T-79.5101 kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut 1. Jokaiselle toteutuvalle lauselogiikan lauseelle voidaan etsiä malli taulumenetelmällä merkitsemällä lause taulun juureen ja soveltamalla sen jälkeen taulusääntöjä, kunnes taulu on valmis. a) b) 1. P Q) Q P) ) 2. P Q 1) 3. Q P) 1) 4. Q 3) 5. P 3) 6. P 2) 7. Q 2) Taulun juurena olevan lauseen malli voidaan muodostaa valmiin taulun minkä tahansa avoimen haaran avulla keräämällä joukoksi kaikki haarassa esiintyvät ei-negatoidut) atomilauseet. Yllä olevan taulun molemmista haaroista saadaan annetulle lauseelle sama malli M = {Q}. 1. ) P R) R P Q) 2. P R) R 1) 3. P Q 1) 4. P R) R 2) 5. P R) R 2) 11. P R 4) 6. P R) 5) 12. R 4) 7. R 5) 13. P 11) 14. R 11) 8. P 6) 15. P 3) 16. Q 3) 9. R 6) 10. R 9) Tauluun jää yksi avoin haara, josta saadaan lauseelle malli M = {P, Q, R}. 2. Lauselogiikan lauseen loogista seuraavuutta annetusta lausejoukosta voidaan tutkia taulumenetelmällä merkitsemällä taulun juureen kaikki lausejoukossa olevat lauseet ja lisäämällä tutkittavana olevan lauseen negaatio tauluun näiden jälkeen. Sovelletaan tämän jälkeen taulusääntöjä, kunnes taulu on valmis. Looginen seuraavuus pätee, jos tuloksena syntyneen taulun kaikki kaikki haarat ovat suljettuja. Tehtävässä saadaan siten taulu 1. Q P 2. R P Q) 3. P Q R) 4. Q 5. Q 4) 6. Q 1) 7. P 1) 8. P 3) 9. Q R 3) 10. Q 9) 11. R 9) 12. R 2) 13. P Q 2) 14. P 13) 15. Q 13) Koska valmiiseen tauluun jää yksi avoin haara, lause Q ei seuraa loogisesti tehtävässä annetusta lausejoukosta Σ. Tulos voidaan perustella muodostamalla taulun avoimesta haarasta vastamalli loogiselle seuraavuudelle malli, joka toteuttaa kaikki lausejoukon Σ lauseet, mutta jossa Q on epätosi). Vastamalliksi saadaan M = {P, Q, R}. 3. Lauselogiikan lause on konjunktiivisessa normaalimuodossa, jos se on muotoa L 1 1 L 1 ) n1 Lm 1 L m ), missä kukin lauseista nm on literaali atomilause tai sen negaatio). L j i Lauseen disjunktiivinen normaalimuoto on puolestaan muotoa L 1 1 L 1 n1 ) Lm 1 L m nm ) lauseet Lj i literaaleja). Lauseen disjunktiivinen normaalimuoto saadaan esimerkiksi etsimällä ensin lauseen kaikki mallit taulumenetelmällä ja keräämällä syntyneen taulun kaikista avoimista haaroista syntyvät mallit yhdeksi disjunktioksi. 1 2
1. P Q) P Q) 2. P Q) 1) 3. P Q 1) 4. P 2) 6. P 3) 7. Q 3) 5. Q 2) Taulun avoimista haaroista saadaan taulun juuressa olevalle lauseelle disjunktiivinen normaalimuoto P Q) P Q, joka voidaan vielä sieventää muotoon P Q. Konjunktiivisen normaalimuodon ratkaisemiseksi muodostetaan ensin lauseen negaation disjunktiivinen normaalimuoto: 1. P Q) P Q) ) 2. P Q 1) 3. P Q) 1) 4. P 3) 5. Q 3) 6. P 2) 7. Q 2) Lauseen negaation P Q) P Q) ) disjunktiiviseksi normaalimuodoksi saadaan taulun avoimesta haarasta P Q. lkuperäisen lauseen konjunktiivinen normaalimuoto saadaan tästä negatoimalla ja käyttämällä sitten hyväksi De Morganin sääntöjä. Lauseen P Q) P Q) konjunktiivinen normaalimuoto on siten P Q) P Q. Tässä tapauksessa siis lauseen disjunktiivinen ja konjunktiivinen normaalimuoto ovat samat. Tämä ei kuitenkaan päde yleisesti.) 3 4. a) 1. x 1 x 2Px 1,x 2) x 1 x 2 Px1,x 2) Px ) 2,x 1) 2. x 1 x 2 Px 1, x 2 ) 1) 3. x 1 x 2 Px1,x 2) Px 2, x ) 1) 1) 4. x 2 Pc,x 2 ) 2,x 1 /c) 5. Pc, d) 4,x 2 /d) 6. x 2 Pc, x2 ) Px 2,c) ) 3,x 1 /c) 7. Pc,d) Pd,c) 6,x 2 /d) 8. Pc, d) 7) 9. Pd, c) 7) 10. x 2 Pd,x2 ) Px 2,d) ) 3,x 1 /d) 11. Pd,c) Pc,d) 10,x 2/c) 12. Pd,c) 11) 13. Pc,d) 11) 14. Pc, c) Pc, c) 6,x 2/c) 15. Pd,d) Pd,d) 10,x 2 /d) 16. Pc, c) 14) 17. Pc, c) 14) 18. Pd,d) 15) 19. Pd, d) 15) 20. Pd,d) 15) 21. Pd,d) 15) Valmiiseen tauluun jää neljä avointa haaraa. Kunkin avoimen haaran avulla voidaan määritellä rakenne struktuuri), joka antaa mallin taulun juuressa olevalle lauseelle. Muodostetaan struktuuri taulun vasemmanpuoleisimman avoimen haaran avulla. Olkoon universumi = {1, 2}, ja määritellään c = 1, d = 2 sekä P = { 1, 2, 2, 1 }. Tarkistetaan, että lause on tosi rakenteessa. Koska esim. 1, 2 = c,d P, niin = Pc,d), joten edelleen myös pätee. Myös on voimassa, koska = x 1 x 2 Px 1,x 2 ) = x 1 x 2 Px 1,x 2 ) Px 2,x 1 )), = Pc,c) Pc,c), = Pc,d) Pd,c), = Pd,c) Pc,d) ja = Pd,d) Pd, d), 4
sillä c = 1, d = 2, c,c = 1, 1 P jolloin = Pc,c)), c,d = 1, 2 P jolloin = Pc,d)), d,c = 2, 1 P joten = Pd,c)) ja d,d = 2, 2 P = Pd,d)). b) Tässä tapauksessa taulumenetelmän avulla ei saada aikaan valmista äärellistä taulua. Osoittautuu, että taulumenetelmää sovellettaessa käyttöön joudutaan ottamaan toistuvasti lisää uusia vakioita, koska taulun kaikkia haaroja ei saada ristiriitaisiksi. Vakioiden soveltaminen uudelleen tauluun syntyviin universaalisti kvantifioituihin lauseisiin pakottaa ottamaan käyttöön lisää uusia vakioita jne. Tämä on esimerkki predikaattilogiikan puoliratkeavuudesta: ei ole olemassa systemaattista menetelmää, jonka avulla voidaan äärellisen monella askeleella joko etsiä malli mielivaltaiselle predikaattilogiikan lauseelle tai osoittaa se toteutumattomaksi.) Lause on kuitenkin tosi esim. seuraavassa rakenteessa : Olkoon universumi = {1}. Lisäksi tarvitaan vakiosymboli c ja predikaatti P siten, että Tarkistetaan, että c = 1 ja P = { 1, 1 }. = x 1 x 2 Px 1,x 2 ) x 1 x 2 x 3 Px 1,x 2 ) Px 2,x 3 ) Px 1,x 3 )) pätee. Koska universumissa on ainoastaan yksi alkio c = 1) ja 1, 1 P jolloin = Pc,c)), pätee. Samasta syystä = x 1 x 2 Px 1,x 2 ) = x 1 x 2 x 3 Px 1,x 2 ) Px 2, x 3 ) Px 1,x 3 )), 5. a) b) xpx) ) ) ) 1. xqx) x Px) Qx) 2. xpx) xqx) 1) 3. x Px) Qx) ) 1) 4. xpx) 2) 5. xqx) 2) 6. Pc) Qc) ) 3,x/c) 7. Pc) 6) 8. Qc) 6) 9. Pc) 4,x/c) 1. y xpx) Py) ) 2. xpx) Pc) ) 1,y/c) 3. xpx) 2) 4. Pc) 2) 5. Pd) 3,x/d) 6. xpx) Pd) ) 1,y/d) 7. xpx) 6) 8. Pd) 6) koska = Pc,c) Pc,c) Pc, c). 5 6
T-79.5101 kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 2 Ratkaisut 1. a) Jos ϕ on tosi, niin agentti tietää ϕ:n. b) Jos agentti ei tiedä ϕ:tä, niin agentti tietää, että se ei tiedä ϕ:tä. c) Jos agentti tietää, että ϕ:stä seuraa ψ, niin silloin, jos agentti tietää ϕ:n, niin agentti tietää ψ:n. d) gentti tietää, että ϕ on tosi tai agentti tietää, että ϕ ei ole tosi: toisin sanoen agentti tietää, onko ϕ tosi. 2. a) ϕ LKϕ b) Lϕ Lψ Lϕ ψ) c) Kϕ Lϕ d) LLϕ Lϕ 3. Olkoon P = ulkona sataa. a) K a K b P K b K a K b P b) K a K b P K b P) c) K b K a P K a P) d) K a K b K a P K a K b K a P 4. Tehtävässä annettu malli M = S, R, v on B s 2 s 1 a) M,s 1 ei päde, koska s 1,s 2 R ja M,s 2. b) M,s 1 B pätee, joss M,s 1 B 1 tai M, s 1 pätee. Koska s 1,s 2 R ja M,s 2 B, ei M,s 1 B päde. M,s 1 pätee, joss M,s 2 ja M, pätevät. Koska ei kuitenkaan ole olemassa maailmaa s S siten, että s 2,s R, seuraa, että M,s 2, ja edelleen, että M,s 1 ja M,s 1 B eivät päde. c) M, pätee, joss M,s 1 tai M, pätee. M,s 1 puolestaan pätee, joss M,s 2 tai M,. Koska ei ole olemassa maailmaa s S, jolle s 2,s R, seuraa, että M,s 2 pätee. Siten myös M,s 1 ja edelleen M, pätevät. d) M,s 1 B ) pätee, joss M,s 2 B ja M, B pätevät. M,s 2 B pätee, koska M,s 2 B. M, B pätee, joss M, B tai M,. M, B ei toteudu, koska v,b) = false. Nyt M,, joss M,s 1 ja M, pätevät. Näin myös on, koska s 1, R, esim.), R ja v,) = true. Siten M, ja M, B pätevät. Seuraa siis, että myös M,s 1 B ) pätee. e) M,s 1 ) pätee, joss M,s 2 tai M,. Nähdään, että M,s 2 pätee, koska sekä M,s 2 että M,s 2, mikä seuraa siitä, että ei ole olemassa maailmaa s S siten, että s 2,s R. 5. Tehtävässä annettu malli M = S, R, v on s 1 s 4 s 2 s 5 2
Tässä tehtävässä voitaisiin lauseen totuusarvot eri maailmoissa määrittää suoraan modaalilogiikan operaattorien ja määritelmiä hyväksi käyttäen kuten edellisessä tehtävässä. Voitaisiin siis esimerkiksi tutkia järjestyksessä, päteekö M,s 1, M,s 2 jne., kunnes löydetään maailma, jossa annettu modaalilogiikan lause pätee. Vaihtoehtoisesti voidaan kuitenkin lähteä liikkeelle annetun lauseen pienimmistä alilauseista tässä tapauksessa atomilause ) ja johtaa niiden totuusarvojen sekä modaalioperaattorien määritelmien avulla joidenkin suurempien alilauseiden totuusarvot kaikissa mallin maailmoissa. Tätä voidaan toistaa järjestyksessä yhä suuremmille alilauseille, kunnes lopulta saadaan selville mallin kaikki maailmat, joissa lause pätee. Vastaukseksi voidaan valita silloin jokin näistä maailmoista. Koska vs 1,) = vs 4,) = vs 5,) = true ja muutoin vs,) = false, nähdään, että M,s 1, M,s 4 ja M,s 5 ja muulloin M,s ). Koska nyt esim. s 1,s 4 R,,s 5 R, s 4,s 1 R ja s 5,s 5 R, seuraa modaalioperaattorin semantiikasta, että M,s 1, M,, M,s 4 ja M, s 5 pätevät. Sen sijaan M,s 2 ei ole voimassa, koska maailmalla s 2 on ainoana seuraajanaan R-relaatiossa maailma, mutta M,. Modaalioperaattorin semantiikan määritelmän avulla päätellään, että M,s 2, M, ja M,s 4, sillä kunkin maailman s 2, ja s 4 kaikille R-relaation seuraajamaailmoille s pätee M,s. Todetaan lisäksi, että nämä ovat mallin ainoat maailmat, joissa lause pätee. Lause ei päde maailmoissa s 1 ja s 5, sillä näillä maailmoilla on R-relaatiossa seuraajana maailma s 2, jolle M,s 2.) Soveltamalla jälleen modaalioperaattorin semantiikan määritelmää todetaan, että M,s 1, M,s 2 ja M,s 5, sillä kullakin maailmoista s 1, s 2 ja s 5 on seuraajamaailma, jossa pätee koska edellisen perusteella M,s 2 ja M,, 3 ja esim. s 1,s 2 R, s 2, R ja s 5, s 2 R). Nähdään myös, että lause ei päde maailmassa koska :n ainoa seuraaja R-relaatiossa on s 5, mutta M,s 5 ) eikä maailmassa s 4 koska M,s 1 ja M,s 5, eikä s 4 :llä ole muita seuraajia relaatiossa R). Operaattorin semantiikan avulla todetaan lopulta, että M,, M,s 4 ja M,s 5 pätevät, sillä kaikille maailmojen, s 4 ja s 5 R-seuraajille s pätee M,s. Havaitaan lisäksi, että, s 4 ja s 5 ovat ainoat tehtävän lauseen toteuttavat maailmat. Näistä siis mikä tahansa voidaan valita tehtävän vastaukseksi. Huomaa, että jokaisessa vaiheessa on tärkeää etsiä kaikki ne mallin maailmat, jossa ko. vaiheessa tutkittavana oleva alilause pätee, sillä muuten voidaan päätyä tilanteeseen, jossa jonkin muun alilauseen totuusarvoa ei voidakaan päätellä aiemmin laskettujen tulosten perusteella suoraan. Jos esimerkiksi todettaisiin pelkästään, että M,s 5 ja M, koska,s 5 R), ei nyt ainoastaan tämän tiedon avulla voida päätellä esim. alilauseen totuusarvoa s 4 :ssä, sillä se riippuu myös lauseen totuusarvoista s 1 :ssä ja s 5 :ssä, jotka on s 4 :n seuraajia. Erityisesti olisi nyt virhe olettaa, että esim. M,s 4 olisi voimassa; kuten yllä todettiin, lause itse asiassa pätee maailmassa s 4.) 4
T-79.5101 kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitu Ratkaisut 1. a) M = S,R, v, S = {s,t}, R = { s,s, s,t }, vs,) = true, vt,) = false. s t M,s pätee, koska s,s R ja M,s. M, s ei kuitenkaan päde, koska s,t R ja M,t. Siis M,s. b) M = S, R, v, S = {s,t}, R = { s,t }, vs,) = vt,) = false. s t Koska s,t R ja M,t, M,s. Siten M, s pätee. Koska maailmalla t ei ole seuraajia relaatiossa R, M,t pätee. Tällöin M,t, mistä seuraa, että M,s koska s,t R). Siis M,s. c) M = S,R,v, S = {s,t, u}, R = { s,t, s,u, t,t }, vs,) = vu,) = false ja vt,) = true. s t u M,t, koska t,t R ja M,t. Koska t on itsensä ainoa seuraaja R-relaatiossa, myös M,t pätee. Siten M,t pätee, mistä seuraa, että M,s ) pätee koska s,t R). Koska u:lla ei ole R-relaatiossa seuraajia, M,u. Koska s,u R, seuraa tästä, että M,s. Siten M,s ). d) M = S, R, v, S = {s,t}, R = { s,s, s,t }, vs,) = vt,b) = true, vs,b) = vt,) = false. s t, B,B M,s pätee, koska s,s R ja M,s pätee. Myös M,s B on voimassa, koska s,t R ja M,t B. Siten M,s B. M,s B) ei kuitenkaan päde, sillä s:llä ei ole olemassa sellaista seuraajaa s R-relaatiossa, jolle pätisi M,s B. Siis M, s B) B). 2. Olkoon M = S, R, v. ) Oletetaan, että on pätevä mallissa. Olkoon s S mikä tahansa mallin maailma. Oletuksen perusteella M, s pätee, mistä seuraa, että on olemassa t S siten, että s, t R ja M,t. Edelleen päätellään, että jos M, s, niin silloin välttämättä myös M, t, s:n seuraajalle t, ja siksi M,s. Siis jos M,s, niin silloin myös M,s. Siten M,s, eli myös on pätevä mallissa. ) Oletetaan, että on pätevä mallissa. Olkoon s S. Osoitetaan, että nyt on välttämättä olemassa t S siten, että s,t R. Jos näin ei olisi, s:llä ei olisi R-relaatiossa yhtään seuraajaa, jolloin M,s olisi voimassa. Koska on oletuksen mukaan pätevä mallissa, olisi nyt välttämättä oltava myös M, s, mistä seuraa ristiriita. On siis olemassa t S siten, että s,t R. Siten M,t, jolloin myös M, s pätee. Seuraa, että on pätevä mallissa. 3. Käytetään tehtävässä hyväksi generoiduille alimalleille 1 voimassa olevaa tulosta: 1 Olkoon annettu malli M = S,R, v. Joukon S 0 S generoima alimalli M = S, R, v on malli, joka toteuttaa seuraavat ehdot: 1. S on pienin S:n osajoukko, joka toteuttaa ehdot S 0 S. S on R-suljettu: jos on olemassa maailmat s S ja t S siten, että s, t R, niin silloin on oltava myös t S. 2. R = S S ) R. 3. Kaikille atomilauseille P ja kaikille maailmoille s S : v s, P) = vs,p). 1 2
Jos M = S,R,v on mallin M = S, R, v maailmojen joukon S 0 S generoima alimalli, niin silloin kaikille lauseille P ja kaikille maailmoille s S pätee Koska tehtävässä annettu lause M,s P joss M,s P. ) ) ) ) ) ) ) on tosi tehtävässä annetun mallin M maailmassa s 4, se on tosi myös missä tahansa M:stä generoidussa alimallissa, joka sisältää maailman s 4. Tehtävän malli M: s 1 s 2 s 5 Muodostetaan maailmojen joukon S 0 = {s 4 } generoima alimalli M = S,R,v. Koska S 0 S, niin s 4 S. Koska nyt S, s 5 S ja s 4, R, s 4,s 5 R, on oltava S ja s 5 S, jotta S olisi R-suljettu. Edelleen, koska s 2 S ja,s 2 R, on myös oltava s 2 S. Koska maailma s 1 ei ole saavutettavissa maailmoista s 2,, s 4 tai s 5 R-relaation kaarten välityksellä, maailmojen joukko {s 2,,s 4,s 5 } on R-suljettu. Selvästi tämä joukko on myös pienin S:n R-suljettu osajoukko, joka sisältää maailman. Generoidun alimallin ehtojen täyttämiseksi voidaan siis määritellä s 4 S = {s 2,,s 4,s 5 }, R = { s 2, s 5,,s 2,,s 4, s 4,, s 4,s 5 } ja v s 2, ) = v,) = true, v s 4,) = v s 5,) = false, jolloin malli M on Koska tehtävän lause toteutuu mallin M maailmassa s 4, se toteutuu myös mallin M maailmassa s 4, koska M on generoitu alimalli. Koska M sisältää neljä mahdollista maailmaa, se on eräs tehtävän ratkaisu. 4. F = S, R : s 1 s 2 s 4 F = S,R, missä S = {r 1, r 2 } ja R = { r 1,r 2, r 2,r 1 }: r 1 r 2 Muodostetaan kuvaus f : S S : Kuvaus f on p-morfismi, koska fs 1 ) = f ) = r 1 fs 2 ) = fs 4 ) = r 2 1. f on surjektiivinen esim. r 1 = fs 1 ) ja r 2 = fs 2 )) 2. s,t S : jos srt pätee, niin fs)r ft) pätee Esimerkiksi paria s 1,s 2 R vastaa pari fs 1 ),fs 2 ) = r 1,r 2, joka kuuluu relaatioon R ; loput relaation R parit voidaan tarkistaa vastaavasti.) 3. s S t S : jos fs)r t pätee, niin on olemassa u S siten, että sru ja fu) = t pätee Esimerkiksi r 2,r 1 = fs 4 ),r 1 R, ja havaitaan, että s 1 S, s 4 Rs 1 ja fs 1 ) = r 1 ; loput tapaukset vastaavasti.) P-morfismeja koskevan proposition perusteella seuraa, että kaikille lauseille P. jos F = P, niin F = P s 2 s 5 s 4 3 4