Kolmion mekilliset pisteet ja kulman puolittajalause GOMTRI M3 iiettäessä kolmioille kulmanpuolittajia, sivujen keskinomaaleja, kokeusjanoja tai mediaaneja eli keskijanoja, niin osoittautuu, että näiden kaikkien suoayhmien leikkauspisteet ovat eikoispisteitä. isteitä sanotaan kolmion mekillisiksi pisteiksi. Lause 1 Kolmion sivujen keskinomaalit leikkaavat toisensa samas- sa pisteessä, joka on kolmion ympäi piietyn ympyän keskipiste. Oletus Kolmion sivujen ja keskinomaalit leikkaavat pisteessä. Väite Sivun keskinomaali kulkee pisteen kautta ja = = =. Todistus Koska on janan keskinomaalilla, niin keskinomaalin uaominaisuuden peusteella =. Vastaavasti =. Siis =, joten on janan keskinomaalin uaominaisuuden peusteella :n keskinomaalilla. Koska = =, niin on kolmion ympäi piietyn ympyän keskipiste. Lause 2 Kolmion kulmien puolittajat leikkaavat toisensa pisteessä, joka on kolmion sisään piietyn ympyän keskipiste. Oletus Kolmiossa kulmien ja puolittajat leikkaavat pisteessä. Väite Kulman puolittaja kulkee pisteen kautta ja 1 = 2 = 3 =. 3 1 2 1
Todistus Kulman puolittajalle kuuluvat ne ja vain ne pisteet, jotka ovat yhtä kaukana kulman kyljistä. Koska on kulmien ja puolittajilla, 1 = 3 ja 1 = 2. Tällöin 2 = 3, joten on myös kulman puolittajalla. Koska 1 = 2 = 3 =, on kolmion sisään piietyn ympyän keskipiste. Lause 3 Kolmion keskijanat leikkaavat toisensa samassa pisteessä, joka jakaa keskijanat käjestä lukien suhteessa 2: 1. Todistus Olkoot, ja F kolmion sivujen keskipisteet sekä keskijanojen ja leikkauspiste, vt oik.kuva. 3 1 2 F F F F Todistus(jatkuu) dellisen tunnin tuloksen nojalla ja = : 2. Tällöin samankohtaiset kulmat ja ovat yhtä suuet. Samoin ja. Näin ollen ~ (kk)-lause. Saadaan = 2 1 = 2 1 ja = 2 1. iste siis jakaa keskijanat ja käjestä lukien suhteessa 2: 1. Jos keskijana kovataan keskijanalla F, niin vastaavat peustelut. Mutta kaksi ei pistettä ei voi jakaa samaa keskijanaa samassa suhteessa, joten myös keskijanojen ja F leikkauspiste on. Näin ollen kolmion kaikki kolme keskijanaa leikkaavat siis samassa pisteessä, joka jakaa ne käjestä lukien suhteessa 2: 1. 2
Lause 4 Kolmion kokeusjanat tai niiden jatkeet leikkaavat toisensa samassa pisteessä. Todistus Sivuutetaan. Määitelmä, kulman puolittaja: Kulman puolittaja on kulman käjestä alkava puolisuoa, joka jakaa kulman kahdeksi yhtä suueksi kulmaksi. Kulman puolittajan uaominaisuus Kulman puolittaja on niiden pisteiden ua, jotka ovat yhtä etäällä kulman kyljistä tai niiden jatkeista. 1 2 3 Kuten uaehtoihin yleensä, niin myös tähän kulman puolittajan uaehtoon sisältyy kaksi väitettä. Lause 1: Kulman puolittajan jokainen piste on yhtä kaukana kulman kyljistä tai niiden jatkeista. Oletus: iste on kulman = puolittajalla Väite: iste on yhtä kaukana kyljistä ja tai niiden jatkeista. Todistus: Jos =, niin väite on tosi, joten olkoon. Tapaus 1: 0 < < 180 Olkoot ja pisteet, joissa kyljille piietyt nomaalit leikkaavat kyljet. Tällöin kks, sillä =, = = 90 ja on yhteinen. Vastinjanoina =, joten on yhtä kaukana kulman kyljistä. 3
Tapaus 2: = 180. Tällöin kulman puolittaja on kylkien määäämän suoan nomaalin joten :n etäisyys kummastakin kyljestä on. Tapaus 4: Tapaus 3: = 0 tai = 360. Selvä, OK! 180 < < 360. Kaavio+kuvio! = 2 = 2 = ja istikulmia = = = 90 on yhteinen sivu = (kks-lause) = Lause 2: Jokainen tason piste, joka on yhtä kaukana kulman kyljistä tai niiden jatkeista, on kulmanpuolittajalla. Todistus: Hajoitustehtävä. Lause, Kolmion kulman puolittajalause: Kolmion kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun vieeisten sivujen suhteessa =. Todistus Kijassa sivu 131 tai kussi 4 vektoit. 4
simekki Kolmion sivujen pituudet ovat 3, 5 ja 6. Laske niiden osien pituudet, joihin suuimman kulman puolittaja jakaa sen sivun. isimmän sivun vastainen kulma on kolmion suuin kulma. Mekitään kysyttyjen osien pituuksia x:llä ja 6 x:llä. 3 Tällöin kulman puolittajalauseen nojalla x 6 x = 3 5 5x = 18 3x 8x = 18 x = 18 8 = 2 1 4 x 6 5 6 x Osien pituudet ovat siis x = 2 1 4 ja 6 x = 6 2 1 4 = 3 3 4. 5