Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin niitä vastaavat ominaisvektorit. Tällöin jono ( v 1,..., v m ) on vapaa. Todistus. Tehdään vastaoletus (antiteesi), että jono ( v 1,..., v m ) on sidottu. Tiedetään, että tällöin jokin jonon vektoreista on muiden lineaarikombinaatio. Esimerkiksi voi olla v 3 = 2 v 1 4 v 5 + 9 v 7. Tästä seuraa, että jokin jonon vektoreista on sitä edeltävien jonon vektoreiden lineaarikombinaatio. Edellisessä esimerkkitilanteessa v 7 = ( 2/9) v 1 + 0 v 2 + (1/9) v 3 + 0 v 4 + (4/9) v 5 + 0 v 6. LM1, Kesä 2015 141/232
Olkoon v k+1 jonon ensimmäinen vektori, joka on sitä edeltävien vektoreiden lineaarikombinaatio. Tällöin on olemassa c 1,..., c k R, joilla c 1 v 1 + + c k v k = v k+1. (1) Lisäksi jono ( v 1,..., v k ) on vapaa (muuten v k+1 ei olisikaan ensimmäinen vektori, joka on sitä edeltävien vektoreiden lineaarikombinaatio). Kertomalla yhtälön (1) molemmat puolet vasemmalta matriisilla A ja käyttämällä sen jälkeen matriisien laskusääntöjä ja oletusta, että vektorit v 1,..., v k ovat matriisin A ominaisvektoreita, saadaan A(c 1 v 1 + + c k v k ) = A v k+1 c 1 A v 1 + + c k A v k = A v k+1 c 1 λ 1 v 1 + + c k λ k v k = λ k+1 v k+1. (2) LM1, Kesä 2015 142/232
Kertomalla yhtälön (1) molemmat puolet luvulla λ k+1 saadaan c 1 λ k+1 v 1 + + c k λ k+1 v k = λ k+1 v k+1. (3) Vähennetään yhtälöstä (2) puolittain yhtälö (3), jolloin saadaan c 1 (λ 1 λ k+1 ) v 1 + + c k (λ k λ k+1 ) v k = 0. Jono ( v 1,..., v k ) on vapaa, joten tästä yhtälöstä seuraa, että sen kaikki kertoimet ovat nollia: c 1 (λ 1 λ k+1 ) = 0,..., c k (λ k λ k+1 ) = 0. Koska λ 1,..., λ m ovat kaikki eri ominaisarvoja, niin (λ i λ k+1 ) 0 kaikilla i {1,..., k}. Tulon nollasäännön nojalla tällöin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. LM1, Kesä 2015 143/232
Näin ollen v k+1 = c 1 v 1 + + c k v k = 0 v 1 + + 0 v k = 0. Toisaalta oletuksen mukaan v k+1 on matriisin A ominaisvektori, joten v k+1 0. Päädyttiin ristiriitaan, joten vastaoletus ei voi olla tosi. Siis alkuperäinen väite pätee eli jono ( v 1,..., v m ) on vapaa. LM1, Kesä 2015 144/232
Diagonalisointi Lause 22 Oletetaan, että n n -matriisilla on n eri ominaisarvoa. Tällöin A on diagonalisoituva. Todistus. Olkoot v 1,..., v n jotkin eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit. Ne ovat lineaarisesti riippumattomia lauseen 17 nojalla. Koska matriisilla A on n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria, niin A on diagonalisoituva lauseen 20 nojalla. LM1, Kesä 2015 189/232
Pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! Esimerkki 39 Merkitään ū = (1, 2, 3) ja w = ( 3, 5, 2). Lasketaan ū w: ū w = 1 ( 3) + 2 5 + ( 3) 2 = 3 + 10 6 = 1. LM1, Kesä 2015 201/232
Pistetulon ominaisuuksia Lause 24 Oletetaan, että v, w, ū R n ja c R. Tällöin (a) v w = w v (vaihdannaisuus) (b) v ( w + ū) = v w + v ū (osittelulaki) (c) (c v) w = c( v w) Huom. Muista, että lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella todeksi nojautumalla määritelmiin ja aikaisemmin perusteltuihin väitteisiin. LM1, Kesä 2015 202/232
Vektorien kohtisuoruus Määritelmä Vektorit v R n ja w R n ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli ortogonaaliset, jos v w = 0. Tällöin merkitään v w. w v LM1, Kesä 2015 203/232
Vektorin pistetulo itsensä kanssa Lause 25 Oletetaan, että v R n. Tällöin (a) v v 0. (b) v v = 0, jos ja vain jos v = 0. Perustelun ideat: (a) v v = v1 2 + v 2 2 + + v n 2 0 + 0 + + 0 = 0. (b) Jos v v = 0, niin v 2 1 + v2 2 + + v n 2 = 0. Tästä seuraa, että v 1 = 0 ja v 2 = 0 ja... ja v n = 0 (huomaa, että jokainen yhteenlaskettava vi 2 0). Siten v = (0, 0,..., 0) = 0. Jos v = 0, niin v v = 0 2 + 0 2 + + 0 2 = 0. LM1, Kesä 2015 204/232
Vektorin normi (eli pituus) Määritelmä Vektorin v R n normi on Huom. v = v v. Jos v = (v 1, v 2,..., v n ), niin v = v 2 1 + v 2 2 + + v 2 n. Normin määritelmästä seuraa, että v 2 = v v. v v v LM1, Kesä 2015 205/232
Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2015 206/232
Normin ominaisuuksia II Lause 29 (Schwarzin epäyhtälö) Oletetaan, että v R n ja w R n. Tällöin v w v w. Lause 30 (Kolmioepäyhtälö) Oletetaan, että v R n ja w R n. Tällöin v + w v + w. v+ w w v LM1, Kesä 2015 212/232
Vektorien välinen kulma Schwarzin epäyhtälöstä saadaan Lemma 31 Oletetaan, että v R n \ { 0} ja w R n \ { 0}. Tällöin 1 v w v w 1. LM1, Kesä 2015 213/232
Vektorien välinen kulma Määritelmä Vektorien v R n \ { 0} ja w R n \ { 0} välinen kulma on se kulma α, jolle pätee 0 α 180 ja cos α = v w v w. LM1, Kesä 2015 214/232
Projektio Määritelmä Olkoot v, w R n ja w 0. Tällöin vektorin v projektio vektorin w virittämälle aliavaruudelle on sellainen vektori p R n, että (a) vektori p on yhdensuuntainen vektorin w kanssa (b) vektori v p on kohtisuorassa vektoria w vastaan. Projektiota merkitään p = proj w ( v). v proj w ( v) w LM1, Kesä 2015 217/232