Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt

Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa Matlab-esittelyä 1 / 20

Luennon sisältö Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa Matlab-esittelyä 2 / 20

Vertaa kahta tv-käyrää Jos kyseessä auto, vkumman kyydissä on mukavampi olla? t 0 t 1 t 2 t 3 t v t 0 t 1 t 2 t 3 t

Nykäisy ja napse Nykäisy (engl. jerk, ruotsi ryck?) on kiihtyvyyden aikaderivaatta [m s 3 ] Napse (engl. snap/jounce, ruotsi??) on nykäisyn aikaderivaatta [m s 4 ] Tärkeitä suureita esim. moottorin ohjauksessa Pysyykö vesi kuljetettavassa lasissa? Onko hississä/bussissa mukava matkustaa? Tulostaako 3D-tulostin siististi? Tutkitaan laskareissa, aiheesta enemmän koneensuunnittelua/(sähkö)moottoreita/automaatiota/robotiikkaa käsittelevillä kursseilla 4 / 20

Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Kinematiikassa ollaan kiinnostuneita hiukkasen liikkeestä, mutta ei siitä mikä sen saa aikaan Suureet aika t, paikka x, nopeus v ja kiihtyvyys a Valitaan akseli: hiukkanen liikkuu x-akselin suuntaisesti Tarkastellaan muutamia perustehtävätyyppejä, ja miten ne ratkaistaan Harjoitellaan näitä pitkin syksyä laskuharjoituksissa Tapaat niitä myös matematiikan kurssilla MS-A010x Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 6 / 20

Kinematiikan perustehtävätyypit Jokin suureista a, v tai x annettu toisen suureen tai ajan t funktiona Aina pätee Paikan ilmaisee funktio x(t) Hetkellinen nopeus v = dx dt Hetkellinen kiihtyvyys a = dv = d 2 x dt dt 2 Ratkaistaan hiukkasen liike näiden tietojen perusteella a(t) v(t) x(t) a(v) v(x) a(x)

Johdatus differentiaaliyhtälöihin 1. kertaluvun tavallinen differentiaaliyhtälö (DY) (first order ordinary differential equation) ( f x, y, dy ) = 0, y = y(x) dx Yhtälön yleinen ratkaisu (general solution) y = f (x, C), C = jokin vakio Alkuehdon (initial condition) y 0 = y(x 0 ) ja yleisen ratkaisun avulla saadaan erityisratkaisu (particular solution) y = f (x, C 0 ), missä C 0 määräytyy alkuehdosta 8 / 20

Perustehtävätyyppi 1: tunnettu x(t) Jos x(t) tunnetaan, saadaan muut suureet suoraan paikan yhteydestä nopeuteen ja kiihtyvyyteen a(t) = dv(t) dt v(t) = dx(t) dt = d dt dx(t) dt = d 2 x(t) dt 2 Ratkaisu saadaan derivoimalla paikan lauseketta a(t) v(t) x(t) 9 / 20

Perustehtävätyyppi 2: tunnettu a(t) a(t) tunnetaan ja halutaan v(t) sekä x(t) Nopeuden yhteydestä kiihtyvyyteen a(t) a(t) = dv(t) dt = dv dt = Separoituva 1. kertaluvun DY Ratkaistaan integroimalla = dv = a(t)dt v(t) x(t) 10 / 20

Perustehtävätyyppi 2: tunnettu a(t) Integrointivakio C katoaa käyttämällä alkuehtoa (tunnetut t 0 ja v 0 ) ja määrättyä integraalia a(t) dv = a(t)dt = v t v 0 dv = t 0 a(t)dt v(t) Hiukkasen paikka x(t) saadaan vastaavasti integroimalla v(t):tä x(t) 11 / 20

Perustehtävätyypit 3 ja 4: tunnettu a(v) tai v(x) v(t) Ratkaistaan annetusta a(v):stä v(t) separoimalla ja integroimalla a(v) = dv dt = t t 0 dt = v v 0 dv a(v) Integraalista saadaan v(t), jota integroimalla saadaan x(t) a(v) x(t) v(x)

Perustehtävätyypit 3 ja 4: tunnettu a(v) tai v(x) Samalla tavalla v(x):lle v(x) = dx dt = t t 0 dt = x x 0 dx v(x) v(t) x(t) josta voidaan ratkaista x(t)? Miksi a(v):tä tai v(x):ää ei voitu integroida suoraan? a(v) v(x) 13 / 20

Perustehtävätyyppi 5: tunnettu a(x) Kun tunnetaan a(x) niin v(x) saadaan järjestelemällä derivaattoja a(x) = dv dt = x = dx dv dt dx = v dv dx x 0 a(x) dx = v v 0 v dv Tästä saadaan edelleen menetelmällä 4 ratkaistua x(t) x(t) v(x) a(x) 14 / 20

Perustehtävätyyppi 6: v(x) suoraan a(v):stä v(x) Kun tunnetaan a(v) niin siitä saadaan v(x) suoraan separoimalla ja integroimalla a(x) = v dv dx = x x 0 dx = v v 0 v dv a(v) a(v) Vaihtoehtoisesti voidaan myös a(v) v(t) x(t) ja sitten eliminoida t v(t):n ja x(t):n muodostamasta yhtälöryhmästä Sangen monimutkainen tapa

Numeerinen ratkaisu Tehtävätyypeissä 2-6 analyyttisen ratkaisun löytyminen riippuu integroitavan funktion muodosta Laskuharjoitustehtävissä on yleensä analyyttinen ratkaisu Todellisen elämän probleemissa ei ole Mikäli analyyttistä ratkaisua ei löydy, voidaan integraali laskea numeerisesti tietokoneella ja saada siten approksimaatio oikealle ratkaisulle! Tärkeintä onkin saada muodostettua tarkasteltavalle systeemille sitä kuvaavat differentiaaliyhtälöt 16 / 20

Matlab Yksi yleisimmistä kaupallisista numeerisen laskennan ohjelmistoista (nykyään osaa myös jonkin verran symbolista laskentaa) Yleispätevä, kelpaa monenlaisiin ongelmiin Peruslaskentayksikkönä Matlabissa on n m-matriisi Tehokkaimmillaan jos osaat muotoilla ratkaistavan ongelman matriisin inversioksi tai muuksi matriisilaskennan operaatioksi Käytännössä suurin osa teknistieteellisistä probleemista voidaan esittää matriisien laskuina Kallis... mutta Aalto on hankkinut kampuslisenssin (opiskelijat voivat asentaa omille koneilleen) Open source -vaihtoehtojakin löytyy (esim. Octave, Python+Scipy+Numpy)

Matlab Oikeastaan ohjelmointiympäristö: Matlabia ohjelmoidaan pitkälti Fortrania muistuttavalla ohjelmointikielellä Sisältää ison osan oikean ohjelmointikielen rakenteista: Ehtolausekkeet (if-lauseet) Silmukka-/toistorakenteet (for-lauseet) Jonkinlaista olio-ohjelmointiviritystä Graafisen käyttöliittymän (GUI) rakentelumahdollisuus Joskus hieman kankea ja jotkut ominaisuudet ovat hieman päälleliimatun tuntuisia Use the right tool for the right job! 19 / 20

Käytön alkeet Esitellään luennolla Valmistajan ohjevideoita ja opetusmateriaalia verkossa http://mathworks.com Muita hyviä paikkoja etsiä apua spesifeihin ongelmiin http://stackoverflow.com Matlab kalliina funktiolaskimena Matlab simulaattorina Matlab ratkaisijana 20 / 20