Fysiikan olympiavalmennus, perussarja Palautus mennessä
|
|
- Sari Saaristo
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Fysiikan olympiavalmennus, perussarja Kirje 1 Palautus mennessä Olet menestynyt hyvin MAOL:n fysiikkakilpailussa, ja sinut on valittu mukaan fysiikan olympiavalmennukseen. Valmennuskirjeitä on yhteensä kolme, ja niihin aktiivisesti vastaamalla voit päästä valmennusleirille maaliskuussa Jyväskylään ja jopa valintakilpailuun vapun aikoihin Tallinnaan (ajankohdat varmistuvat myöhemmin), jossa valitaan Suomen joukkue vuoden 2014 fysiikkaolympialaisiin Kazakstaniin. Osallistumisesta ei aiheudu kuluja. Perussarjan valmennukseen osallistuminen auttaa myös pääsemään ensi vuonna avoimen sarjan valmennukseen, ja sitä kautta tulee mahdollisuus päästä kesän 2015 fysiikkaolympialaisiin Intiaan. Lisätietoa löytyy fysiikkavalmennuksen sivuilta osoitteesta Tässä on ensimmäinen valmennuskirje, jonka vastaukset tulee lähettää minulle mennessä joko kirjeitse tai sähköpostitse 1. Jotkin tehtävät ovat pitkiä, mutta sitä ei kannata hätkähtää; arvostelun kannalta tässä on = 10 saman arvoista tehtävää. Osatehtävät on pyritty laatimaan siten, että vaikka jokin kohta jäisi tekemättä, voi seuraavat silti ratkaista. Tehtävissä käsitellyt asiat eivät luultavasti ole kaikilta osin lukion kursseilta tuttuja, vaan niiden on tarkoitus opettaa jotain uutta klassisesta mekaniikasta. Olen alleviivauksin korostanut ne kohdat, joihin edellytetään vastausta. Jos ongelmia tulee vastaan, minulta voi kysellä asioita sähköpostitse. Tämä ei ole ylioppilas- tai kurssikoe, joten voit vastata järkeväksi katsomallasi tavalla. Kirjoita välivaiheita sen verran, että pystyt itse seuraamaan tekstiäsi ja uskot minunkin siihen pystyvän. Minulle ei tarvitse välivaihein vakuuttaa, että osaat ratkaista toisen asteen yhtälön tai tehdä jonkin muun mekaanisen laskun. Välivaiheet eivät kuitenkaan ole kiellettyjä. Jos et ole jostain syystä osallistunut MAOL:n fysiikkakilpailuun mutta haluat mukaan valmennukseen, vastaa tähän kirjeeseen. (Voit siis kertoa valmennuksesta kaverillesikin, jos arvelet hänen kiinnostuvan.) Lisäksi on hyödyksi ilmoittaa asiasta sähköpostitse minulle mahdollisimman pian, jotta myöhemmät kirjeet ja tiedotteet päätyvät sinullekin. Joonas Ilmavirta Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos PL 35 (MaD) Jyväskylän yliopisto joonas.ilmavirta@jyu.fi Tehtävä 1. Tutkitaan pyöreää ja homogeenista taivaankappaletta, jonka massa on M ja säde R. Laske, kuinka suuri on pakonopeus, eli pienin mahdollinen nopeus, jolla taivaankappaleen pinnalta lähtevä kappale pääsee gravitaatiokentästä vapaaksi. Taivaankappale ei pyöri ja lähtevään kappaleeseen kohdistuu (moottorin tai muun) työntövoima vain hyvin lyhyen aikaa sen lähtiessä liikeelle. Ratkaise R, jos pakonopeus on valonnopeus c. Jos taivaankappaleen säde on tätä sädettä pienempi, kappaletta sanotaan mustaksi aukoksi. Miksi? Vaikka emme ottaneet suhteellisuusteoriaa lainkaan huomioon, saimme täsmälleen suhteellisuusteorian ennustaman tuloksen tälle kriittiselle säteelle, joka tunnetaan tavallisesti Schwarzschildin säteenä 2. Jos kappaleen massa on tätä pienemmän säteen sisässä, kaikki aine ja valo putoaa vääjäämättä yhä lähemmäksi massakeskipistettä. 1 Paperinen vastaus on helpoin käsitellä, mutta jos palautat tehtävät sähköisesti, varmista, että palautusten koko on ainakin alle 500 kt ja vastaukset ovat helposti luettavissa. Pdf-muotoinen vastaus on varmin. Voit myös laittaa vastauksesi kotisivullesi ja antaa linkin. 2 Varsinaisesti pitäisi siis käyttää Newtonin mekaniikan sijasta Einsteinin kenttäyhtälöä G = 8πG N c 4 T, 1/5
2 Arvioi, kuinka suuri on sinun omaa massaasi vastaava Schwarzschildin säde ja totea, ettet ole vielä lähelläkään luhistumista eikä kyllä kukaan muukaan. Tehtävä 2. Tässä tehtävässä selvitetään, kuinka kauas lumi putoaa harjakattoisen talon katolta. Olkoon katon reuna korkeudella H ja katon korkein kohta korkeudella H + h. Merkitään α:lla katon kallistuskulmaa (α = 0 vastaa tasakattoa). Kuinka kauas katon reunasta sivusuunnassa voi katolta (levosta) liukumaan lähtevä lumi enintään pudota? Keksi järkevät lukuarvot H:lle, h:lle ja α:lle, ja laske, kuinka suuri tämä etäisyys on. Vertaa etäisyyttä jalkakäytävän leveyteen tai arvioi sen kokoa muuten. [Lisätehtävä] Jos aikaa ja intoa riittää, tutki vielä seuraavaa tilannetta. Talon mitat H ja h on annettu, mutta α voi olla mikä tahansa. Kuinka kauas lumi voi korkeintaan lentää? Ilmaise tämä suurin mahdollinen etäisyys H:n ja h:n avulla. Tästä saa lisäpisteen, mutta hyödyllisempää lienee tehdä ensin muut tehtävät. Tehtävä 3. Varjot ovat arkielämästä varsin tuttu ilmiö. Jos valonlähde on pistemäinen, varjot ovat terävärajaisia. Todellisuudessa siirtymä varjoisesta hyvin valaistuun on monesti varsin pehmeä, mikä johtuu valonlähteen koosta. Yritämme tässä tehtävässä ymmärtää varjoja teoreettisesti ja kokeellisesti. Kaksi keskimmäistä osaa ovat kokeellisia, ja osat (a) ja (d) teoreettisia, jotka voi hyvin tehdä vaikka koe jäisi väliinkin. (a) Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, ettei valo heijastu. (Tämä on yllättävän hyvä oletus. Valosta kovinkaankaan suuri osa ei yleensä heijastu, joten heijastuneen valon vaikutus valaistukseen on melko pieni. Valoa kuitenkin aina heijastuu jonkin verran; muutenhan emme näkisi mitään, mikä ei itse tuota valoa.) Sanomme, että kohta valonlähdettä ympäröivässä avaruudessa on täysin varjossa, jos valonlähteestä ei pääse siihen lainkaan valoa. Kohta on osittain varjossa, jos vain osa valonlähteestä tulevasta valosta ei esteiden vuoksi pääse siihen. Tarkastellaan yksinkertaista tilannetta, jossa valonlähde on kiekko, ja sen säde on R. Valonlähde on suuren tasomaisen varjostimen edessä etäisyydellä H. Valonlähteen ja ja varjostimen välissä on este, joka on r-säteinen kiekko ja imee kaiken siihen osuvan valon. Este on etäisyydellä h varjostimesta. Valonlähde, este ja varjostin ovat suoraan peräkkäin. Oletamme, että 0 < r < R ja 0 < h < H. Asetetaan valonlähde ja este siten, että varjostimelle juuri ja juuri muodostuu täysin varjossa oleva kohta. Piirrä kuva tilanteesta ja perustele sen avulla, että Rh = rh. Jos valonlähteen halkaisija on D = 2R ja esteen d = 2r, niin saamme yhtälön Dh = dh. (b) Selvitä lampun valaisevan osan koko edellisessä kohdassa saatua tulosta Dh = dh hyödyntäen seuraavalla tavalla. Tässä kohdassa tehdään mittaukset, seuraavassa analysoidaan niitä. Tarvitset välineiksi liikuteltavan lampun (esim. pöytä- tai taskulamppu), muutaman lamppua kapeamman tasapaksun tikun (esim. kynä), varjostimen (esim. seinä) ja pituuden mittaamiseen soveltuvan välineen (esim. viivain). Etsi käyttöösi kolme sopivaa eripaksuista tikkua (kokeile esimerkiksi eri kyniä, sormia missä Einsteinin kaarevuustensori G kuvaa avaruuden ja ajan kaarevuutta sekä energia-impulssitensori T aineen ja energian liikettä. Newtonin gravitaatiovakio ja valonnopeus ovat G N ja c. Tämän viattoman näköisen yhtälön ratkaiseminen on hirvittävän työlästä yksinkertaisissakin tilanteissa. 2/5
3 tai kalapuikkoja). Mittaa tikkujen leveydet d virheineen 3 ja kirjaa ne ylös. Tee seuraavat mittaukset ja kirjaa tulokset: Aseteta lamppu jollekin etäisyydelle varjostimesta ja mittaa tämä etäisyys virheineen (H ± δh). Ota yksi tikku ja aseta sellaiseen kohtaan lampun ja varjostimen väliin, että täysvarjo juuri ja juuri häviää. Mittaa tikun etäisyys seinästä virheineen (h ± δh). Toista sama muille tikuille. Toista tämä mittaus kolmelle eri H:n arvolle. Taulukoi saamasi tulokset siten, että joka rivillä ovat d ± δd, h ± δh sekä H ± δh. Eri mittauksia pitäisi olla 9. Samana toistuvaa lukuarvoa (d:n ja H:n osalta) ei tarvitse toistaa, kunhan merkitset selvästi, mikä lukuarvo mihinkin kuuluu. (c) Määritetään mittausdatasta D kahdella tavalla. Piirrä kutakin tikkua vastaavasti kuvaaja, jossa on toisella akselilla on h ja toisella H (valitse itse kummin päin teet). Kaikki kolme kuvaajaa voi hyvin piirtää samaan kuvaan. Merkitse kuvaajaan kyseisen tikun mittaustulokset virheineen. (Merkitse virheet sekä pysty- että vaakasuuntaan, kun molemmat on kerran arvioitu.) Sovita kuvaajaan suora, ja määritä sen kulmakerroin virheineen 4. Laske kulmakertoimen avulla D ja arvioi sen virhettä (esim. min max-metodilla 5 ). Vertaa eri tikkujen avulla saatuja tuloksia. Onko saatu tulos D ± δd (lähes) sama eri tikuilla? Kulkevatko sovitetut suorat origon läheltä? Voitko kolme tulostasi yhdistäen vetää johtopäätlksen siitä, kuinka suuri D on? Tehdään sitten määritys toisella tavalla. Taulukoimistasi tuloksista laske jokaiselta riviltä dh/h (tämänhän pitäisi olla D) laskematta virhearvioita. Laske tulosten keskiarvo ja etsi suurin poikkeama tästä keskiarvosta. Ilmoita näiden avulla D ± δd. Vertaa käyttämääsi kahta määritystapaa. Mieti esimerkiksi näiden asioiden osalta: helppous, virhearvion järkevyys, luotettavuus, herkkyys mittausvirheille. Tutki lamppua ja arvioi silmämääräisesti, ovatko saamasi tulokset järkeviä. Älä katso palavaa lamppua suoraan, vaan katkaise virta ja tutki lamppua muun valaistuksen avulla. (d) Aurinko paistaa zeniitistä (suoraan ylhäältä päin) ja Auringon suunnassa lentää lintu. Kuinka korkealla linnun pitää lentää, jotta se ei synnyttäisi maahan ollenkaan täysvarjoa? Onko tämä tavallinen tai mahdollinen lentokorkeus linnuille? Lasku sopii päässä laskettavaksi, jos arvioimme, että Auringon etäisyys Maasta on noin 1, km, Auringon säde km ja lintu on kiekko, jonka säde on 5 cm. (Voit halutessasi käyttää tarkempia arvoja ja käyttää hieman sivistyneempää mallia linnusta.) Tehtävä 4. Kappaleen, jonka massa on m, liikettä kuvailee Newtonin mekaniikassa tuttu laki 6 (Newtonin toinen laki) F = ma, (1) missä F on kappaleeseen kohdistuva voima ja a sen kiihtyvyys. Voima on siis suoraan verrannollinen liikutettavan kappaleen kiihtyvyyteen. Arkikokemus taas monissa tilanteissa näyttää, että voima on jollain tavalla verrannollinen nopeuteen: esimerkiksi vedessä liikkuva kappale näyttää 3 Virhe arvioidaan, ei mitata. Esimerkiksi etäisyyden mittauksessa viivoittimella virhe on tyypillisesti joitain millimetrejä. 4 Arvioi virhettä niin kuin sopivalta tuntuu. 5 D:n pienin arvo löytyy sijoittamalla lausekkeeseen kulmakertoimen ja h:n sopivat äärimmäiset arvot. Mieti, kummasta käytetään maksimia ja kummasta minimiä. Sama metodi päinvastoin antaa suurimman arvon D:lle. Valitse δd siten, että saamasi minimi ja maksimi mahtuvat juuri ja juuri välille D + δd. Tämä metodi yliarvioi D:n virhettä, mutta on helppo käyttää. Olympiavalmennuksen sivuilta löytyy parempia virhearviointiohjeita, jos asia kiinnostaa. 6 Tutkimme tilannetta yksinkertaisuuden vuoksi nyt yhdessä ulottuvuudessa. 3/5
4 putoavan alaspäin vakionopeudella tasaisen kiihtymisen sijaan. Yritämme nyt ymmärtää, miksi näin käy. (a) Nesteessä hitaasti liikkuvaan kappaleeseen vaikuttaa vastusvoima F v = Cv, (2) missä C on jokin kappaleen muodosta ja koosta sekä nesteen ominaisuuksista riippuva positiivinen vakio. Jos vastusvoiman lisäksi kappaleeseen vaikuttaa jokin ulkoinen voima F u, saadaan yhdistämällä yhtälöt (1) ja (2) yhtälö ma = Cv+F u. Jos sekä nopeus että kiihtyvyys riippuvat ajasta mutta F u on vakio, kirjoitamme edellisen muotoon ma(t) = Cv(t) + F u. Kiihtyvyys on määritelmän mukaan nopeuden aikaderivaatta 7 : a(t) = v (t). Näin ollen saamme differentiaaliyhtälön mv (t) = Cv(t) + F u. (3) Seuraavaksi ratkaisemme tämän differentiaaliyhtälön, eli etsimme sellaisen funktion v(t), joka toteuttaa ehdon (3). 8 Lisäksi vaadimme ratkaisulta, että alkuhetkellä t = 0 nopeus on jokin annettu v 0. Kun siis tiedämme kappaleen nopeuden hetkellä t = 0 olevan tasan v 0, yritämme yhtälöä (3) käyttäen päätellä, mikä nopeus on myöhemmin. Teemme valistuneen arvauksen, että ratkaisu on muotoa v(t) = A 1 + A 2 e A 3t, (4) missä A 1, A 2 ja A 3 ovat joitain vakioita. Laske tämän funktion derivaatta ja laske lausekkeen mv (t) + Cv(t) F u arvo. Jotta funktiomme todella olisi ratkaisu differentiaaliyhtälöön (3), on tämän lausekkeen oltava nolla kaikilla t. Päättele tästä sekä tiedosta v(0) = v 0 vakioiden A 1, A 2 ja A 3 arvot. (Hyvää harjoitusta on myös ratkaista yhtälö (3) alkuehdon v(0) = v 0 kanssa käyttämättä yritettä (4), jos satut tuntemaan jonkin tähän sopivan menetelmän.) (b) Edellisen kohdan lopputuloksena saamme siis ratkaistua nopeuden v(t). Tuloksen pitäisi näyttää tältä: v(t) = F u C + (v 0 F u C )e Ct/m. (5) Perustele, miksi nopeus lähestyy arvoa v r = F u /C eli lim t v(t) = v r. Vertaillaan tätä tulosta yhtälöön (3), jonka kirjoitamme nyt muotoon ma = Cv + F u. Millä nopeuden v arvolla kiihtyvyys a on nolla? Miten ja miksi tämä liittyy edellä laskettuun raja-arvoon? Tehdään lisäksi tärkeä oletus: nesteen aiheuttama vastusvoima on hyvin suuri, jolloin siis C on suuri. Edellä todettiin, että lim t v(t) = v r. Perustele (mahdollisesti sopivin lisäoletuksin), miksi olettamassamme tilanteessa v(t) v r on hyvinkin tarkka arvio, jo melko pienillä ajoilla. (Tässä ei odoteta tarkkoja laskuja, vaan osoitus siitä, että ymmärrät, mistä on kyse.) Näin saamme siis yhtälön v F u /C. (6) 7 Lukiokursseilla on mahdollisesti määritelty keskikiihtyvyys aikavälillä t 1... t 2 erotusosamääräksi v(t 2) v(t 1) t 2 t 1. Ottammalla raja-arvo t 2 t 1 saadaan suoraan derivaatan määritelmä: v (t 1 ) = v(t lim 2) v(t 1) t2 t 1 t 2 t 1, joka on tuttu matematiikan kursseilta. 8 Differentiaaliyhtälöistä kerrotaan valmennussivuilta löytyvässä matemaattisten menetelmien materiaalissa. Kyseisestä materiaalista voi olla hyötyä myös muissa tehtävissä. 4/5
5 (c) Edellä oletimme, että ulkoinen voima F u (t) on vakio. Nyt annamme sen muuttua, mutta vain hitaasti. Koska nopeus lähestyy arvoa v r hyvinkin nopeasti, voimme siis olettaa, että v v r koko ajan, vaikka v r muuttuukin. Saamme siis yhtälön v(t) F u (t)/c, jonka voimme (unohtaen likiarvoisuuden) kirjoittaa muotoon F u (t) = Cv(t). (7) Jos olisimmekin olettaneet, että vastusvoimaa kuvaava kerroin C on mitättömän pieni (tai jopa C = 0), olisimmekin saaneet tutun yhtälön (tässä siis F u tarkoittaa kappaleeseen vaikuttavia ulkoisia voimia poislukien väliaineen vastuksen tai kitkan): F u (t) = ma(t). (8) Vertaile näitä kahta liikeyhtälöä seuraavissa tapauksissa. Millä tavoin kappale putoaa painovoiman vaikutuksesta, kun F u on vakio? Mitä tapahtuu kappaleelle, joka heitetään ylöspäin? Jos kaksi samanmassaista kappaletta pudotetaan yhtä aikaa samalta korkeudelta, putoaako toinen nopeammin? Jos kyllä, missä tilanteessa molemmat putoavat yhtä nopeasti? Näyttää siltä, että jos kappale noudattaa liikeyhtälöä (7), sen liike-energian ja potentiaalienergian summa (siis kokonaisenergia) ei olekaan vakio. Keksi esimerkkitilanne, jossa näin käy. Miksi energia ei näytä säilyvän? (d) Liikevastus voi olla edellä kuvatun kaltainen muutenkin kuin nesteissä. Myös ilmanvastus ja kitka voivat toimia kuvatulla tavalla. Jos vastusvoima riippuukin nopeudesta jotenkin toisin, esimerkiksi yhtälön F v = K v v mukaisesti, muuttuu liikeyhtälö (7) hieman, mutta oleellinen tulos on sama: voima aiheuttaa nopeuden, ei kiihtyvyyttä 9. Keksi kaksi esimerkkiä arkisista tilanteista, joissa liikeyhtälö (7) (tai jokin sen kaltainen yhtälö) kuvaa tilannetta paremmin, ja toiset kaksi, joissa liikeyhtälö (8) on sopivampi. Keksi vielä kaksi sellaista tilannetta, jossa kumpikin on huono. Jos tuntuu tarpeelliselta, voit jaotella kappaleeseen vaikuttavat voimat ulkoiseen ja vastusvoimaan F u ja F v haluamallasi tavalla. Voit tutkia myös useampiulotteista liikettä; tällöin yllä esitetyt liikeyhtälöt tulevat muotoihinn F u (t) = C v(t) ja F u (t) = m a(t), kuten voi odottaa. 9 Tässä tilanteessa saamme vastaavin oletuksin F u (t) = K v(t) v(t). 5/5
Fysiikan olympiavalmennus, perussarja Palautus mennessä
Fysiikan olympiavalmennus, perussarja Kirje 1 Palautus 31.1.2015 mennessä Olet menestynyt hyvin MAOL:n fysiikkakilpailussa, ja sinut on valittu mukaan fysiikan olympiavalmennukseen. Valmennuskirjeitä on
LisätiedotFysiikan olympiavalmennus, perussarja Palautus mennessä
Fysiikan olympiavalmennus, perussarja Kirje 1 Palautus 31.1.2013 mennessä Olet menestynyt hyvin MAOL:n fysiikkakilpailussa, ja sinut on valittu mukaan fysiikan olympiavalmennukseen. Valmennuskirjeitä on
LisätiedotFysiikan olympiavalmennus, perussarja Palautus mennessä
Fysiikan olympiavalmennus, perussarja Kirje 1 Palautus 31.1.2012 mennessä Olet menestynyt hyvin MAOL:n fysiikkakilpailussa, ja sinut on valittu mukaan fysiikan olympiavalmennukseen. Valmennuskirjeitä on
LisätiedotFysiikan olympiavalmennus, perussarja Palautus mennessä
Fysiikan olympiavalmennus, perussarja Kirje 1 Palautus 11.2.2018 mennessä Olet menestynyt hyvin MAOL:n fysiikkakilpailussa, ja sinut on valittu mukaan fysiikan olympiavalmennukseen. Valmennuskirjeitä on
LisätiedotFysiikan olympiavalmennus, avoin sarja Palautus mennessä
Fysiikan olympiavalmennus, avoin sarja Kirje 1 Palautus 31.1.2012 mennessä Olet menestynyt hyvin MAOL:n fysiikkakilpailussa, ja sinut on valittu mukaan fysiikan olympiavalmennukseen. Valmennuksen ensimmäinen
LisätiedotFysiikan olympiavalmennus, avoin sarja Palautus mennessä
Fysiikan olympiavalmennus, avoin sarja 2017 2018 Kirje 1 Palautus 8.2.2018 mennessä Arvoisa lukiolainen, Onnittelut hyvästä menestyksestäsi MAOLin valtakunnallisen fysiikkakilpailun avoimessa sarjassa.
Lisätiedot= 6, Nm 2 /kg kg 71kg (1, m) N. = 6, Nm 2 /kg 2 7, kg 71kg (3, m) N
t. 1 Auringon ja kuun kohdistamat painovoimat voidaan saada hyvin tarkasti laksettua Newtonin painovoimalailla, koska ne ovat pallon muotoisia. Junalle sillä saadaan selville suuruusluokka, joka riittää
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
Lisätiedotg-kentät ja voimat Haarto & Karhunen
g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure Aiheuttaa kappaleelle
LisätiedotFysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2
Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 1. (a) W on laatikon paino, F laatikkoon kohdistuva vetävä voima, F N on pinnan tukivoima ja F s lepokitka. Kuva 1: Laatikkoon kohdistuvat voimat,
Lisätiedot1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot
1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1.1 Tieteellinen esitystapa Maan ja auringon välinen etäisyys on 1 AU. AU on astronomical unit, joka määritelmänsä mukaan on maan ja auringon välinen keskimääräinen
Lisätiedota) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.
Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi
LisätiedotFysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto
Fysiikan perusteet Voimat ja kiihtyvyys Antti Haarto.05.01 Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure
LisätiedotH7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
1 LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustulokset ovat aina todellisten luonnonvakioiden ja tutkimuskohdetta kuvaavien suureiden likiarvoja, vaikka mittauslaite olisi miten
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1 LIITE 1 VIRHEEN RVIOINNIST Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan
LisätiedotKitka ja Newtonin lakien sovellukset
Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Haarto & Karhunen Tavallisimpia voimia: Painovoima G Normaalivoima, Tukivoima Jännitysvoimat Kitkavoimat Voimat yleisesti F f T ja s f k N Vapaakappalekuva Kuva, joka
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotLisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
LisätiedotShrödingerin yhtälön johto
Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä
LisätiedotVASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN
Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa
LisätiedotPietarsaaren lukio Vesa Maanselkä
Fys 9 / Mekaniikan osio Liike ja sen kuvaaminen koordinaatistossa Newtonin lait Voimavektorit ja vapaakappalekuvat Työ, teho,työ-energiaperiaate ja energian säilymislaki Liikemäärä ja sen säilymislaki,
LisätiedotErityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)
Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen
LisätiedotOhjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin
Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Kari Eloranta 2016 Jyväskylän Lyseon lukio 11. tammikuuta 2016 Kokeen rakenne Fysiikan kokeessa on 13 tehtävää, joista vastataan kahdeksaan. Tehtävät 12 ja 13 ovat
LisätiedotRatkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta:
LASKUHARJOITUS 1 VALAISIMIEN OPTIIKKA Tehtävä 1 Pistemäinen valonlähde (Φ = 1000 lm, valokappaleen luminanssi L = 2500 kcd/m 2 ) sijoitetaan 15 cm suuruisen pyörähdysparaboloidin muotoisen peiliheijastimen
LisätiedotNEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI
NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI eli jatkavuuden laki tai liikkeen jatkuvuuden laki (myös Newtonin I laki tai inertialaki) Kappale jatkaa tasaista suoraviivaista liikettä vakionopeudella tai pysyy
LisätiedotFysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012
Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 LIIKE Jos vahvempi kaveri törmää heikompaan kaveriin, vahvemmalla on enemmän voimaa. Pallon heittäjä antaa pallolle heittovoimaa, jonka
LisätiedotVUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN. Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka, luento Kari Sormunen
VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka, 1.-2. luento Kari Sormunen Mitä yhteistä? Kirja pöydällä Opiskelijapari Teräskuulan liike magneetin lähellä
LisätiedotLaskun vaiheet ja matemaattiset mallit
Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 28. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta 2016 1 / 22 Hieman kertausta
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
LisätiedotKaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!
MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki
Lisätiedot1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot
1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1.1 Tieteellinen esitystapa Maan ja auringon välinen etäisyys on 1 AU. AU on astronomical unit, joka määritelmänsä mukaan on maan ja auringon välinen keskimääräinen
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotKuva 1. Ohmin lain kytkentäkaavio. DC; 0 6 V.
TYÖ 37. OHMIN LAKI Tehtävä Tutkitaan metallijohtimen päiden välille kytketyn jännitteen ja johtimessa kulkevan sähkövirran välistä riippuvuutta. Todennetaan kokeellisesti Ohmin laki. Välineet Tasajännitelähde
LisätiedotDifferentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
LisätiedotLuento 2: Liikkeen kuvausta
Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä
Lisätiedotf(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim
Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
LisätiedotJatkuvat satunnaismuuttujat
Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
Lisätiedotdl = F k dl. dw = F dl = F cos. Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 1 P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl
Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl Kukin siirtymä dl voidaan approksimoida suoraviivaiseksi, jolloin vastaava työn elementti voidaan
Lisätiedoty + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
LisätiedotELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2016 1 / 21 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia
LisätiedotELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Syksy 2016 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia Ajankohtaista Presemokyselyn poimintoja Millä odotuksilla aloitat
LisätiedotVUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN. Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet (mat/fys/kem suunt.), luento 1 Kari Sormunen
VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet (mat/fys/kem suunt.), luento 1 Kari Sormunen Vuorovaikutus on yksi keskeisimmistä fysiikan peruskäsitteistä
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti
LisätiedotNopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit
Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero
LisätiedotLuvun 10 laskuesimerkit
Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 10.1 Tee-se-itse putkimies ei saa vesiputken kiinnitystä auki putkipihdeillään, joten hän päättää lisätä vääntömomenttia jatkamalla pihtien vartta siihen tiukasti sopivalla
LisätiedotMassakeskipiste Kosketusvoimat
Massakeskipiste Kosketusvoimat Luennon tavoitteet Kosketusvoimia Kitka Tukivoima Jännitys Jousivoima Massakeskipisteen käsite ja sillä laskeminen (Resonanssi tiedottaa tarjoavansa kahvia luentotauolla)
LisätiedotLaskun vaiheet ja matemaattiset mallit
Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 26. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 26. syyskuuta 2016 1 / 14 Hieman kertausta
LisätiedotAUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t,
AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t, v)-koordinaatistossa ruutumenetelmällä. Tehtävä 4 (~YO-K97-1). Tekniikan
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
LisätiedotSovelletun fysiikan pääsykoe
Sovelletun fysiikan pääsykoe 7.6.016 Kokeessa on neljä (4) tehtävää. Vastaa kaikkiin tehtäviin. Muista kirjoittaa myös laskujesi välivaiheet näkyviin. Huom! Kirjoita tehtävien 1- vastaukset yhdelle konseptille
Lisätiedotinfoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
LisätiedotLASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT KOKEEN JÄLKEEN JA ANNA PISTEESI RUUTUUN!
Matematiikan TESTI 4, Maa7 Trigonometriset funktiot ATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TAKISTA TEHTÄVÄT
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
Lisätiedotyyyyyyyyyyyyyyyyy Tehtävä 1. PAINOSI AVARUUDESSA Testaa, paljonko painat eri taivaankappaleilla! Kuu kg Maa kg Planeetta yyy yyyyyyy yyyyyy kg Tiesitk
I LUOKKAHUONEESSA ENNEN TIETOMAA- VIERAILUA POHDITTAVIA TEHTÄVIÄ Nimi Luokka Koulu yyyyyyyyyy Tehtävä 1. ETSI TIETOA PAINOVOIMASTA JA TÄYDENNÄ. TIETOA LÖYDÄT MM. PAINOVOIMA- NÄYTTELYN VERKKOSIVUILTA. Painovoima
LisätiedotMonissa fysiikan probleemissa vaikuttavien voimien yksityiskohtia ei tunneta
8 LIIKEMÄÄRÄ, IMPULSSI JA TÖRMÄYKSET Monissa fysiikan probleemissa vaikuttavien voimien yksityiskohtia ei tunneta Tällöin dynamiikan peruslain F = ma käyttäminen ei ole helppoa tai edes mahdollista Newtonin
LisätiedotKERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +
LisätiedotA-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2019 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 2
Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotLuento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt
Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Suoraviivainen liike integrointi Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa ELEC-A3110 Mekaniikka
Lisätiedot1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011
1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan
LisätiedotMuutoksen arviointi differentiaalin avulla
Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Muutoksen arviointi differentiaalin
LisätiedotRATKAISUT: 16. Peilit ja linssit
Physica 9 1 painos 1(6) : 161 a) Kupera linssi on linssi, jonka on keskeltä paksumpi kuin reunoilta b) Kupera peili on peili, jossa heijastava pinta on kaarevan pinnan ulkopinnalla c) Polttopiste on piste,
LisätiedotLuku 7 Työ ja energia. Muuttuvan voiman tekemä työ Liike-energia
Luku 7 Työ ja energia Muuttuvan voiman tekemä työ Liike-energia Tavoitteet: Selittää työn käsite Mallittaa voiman tekemä työ Mallittaa liike-energian ja työn keskinäinen riippuvuus Esitiedot Newtonin lait
LisätiedotVedetään kiekkoa erisuuruisilla voimilla! havaitaan kiekon saaman kiihtyvyyden olevan suoraan verrannollinen käytetyn voiman suuruuteen
4.3 Newtonin II laki Esim. jääkiekko märällä jäällä: pystysuuntaiset voimat kumoavat toisensa: jään kiekkoon kohdistama tukivoima n on yhtäsuuri, mutta vastakkaismerkkinen kuin kiekon paino w: n = w kitka
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta
Differentiaali- ja integraalilaskenta Opiskelijan nimi: DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. b) 105-kiloisella puolustajalla on yhtä suuri liikemäärä, jos nopeus on kgm 712 p m 105 kg
TEHTÄVIEN RATKAISUT 15-1. a) Hyökkääjän liikemäärä on p = mv = 89 kg 8,0 m/s = 71 kgm/s. b) 105-kiloisella puolustajalla on yhtä suuri liikemäärä, jos nopeus on kgm 71 p v = = s 6,8 m/s. m 105 kg 15-.
LisätiedotMAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele
LisätiedotLiikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima
Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima Tämän luennon tavoitteet Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat ja binomiapproksimaatio gravitaatio jatkuu viime viikolta Jousivoima: mikä se on ja miten
LisätiedotELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Elektroniikan ja nanotekniikan laitos (ELE) Syksy 2017 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia
LisätiedotFT, dosentti Kauppakatu 7 e Jyväskylä p Arvoisa lukiolainen!
Anssi Lindell Jyväskylässä FT, dosentti Kauppakatu 7 e 50 7.1.2016 40100 Jyväskylä p. + 358 40 80 533 48 anssi.lindell@jyu.fi Arvoisa lukiolainen! Olet menestynyt varsin hyvin Matemaattisten aineitten
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
LisätiedotTarkastellaan tilannetta, jossa kappale B on levossa ennen törmäystä: v B1x = 0:
8.4 Elastiset törmäykset Liike-energia ja liikemäärä säilyvät elastisissa törmäyksissä Vain konservatiiviset voimat vaikuttavat 1D-tilanteessa kappaleiden A ja B törmäykselle: 1 2 m Av 2 A1x + 1 2 m Bv
LisätiedotOn määritettävä puupalikan ja lattian välinen liukukitkakerroin. Sekuntikello, metrimitta ja puupalikka (tai jääkiekko).
TYÖ 5b LIUKUKITKAKERTOIMEN MÄÄRITTÄMINEN Tehtävä Välineet Taustatietoja On määritettävä puupalikan ja lattian välinen liukukitkakerroin Sekuntikello, metrimitta ja puupalikka (tai jääkiekko) Kitkavoima
LisätiedotJuuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
Lisätiedot5. Numeerisesta derivoinnista
Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan
LisätiedotFYSP101/K1 KINEMATIIKAN KUVAAJAT
FYSP101/K1 KINEMATIIKAN KUVAAJAT Työn tavoitteita tutustua kattavasti DataStudio -ohjelmiston käyttöön syventää kinematiikan kuvaajien (paikka, nopeus, kiihtyvyys) hallintaa oppia yhdistämään kinematiikan
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 3 Kevät E 1 + c 2 m 2 = E (1) p 1 = P (2) E 2 1
763306A JOHDATUS SUHTLLISUUSTORIAAN Ratkaisut 3 Kevät 07. Fuusioreaktio. Lähdetään suoraan annetuista yhtälöistä nergia on suoraan yhtälön ) mukaan + m ) p P ) m + p 3) M + P 4) + m 5) Ratkaistaan seuraavaksi
Lisätiedota) Sievennä lauseke 1+x , kun x 0jax 1. b) Aseta luvut 2, 5 suuruusjärjestykseen ja perustele vastauksesi. 3 3 ja
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 1.10.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotMAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!
A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim
LisätiedotMAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 1. Laske raja-arvot: a) 5 x lim x5 x 10 b) x 8x16 lim x x 9 x. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (5). b) Onko funktio f x vastauksesi lyhyesti 1 9 x ( ) x f ( x)
Lisätiedot