NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx < 2 0 2 0.005 : δ ( ε x ε y ). Absoluuttinen virhe: kertolasku ε xy ε x ŷ + ε y ˆx + ε x ε y.42δ + 6.5δ + δ 2 (7.57 + δ)δ 7.575δ kertolasku ε xy ε x ŷ + ε y ˆx + ε x ε y.7δ + 2.27δ + δ 2 (5.98 + δ)δ 5.985δ yhteenlasku ε x+y ε x + ε y edellisten summa.56δ 0.0678 korkeintaan 0 desimaalin tarkkuus. Suhteellinen virhe: yhteenlasku ρ x+y ε x + ε y absoluuttisten virheiden summa ˆx + ŷ a 7.575δ + 5.985δ 0.79045δ 0.009522 a korkeintaan 2 merkitsevää numeroa. Siten: a 7 (0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).
.2. Kaikissa kohdissa on kahden lähes yhtäsuuren luvun erotus, (d)-kohdassa lisäksi vielä jakaminen itseisarvoltaan pienellä luvulla. (a) x x 2 ( x ) x + x2 x 2 x + x 2. x + x 2 x2 (x 2 ) x + x 2 (b) + 2x x + x ( + x) ( + 2x)( x) ( + 2x)( + x) 2x 2 ( + 2x)( + x). (c) cos x (cos x ) cos x + cos x + cos2 x cos x + sin2 x cos x +. (Tai kaavaa cos 2α 2 sin 2 α käyttäen: cos x 2 sin 2 x 2.) (d) Taylorin sarjakehitelmä: f(x) f(y) + f (y)(x y) + 2 f (y)(x y) 2 + + n! f (n) (y)(x y) n + (n + )! f (n+) (ξ)(x y) n+, missä ξ ]x, y[ tai ξ ]y, x[. Valitaan f(x) e x ja y 0, jolloin e x + x + 2 x2 + + n! xn + (n + )! eξ x n+. Siten e x + x 2 x + + n! xn, (0 < x < ε), missä n on valittu siten, että (n + )! eξ x n e ε (n + )! xn haluttu tarkkuus. 2
.. Lähtötieto: x x + δx. Ratkaisu: f( x) f(x + δx). Häiriöalttius: { / } { } f(x) f( x) x x f(x + δx) f(x) K sup sup δx f(x) x δx δx x f(x) sup f x (ξ) δx f(x) f x (x) f(x) Siten: väliarvolause: f(x) f(y) f (ξ)(x y), missä ξ ]x, y[ tai ξ ]y, x[ e x (x ) 2 ( + x 2 ) x( + x2 ) 2 e x x(x ) 2 + x 2. x 0 tai x K 0 tehtävä hyvin käyttäytyvä, x pieni K pieni tehtävä hyvin käyttäytyvä, x suuri K suuri tehtävä huonosti käyttäytyvä..4. Kuvasta nähdään, että yhtälöllä x 2 sin x 0 x 2 sin x on kaksi nollasta eroavaa juurta, väleillä [ 2π, π] ja [ π, 2π ]. Symmetrian nojalla nämä juuret ovat toistensa vastalukuja. Pitäisi löytää kutistava funktio g : [a, b] [a, b] siten, että x g(x) x 2 sin x 0. Kokeillaan valintaa g(x) 2 sin x. Silloin [ π x, 2π ] [ ] [ π g(x), 2, 2π ]. Toisaalta g (x) 2 cos x, ja g(x) g(y) g (ξ) x y 2 cos ξ x y väliarvolause, ξ ]x, y[ tai ξ ]y, x[ < 2 ] π x y x y x, y 2, 2π [. Siten g on kutistava, jos valitaan väli [a, b] siten, että π 2 b < 2π. < a ja Kiintopistemenetelmä tälle yhtälölle: x k+ 2 sin x k. x 0 2 [a, b] x.8859 x 2.989 x.86602 x 4.948 x 5.887 x 6.90288 x 7.8907 x 8.8985 x 9.8956 x 0.89672 x.8947 x 2.89600 x.8957 x x 2 x 0.4 0 x ja x 2 samat merkitsevän numeron tarkuudella
.5. Ratkaistavana on yhtälö x 00 x 00 0. Koska f(x) x 00, f (x) x 2, niin x n+ x n f(x n) f (x n ) x n x n 00 x 2 n ( 2x n + 00 ). x 2 n (a) x 0 x 4 x 2 22.695502 x 5.95049 x 4 0.27440 x 5 7.6567 x 6 5.42646 x 7 4.749559 x 8 4.644025 x 9 4.64590 x 0 4.64589 x 9 x 8 x 9 x 0 x 9 x 0 0.52 0 0.28 0 6 Vastaus: 0 iteraatiota (x 0 ja x 9 samat 6 merkitsevän numeron tarkuudella). (b) x 0 4 x 4.75 x 2 4.644044 x 4.64590 x 4 4.64589 x x 2 x x 4 x x 4 0.5 0 0.28 0 6 Vastaus: 4 iteraatiota (x 4 ja x samat 6 merkitsevän numeron tarkuudella). 4
2.. Eliminointivaihe (pivot-alkiot laatikoitu): 0 2 2 0 2 4 2 0 2 0 2 0 2 4 0 2 8 8 2 0 2 4 5 2 4 2 5 2 2 2 0 2 4 5 2 2 5 2 5 2 0 2 4 5 2 2 2 5 2 4 2 0 2 4 5 2 2 5 2 5 2 0 2 4 5 2 2 5 5 5 Takenevat sijoitukset: x 5 4 5 x 4 5x + ( ) x 2 x 2 5 2 + 2 ( ) 2 x 2 2 2x + 0 2 + 2 2 ( ) 4 x 5 Ratkaisu: [5, 2, 2, ] T. 5
2.2. Kaavat (.9) (.0): i u ij a ij l ik u kj, j i, k l ij ( j a ij l ik u kj ), j < i, (l ii ), u jj k missä lasketaan U:n ensimmäinen rivi ja L:n ensimmäinen sarake; lasketaan U:n toinen rivi ja L:n toinen sarake; jne. Vaihe : u a 2 l u 2 a 2 l 2 a 2 u 2 4 2 u a l a ( 4) 2 u 2 Vaihe 2: u 22 a 22 l 2 u 2 l 22 2 ( ) u 2 a 2 l 2 u l 2 u 22 (a 2 l u 2 ) 6 2 ( ) 0 (4 ( 2) ( )) 4 Vaihe : LU A: u a l u l 2 u 2 l 9 ( 2) ( ) 4 0 2 2 2 0 4 6 2 4 4 4 9 6
2.. Kaavat (.7) (.8): missä i,..., n. l ij ( j a ij l ik l jk ), j < i, l jj k k ( i /2 l ii a ii lik) 2, Vaihe : Vaihe 2: Vaihe : l a 6 4 l 2 a 2 l 4 0 0 l 22 a 22 l2 2 0 2 l a ( 2) l 4 l 2 (a 2 l l 2 ) ( 2 ( ) 0) 2 l 22 l a l 2 l2 2 7 ( ) 2 ( 2) 2 2 LL T A: 4 4 0 6 0 2 0 2 0 2 2 2 2 2 2 7 7
2.4. Induktiolla matriisien koon n suhteen: (a) n : L R alakolmio, ˆL R alakolmio L ˆL R alakolmio Induktio-oletus: L R (n ) (n ) alakolmio, ˆL R (n ) (n ) alakolmio L ˆL R (n ) (n ) alakolmio Induktio-askel: [ ] A 0 L a T R n n, A R (n ) (n ) alakolmio α [ ] B 0 ˆL b T R n n, B R (n ) (n ) alakolmio β [ ] L ˆL AB 0 a T B + αb T R n n, AB R (n ) (n ) alakolmio αβ (b) n : L ˆL alakolmio L (l ) R alakolmio L (l ) R alakolmio Induktio-oletus: L R (n ) (n ) alakolmio L R (n ) (n ) alakolmio Induktio-askel: [ ] A 0 L a T R n n, A R (n ) (n ) alakolmio α [ ] A L y x T R n n, A R (n ) (n ) alakolmio ξ [ ] LL I Ay a T A + αx T a T R n n, I R (n ) (n ) y + αξ Ay 0 y 0 a T y + αξ a T A + αx T 0 L alakolmio ξ α x T α a T A 8
2.5. (a) Olkoon A LŨ. Oletetaan, että l ii 0 ja ũ ii 0 kaikilla i,..., n. Määritellään l 0 ũ 0 D..., Ẽ.... 0 lnn 0 ũ nn Silloin ja D l 0... 0 l nn, Ẽ ũ 0... 0 ũ nn, A LŨ L( D D)( ẼẼ )Ũ ( L D )( DẼ)(Ẽ Ũ) : LDU. Olkoon i < j. Silloin l ij n k lik d kj joten L on alakolmiomatriisi. Lisäksi Olkoon i > j. Silloin l ii n k u ij lik d ki n k joten U on yläkolmiomatriisi. Lisäksi u ii n k ẽ l ii d ii l ij d jj 0, l ii l ii. ẽ ik ũkj ẽ ii ũ ij 0, ik ũki ẽ ii ũ ii ũ ii ũ ii. Edelleen l ũ 0 D DẼ..., eli D on diagonaalimatriisi. 0 lnn ũ nn (b) L D Ux }{{} : y }{{} : z b Lz b z etenevillä sijoituksilla Dy z y D z U x y x takenevilla sijoituksilla 9
.. Choleskyn hajotelman diagonaalialkiot ovat aina > 0, joten riittää tarkastella alkioita l ij, j < i: l ij ( j ) a ij l ik l jk, l jj k }{{} sisätulo missä sisätulo on vektorien [l i, l i2,..., l i,j ] T ja [l j, l j2,..., l j,j ] T sisätulo. Siten l ij 0, jos a ij 0 tai sisätulo 0. Edellä olevia tuloksia käyttäen todetaan, että (S symmetrinen): S 0 A L S 0 A L S 0 A L : l ij 0 koska a ij 0 : l ij 0 koska sisätulo 0 Huomaa, että täyttymistä voi tapahtua vain matriisin profiilissa. 0
.2. [ ] a a A 2 a 2 a 22 A [ a22 ] a 2 a a 22 a 2 a 2 a 2 a A [ 0 ] 02 0 04 A [ 52.0 ] 5.0 5.5 50.5 A max{ 0 + 0, 02 + 04 } 206 A max{ 52.0 + 5.5, 5.0 + 50.5 } 0.5 κ(a) A A 22.. x (k+) x (k) + H(b Ax (k) ) (I HA) x (k) + }{{}}{{} Hb G c G [ ] [ ] [ ] 0 /4 /7 4 2 0 /7 5/28 4 det(λi G) λ /4 λ λ2 4 : 0 λ ± 2 [ 0 ] /4 0 max λ i i 2 2 <
.4. Iteroidaan y (k) Ax (k), c k+ y (k) j x (k+) c k+ y (k). Alkuarvaus x (0) [,, ] T missä j s.e. y (k) j max p n { y(k) p }, y (0) [, 0, ] T y () [2, 2, 2] T y (2) [, 4, ] T c c 2 2 c 4 x () [, 0, ] T x (2) [,, ] T x () [ /4,, /4] T jne. c 7.4464 c 8.44286 x 7 [ 0.7074,.000000, 0.7074] T x 8 [ 0.707,.000000, 0.707] T c 8 c 7 / c 8 0.02 0 merkitsevän numeron tarkkuus Analyyttinen ratkaisu: Ominaisarvo λ 2 + 2.4424, vastaava ominaisvektori ν [ / 2,, / 2] T [ 0.70707,, 0.70707] T..5. (a) x T Ax > 0 0 x R n λ x}{{} T x > 0 0 x R n λ > 0 > 0 (b) det(a λi) a λ a 2 a 22 λ a 2 λ 2 (a + a 22 )λ + a a 22 a 2 a 2 det(a λi) 0 λ (a + a 22 )/2 ± D D (a + a 22 ) 2 4 a a 22 + a 2 a 2 (a a 22 ) 2 4 + a 2 a 2 A symmetrinen a 2 a 2 D 0 λ reaalisia 2