Data Envelopment Analysis (DEA) - menetelmät + CCR-DEA-menetelmä Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari kevät 2011
Esityksen rakenne I osa Tehokkuudesta yleisesti DEA-mallin perusajatus CCR-painotus II osa BCC, ADD, SBM-mallit Cross-efficiency Kotitehtävä
Taustaa tehokkuudesta Tehokkuus (tai tuottavuus) = Output / Input Jos tiedetään output ja input, helppoa määrittää esim. yksittäiselle koneelle, johon menee polttoainetta sisään ja tulee vääntömomenttia ulos. Tilanne vaikeutuu, jos outputteja tai inputteja on useita. Edelleen: miten vertailla erilaisia laitteita keskenään entäpä kokonaisia tehtaita?
Pareto-Koopmans DMU (decision making unit eli päätösyksikkö kuten tehdas tehtaiden joukossa) on tehokas jos ja vain jos mitään inputtia tai outputtia ei voida parantaa huonontamatta jotakin muuta.
Kaksiulotteinen tarkastelu Jätetään output ja input sellaisiksi kuin ovat i.e. ei lasketa suhdetta. Oheinen kuva antaa sitten mahdollisuuden erilaisiin vertailuihin (PNSsuora, kulmakerroin eli tehokkuus). Tässä tehdään kuitenkin tiettyjä oletuksia. Tilanne vaikeutuu, jos lisää ulottuvuuksia
Tehokas rintama Data ENVELOPMENT analysis (DEA) Olettamalla vakio skaalautuvuus, voidaan tehokas rintama määrätä tehokkaimman pisteen ja origon avulla. Nyt yksittäisen pisteen tehostamismahdollisuudet nähdään suhteessa tehokkaaseen rintamaan. Väli A1-A2 on A:n referenssijoukko
Osatehokkuudet Useampiulotteisia tapauksia voi käsitellä esim. laskemalla osatehokkuudet ja käyttämällä niitä vertailupisteinä. Tämä ei kuitenkaan aina ole mielekästä tai edes mahdollista. Jos 2out x 2in tapaus, täytyisi olettaa, että on kaksi täysin erillistä syy-seuraussuhdetta.
CCR (Charnes, Cooper, Rhodes) Aiemmin tällä kurssilla valittu additiivinen malli ja elisitoitu painot päätöksentekijöiltä CCR-mallissa painot lasketaankin datasta itsestään s.e. jokaiselle DMU:lle valitaan yksilöllisesti parhaat mahdolliset painot. Max, Tarkemmin:
Tuotantomahdollisuuksien joukko Määritellään nyt käyvien datapisteiden joukko: X on inputdatamatriisi ja Y on outputdatamatriisi
CCR-malli Ongelma voidaan muuntaa kokonaislukumuotoon vakioimalla nimittäjä yhteen. Saadaan primääri- ja duaalimuotoinen tehtävä Kerroinmuoto ja envelopment -muoto Vaikka jokaiselle DMU:lle valitaan parhaat mahdolliset painot, kaikki DMU:t eivät silti ole 100% CCR-tehokkaita
Slack-vektorit Theta on välillä ]0,1], jos theta on alle 1, voidaan määritellä, että pisteen ero suhteessa vertailu DMUo:hon on niinpä tehdään vielä thetan määrittämisen jälkeen toinen optimointi Maksimoidaan slackit muuttamatta thetaa
CCR-tehokkuus Ensimmäisessä vaiheessa nähdään onko thetan arvo 1, jos on: piste saattaa olla CCRtehokas Toinen vaihe tarvitaan, jotta nähdään ovatko slackit nollia. Tämä on toinen ehto CCR-tehokkuudelle. Toista vaihetta selkiyttää tehottomuuden lähteiden tarkastelu.
Tehottomuuden lähteet Tekninen tehottomuus Esim. toisen koneen hyötysuhde on huonompi kuin toisen Poistetaan muuttamatta suhteellisia osuuksia (esim. siirrytään D:stä P:hen) Yhdistetehottomuus Esim. liian suuri tehdashalli suhteessa työntekijämäärään (esim. siirrytään Q:sta B:hen)
Referenssijoukko Edellisen kalvon kuvassa on pääteltävissä mikä on kunkin tehottoman pisteen referenssijoukko (Eo) tehokkuudeen parantamiseksi. Matemaattisesti CCR:ssä slack-muuttujien avulla:
Output-malli Aiemmassa keskityttiin minimoimaan inputteja, kuitenkaan vähentämättä outputtia Kuitenkin voi olla relevanttia myös maksimoida outputtia kasvattamatta inputtia yhteys input malliin: Slackit:
Inputit, joihin ei voida vaikuttaa Joskus malliin vaikuttaa tekijöitä, joihin ei voida vaikuttaa, niinpä ne pitää jättää pois optimoinnin kohdefuktio(i)sta, mutta kuitenkin huomioida rajoitteissa. D=Discretionary / voidaan vaikuttaa, ND= Non-Discretionary / ei voida vaikuttaa
muita DEA-malleja, cross efficiency -käsite tehokkuuden mittana Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari kevät 2011
BCC-malli Entä jos vakioskaalautuvuus-oletus ei päde?
BCC - laskennallisesti Lisätään CCR-malliin oletus, siitä, että lamdat ovat yhteensä 1. kts. alla envelopment- ja kerroinmuodot BCC:stäkin on Output-muotoinen malli
Additiivinen malli Edut aiempiin verrattuna: Koordinaatistovapaa i.e. myös negatiiviset arvot voidaan syöttää malliin (koordinaatistomuunnoksella). Additiivinen malli huomioi samanaikaisesti sekä input että output-suunnat.
ADD-malli laskennallisesti Alla malli envelopment ja kerroinmuodossa Huomattavaa on, että mallista puuttuu theta kokonaan, (tosin informaatio sisältyy s- ja s+ vektoreihin).
SBM (Slacks-based measure) SBM-tehokas DMU on aina myös CCRtehokas. Kuitenkin SBM-mallia voidaan painottaa päätöksetekijöiltä elisitoiduilla painoilla
DEA-mallien yhteenveto Malli valitaan ongelman mukaan mutta monesti joudutaan testaamaan useita malleja yhteen ongelmaan.
Cross-efficiency Aiemmissa DEA-malleissa DMU saa valita itsellensä parhaat painotukset; mutta entä jos painot valitaan muiden DMU:iden perusteella? Itsearviointi vs. peer-review Cross-efficiency lasketaan käyttämällä DEAtehtävän ratkaisun sivutuotteena generoituvia painoja (joita ei kuitenakaan saada dualmuotoisesta tehtävästä).
X-eff matriisi Painotus tehdään oheisen matriisin avulla. Diagonaalin (eli itsearvion sisällyttämisellä ei ole suurta merkitystä. Joissain tilanteissa DMU:n kannalta voi olla useita yhtä optimaalisia painoja, mitkä valita?
Aggressivinen vs. Hyväntahtoinen Tilanteessa, jossa DMU:lle lasketaan painot ja jää useita yhtä optimaalisia, voidaan X-eff matriisin valita Joko sellaiset, joilla muiden tulos mahdollisimman huono (aggressiivinen tapa) Tai sellaiset, joilla muiden tulos mahdollisimman hyvä (hyväntahtoinen tapa).
Hyödyt? Menetelmä tuo perspektiiviä painotuksiin ja paljastaa erikoiset yksilöt (mavericks), jotka ovat hyviä vain yhdessä asiassa.
Kotitehtävä Oheisessa taulukossa on annettu arvoja seitsemälle DMU:lle kahden input-kriteerin ja yhden output kriteerin perusteella. Data on valmiiksi normeerattu outputin mukaan. DMU A B C D E F G Input x1 4 7 8 4 2 10 3 x2 3 3 1 2 4 1 7 Output y 1 1 1 1 1 1 1 Tehtävä: konstruoi tälle CCR-I-malli (xls:ään tai muualle), määritä tehokkaat DMU:t ja niiden referenssijoukot.
Kotitehtävä: alkua Ohessa formuloitu envelopment - muotoinen tehtävä. Tarvittaessa lisää apua tehtävän ratkaisemiseen Cooper et al. pp. 53- Kirjan ratkaisua ei kuitenkaan voi suoraan prujata, sillä myös käytetty xls-malli pitää palauttaa järkevine perusteluineen