4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää. Kertaluvu lieaarie differetiaalihtälö s. stadardimuodossa o () + p - (x) (-) + + p (x) + p 0 (x) = r(x) () Edellise luvu teoria ja ratkaisumeetelmät leistvät suoraviivaisesti :e kertaluvu htälöihi. 4. Homogeeiset lieaariset differetiaalihtälöt Jos r(x) = 0, htälö o homogeeie: () + p - (x) (-) + + p (x) + p 0 (x) = 0 () Homogeeise DY: () leie ratkaisu välillä I o (x) = C (x) + + C (x) (3) missä C,,C ovat vakioita ja,, ovat htälö () lieaarisesti riippumattomia ratkaisuja eli muodostavat ratkaisuje kaa. Yksitisratkaisu saadaa kiiittämällä vakioide C,,C arvot. Alkuarvotehtävä koostuu htälöstä () ja alkuehdoista (x 0 ) = k 0, (x 0 ) = k (-) (x 0 ) = k -. (4) Jos fuktiot p 0 (x),, p - (x) ovat jatkuvia avoimella välillä I jolle piste x 0 kuuluu, ii alkuarvotehtävällä () & (4) o ksikäsitteie ratkaisu (x) välillä I. Fuktiot (x),, (x) ovat lieaarisesti riippumattomia välillä I, jos k (x) + + k (x) = 0 välillä I (5) toteutuu vai, ku kaikki vakiot k,, k ovat ollia. Fuktiot (x),, (x) ovat lieaarisesti riippuvia välillä I, jos (5) toteutuu kertoimilla, jotka eivät kaikki ole ollia.
ause 4.. a) Jos fuktiot p 0 (x),, p - (x) ovat jatkuvia avoimella välillä I, ii DY: () ratkaisut,, ovat lieaarisesti riippuvia välillä I, jos iide muodostama roski determiatti 5 (,..., ) = ( ) ( ) O ( ) (6) o olla jossaki väli I pisteessä x 0. Voidaa osoittaa, että tällöi = 0 koko välillä I. Tästä seuraa: b) Jos fuktiot p 0 (x),, p - (x) ovat jatkuvia avoimella välillä I, ii ratkaisut,, ovat lieaarisesti riippumattomia välillä I, jos 0 jossaki väli pisteessä x. Silloi 0 koko välillä I. Ratkaisut,, muodostavat silloi ratkaisuje kaa. ause 4.. Jos fuktiot p 0 (x),, p - (x) ovat jatkuvia avoimella välillä I, ii homogeeisella DY:llä () o leie ratkaisu, joka o muotoa (x) = C (x) + + C (x) missä ratkaisut,, ovat lieaarisesti riippumattomia ja C,, C ovat vakioita. Esimerkki 4.. Ovatko seuraavat ratkaisut lieaarisesti riippumattomia? a) e x, e -x, e x e -x b) e x, e x, e -x 4. Vakiokertoimiset homogeeiset differetiaalihtälöt Vakiokertoimie. kertaluvu homogeeie DY o muotoa () + a - (-) + + a + a 0 = 0 (7) missä a -,, a 0 ovat vakioita. Sijoittamalla htälöö rite = e x ja se derivaatat (kute luvussa 3.) saadaa karakteristie htälö + a - - + + a + a 0 = 0 (8) Tapaus : Jos karakteristise htälö juuret ovat reaaliset ja keskeää erisuuret, ratkaisut = e λx λx,..., = e (9) muodostavat ratkaisuje kaa. Seuraavat tapaukset 4 voivat esiitä eriksee tai hdessä:
Tapaus : Jos kaikki juuret eivät ole erisuuria, ratkaisut (9) ovat lieaarisesti riippuvia. 6 Olkoo m-kertaie reaalijuuri. Sitä vastaavat lieaarisesti riippumattomat ratkaisut ovat e x, xe x,, x m- e x (0) Tapaus 3: Jos karakteristisella htälöllä o kojugaattiset kompleksiset juuret = ± i, iitä vastaavat lieaarisesti riippumattomat, reaaliset ratkaisut ovat = e x cos( x), = e x si( x) () Tapaus 4: Jos karakteristella htälöllä o kaksikertaiset kompleksiset juuret = ± i, iitä vastaavat lieaarisesti riippumattomat, reaaliset ratkaisut ovat e x cos( x), e x si( x), xe x cos( x), xe x si( x) () Esimerkki 4.. a) Ratkaise alkuarvotehtävä + = 0 ehdoi (0) =, (0) = -, (0) =. (4) () b) Ratkaise + 4 = 0 4.3 Epähomogeeiset differetiaalihtälöt Epähomogeeie htälö o missä r(x) 0. () + p - (x) (-) + + p (x) + p 0 (x) = r(x) (3) Epähomogeeise DY: (3) leie ratkaisu o (x) = h (x) + p (x) (4) missä h (x) = C (x) + + C (x) o vastaava homogeeise DY: leie ratkaisu ja p (x) o mikä tahasa epähomogeeise DY: (3) ratkaisu. Alkuarvotehtävä koostuu htälöstä (3) ja alkuehdoista (x 0 ) = k 0, (x 0 ) = k,, (-) (x 0 ) = k -. Oletetaa, että kerroifuktiot p 0,,p - ovat jatkuvia välillä I. Tällöi alkuarvotehtävällä o ksikäsitteie ratkaisu (x) välillä I. 4.3. ääräämättömie kertoimie meetelmä eli ritemeetelmä Vakiokertoimie epähomogeeie differetiaalihtälö: () + a - (-) + + a + a 0 = r(x) (5) missä r(x) o jotai seuraavista muodoista: ke ax, kx (tai. astee polomi), k cos( x), k si( x), ke ax cos( x), ke ax si( x)
Ratkaisemie: Esi haetaa homogeeise DY: leie ratkaisu h luvu 4. meetelmällä. Sitte haetaa epähomogeeise DY: (5) ksitisratkaisu p kute toise kertaluvu vakiokertoimise DY: ratkaisut luvussa 3.4.. Valitaa ritteeksi oikea puole fuktiota r(x) vastaava samatppie fuktio: taulukko sivulla. Tutemattomat kertoimet ratkaistaa sijoittamalla rite derivaattoiee htälöö (5). Koska karakteristisella htälöllä voi olla korkeamma kertaluvu juuria, muuttuu modifikaatiosäätö seuraavaa muotoo: Jos p : termi o homogeeise htälö ratkaisu, p (x) kerrotaa x k :lla, missä k o piei positiivie kokoaisluku site, ettei ksikää x k p (x): termi ole homogeeise htälö ratkaisu. Yleie ratkaisu = h + p. Esimerkki 4.3. Ratkaise määräämättömie kertoimie meetelmällä a) + = si x x b) + 3 + 3 + = 30e (4) () c) + 4 = x 7 4.3. Parametrie varioitimeetelmä eli vakioide varioitimeetelmä Yhtälö ksitisratkaisu o () + p - (x) (-) + + p (x) + p 0 (x) = r(x) (3) (x) (x) (x) p (x) = r(x)dx + r(x)dx + K + r(x) dx (6) (x) (x) (x) missä,, o homogeeise DY: ratkaisuje kata ja j = roski determiatti, jossa j:s sarake o korvattu sarakkeella [0 0 0 ] T. Huom. erkitt (x), j (x) koska sijoittamalla x:stä riippuvat j :t mös determiateista tulee x: fuktioita. Yleie ratkaisu = h + p. Kaava pätee muilleki kui vakiokertoimisille DY:ille, mutta esi o ratkaistava homogeeie DY. Esim. ku = = 0 0 = = = = - ja kaava o sama kui luvu 3.4. kaava (35).
8 Esimerkki 4.3. x Ratkaise + 3 + 3 + = 30e parametrie varioiilla. Korkeamma kertaluvu Euler-Cauch-differetiaalihtälöt Kertalukua oleva homogeeie Euler-Cauch-htälö o muotoa () ( ) x + a x ax + K + + a 0 = 0 (7) ja epähomogeeie Euler-Cauch-htälö () ( ) x + a x ax + K + + a 0 = r(x) (8) Homogeeise Euler-Cauch DY: ratkaisut lödetää kättämällä ritettä = x m, kute. kertaluvu tapauksessa Epähomogeeie Euler-Cauch DY muutetaa stadardimuotoo jakamalla se x () :llä: () a ( ) a a 0 + + K + + = x x x r(x) x Etsitää se ksitisratkaisu p soveltamalla vakio varioitia. ääräämättömie kertoimie meetelmä ei kä, koska kseessä ei ole vakiokertoimie DY. Esimerkki 4.3.3 3 Ratkaise x 3x + 6x 6 = x 4 l x