikä on protonien nopeus laboratoriokoordinaatistossa? (b) Jos toinen protoni olisi levossa, niin kuinka suuri pitäisi toisen protonin energian olla, jotta systeemin kokonaisenergia massakeskipistekoordinaatistossa olisi sama? Miksi suurienergisia törmäyksiä haluttaessa käytetään vastakkaisiin suuntiin kulkevia suihkuja, vaikka niiden hallitseminen on teknisesti paljon vaikeampaa? Ohje: siirry alkuperäisestä koordinaatistosta koordinaatistoon, jossa toinen protoni on levossa. (c) Jos massakeskipistekoordinaatistossa syntyy hiukkanen, jonka liikemäärä on 10 GeV/c ja sirontakulma θ = 45. Mikä on tämän hiukkasen suuntakulma koordinaatistossa, jossa toinen protoni on levossa. Tehtävä 7. Havaintojemme mukaan maailmankaikkeus on suuressa mittakaavassa homogeeninen. Perustele, miksi universumi ei voi olla äärettömän vanha ja staattinen. Suhteellisuusteoriaa ei tarvita. Ohje: tarkastele tähtiä, jotka ovat etäisyydellä R... R+ R maasta. Paljonko näitä tähtiä on? Entä etäisyydellä 2R... 2R+ R. Kuinka kirkkaita nämä tähdet ovat maasta katsottuna? Tehtävä 8. Kokeellinen tehtävä: määritä voima, joka tarvitaan rullalangan katkaisemiseen. Käytettävissä on pitkähkö pala rullalankaa, millimetripaperia/mittanauha, teippiä ja esine, jonka massa on n. 0,1 1,0 kg. Anna tuloksellesi virhearvio käyttäen maksimi-minimimentelmää, joka on esitelty olympiavalmennuksen virheanalyysimateriaalissa, joka löytyy osoitteesta http://www.jyu.fi/ipho/valmennus/materiaalit. 5/5