LAUSELOGIIKKA. 1 Lauselogiikan kieli. 1.1 Lauselogiikan aakkosto. atomiset lauseet: A,A 1,A 2,...,B,B 1,...,C, Lauselogiikan kieli
|
|
- Hannu-Pekka Kouki
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 1 LAUSELOGIIKKA 1. Lauselogiikan kieli 2. Lauselogiikan semantiikka 3. Semanttiset peruskäsitteet 4. Semanttinen taulu 5. Vaihtoehtoisia todistusjärjestelmiä 6. Normaalimuodot 7. Resoluutio 8. Laskennallisesta vaativuudesta LP / Kevät 2006 Lauselogiikka Lauselogiikan aakkosto atomiset lauseet: A,A 1,A 2,...,B,B 1,...,C,... negaatiosymboli: (ei) konjunktiosymboli: (ja) disjunktiosymboli: (tai) implikaatiosymboli: (jos... niin) ekvivalenssisymboli: (jos ja vain jos) sulut: () Symboleja,,, ja kutsutaan konnektiiveiksi, koska niiden avulla kytketään yksinkertaisempia lausekkeita (lauseita) monimutkaisemmiksi LP / Kevät 2006 Lauselogiikka LP / Kevät 2006 Lauselogiikka Kielen määritelmä 1 Lauselogiikan kieli OlkoonP ei-tyhjä joukko atomisia lauseita. Lauselogiikan lauseenmuodostussäännöt: Lauselogiikan aakkosto 1. Jokainen atominen lause A P on lause. Kielen määritelmä Lauseiden muodostamisesta Sopimukset sulkujen käytöstä Esimerkki: rakenteinen induktio 2. Jos α ja β ovat lauseita, niin myös ( α), (α β), (α β), (α β), (α β) ovat lauseita. 3. vain edellä olevien sääntöjen perusteella muodostetut merkkijonot ovat lauseita. Näiden sääntöjen nojalla muodostettavissa olevien lauseiden joukkoa kutsutaan (atomisten lauseiden joukkoonp perustuvaksi) lauselogiikan kieleksil.
2 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 5 Vaihtoehtoinen määritelmä LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 7 OlkoonP ei-tyhjä joukko atomisia lauseita. Esimerkki. Lauseen (( (A B)) C) jäsennyspuu on seuraava: Määritelmä. Atomisten lauseiden joukkoonp perustuva lauselogiikan kielil on merkkijonojen joukon (P {,,,,,(,)}) pienin osajoukko, joka on suljettu seuraavien vaatimusten suhteen: 1. Jos A P, niin A L. 2. Jos α L ja β L, niin ( α) L, (α β) L, (α β) L, (α β) L ja (α β) L. Jäsennyspuun juuressa oleva konnektiivi määrää, että annettu lause on muodoltaan implikaatio (tai implikaatio lyhyesti sanottuna). Vastaavasti määritellään lauseet, jotka ovat negaatioita, konjunktioita, disjunktioita ja ekvivalensseja. C Esimerkki. Jos P = {A, B}, niin esimerkiksi A, B,( A),(( A) B) ja ((( A) B) A) ovat kielenl lauseita. Sen sijaan merkkijonot ( ()) ja (A C) eivät olel :n lauseita. A B Lauseiden ominaisuuksia voidaan todistaa induktiolla lauserakenteen suhteen (tai lauseita vastaavien jäsennyspuiden rakenteen suhteen) LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 6 Jokaisella lauselogiikan lauseella on yksikäsitteinen jäsennyspuu LP / Kevät 2006 Lauselogiikka Lauseiden muodostaminen Määritelmä. Määritellään jäsennyspuut lauserakenteen mukaisesti: 1. Atomisen lauseen A P jäsennyspuu JP(A) on alla vasemmalla. 2. Negaation ( α) jäsennyspuu JP( α) on annettu keskellä. Jos lähtökohtana on joukko luonnollisen kielen lauseita, tunnistetaan atomiset lauseet eli väittämät, joita ei voida enää loogisessa mielessä pilkkoa osiin ja 3. Jos on jokin lauselogiikan binäärikonnektiiveista, lauseen (α β) jäsennyspuu JP(α β) on annettu oikealla. tunnistetaan konnektiivit ja muodostetaan vastaavat logiikan lauseet. A avoitteena voi olla myös jonkin järjestelmän määrittely suoraan logiikan lausein. ällöin JP(α) JP(α) JP(β) Yllä JP(α) ja JP(β) ovat lauseiden α ja β rekursiivisesti määräytyvät jäsennyspuut, jotka sijoitetaan kyseisten jäsennyspuiden alipuiksi. valitaan sopiva joukko järjestelmän ominaisuuksia kuvaavia atomisia lauseita ja määritellään näiden väliset suhteet/riippuvuudet logiikan lausein.
3 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka LP / Kevät 2006 Lauselogiikka Sopimukset sulkeiden käytöstä Esimerkki. Muotoillaan seuraava luonnollisen kielen lause lauselogiikan lauseena. Jos tiedosto on liian suuri, niin se tiivistetään tai poistetaan. Valitaan atomiset lauseet Uloimmat sulkeet tapana jättää pois: A B eikä (A B). Konnektiivien presedenssi eli sidontajärjestys: 1. on vahvin konnektiiveista. 2. ja ovat heikompia kuin, mutta vahvempia kuin ja. A = iedosto on liian suuri, B = iedosto tiivistetään ja C = iedosto poistetaan. Saadaan: jos A, niin B tai C. unnistetaan konnektiivit: (A (B C)). 3. ja ovat heikoimmat konnektiivit. Esimerkiksi: A B eikä ( A) B, A B B C eikä (A B) (B C), mutta (A B) (B C). Poikkeuksena ketjudisjunktiot/konjunktiot: kirjoitetaan A B C lauseiden A (B C) ja (A B) C sijaan LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 10 Esimerkki. Kuvataan seuraavaa yksinkertaista järjestelmää lauselogiikan lausein. Valitaan atomisiksi lauseiksi L = Lamppu palaa, K = Kytkin on suljettu ja P = Paristossa on riittävästi varausta. Määritellään järjestelmän sallitut tilat lauseilla (( P) ( L)) ja (P (L K)) LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 12 Lisähuomioita sulkeiden käytöstä Edellä tehdyt sopimukset (ketjukonjuktioita ja -disjunktioita lukuunottamatta) takaavat, että lauseen φ jäsennyspuu säilyy yksikäsitteisenä sulkeita vähennettäessä. Esimerkiksi merkkijonoa A B C ei pystytä jäsentämään lauseeksi (yksikäsitteisesti). arvitaan sulkeet: A (B C) tai (A B) C. Näillä lauseilla on yksikäsitteiset jäsennyspuut. Ketjudisjunktiokin A B C voidaan jäsentää kahdella tavalla: (A B) C tai A (B C). ulkitse nämä kaksi lausetta luonnolliselle kielelle! Jatkossa näille annetaan kuitenkin sama merkitys, joten on samantekevää kuinka jäsennys suoritetaan.
4 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka Esimerkki: rakenteinen induktio LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 15 odistus. Perustapaus: φ on atominen lause A. Määritelmä. Lauseen alilauseet määräytyvät seuraavasti: Atomisen lauseen A ainoa alilause on A. Lauseen ( α) alilauseita ovat α:n alilauseet ja ( α). Lauseen (α β) alilauseita ovat α:n ja β:n alilauseet ja (α β). Lauseiden (α β), (α β) ja (α β) alilauseet määritellään samaan tapaan kuin (α β):n. Koska #φ = 1 määritelmän mukaan, Aφ = 1 ja Kφ = 0, väittämä pitää tässä tapauksessa paikkansa. Induktioaskel: φ on muotoa ( α). Määritelmän mukaisesti: #( α) = 1 + #α. Induktio-oletuksen perusteella: #α Aα + Kα. äten #( α) 1+Aα+Kα = Aα+(1+Kα) Esimerkki. Lauseen A B C alilauseet ovat A, B,C, B C ja A B C. = A( α)+(1+kα) = A( α)+k( α). Näin väittämä tuli todistetuksi muotoa ( α) oleville lauseille LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 14 Väite. Lauseen φ alilauseita on korkeintaan niin monta kuin on φ:ssä esiintyvien atomisten lauseiden lukumäärän ja φ:n konnektiivien lukumäärän summa. odistetaan väite induktiolla lauserakenteen suhteen. Otetaan lauseelle φ käyttöön seuraavat merkinnät: #φ: lauseen φ alilauseiden lukumäärä, Aφ: lauseessa φ esiintyvien atomisten lauseiden lukumäärä ja LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 16 Induktioaskel jatkuu: φ on muotoa (α β), missä on mikä tahansa binäärisistä konnektiiveista,, ja. #(α β) = 1+#α+#β #(α,β) 1+Aα+Kα+Aβ+Kβ #(α,β) (ind.-oletus) = Aα+Aβ #(α,β)+1+kα+kβ Aα+Aβ A(α,β)+K(α β) = A(α β)+k(α β). Kφ: lauseen φ konnektiivien lukumäärä. Näillä merkinnöillä väite saadaan muotoon #φ Aφ+Kφ. Esimerkki. Väittämä pitää paikkansa ainakin lauseen φ = (B C) (B C) tapauksessa: #φ = 4, Aφ = 2 ja Kφ = 3. Merkintä #(α,β) tarkoittaa lauseiden α ja β yhteisten alilauseiden lukumäärää ja A(α,β) lauseiden α ja β yhteisten atomisten lauseiden lukumäärää. ällöin pätee A(α, β) #(α, β). Näin ollen väittämä tuli todistetuksi kaikille lauseille φ.
5 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 19 Huomio. Disjunktio (α β) on tosi α on tosi tai β on tosi. Disjunktio (α β) on siis tosi myös silloin, kun sekä α että β ovat tosia. 2 Lauselogiikan semantiikka Voidaan määritellä myös poissulkeva disjuktio (α β), joka on epätosi molempien disjunktien ollessa tosia. Perustotuustaulukot Konnektiivien keskinäisestä määriteltävyydestä Lauselogiikan totuusmääritelmä Vaihtoehtoinen totuusmääritelmä: valuaatiot α β (α β) E E E E E E (α β) on tosi joko α on tosi tai β on tosi LP / Kevät 2006 Lauselogiikka Perustotuustaulukot LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 20 Perustotuustaulukot (jatkoa) Perustotuustaulukoilla määritellään eri muotoa olevien lauseiden totuusarvot alilauseidensa funktiona. α β (α β) α β (α β) α E ( α) E α β (α β) E E E E E E E α β (α β) E E E E E E E E E E E E E E E E (α β) on tosi α on epätosi tai β on tosi jos α on tosi, niin β on tosi. Huomio. Implikaatio ei edellytä syy-seuraus-suhdetta. Esim. otuustaulukot on helppo sisäistää muistisääntöjen avulla: esim. (α β) on tosi α on tosi ja β on tosi. A = Ruotsi sijaitsee Aasiassa, B = Joulupukki on olemassa. Lause (A B) on tosi, koska A on epätosi.
6 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 21 Perustotuustaulukoiden avulla voidaan muodostaa totuustaulukko mille tahansa lauseelle (tai jopa lausejoukolle). Esimerkki. utkittava lause: ( B (A B)) Alilauseet: A,B, B,(A B),( B (A B)) otuustaulukossa on 2 2 = 4 riviä ja 5 saraketta LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 23 Konnektiivien tyypillisiä määritelmiä Konnektiiveja voidaan määritellä toistensa avulla esim. seuraavasti: 1. (α β) lauseena ( α β) A B B (A B) ( B (A B)) 2. (α β) lauseena ( α β) E E 3. (α β) lauseena (α β) tai lauseena (α β) E E E 4. (α β) lauseena ( α β) tai lauseena (α β) E E E E E 5. (α β) lauseena ((α β) (β α)) tai lauseena (( α β) (α β)) Muistathan, että jokaisessa lauseessa φ on korkeintaan niin monta alilausetta kuin lauseessa φ on atomisia lauseita ja konnektiiveja! = Kaikkia peruskonnektiiveista,,,, ei välttämättä tarvita LP / Kevät 2006 Lauselogiikka Konnektiivien keskinäisestä määriteltävyydestä Esimerkki. arkastellaan lauseille (α β) ja ( α β) muodostettua yhteistä totuustaulukkoa LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 24 Konnektiivien riittävyys arvittaessa voidaan rajoittua seuraaviin konnektiiveihin: α β α β α β α β ( α β) E E E E E E E ja riittävät muiden konnektiivien (,,, ) määrittelemiseen, ja riittävät myös, E E E E ja riittävät myös ja E E E E (aina epätosi lause) ja riittävät myös. Koska lauseiden α β ja ( α β) sarakkeissa on identtiset totuusarvot, lauseet ovat semantiikan kannalta samaistettavissa. = Lause α β voidaan (tarvittaessa) määritellä syntaktisena lyhennysmerkintänä lauseelle ( α β). Huomio. oistaiseksi käsitellyt konnektiivit eivät ole ainoat mahdolliset. Esimerkiksi binäärikonnektiiveja, jotka kytkevät kaksi lausetta α ja β lauseeksi α β, voidaan olennaisesti määritellä 2 (22) = 16 erilaista.
7 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 25 Yksittäisten konnektiivien riittävyys/riittämättömyys Huomio. On myös konnektiiveja, jotka riittävät yksinään muiden määrittelemiseen: LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 27 otuusjakelu voidaan ymmärtää yhden asiaintilan kuvauksena. Esimerkki. (vrt. aikaisempi lamppuesimerkki) Peircen nuoli: (α β) (α β) A 1 = {P}: Patterissa on riittävästi varausta. Shefferin viiva: (α β) (α β) Esimerkki. Implikaatio ei riitä yksinään muiden konnektiivien kuten esimerkiksi negaation määrittelemiseen. arkastellaan lauseita φ, jotka on muodostettu käyttäen ainoastaan konnektiivia, atomista lausetta A ja sulkeita aakkosina. Voidaan osoittaa rakenteisella induktiolla, että lauseen φ totuustaulun sarake on identtinen joko lauseen A tai lauseen A A kanssa. A 2 = {L,K}: Kytkin ei ole suljettu. Lamppu ei pala. Patterissa ei ole riittävästi varausta. Lamppu palaa. Kytkin on suljettu. Näistä jälkimmäinen on mitä ilmeisimmin fyysisesti mahdoton, mutta kuitenkin loogisesti mahdollinen asiaintila. Näinollen mikään lauseista φ ei voi ilmaista lausetta A LP / Kevät 2006 Lauselogiikka Lauselogiikan totuusmääritelmä Määritelmä. otuusjakelua on atomisten lauseiden joukonp osajoukko LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 28 Määritelmä. Seuraavassa määritellään milloin mielivaltainen lause φ L on tosi totuusjakelussaa (merk.a = φ) ja milloin φ on epätosi totuusjakelussa A (merk. A = φ). Ajatuksena on, että 1.A = A A A (atomisille lauseille A P ). A :n atomiset lauseet ovat tosia, 2.A = α A = α. P A :n atomiset lauseet ovat epätosia. 3.A = α β A = α jaa = β. Huomioita. 4.A = α β A = α taia = β. JosP on äärellinen, erilaisia totuusjakeluja on 2 P kappaletta. 5.A = α β A = α taia = β. Jokainen totuusjakelu vastaa yhtä totuustaulukon riviä (ja kääntäen). 6.A = α β jokoa = α jaa = β, taia = α jaa = β. Huomio. Esim. kohdan 3 nojallaa = α β A = α taia = β.
8 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 29 Esimerkki. OlkoonA = /0 totuusjakelu. otuusmääritelmän nojalla: A = A,A = B,A = B,A = A B jaa = B (A B) LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 31 3 Semanttiset peruskäsitteet Vertaa tätä laskelmaa kalvon 21 totuustaulukon viimeiseen riviin. Mallin käsite otuusmääritelmän seurauksia Väite. JosA P on totuusjakelu, niin kaikille lauseille φ L, joko A = φ taia = φ. Merkitään At(φ):llä φ:ssä esiintyvien atomisten lauseiden joukkoa. oteutuvuus Pätevyys Looginen seuraavuus Looginen ekvivalenssi Peruskäsitteiden väliset yhteydet Väite. OlkoonA 1 P jaa 2 P kaksi totuusjakelua ja φ L lause. Loogisten seurauksien ominaisuuksia JosA 1 At(φ) =A 2 At(φ), niina 1 = φ A 2 = φ. Nämä voidaan todistaa induktiolla φ:n rakenteen suhteen. ietämyksen esittämisestä LP / Kevät 2006 Lauselogiikka Vaihtoehtoinen totuusmääritelmä: valuaatiot LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 32 (ätä määritelmää käytetään Neroden ja Shoren kirjassa). 3.1 Mallin käsite Määritelmä. ValuaatioV on konnektiivien totuustaulukkoja noudattava funktio kielenl lauseiden joukolta joukolle {,E}. Valuaatioilla ja totuusjakeluilla on seuraava yhteys: 1. OlkoonV valuaatio jaa = {A P V(A) = }. ällöin kaikille lauseille φ L pätee: A = φ V (φ) =. 2. JosA on totuusjakelu, niin on olemassa yksikäsitteinen valuaatiov siten ettäa = {A P V(A) = }. Määritelmä. otuusjakelu A P on lauseen α L malli, joss lause α on tosia :ssa elia = α. Esimerkki. otuusjakeluta 1 = {A},A 2 = {B} jaa 3 = {A,B} ovat malleja lauseelle A B. Määritelmä. otuusjakelu A P on lausejoukon Σ L malli (merk. A = Σ), joss kaikille lausejoukon Σ lauseille σ Σ pätee A = σ. Näin ollen lausejoukon Σ lauseet tulkitaan konjunktiivisesti.
9 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 33 Esimerkki. Olkoon P = {P, L, K}. Laaditaan lamppuesimerkin lausejoukolle Σ = { P L,P (L K)} L totuustaulukko: P L K P L P L L K P (L K) E E E E E E E LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 35 oteutuvuuden tutkiminen totuustaulukolla: muodostetaan α:lle (Σ:lle) totuustaulukko ja tarkastetaan onko α tosi (kaikki Σ:n lauseet tosia) jollakin rivillä. Esimerkki. Onko A A toteutuva? Onko A B toteutuva? E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Malleja on siis neljä erilaista vastaten järjestelmän sallittuja tiloja. A A A A E E E E Ei. A B B A B E E E E E E E Kyllä LP / Kevät 2006 Lauselogiikka oteutuvuus Määritelmä. Lause α L (tai lausejoukko Σ L ) on toteutuva, joss ainakin yksi totuusjakelua P on sen malli. Huomio. Koska lauseiden totuusarvot määräytyvät niissä esiintyvien atomisten lauseiden totuusarvoista, voimme rajoittua totuusjakeluihin A At(φ), missä At(φ) on lauseessa φ esiintyvien atomisten lauseiden joukko, tai totuusjakeluihin A At(Σ) = {At(σ) σ Σ} selvittäessämme lauseen φ tai lausejoukon Σ malleja LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 36 Esimerkki. (Rajoiteohjelmointi) arkastellaan oheisen kuvan mukaisen kartan värittämistä kolmella eri värillä siten, että vierekkäisillä alueilla on eri värit. Oheiset lauseet kuvaavat kolmiväritystä vastaavat rajoitteet Jokaiselle alueelle i värin valitsevat lauseet: P i V i S i, (P i V i ), (V i S i ) ja (S i P i ). Jokaiselle alueparille i, j (i < j) rajoitteet: (P i P j ), (V i V j ) ja (S i S j ). otuusarvojakeluja (mallikandidaatteja) on yhteensä 2 12 = 4096 kpl! oteutumattomalla lauseella/lausejoukolla ei ole yhtään mallia. oisaalta alueet voidaan värittää 3 4 = 81 eri tavalla. Lauseen toteutuvuuden selvittäminen on yksi keskeisimmistä logiikkaan liittyvistä laskennallisista ongelmista. ämä lausejoukko on toteutumaton = kolmiväritys on mahdoton. Muistanet, että neljä väriä riittää aina tasograafin värittämiseen.
10 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka Pätevyys LP / Kevät 2006 Lauselogiikka Looginen seuraavuus Määritelmä. Lause α L on pätevä/tautologia (merkitään = α), jos A = α kaikille totuusjakeluille A P. Määritelmä. Lause α L on lausejoukon Σ L looginen seuraus (merkitään Σ = α), jos A = α kaikille lausejoukon Σ malleille A P. Esimerkki. Olkoon P = {A} ja L vastaava kieli. Lause A A on pätevä, koska A A on tosi totuusjakeluissaa 1 = {} jaa 2 = {A}. Esimerkki. A seuraa loogisesti lausejoukoista {A} ja {A A}. 1. JosA = {A}, niin välttämättäa = A, jolloin myösa = A. Vastamallit 2. Ei löydy totuusjakelua A siten, että A = {A A}. arkastellaan mielivaltaista lausetta φ L. Jos φ on pätevä, A = φ kaikille totuusjakeluille A P. Jos φ ei ole pätevä, löytyy totuusjakelua siten, ettäa = φ. Jälkimmäisessä tapauksessa kutsumme totuusjakeluaa vastamalliksi (tai vastaesimerkiksi) lauseen φ pätevyydelle. Käytämme vastamallin käsitettä myös loogisen seuraavuuden yhteydessä. Jos Σ = φ, lausejoukolla Σ on mallia siten, muttaa = φ. Esimerkki. {A, B A} = B, koska löytyy vastamalli A = {A} siten, ettäa = {A,B A} jaa = B LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 38 Pätevyyden tutkiminen totuustaulukolla: muodostetaan α:lle totuustaulukko ja tarkistetaan, että α on tosi jokaisella rivillä. Esimerkki. Onko A B A pätevä? A B A B A B A Onko A B A pätevä? A B A B A B A LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 40 Loogisen seuraavuuden tutkiminen totuustaulukolla: muodostetaan lausejoukolle Σ {α} totuustaulukko, todetaan rivit, joilla kaikki Σ:n lauseet ovat tosia (Σ:n mallit) ja tarkistetaan, että α on näillä riveillä tosi. Esimerkki. odetaan {A,(A D)} = D ja {(A B)} = B vastaavista totuustaulukoista: E E E E E E E Kyllä. E E E E E E Ei. A D (A D) E E E E E A B (A B) E E E E E
11 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 41 Huomio. Kaikille lausejoukoille Σ pätee Σ = A A LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 43 Lauseiden loogisen ekvivalenssin selvittäminen: Esimerkki. utkitaan, onko lause L K looginen seuraus lamppuesimerkin lausejoukolle Σ = {P (L K), P L}. On. muodostetaan lauseille α ja β yhteinen totuustaulukko ja tarkastetaan, että α:lla ja β:lla on sama totuusarvo jokaisella rivillä. P L K P L P L L K P (L K) L K E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Esimerkki. Ovatko lauseet A B ja B A loogisesti ekvivalentit? A B A B A B B A E E E E E E E E E E Kyllä LP / Kevät 2006 Lauselogiikka Looginen ekvivalenssi LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 44 Esimerkki. Palataan johdannon esimerkkiin, jossa ongelmana oli selvittää laskevatko seuraavat kombinatoriset piirit samat funktiot: Määritelmä. Lauseet α L ja β L ovat loogisesti ekvivalentteja (α β), jossa = α A = β kaikille totuusjakeluillea P. Esimerkki. A ja A ovat loogisesti ekvivalentit, koska näillä on sama totuusarvo kaikissa totuusjakeluissa. Väite. Lauseet α L ja β L ovat loogisesti ekvivalentit, joss niillä on täsmälleen samat mallita P. A B C A B C Piirit voidaan esittää lauselogiikalla seuraavina lauseina φ = A (B C) ja ψ = (A ( B C)).
12 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 45 Esimerkki. Ratkaistaan ongelma osoittamalla, että piirejä vastaavat lauseet ovat loogisesti ekvivalentit LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 47 Esimerkki. Kirjoitetaan lamppuesimerkin järjestelmälle vaihtoehtoinen määritelmä Σ = {L P,P L K,P K L}. A B C A B C B C φ B C A ( B C) ψ E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Koska lauseita φ ja ψ vastaavat sarakkeet ovat identtiset, ne ovat loogiseseti ekvivalentit. ästä seuraa, että piirit laskevat samat funktiot. P L K L P P L P L K P K P K L E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E = Σ Σ, koska mallit ovat samat kuin alkuperäisellä määritelmällä Σ. E E E LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 46 Määritelmä. Lausejoukot Σ 1 L ja Σ 2 L ovat loogisesti ekvivalentit (merk. Σ 1 Σ 2 ), joss kaikille totuusjakeluillea P pätee seuraavaa: LP / Kevät 2006 Lauselogiikka Peruskäsitteiden väliset yhteydet A = σ 1 kaikille σ 1 Σ 1 A = σ 2 kaikille σ 2 Σ 2. Väite. Lausejoukot Σ 1 L ja Σ 2 L ovat loogisesti ekvivalentit, mikäli niillä on täsmälleen samat mallita P. OlkoonL atomisten lauseiden joukkoonp perustuva kieli. arkastellaan jatkossa tämän kielen lauseita. Lausejoukkojen loogisen ekvivalenssin selvittäminen: joko Looginen ekvivalenssi liittyy läheisesti pätevyyteen: todetaan, ettäa = Σ 2 kaikille lausejoukon Σ 1 malleillea ja α β = α β. todetaan, ettäa = Σ 1 kaikille lausejoukon Σ 2 malleillea, tai vaihtoehtoisesti todetaan, että Σ 1 = σ 2 kaikille lauseille σ 2 Σ 2 ja todetaan, että Σ 2 = σ 1 kaikille lauseille σ 1 Σ 1. odistus. α β A P s.e.a = α jaa = β, taia = α jaa = β A P s.e.a = α β = α β.
13 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 49 Pätevyydellä ja loogisella seuraavuudella on kiinteät yhteydet LP / Kevät 2006 Lauselogiikka Loogisten seurauksien ominaisuuksia = α /0 = α. Seuraa helposti, koska kaikki totuusjakeluta P ovat tyhjän lausejoukon /0 malleja. Väite. (Kompaktius). Jos Σ = φ, niin on olemassa äärellinen osajoukko Σ Σ siten, että Σ = φ. odistus. Sivuutetaan. {φ 1,...,φ n } = φ = φ 1 φ n φ. odistus. {φ 1,...,φ n } = φ A P s.e.a on {φ 1,...,φ n }:n malli jaa = φ A P s.e. i {1,...,n} :A = φ i jaa = φ A P s.e.a = φ 1 φ n jaa = φ A P s.e.a = φ 1 φ n φ = φ 1 φ n φ. Määritelmä. Lausejoukon Σ L loogisten seurausten joukko on Cn(Σ) = {φ L Σ = φ}. Loogisten seurauksien joukolla Cn(Σ) on seuraavat perusominaisuudet: Σ Cn(Σ). Monotonisuus: Σ 1 Σ 2 = Cn(Σ 1 ) Cn(Σ 2 ). Cn(Cn(Σ)) = Cn(Σ). Σ Cn(Σ) LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 50 Pätevyyden ja loogisen seuraavuuden yhteys toteutuvuuteen: = α α on toteutumaton LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 52 Lisähuomioita loogisesta seuraavuudesta Jos Σ = φ, niin Cn(Σ) = Cn(Σ {φ}). odistus. Erikoistapaus seuraavasta. Σ = α Σ { α} on toteutumaton. odistus. Σ = α A P s.e.a = Σ jaa = α A P s.e.a = Σ { α} Σ { α} on toteutuva Σ { α} ei ole toteutumaton. Edellä esitetyt yhteydet mahdollistavat lauselogiikan päättelyongelmien väliset muunnokset. Esim. loogisen ekvivalenssin, pätevyyden ja loogisen seuraavuuden tutkiminen voidaan palauttaa toteutuvuuden tutkimiseen. Jos tavoitteena on lausejoukon koon minimointi, lausejoukon loogisia seurauksia ei siis kannata lisätä lausejoukkoon! Oletetaan, että Σ = φ ja että lausejoukko Σ halutaan laajentaa lausejoukoksi Σ siten, että Σ Σ ja Σ = φ. Apuna voidaan käyttää vastamallia/vastamallejaa, joillea = Σ ja A = φ: lausejoukkoon Σ lisättävän lauseen ψ tulisi sulkea pois vastamalli/vastamallejaa, ts.a = ψ. Lause φ toteuttaa myös tämän vaatimuksen, mutta lausetta φ ei välttämättä haluta liittää eksplisiittiseen tietämykseen. Esimerkki. Lamppuesimerkissä Σ = {P L K,P K L}, lause φ = L K, vastamallia = {L} ja lisättävä lause ψ = L P.
14 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka ietämyksen esittämisestä LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 55 Jokainen lausejoukko Σ määrittää joukon malleja, eli totuusjakeluja A, joissa lausejoukon kaikki lauseet ovat tosia. Esimerkki. Lamppuesimerkin lausejoukolla Σ = { P L,P (L K)} L 4 Semanttinen taulu Konnektiivikohtaiset taulusäännöt on mallita 1 = {P,L,K},A 2 = {P},A 3 = {K} jaa 4 = {}. Semanttisen taulun määritelmä Lausejoukon Σ mallit puolestaan määräävät lausejoukon loogisten seurauksien joukon Cn(Σ). Esimerkki. Lamppuesimerkissä lausejoukon Σ loogisten seurausten joukko on Cn(Σ) = { L K,L P K, P P,...}. aulumenetelmän ominaisuuksia Loogisten ongelmien ratkominen taulumenetelmällä Esimerkkejä Atomisten lauseiden joukkoonp perustuvia lausejoukkoja Σ L voidaan olennaisesti määritellä 2 2 P erilaista LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 54 ietämyksen esittäminen: ongelmana rajata mallien joukko sopivat lauseet valitsemalla siten, että saadaan halutut loogiset seuraukset. Lähtökohtana olevan tyhjän lausejoukon /0 malleja ovat kaikki totuusjakelut. äten Cn(/0) on itse asiassa pätevien lauseiden joukko. Lauseiden lisääminen karsii mahdollisesti mallien joukkoa ja kasvattaa loogisten seurausten joukkoa (monotonisuus). oisessa ääripäässä lausejoukko Σ voi tulla ristiriitaiseksi, jolloin sillä ei ole yhtään mallia ja kaikki lauseet ovat tällöin lausejoukon loogisia seurauksia (eli Cn(Σ) = L ). Huomio. Kaikille lausejoukoille Σ pätee Cn(/0) Cn(Σ). Esimerkki. Lamppuesimerkissä Σ = L K, mutta lauseen P lisäämisestä seuraa Σ {P} = L K. Sen sijaan lausejoukko Σ {K P, L} on ristiriitainen/toteutumaton LP / Kevät 2006 Lauselogiikka Konnektiivikohtaiset taulusäännöt otuustaulukkoja käytetään lauseen φ totuusarvon laskemiseen, kun annettuna on atomisten lauseiden A At(φ) totuusarvot. Semanttisissa tauluissa idea on käänteinen: määrätään lauseen φ alilauseiden (ja lopulta atomisten lauseiden A At(φ)) totuusarvoja lähtien liikkeelle lauseen φ totuusarvosta (tosi tai epätosi). Esimerkki. Verrataan konjunktion totuustaulukkoa ja taulusääntöjä: α β (α β) E E E E E E E (α β) α β E(α β) Eα Eβ
15 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 57 Konnektiivien,, ja taulusäännöt ovat seuraavat: α (α β) (α β) (α β) LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 59 Ketjukonjunktioille ja -disjunktioille voidaan johtaa seuraavat säännöt: (α 1... α n ) (α 1... α n ) Eα α β α β Eα β α 1. α 1... α n α n E α E(α β) E(α β) E(α β) E(α 1... α n ) E(α 1... α n ) α Eα Eβ Eα Eβ α Eβ Eα 1... Eα n Eα 1. Ajatuksena on, että jokaiselle juurisolmusta lehtisolmuun johtavalle polulle kirjatut totuusarvovaatimukset ovat yhtäaikaa voimassa. Eα n Huomio. Jatkossa nämä ymmärretään lyhennysmerkintöinä! LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 58 Konnektiivien ja taulusäännöt ovat seuraavat: (α β) (α β) α Eβ Eα β α β Eα Eβ LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 60 aulusäännön instantiointi Esimerkki. arkastellaan lausetta ( A C D) A B: Lause on muodoltaan implikaatio α β, missä ehtona on lause α = A C D ja seurauksena lause β = A B. Korvataan α ja β kyseisillä lauseilla implikaation säännössä: E(α β) α β Eα Eβ E(α β) Huomio. Näistä taulusäännöistä voi todeta konnektiivien ja väliset suhteet: α β α β α β (α β). α Eβ Eα β (α β) Eα β (( A C D) A B) E( A C D) (A B) Huomio. Jatkossa on olennaista osata tunnistaa, mitä muotoa mikin lause on, koska taulusäännön valinta suoritetaan tällä perusteella.
16 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka Semanttisen taulun määritelmä LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 63 Esimerkki. Muodostetaan semanttinen taulu lähtien liikkeelle juurisolmusta E(A B A B). Edellä määriteltiin jokaiselle lausetyypille omat taulusääntönsä. Yksittäinen taulusääntö tuottaa totuusarvovaatimuksia alilauseille lauseen totuusarvosta lähtien. 1. E(A B A B) 2. (A B) 1. Näitä vaatimuksia voidaan analysoida taulusäännöillä rekursiivisesti, kunnes saadaan atomisia lauseita koskevia totuusarvovaatimuksia. Seuraavaksi määriteltävät semanttiset taulut ovat rakenteeltaan puita, joiden 4. A EA EB E(A B) B EA EB solmujen asteluku on enintään kaksi ja 2. solmuina on muotoa φ ja Eφ olevia lausekkeita, jotka tulkitaan totuusarvovaatimuksiksi asianomaisille lauseille φ. Semanttisen taulun solmut on numeroitu luettavuuden parantamiseksi. Poluille lisättävät solmut numeroidaan juoksevasti. Yläindeksinä oleva numero kertoo, monennestako asianomaisen polun solmusta kyseinen solmu on saatu taulusääntöä soveltamalla LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 62 Määritelmä. Semanttinen taulu muodostetaan seuraavilla periaatteilla: Jokainen yksisolmuinen puu, jonka ainoana solmuna on juurisolmu φ tai Eφ, on semanttinen taulu. Monimutkaisempia tauluja muodostetaan seuraavalla tavalla: Olkoon τ semanttinen taulu. Jos P on jokin τ:n polku juurisolmusta lehtisolmuun, φ (Eφ) jokin τ:n solmu polulla P ja τ saadaan τ:sta liittämällä φ:n (Eφ:n) taulusääntö ilman juurisolmua polun P jatkoksi, niin τ on myöskin semanttinen taulu. τ P φ LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 64 Määritelmä. Olkoon τ semanttinen taulu, P polku juurisolmusta lehtisolmuun taulussa τ ja φ (Eφ) polun P solmu. 1. Solmu φ (Eφ) on hajoitettu polulla P, jos (a) φ on atominen lause, tai (b) solmun φ (Eφ) taulusäännön jonkun polun P jokainen solmu on polulla P. 2. Polku P on ristiriitainen, jos sillä esiintyy sekä α että Eα jollekin lauseelle α (tämän merkiksi kirjoitetaan usein polun loppuun). 3. Polku P on valmis, jos se on ristiriitainen tai jokainen sen solmuista on hajoitettu polulla P. 4. aulu τ on valmis, jos jokainen sen poluista on valmis. 5. aulu τ on ristiriitainen, jos jokainen sen poluista on ristiriitainen.
17 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 65 Esimerkki. Palataan edelliseen esimerkkiin LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 67 aulumenetelmän virheettömyys 4. A E(A B A B) 2. (A B) E(A B) B 2. Olkoon φ L mikä tahansa lause ja τ juurisolmusta φ (Eφ) muodostettu valmis semanttinen taulu. Väite. Jos semanttisessa taulussa τ on ei-ristiriitainen polku P, niin A P ja A = φ (A = φ) jokaiselle totuusjakelulle A P joka täyttää seuraavat vaatimukset kaikille atomisille lauseille A P: jos A esiintyy polulla P, niin A A, ja 5. EA EB EA EB 3. aulun reunimmaiset polut ovat ristiriitaiset. Kaikki taulun polut ovat valmiita. aulu on valmis, muttei ristiriitainen. jos EA esiintyy polulla P, niin A A. odistus. Olkoon P mikä tahansa taulun τ ei-ristiriitainen polku jaa totuusjakelu, joka täyttää edellä mainitut vaatimukset atomisille lauseille. Polku P on valmis, koska taulu τ on valmis. odistetaana P induktiolla polun P solmujen rakenteen suhteen LP / Kevät 2006 Lauselogiikka aulumenetelmän ominaisuuksia Olkoon φ atomisten lauseiden joukkoonp perustuvan kielenl lause. Semanttisella taululla voidaan ratkaista seuraava looginen ongelma: onko olemassa totuusjakelua A P siten, että A = φ (A = φ)? odistamme jatkossa seuraavan ominaisuuden: Väite. Olkoon φ L mikä tahansa lause. Juurisolmusta φ (Eφ) muodostetussa valmiissa semanttisessa taulussa on ei-ristiriitainen polku, jos ja vain jos A = φ (A = φ) jollekin totuusjakelulle A P. Määritelmä. Semanttisen taulun τ polku P on yhteensopiva totuusjakeluna kanssa (merkitääna P), jos ja vain jos LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 68 Perustapaus: A P (EA P), missä A on P :n atominen lause. otuusjakelulle A asetettujen ehtojen perusteella A = A (A = A). Induktioaskel: Käydään läpi kaikki tapaukset (α β) P, E(α β) P, (α β) P, E(α β) P, (α β) P,... E(α β) P, jolloin α P ja Eβ P, koska P on valmis. Induktio-oletuksella A = α ja A = β. otuusmääritelmän perusteella tällöin A = α β. (α β) P, jolloin Eα P tai β P, koska P on valmis. Induktio-oletuksellaA = α jos Eα P, taia = β jos β P. otuusmääritelmän perusteella tällöin A = α β. 1. A = α jokaiselle polun P solmulle α, ja Muut tapaukset käsitellään samaan tapaan. 2. A = β jokaiselle polun P solmulle Eβ. KoskaA P ja φ P (Eφ P), niina = φ (A = φ).
18 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 69 Esimerkki. arkastellaan joukkoon P = {A, B} perustuvan kielen L lausetta (A B) (A B) sekä seuraavaa valmista semanttista taulua: E((A B) (A B)) LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 71 Induktioaskel: taulu τ saadaan taulusta τ soveltamalla taulusääntöä τ :n polun P solmuun γ tai Eγ (jollekin lauseelle γ). Induktio-oletuksen nojalla τ :ssa polku P siten, ettäa P. E(A B) EA EB E(A B) Ei-ristiriitaisia polkuja on kolme P 1, P 2 ja P 3 (vasemmalta oikealle). Sama totuusjakelu voi olla yhteensopiva usean ei-ristiriitaisen polun kanssa. Esimerkissä totuusjakelullea 1 = /0 päteea 1 P 1 jaa 1 P 2. Yhteensopivia totuusjakeluja voi olla myös useita (A 1 P 2 jaa 2 P 2, missäa 2 = {A}) tai näitä voi olla myös täsmälleen yksi (A 2 P 3 ). A EB Jos P P, niin P myös taulun τ polku. Jos P = P, niina P ja päädymme tapausanalyysiin: γ = α ja ( α) P: = A = α (koska A P) ja Eα lisätään P:n jatkoksi = A = α ja syntyvä τ:n polku on yhteensopivaa :n kanssa. γ = α ja E( α) P: = A = α (koska A P) ja solmu α lisätään P:n jatkoksi. = A = α ja syntyvä τ:n polku on yhteensopivaa :n kanssa. Muut tapaukset (vaihtoehdot lauseeksi γ) käsitellään vastaavasti LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 70 aulumenetelmän täydellisyys Olkoon φ L mikä tahansa lause ja τ juurisolmusta φ (Eφ) muodostettu (ei välttämättä valmis) semanttinen taulu. Väite. Jos A = φ (A = φ) jossain totuusjakelussa A P, niin semanttisessa taulussa τ on ei-ristiriitainen polku P siten, ettäa P LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 72 Edellä osoitettu taulumenetelmän ominaisuus voidaan todeta seuraavasta esimerkistä. Esimerkki. otuusjakelu A = {B} on yhteensopiva allaolevan semanttisen taulun oikeanpuoleisen polun kanssa. E((A B) A) odistus. Oletetaan A = φ (A = φ) jollekin totuusjakelulle A P. Käytetään induktiota semanttisen taulun τ rakenteen suhteen (vrt. semanttisen taulun induktiivinen määritelmä). (A B) EA Perustapaus: taulu τ koostuu ainoastaan juurisolmusta φ (Eφ). ällöin ainoa mahdollinen polku P juurisolmusta φ (Eφ) itseensä toteuttaa vaatimuksena P, koska φ (Eφ) on polun ainoa solmu. A B ätena = (A B) A,A = A B,A = A jaa = B.
19 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka Loogisten ongelmien ratkominen taulumenetelmällä LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 75 Lausejoukon toteutuvuuden tutkiminen Lauseen toteutuvuuden tutkiminen Lause φ L on toteutuva totuusjakelua P s.e.a = φ juurisolmusta φ muodostetussa valmiissa semanttisessa taulussa on ainakin yksi ei-ristiriitainen polku P. Jokaisesta ei-ristiriitaisesta polusta P voidaan konstruoida lauseelle φ mallejaa seuraavasti. Jos atomiselle lauseelle A P pätee A P, niin A A EA P, niin A A A P ja EA P, niin voidaan valita joko A A tai A A. Äärellinen lausejoukko Σ = {φ 1,...,φ n } L on toteutuva lause φ 1 φ n L on toteutuva juurisolmusta (φ 1 φ n ) muodostetussa valmiissa semanttisessa taulussa on ainakin yksi ei-ristiriitainen polku P. Lausejoukolle voidaan konstruoida malleja samaan tapaan kuin yksittäisen lauseen tapauksessa. Käytännössä juurisolmu (φ 1 φ n ) voidaan jättää kirjoittamatta näkyviin tilan säästämiseksi ja taulun juureen voidaan kirjata samalle polulle solmut φ 1,..., φ n LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 74 Esimerkki. utkitaan lauseen A B A toteutuvuutta. 1. ((A B) A) 2. E(A B) A LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 76 Lauseen pätevyyden tutkiminen = φ φ on toteutumaton juurisolmusta φ muodostettu valmis semanttinen 3. EA EB 2. taulu on ristiriitainen juurisolmusta Eφ muodostettu valmis semanttinen taulu on ristiriitainen. Ei-ristiriitaisista poluista voidaan muodostaa lauseelle mallita 1 = {}, A 2 = {A} jaa 3 = {A,B}. Huomio. Mallien lukumäärä voi kasvaa eksponentiaalisesti lauseen pituuteen nähden (esim. lause (A 1 B 1 )... (A n B n )), joten kaikkien mallien ylöskirjaaminen ei välttämättä ole tilasyistä mielekästä. äten taulumenetelmästä saadaan lauselogiikalle todistusmenetelmä. Määritelmä. aulu τ on lauseen φ todistus, jos taulun τ juurisolmuna on Eφ ja τ on ristiriitainen (ja siten myös valmis). Jos lauseella φ on todistus, φ:tä sanotaan teoreemaksi/todistuvaksi (merk. φ).
20 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 77 Esimerkki. Osoitetaan lause A B A B teoreemaksi: LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 79 Loogisen seuraavuuden tutkiminen 1. E(A B A B) 2. (A B) 1. {φ 1,...,φ n } = φ = φ 1 φ n φ juurisolmusta E(φ 1 φ n φ) muodostettu 3. E(A B) 1. valmis semanttinen taulu on ristiriitainen. 4. A B 2. Jos juurisolmusta E(φ 1 φ n φ) muodostettuun valmiiseen semanttiseen tauluun jää ei-ristiriitaisia polkuja, näistä voidaan konstruoida vastamallejaa siten, ettäa = {φ 1,...,φ n } jaa = φ. 6. EA EB 3. Käytännössä taulun juureen tulevat solmut E(φ 1 φ n φ) ja (φ 1 φ n ) voidaan jättää kirjoittamatta näkyviin, ja taulu aloitetaan totuusarvovaatimuksilla Eφ ja φ 1,,..., φ n kirjattuina samalle polulle. ämä voidaan nähdä vastamallin spesifikaationa LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 78 odistusmenetelmän virheettömyys ja täydellisyys LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 80 odistusmenetelmä M on Johdettavuus lausejoukosta virheetön, jos lauseen φ todistettavuudesta menetelmällä M ( M φ) seuraa lauseen φ pätevyys ( = φ). täydellinen, jos lauseen φ pätevyydestä ( = φ) seuraa lauseen todistettavuus menetelmällä M ( M φ) Määritelmä. Lause φ on johdettavissa äärellisestä lausejoukosta Σ = {φ 1,...,φ n } (merkitään Σ φ), joss juurisolmusta E(φ 1 φ n φ) muodostettu valmis semanttinen taulu on ristiriitainen. Huomioita. Edellä määritelty semanttiseen tauluun perustuva todistusmenetelmä on virheetön ja täydellinen, koska φ = φ. Huomio. Semanttisiin tauluihin perustuva menetelmä poikkeaa melkoisesti klassisista todistusjärjestelmistä, joissa pätevät lauseet tuotetaan syntaktisesti aksiomien ja päättelysääntöjen avulla. Σ φ Σ = φ. Semanttisiin tauluihin perustuva todistusmenetelmä on täten virheetön ja täydellinen myös tutkittaessa loogista seuraavuutta.
21 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 81 Loogisen ekvivalenssin tutkiminen Lauseet φ ja ψ ovat loogisesti ekvivalentit = φ ψ juurisolmusta E(φ ψ) muodostettu valmis semanttinen taulu on ristiriitainen LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 83 Esimerkki. arkastellaan alla annettua polkua eräässä keskeneräisessä semanttisessa taulussa:. 5. A 6. E(B C) Äärellisten lausejoukkojen Σ 1 ja Σ 2 loogisen ekvivalenssin toteaminen edellyttää mahdollisesti usean semanttisen taulun konstruointia: 1. Jokaiselle σ 1 Σ 1 tulee osoittaa Σ 2 = σ Jokaiselle σ 2 Σ 2 tulee osoittaa Σ 1 = σ 2. Esimerkki. otea lamppuesimerkissä laadittujen spesifikaatioiden Σ = { P L,P (L K)} ja Σ = {L P,P L K,P K L} välinen ekvivalenssi käyttämällä semanttista taulua! 7. (A B) 8. E(A C) Solmun 6 käsittely lienee paras vaihtoehto (taulu ei haaraudu). Solmu 8 olisi seuraavaksi paras vaihtoehto, koska syntyvistä poluista toinen (jolle kirjataan solmu EA) on suoraan ristiriitainen. Solmun 7 käsittely haarauttaa taulun LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 82 Ohjeita semanttisten taulujen laadintaan: aulun solmussa φ (tai Eφ) olevan lauseen φ rakenne määrää, mitä taulusääntöä käytetään: esim. implikaation φ = α β käsittely LP / Kevät 2006 Lauselogiikka Esimerkkejä Boolen funktioiden ja lauselogiikan yhteys Polun laajentaminen voidaan lopettaa ristiriidan ilmentymiseen. Solmujen hajoittamisjärjestyksellä voi usein vaikuttaa taulun kokoon. aulun koon kasvua kannattaa välttää esim. seuraavilla periaatteilla. 1. Hajoitetaan ensisijaisesti solmuja, jotka eivät haarauta taulua. 2. Hajoitetaan toissijaisesti jäljelle jääviä solmuja, joista syntyvät totuusarvovaatimukset johtavat (välittömään) ristiriitaan. Mikä tahansa Boolen funktio f : {0,1} n {0,1} voidaan esittää lauselogiikan lauseena: Arvoja 0 ja 1 vastaavat totuusarvot E ja Boolen muuttuja a (jolla arvona 0 tai 1) esitetään atomisena lauseena A (jolla totuusarvo E tai ) Komplementti esitetään negaation avulla 3. ämän jälkeen hajoitetaan muita (taulua haarauttavia) solmuja. ulo ja summa + esitetään konjunktion ja disjunktion avulla. Kaikkia lauseita koskevat totuusarvovaatimukset eivät välttämättä ole tarpeen ristiriidan aikaansaamiseen (edes tietyllä polulla)! Esimerkki. Funktiolle f(a,b,c) = a b+c saadaan näillä periaatteilla esitys (A B) C.
22 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 85 Väite. Olkoon f boolen funktio ja lause φ sitä vastaava esitys: funktion f arvon laskeminen tietyillä muuttujien arvoilla vastaa lauseen φ totuusarvon laskentaa vastaavassa totuusjakelussa LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 87 Esimerkki. Mallinnetaan yksinkertaistettua hissijärjestelmää lauselogiikalla: Esimerkki. Jos a = 0, b = 0 ja c = 1, niin vastaava totuusjakelu ona = {C}. Aikaisemmalle esimerkille f(0,0,1) = = = 0+1 = 1 ja vastaavastia = (A B) C. Atomiset lauseet: Esimerkki. A i : kerroksen i ovi on auki ja K i : hissi on kerroksessa i, Jos haluamme osoittaa, että kaksi Boolen funktiota f ja f ovat samat, riittää, että toteamme lause-esitysten φ ja φ loogisen ekvivalenssin (φ φ = φ φ ). A B C A B C missä i = 1 tai i = 2. Kuvataan lauselogiikalla järjestelmän sallitut tilat (eli haetaan lausejoukko Σ, jonka mallit vastaavat sallittuja tiloja) LP / Kevät 2006 Lauselogiikka E( A (B C) (A ( B C))) 2. ( A (B C)) 2. E( A (B C)) LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 88 yhjällä lausejoukolla /0 on 2 4 = 16 mallia, kuten esimerkiksi A = {K 1,K 2,A 1,A 2 }. 3. E (A ( B C)) 4. A 5. (B C) 3. (A ( B C)) 4. E(A ( B C)) 5. EA ämä vastaa järjestelmän tilaa, jossa hissi on yhtäaikaa molemmissa kerroksissa ja molemmat ovet ovat auki. ämän pitäisi olla mahdotonta, joten tarvitaan lisää lauseita (rajoitteita). 6. EA 7. (A ( B C)) 7. E A 6. E( B C) 7. E(B C) Fyysisen maailman asettama rajoitus: K 1 K 2 (huomaa, että edellä annettua ei ole tämän lauseen malli). 8. A 8. ( B C) 9. B 10. C 11. EB 12. EC 8. A 10. E B 11. B 8. EB 9. EC 10. E C 11. C Emme kuitenkaan halua asettaa vaatimusta K 1 K 2 (hissi voi olla matkalla kerrosten välillä). Oville asetettavat turvallisuusvaatimukset: A 1 K 1 ja A 2 K 2. Järjestelmälle saadaan spesifikaatioksi lausejoukko 13. B 13. C Σ = { K 1 K 2,A 1 K 1,A 2 K 2 }.
23 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 89 Etsitään spesifikaation mallit semanttisen taulun avulla. 1. ( K 1 K 2 ) LP / Kevät 2006 Lauselogiikka (A 1 K 1 ) 6. EA K EK EA K K (A 2 K 2 ) 6. EA K EK EA K K Vaihtoehtoisia todistusjärjestelmiä Hilbertin järjestelmä Suppesin järjestelmä Järjestelmien välistä vertailua aulun ei-ristiriitaisista haaroista voidaan muodostaa lausejoukolle viisi erilaista mallia, jotka vastaavat järjestelmän sallittuja tiloja: A 1 = /0,A 2 = {K 1 },A 3 = {K 1,A 1 },A 4 = {K 2 } jaa 5 = {K 2,A 2 } LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 90 Voimme myös osoittaa, että hissin molemmat ovet eivät voi olla yhtäaikaisesti auki (turvallisuusominaisuus): Σ = (A 1 A 2 ). 8.EA E (A 1 A 2 ) 2. ( K 1 K 2 ) 3. (A 1 K 1 ) 4. (A 2 K 2 ) 5. (A 1 A 2 ) A A EA K K K K LP / Kevät 2006 Lauselogiikka Hilbertin järjestelmä Hilbertin järjestelmä perustuu seuraaviin aksiomiin ja päättelysääntöön: Aksiomat: 1. α (β α) 2. (α (β γ)) ((α β) (α γ)) 3. ( β α) (( β α) β) Päättelysääntö: α β α (modus ponens) β 11.EK EK 2 10.
24 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 93 Ajatuksena on, että pätevät lauseet pystytään tuottamaan syntaktisesti aksiomien instansseina (valisemalla α, β ja γ sopivasti) tai modus ponens -päättelysääntöä soveltamalla. Hilbertin järjestelmässä negaatio ja implikaatio ovat peruskonnektiiveina. Huomio. Muut lauselogiikan peruskonnektiivit ovat lausuttavissa negaation ja implikaation avulla seuraavasti: α β α β α β, α β (α β) ( α β) (α β) ja α β (α β) (β α) ((α β) (β α)) LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 95 Esimerkki. Osoitetaan {A,B (A C)} H B C. 1. A olettamus 2. B (A C) olettamus 3. A (B A) aksioma 1 4. B A MP, 1, 3 5. (B (A C)) ((B A) (B C)) aksioma 2 6. (B A) (B C) MP, 2, 5 7. B C MP, 4, LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 94 Määritelmä. Olkoon Σ joukko lauseita. odistus lausejoukosta Σ on jono lauseita α 1,...,α n siten, että kaikille i {1,...,n} pätee jokin seuraavista α i Σ, α i on aksioman instanssi tai α i on saatu modus ponensilla lauseista α j, missä j < i ja α k = (α j α i ), missä k < i. Määritelmä. Lause α on johdettavissa lausejoukosta Σ Hilbert-järjestelmällä (merk. Σ H α), joss on olemassa todistus α 1,...,α n lausejoukosta Σ siten, että α = α n. Määritelmä. Lause α on teoreema/todistuva Hilbert-järjestelmässä (merk. H α), joss /0 H α LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 96 Väite. Olkoon lausejono α 1,...,α n todistus lausejoukosta Σ Hilbertin järjestelmässä. ällöin Σ = α i kaikille i {1,...,n}. odistus. Käytetään induktiota i:n suhteen. Perustapaus: i = 1 1. α 1 on instanssi jostain kolmesta aksiomasta = = α 1 (voidaan osoittaa esim. semanttisilla tauluilla) = Σ = α 1 (loogisen seurausrelaation ominaisuudet). 2. α 1 Σ = Σ = α 1 (loogisen seurausrelaation ominaisuudet). Induktioaskel: i > 1 apaukset missä lausejonon jäsen α i on jonkin aksioman instanssi tai α i Σ käsitellään kuten edellä.
25 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 97 Induktioaskel jatkuu: Jos α i saatiin modus ponensilla lauseista α j ja α k = (α j α i ), missä j < i ja k < i, niin induktiohypoteesin nojalla saadaan Σ = α j ja Σ = α j α i. Oletetaan Σ = α i = totuusjakelua s.e.a = Σ jaa = α i = A = α j (koska Σ = α j α i = A = α j α i ) = Σ = α j, ristiriita. Siis Σ = α i. Hilbertin järjestelmä on virheetön ja täydellinen LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 99 uonti- ja eliminointisäännöt: KN: KNE: α α α α K: KE: α β α β α β α β D: DE: α α β β α α α α E: α β β α α β EE: α β α β β α Väite. Jos Σ H α, niin Σ = α (todistettiin edellä). Jos Σ = α, niin Σ H α (todistus sivuutetaan). Huomio. Implikaation eliminointi tapahtuu päättelysäännöillä MP, tai ES ja tuonti päättelysäännöillä E ja HS (kts. myös seuraava kalvo) LP / Kevät 2006 Lauselogiikka Suppesin järjestelmä LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 100 DM 1: DM 2: DM 3: DM 4: Suppesin luonnollisen päättelyn järjestelmässä ei ole aksiomia ja päättelysäännöt ovat seuraavat: MP (modus ponens): α β α β P (modus tollendo ponens): α β α β (modus tollendo tollens): α β β α Vaihtosäännöt: KV: α β β α DV: α β β α α β ( α β) (α β) α β HS: α β β γ α γ E (ehdollinen todistaminen): [α] (1). β α β α β ( α β) (α β) α β DS: α β α γ β δ γ δ ES (epäsuora todistaminen): β α α β (1) Apuolettamus α merkitään hakasuluilla perutuksi, kun johtopäätös α β on tehty.
26 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 101 Määritelmä. Suppes-todistus lausejoukosta Σ on jono lauseita α 1,...,α n, joihin liittyy apuolettamusten joukot H 0 = /0 ja H 1,...,H n siten, että kaikille i {1,..., n} pätee jokin seuraavista: H i = H i 1 ja α i Σ. H i = H i 1 {α i } ja α i on uusi apuolettamus α i H i 1. H i = H i 1 ja α i on saatu jollain Suppes-järjestelmän päättelysäännöllä (paitsi ehdollisen todistamisen säännöllä) jonon aikaisemmista lauseista α j ( j < i), joille H j H i 1. H i = H i 1 ja α i = α j jollekin jonon aikaisemmalle lauseelle α j ( j < i), jolle H j H i 1. H i = H i 1 {α j } ja α i = α j α i 1 on saatu ehdollisen todistamisen säännöllä viimeisimmästä apuolettamuksesta α j ( j < i) ja edeltävästä lauseesta α i LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 103 Esimerkki. Osoitetaan {A,B (A C)} S B C. 1. A olettamus H 1 = /0 2. B (A C) olettamus H 2 = /0 3. B apuolettamus H 3 = {B} 4. A C MP, 3, 2 H 4 = {B} 5. C MP, 1, 4 H 5 = {B} 6. B C E, 3, 5 H 6 = /0 Käytännössä apuolettamusten joukoista pidetään kirjaa tekemällä todistukseen sisennyksiä, jolloin H i :t voidaan jättää pois todistuksesta LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 102 Määritelmä. 1. Lause α on johdettavissa Suppes-järjestelmällä lausejoukosta Σ (merk. Σ S α), joss on olemassa Suppes-todistus α 1,...,α n lausejoukosta Σ siten, että α n = α ja H n = /0. 2. Lause α on teoreema/todistuva Suppes-järjestelmässä (merk. S α), joss /0 S α LP / Kevät 2006 Lauselogiikka Järjestelmien vertailua Esimerkki. Osoitetaan vielä semanttisella taululla, että B C on johdettavissa lausejoukosta {A,B (A C)}. 1. E(B C) 2. A 3. (B (A C)) 4. B 1. Huomio. Suppes-todistukselle asetettu lisäehto H n = /0 edellyttää, että kaikki apuolettamukset on peruttava johtopäätöksen tekoon mennessä. 5. EC 1. Väite. Suppesin järjestelmä on lauselogiikan virheetön ja täydellinen todistusmenetelmä (Σ S α Σ = α). 6. EB (A C) EA C 6.
27 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka Hilbertin järjestelmä LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 107 Esimerkki. Pahimmassa tapauksessa taulun koko voi kasvaa eksponentiaalisesti atomisten lauseiden lukumäärään nähden. + Minimalistinen koneisto teoreemien tuottamiseksi. Lauseet esitettävä implikaation ja negaation avulla. Yksittäisten todistusten löytäminen voi olla vaikeaa. Hankala todeta milloin lause ei ole todistuva/johdettavissa. 2. Suppesin järjestelmä + Päättelysääntöjen laaja valikoima tukee erilaisten loogisten päätelmien tekemistä ja todistusten löytämistä. + Lauseissa voi esiintyä kaikkia peruskonnektiiveja. Hankala todeta milloin lause ei ole todistuva/johdettavissa. 6. A 3. 7.EA 6. 5.A A 4. 8.EA B 3. 1.(A B) 2.(A B) 3.( A B) 4.( A B) 7. B 4. 8.EB A 4. 8.EA 7. 6.A B B 4. 8.EB B 2. 7.EB LP / Kevät 2006 Lauselogiikka Semanttinen taulu LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 108 Esimerkki. Cut-säännön avulla taulu jää hieman pienemmäksi: + Lauseissa voi esiintyä kaikkia peruskonnektiiveja. + Lauseiden syntaksi ohjaa päättelysäännön (taulusäännöt) valintaa. + Mikäli lause ei ole todistuva/johdettavissa saadaan konkreettinen vastaesimerkki (eli vastamallia ). + Helppo toteuttaa tietokoneella. 1.(A B) 2.(A B) 3.( A B) 4.( A B) Semanttinen taulu ei ole tehokkain mahdollinen menetelmä lauselogiikan päättelyongelmien ratkomiseen. Huomio. Semanttisen taulun menetelmää voidaan edelleen tehostaa lisäämällä taulusääntöjä. Esimerkkinä mainittakoon ns. cut-sääntö, joka haarauttaa polun jonkin väittämän α suhteen ( α ja Eα). Harkiten käytettynä tällä säännöllä voi tiivistää todistuksia. 6. A 3. 7.EA 6. 5.A 7. A 4. 8.EA B B 4. 8.EB 7. 6.A 1. 5.EA 7.A B B 2. 8.EB 7. Merkitys korostuisi, jos atomisten lauseitten määrää lisättäisiin.
28 LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 109 Esimerkki. Semanttisella taululla pystytään simuloimaan monia Suppes-järjestelmän päättelysääntöjä. EC (A B) EC (A B) LP / Kevät 2006 Lauselogiikka 111 Motivaatio Normaalimuotojen tarkoituksena on saattaa käsiteltävät lausekkeet johonkin säännölliseen muotoon, jotta niiden käsittely yksinkertaistuu. Esimerkkeinä mainittakoon seuraavat. Polynomien esittäminen muodossa (B C) (B C) c n x n + c n 1 x n 1 + +c 0 x 0. A EA B EB C Modus ponens A EB C EA B Modus tollendo tollens Lineaaristen yhtälöryhmien esittäminen matriiseina: a 11 a 12 a 13 x 1 a 21 a 22 a 23 x 2 = a 31 a 32 a 33 x 3 b 1 b 2 b LP / Kevät 2006 Lauselogiikka LP / Kevät 2006 Lauselogiikka Konjunktiivinen ja disjunktiivinen normaalimuoto 6 Normaalimuodot Konjunktiivinen ja disjunktiivinen normaalimuoto Muunnokset normaalimuotoihin Normaalimuotojen hakeminen taulumenetelmällä Määritelmä. Jos A on atominen lause, niin A ja A ovat literaaleja. Määritelmä. Positiivisen literaalin A komplementti A = A ja negatiivisen literaalin A komplementti A = A. Määritelmä. Lause α on konjunktiivisessa normaalimuodossa, jos α on muodoltaan konjunktio β 1 β 2 β n, missä jokainen β i on literaaleista l 1,l 2,...,l mi koostuva disjunktio l 1 l 2 l mi. Normaalimuotojen sieventäminen Lauseiden klausuulimuoto Disjunktiivinen normaalimuoto määritellään samaan tapaan, mutta konjunktion ja disjunktion roolit vaihdetaan keskenään: Määritelmä. Lause α on disjunktiivisessa normaalimuodossa, jos α on muodoltaan disjunktio β 1 β 2 β n, missä jokainen β i on literaaleista l 1,l 2,...,l mi koostuva konjunktio l 1 l 2 l mi.
T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka )
T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 opetusmoniste, lauselogiikka 2.1-3.5) 21 24.9.2004 1. Määrittele lauselogiikan konnektiivit a) aina epätoden lauseen ja implikaation
LisätiedotT Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka )
T-79.3001 Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka 2.1 3.4) 5.2. 9.2. 2009 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 2.1 Merkitään lausetta φ:llä, ja valitaan atomilauseiden
LisätiedotLAUSELOGIIKKA (1) Sanalliset ilmaisut ovat usein epätarkkoja. On ilmaisuja, joista voidaan sanoa, että ne ovat tosia tai epätosia, mutta eivät molempia. Ilmaisuja, joihin voidaan liittää totuusarvoja (tosi,
LisätiedotTaulumenetelmä modaalilogiikalle K
/ Kevät 2004 ML-6 1 Taulumenetelmä modaalilogiikalle On vaikeaa löytää Hilbert-tyylisiä todistuksia: Käytössä Modus Ponens -sääntö: jotta voidaan johtaa Q, täytyy johtaa P ja P Q. Mutta mikä on sopiva
LisätiedotT Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka ) A ( B C) A B C.
T-79.3001 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka 6.1 7.2) 27. 29.2.2008 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 6.1 a) A (B C) Poistetaan lauseesta ensin implikaatiot.
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 1. Etsi lauseen (p 0 (p 1 p 0 )) p 1 kanssa loogisesti ekvivalentti lause joka on (a) disjunktiivisessa
LisätiedotT Kevät 2005 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Kertausta Ratkaisut
T-79.146 Kevät 2005 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Kertausta Ratkaisut 1. Jokaiselle toteutuvalle lauselogiikan lauseelle voidaan etsiä malli taulumenetelmällä merkitsemällä lause taulun
Lisätiedot-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei
LisätiedotT kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut
T-79.5101 kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut 1. Jokaiselle toteutuvalle lauselogiikan lauseelle voidaan etsiä malli taulumenetelmällä merkitsemällä lause taulun juureen
LisätiedotJohdatus logiikkaan I Harjoitus 4 Vihjeet
Johdatus logiikkaan I Harjoitus 4 Vihjeet 1. Etsi lauseen ((p 0 p 1 ) (p 0 p 1 )) kanssa loogisesti ekvivalentti lause joka on (a) disjunktiivisessa normaalimuodossa, (b) konjunktiivisessa normaalimuodossa.
LisätiedotLuonnollisen päättelyn luotettavuus
Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä
LisätiedotToinen muotoilu. {A 1,A 2,...,A n,b } 0, Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun 1 / 13
2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun {A 1,A 2,...,A n,b } 0, jatkoa jatkoa 1 / 13 2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista: (a) {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 },
LisätiedotTehtävä 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. 1 {p 3 } oletus. 4 {p 1, p 2, p 3 } oletus. 5 { p 1 } (1, 2) 7 (4, 6)
Tehtävä 1 Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 }, {p 1, p 2, p 3 }, { p 2, p 3 }, {p 3 }}, b. {{ p 0, p 2 }, {p 0, p 1 }, {{ p 1, p 2 }, { p 2 }}, c. {{p
LisätiedotRatkaisu: Yksi tapa nähdä, että kaavat A (B C) ja (A B) (A C) ovat loogisesti ekvivalentit, on tehdä totuustaulu lauseelle
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoot A, B ja C propositiolauseita. Näytä, että A (B C) (A B) (A C). Ratkaisu: Yksi tapa
LisätiedotTotuusjakaumat. Totuusjakauma eli valuaatio v on kuvaus v : {p 0, p 1, p 2,...} {0, 1}. Käytämme jatkossa joukolle {0, 1} merkintää B.
Totuusjakaumat Totuusjakauma eli valuaatio v on kuvaus v : {p 0, p 1, p 2,...} {0, 1}. Käytämme jatkossa joukolle {0, 1} merkintää B. Totuusjakauma v voidaan aina laajentaa kuvaukseksi V : {A A on L kaava}
LisätiedotInsinöörimatematiikka A
Insinöörimatematiikka A Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2018 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 1 of 23 Kertausta Määritelmä Predikaattilogiikan
LisätiedotLogiikan kertausta. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos.
TIE303 Formaalit menetelmät, kevät 2005 Logiikan kertausta Antti-Juhani Kaijanaho antkaij@mit.jyu.fi Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos TIE303 Formaalit mentetelmät, 2005-01-27 p. 1/17 Luento2Luentomoniste
LisätiedotRatkaisu: Käytetään induktiota propositiolauseen A rakenteen suhteen. Alkuaskel. A = p i jollain i N. Koska v(p i ) = 1 kaikilla i N, saadaan
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoon totuusjakauma v sellainen että v(p i ) = 1 kaikilla i N ja A propositiolause, jossa
LisätiedotPropositiot: Propositiot ovat väitelauseita. Totuusfunktiot antavat niille totuusarvon T tai E.
Propositiot: Propositiot ovat väitelauseita. Totuusfunktiot antavat niille totuusarvon T tai E. Perusaksioomat: Laki 1: Kukin totuusfunktio antaa kullekin propositiolle totuusarvoksi joko toden T tai epätoden
LisätiedotApprobatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten
LisätiedotVaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot
LisätiedotRekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä
LisätiedotT Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet )
T-79144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet 11-22) 26 29102004 1 Ilmaise seuraavat lauseet predikaattilogiikalla: a) Jokin porteista on viallinen
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf
LisätiedotLogiikka I. Kaarlo Reipas 17. huhtikuuta 2012 Ψ. Tämä materiaali on vielä keskeneräinen. 1 Johdanto Mitä logiikka on?... 3
Φ Logiikka I Kaarlo Reipas 17. huhtikuuta 2012 Ψ Tämä materiaali on vielä keskeneräinen. Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mitä logiikka on?.............................. 3 2 ropositiologiikka 4 2.1 Lauseet...................................
LisätiedotLoogiset konnektiivit
Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi... jos ja vain jos... Sulkeita ( ) käytetään selkeyden vuoksi
LisätiedotNimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...
2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
Lisätiedot1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit
1 Logiikkaa Tieteessä ja jokapäiväisessä elämässä joudutaan tekemään päätelmiä. Logiikassa tutkimuskohteena on juuri päättelyt. Sen sijaan päätelmien sisältöön ei niinkäään kiinnitetä huomiota. Päätelmät
LisätiedotLOGIIKKA johdantoa
LOGIIKKA johdantoa LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Logiikan tehtävä: Logiikka tutkii ajattelun ja päättelyn sääntöjä ja muodollisten päättelyiden oikeellisuutta, ja pyrkii erottamaan oikeat päättelyt
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
LisätiedotJohdatus logiikkaan 1
Johdatus logiikkaan 1 Åsa Hirvonen Kevät 2016 Sisältö 1 ropositiolauseet 3 2 Rekursiiviset määritelmät ja induktio rakenteen suhteen 7 3 Totuusjakaumat ja totuustaulut 12 3.0.1 Negaatio..........................
LisätiedotPikapaketti logiikkaan
Pikapaketti logiikkaan Tämän oppimateriaalin tarkoituksena on tutustua pikaisesti matemaattiseen logiikkaan. Oppimateriaalin asioita tarvitaan projektin tekemisessä. Kiinnostuneet voivat lukea lisää myös
LisätiedotT Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 12 (opetusmoniste, kappaleet )
T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 12 (opetusmoniste, kappaleet 9.1 9.5) 30.11. 3.12.2004 1. Osoita lauselogiikan avulla oheisten ehtolausekkeiden ekvivalenssi. (a)!(a
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
LisätiedotTodistusteoriaa. Kun kielen syntaksi on tarkasti määritelty, voidaan myös määritellä täsmällisesti, mitä pätevällä päättelyllä tarkoitetaan.
Todistusteoriaa Kun kielen syntaksi on tarkasti määritelty, voidaan myös määritellä täsmällisesti, mitä pätevällä päättelyllä tarkoitetaan. Todistusteoriassa annetaan joukko aksioomia ja päättely- sääntöjä,
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
Lisätiedot4 Matemaattinen induktio
4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla
LisätiedotKonnektiivit. On myös huomattava, että vain joillakin luonnollisen kielen konnektiiveilla on vastineensa lauselogiikassa.
Johdanto Lauselogiikassa tutkitaan sekä syntaktisella että semanttisella tasolla loogisia konnektiiveja ja niiden avulla muodostettuja kaavoja sekä myös formaalia päättelyä. Tarkastelemme aluksi klassisen
LisätiedotLOGIIKKA, TIETÄMYS JA PÄÄTTELY
36 LOGIIKKA, TIETÄMYS JA PÄÄTTELY Ryhdymme nyt tarkastelemaan tietämyskannan (knowledge base, KB omaavia agentteja KB:n avulla agentti pyrkii pitämään yllä tietoa vain osittain havainnoimastaan maailmasta
LisätiedotJokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.
3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä
LisätiedotSAT-ongelman rajoitetut muodot
SAT-ongelman rajoitetut muodot olemme juuri osoittaneet että SAT on NP-täydellinen perusidea on nyt osoittaa joukolle kiinnostavia ongelmia A NP että SAT p m A, jolloin kyseiset A myös ovat NP-täydellisiä
Lisätiedot2. M : T kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 11 Ratkaisut 1. M :
T-79.5101 kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 11 Ratkaisut 2. M : a 1. M : a c b, e b f,r c e a) M,a = A(U), sillä (esim.) (a,b,,,,...) on tilasta a alkava täysi polku, joka ei
LisätiedotFI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan:
LOGIIKKA 1 Mitä logiikka on? päättelyn tiede o oppi muodollisesti pätevästä päättelystä 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: sisältö, merkitys: onko jokin premissi
LisätiedotModus Ponens. JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15. Modus Ponens. Ketjusääntö. Päättelyketju.
JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15 JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi (A (A B)) B on tautologia eli (A (A B)) B. 1 / 15 JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä
Lisätiedot5.1 Semanttisten puiden muodostaminen
Luku 5 SEMNTTISET PUUT 51 Semanttisten puiden muodostaminen Esimerkki 80 Tarkastellaan kysymystä, onko kaava = (( p 0 p 1 ) (p 1 p 2 )) toteutuva Tätä voidaan tutkia päättelemällä semanttisesti seuraavaan
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen
LisätiedotT Syksy 2005 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet )
T-79.144 Syksy 2005 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 2 5.11.2005 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio R A
LisätiedotTaulun avoimista haaroista saadaan kelvolliset lausejoukot
T-79.5101 kevät 2006 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 11 Ratkaisut 1. M : a, Q b c d Lauseen X( UQ) sulkeuma: CL ( X( UQ) ) = { X( UQ), X( UQ), UQ, X ( UQ), ( UQ),, Q, X ( UQ),, } Muodostetaan
Lisätiedotverkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari
Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on
LisätiedotS BAB ABA A aas bba B bbs c
T-79.148 Kevät 2003 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 8 Demonstraatiotehtävien ratkaisut 4. Tehtävä: Laadi algoritmi, joka testaa onko annetun yhteydettömän kieliopin G = V, Σ, P, S) tuottama
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotOlkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,
Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.
LisätiedotÄärellisten automaattien ja säännöllisten kielten ekvivalenssi
Äärellisten automaattien ja säännöllisten kielten ekvivalenssi Osoitamme seuraavan keskeisen tuloksen: Lause 1.8: [Sipser Thm. 1.54] Kieli on säännöllinen, jos ja vain jos jokin säännöllinen lauseke esittää
LisätiedotKirjoita käyttäen propositiosymboleita, konnektiiveja ja sulkeita propositiologiikan lauseiksi:
1 Logiikan paja, kevät 2011 Ratkaisut viikolle I Thomas Vikberg Merkitään propopositiosymboleilla p i seuraavia atomilauseita: p 0 : vettä sataa p 1 : tänään on perjantai p 2 : olen myöhässä Valitaan konnektiiveiksi,
Lisätiedotisomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
LisätiedotLisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi
Lisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Esimerkki a) Lauseen Kaikki johtajat ovat miehiä negaatio ei
LisätiedotDiskreetit rakenteet. 3. Logiikka. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1
811120P 3. 5 op Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 ja laskenta tarkastelemme terveeseen järkeen perustuvaa päättelyä formaalina järjestelmänä logiikkaa sovelletaan
LisätiedotLogiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT:
Logiikka 1/5 Sisältö Formaali logiikka Luonnollinen logiikka muodostaa perustan arkielämän päättelyille. Sen käyttö on intuitiivista ja usein tiedostamatonta. Mikäli logiikka halutaan täsmällistää esimerkiksi
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 3. Logiikka 3.1 Logiikka tietojenkäsittelyssä Pyritään formalisoimaan terveeseen järkeen perustuva päättely Sovelletaan monella alueella tietojenkäsittelyssä, esim.
LisätiedotJohdatus logiikkaan (Fte170)
Johdatus logiikkaan (Fte170) Teoreettinen filosofia, 5 op, periodit I ja II, 2010 Markus Pantsar 1. Johdanto 1.1 Filosofinen logiikka Logiikkaa tutkitaan pääasiallisesti kolmen tieteen piirissä: filosofian,
LisätiedotTehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17
Lisätiedotb) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.
Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos
LisätiedotTehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)
Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,
LisätiedotEnnakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
Lisätiedot2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
LisätiedotFORMAALI SYSTEEMI (in Nutshell): aakkosto: alkeismerkkien joukko kieliopin määräämä syntaksi: sallittujen merkkijonojen rakenne, formaali kuvaus
FORMAALI SYSTEEMI (in Nutshell): Formaali kieli: aakkosto: alkeismerkkien joukko kieliopin määräämä syntaksi: sallittujen merkkijonojen rakenne, formaali kuvaus esim. SSM:n tai EBNF:n avulla Semantiikka:
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 2
Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotInduktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m.
Väite: T (n) (a + b)n 2 + a. Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m. Huomaa että funktion x x 2 + (m 1 x) 2 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten funktio saavuttaa suurimman
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
Lisätiedot1. Logiikan ja joukko-opin alkeet
1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista
LisätiedotT Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 8 Demonstraatiotehtävien ratkaisut
T-79.148 Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 8 Demonstraatiotehtävien ratkaisut 4. Tehtävä: Laadi algoritmi, joka testaa onko annetun yhteydettömän kieliopin G = V, Σ, P, S tuottama
LisätiedotChomskyn hierarkia ja yhteysherkät kieliopit
Chomskyn hierarkia ja yhteysherkät kieliopit Laskennan teorian opintopiiri Tuomas Hakoniemi 21. helmikuuta 2014 Käsittelen tässä laskennan teorian opintopiirin harjoitustyössäni muodollisten kielioppien
LisätiedotVasen johto S AB ab ab esittää jäsennyspuun kasvattamista vasemmalta alkaen:
Vasen johto S AB ab ab esittää jäsennyspuun kasvattamista vasemmalta alkaen: S A S B Samaan jäsennyspuuhun päästään myös johdolla S AB Ab ab: S A S B Yhteen jäsennyspuuhun liittyy aina tasan yksi vasen
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotLaskennan rajoja. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 10. joulukuuta 2015 TIETOTEKNIIKAN LAITOS.
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 10. joulukuuta 2015 Sisällys TM vs yleiset kieliopit Lause Jokaiselle kielelle A seuraavat ovat yhtäpitävät: 1.
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
Lisätiedot= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
LisätiedotYhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014
Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan
LisätiedotInduktio kaavan pituuden suhteen
Induktio kaavan pituuden suhteen Lauselogiikan objektikieli määritellään kurssilla Logiikka 1B seuraavasti: 1. Lausemuuttujat p 1, p 2, p 3,... ovat kaavoja. 2. Jos A on kaava, niin A on kaava. 3. Jos
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotNäytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.
Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}
LisätiedotEi-yhteydettömät kielet [Sipser luku 2.3]
Ei-yhteydettömät kielet [Sipser luku 2.3] Yhteydettömille kielille pätee samantapainen pumppauslemma kuin säännöllisille kielille. Siinä kuitenkin pumpataan kahta osamerkkijonoa samaan tahtiin. Lause 2.25
LisätiedotJOHDANTO KURSSIN AIHEPIIRIIN
T-79.3001 LTP / Kevät 2006 Johdanto 1 T-79.3001 LTP / Kevät 2006 Johdanto 3 Formaali päättely Matemaattinen logiikka tekee loogisesta päättelystä formaalin: JOHDANTO KURSSIN AIHEPIIRIIN väittämät esitetään
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotJohdatus logiikkaan 1
Johdatus logiikkaan 1 28. elokuuta 2014 Tämän tekstin lähtökohtana on ollut moniste Veikko Rantala - Ari Virtanen: Logiikan peruskurssi, joka on saatavilla netistä http://www.sis.uta.fi/matematiikka/ modaalilogiikka/logpk2003.pdf.
LisätiedotEpädeterministisen Turingin koneen N laskentaa syötteellä x on usein hyödyllistä ajatella laskentapuuna
Epädeterministisen Turingin koneen N laskentaa syötteellä x on usein hyödyllistä ajatella laskentapuuna. q 0 x solmuina laskennan mahdolliset tilanteet juurena alkutilanne lehtinä tilanteet joista ei siirtymää,
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 30.
LisätiedotHahmon etsiminen syotteesta (johdatteleva esimerkki)
Hahmon etsiminen syotteesta (johdatteleva esimerkki) Unix-komennolla grep hahmo [ tiedosto ] voidaan etsia hahmon esiintymia tiedostosta (tai syotevirrasta): $ grep Kisaveikot SM-tulokset.txt $ ps aux
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
Lisätiedotja s S : ϕ Υ : M,s ϕ, mutta M,s Q. Erityisesti M, t P kaikilla t S, joten
T-79.50 kevät 007 Laskuharjoitus 4. Vastaesimerkiksi kelpaa malli M = S, R,v, missä S = {s}, R = { s,s }, ja v(s,p) = false. P s M = P P pätee (koska M,s P), ja M,s P pätee myös, koska s,s R, M,s P, eikä
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
Lisätiedot