HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt kuvauksia? (a f : X X, f(x = 4 (b g : X X, g(x = x + 1 ( a (c h: Q Q, h = b a b b + a (d τ : R R, τ(x = x. (a Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon. (b Ei. Lähtöjoukon alkio 4 kuvautuu luvulle 5, joka ei kuulu maalijoukkoon. (c Ei. 0 = 0 1 = 0, mutta h( 0 1 = 1 0 1 + 0 = 1 1 = 0 + 0 = h(0. Näin ollen luku 0 ei kuvaudu täsmälleen yhteen alkioon. (d Ei. τ(0 = 0 / R.. Olkoon X = {1,, }. Mitkä seuraavista kuvauksista ovat samoja? f 1 : X R, 1 1, 1 4, 1 9 f : X Q, f (x = 1 x f : X Q, 1 1, 1 4, 1 9 f 4 : N {0} Q, f 4 (x = 1 x f 5 : X Q, f 5 (x = x 10x + x 1. Kuvauksilla pitää olla sama lähtö ja maali, jotta ne voivat olla samat. Huomataan, että ehto toteutuu kuvauksilla f, f ja f 5. Sijoittamalla x:n paikalle lähtöjoukon alkiot 1, ja huomataan, että f (1 = f (1 = f 5 (1, f ( = f ( = f 5 ( ja f ( = f ( = f 5 (. Näin ollen f = f = f 5.. (a Mitä eroa on kuvauksilla f : N R, x 4x x ja g : Q R, x 4x x vai ovatko ne sama kuvaus? (b Valitse sellaiset lähtö X ja maali Y, että sääntö x Y. 7x x x (a Kuvauksilla on eri lähtö ja näin ollen ne ovat eri kuvauksia. (b Esimerkiksi X = {0}, Y = R, jolloin 0 0. on kuvaus X
4. Perustele, mitkä alla olevista koordinaatistoon piirretyistä kuvioista määrittelevät kuvauksen [ 4, ] R. (a (b (c (d (e (f (a Näyttäisi olevan kuvaus. Eli jokaiseen lähtöjoukon alkioon liitetään täsmälleen yksi maalijoukon alkio (joku voi tulkita kuviota niin, että luku -1 kuvautuu kahteen eri lukuun, jolloin se ei ole kuvaus. Molemmat tulkinnat ovat yhtä hyviä. (b Ei ole kuvaus, sillä esim. luku 0 näyttää kuvautuvan lukuun kolmeen eri lukuun. (c Kyllä. Jokaiseen lähtöjoukon alkioon liitetään täsmälleen yksi maalijoukon alkio. (d Ei ole kuvaus, sillä lukuun -1,8 ei liitetä yhtään maalijoukon alkiota. (e Kyllä. Jokaiseen lähtöjoukon alkioon liitetään täsmälleen yksi maalijoukon alkio. (f Ei ole kuvaus, sillä esim. lukuun 0 ei liitetä yhtään maalijoukon alkiota. 5. Olkoon X = {, 9}. Muodosta kaikki mahdolliset kuvaukset X X. f : X X, f( = f(9 =. g : X X, g( = g(9 = 9. h : X X, h( =, h(9 = 9. i : X X, i( = 9, i(9 =.. Olkoon A = {1,, }. Olkoon f : P(A P(A kuvaus, jolle f(x = A\X. Määritä (a f({1} (b f({, } (c f(a (d f(. (a f({1} = A \ {1} = {, }. (b f({, } = A \ {, } = {1}. (c f(a = A \ A =. (d f( = A \ = A.
Tehtäväsarja II Seuraavat tehtävät liittyvät kuvan ja alkukuvan käsitteisiin (luentokalvot 91-108. 7. Olkoon X = {,, {, }} ja Y = {0,,, 9}. Määritellään sääntö f asettamalla, 9 ja {, } 0. (a Perustele, että f on kuvaus X Y. (b Merkitään A = {, }. Määritä f(a, fa sekä f A ja nimeä nämä käsitteet. (a f on kuvaus, sillä se liittää jokaiseen lähtöjoukon X alkioon täsmälleen yhden maalijoukon Y alkion. (b Merkitään siis A = {, }. Tällöin: Alkion A X kuva-alkio on f(a = f({, } = 0. X f Y A = {,} 0 = f(a 9 Joukon A X kuva on fa = { y Y y = f(x jollakin x A } = {, 9}. X f Y {,} A 0 9 fa Joukon A Y alkukuva on f A = { x X f(x A } = {}. X f Y {,} f A 0 9 A
8. Tarkastellaan kuvausta f : Z Z, jolle z z +. Merkitään A = {1,,, 4} ja B = {, 1, 0, 1, }. Määritä (a fa (b fb (c f A (d f B. (a fa = { z Z z = f(a jollakin a A } = { f(a a A } = {f(1, f(, f(, f(4} = {,, 11, 18}. (b fb = { z Z z = f(b jollakin b B } = { f(b b B } = {f(, f( 1, f(0, f(1, f(} = {,,,, } = {,, }. (c f A = { z Z f(z A } = { z Z z + {1,,, 4} } = { z Z z { 1, 0, 1, } } = { 1, 0, 1}. (d f B = { z Z f(z B } = { z Z z + {, 1, 0, 1, } } = { z Z z { 4,,, 1, 0} } = {0}. 9. Olkoon f : R R kuvaus, jolle f(x = x 4 kaikilla x R. Merkitään U = [1, ]. (a Määritä fu. Piirrä koordinaatistoon funktion f kuvaaja sekä joukot U ja fu. (b Määritä f U. Piirrä koordinaatistoon funktion f kuvaaja sekä U ja f U. (a Määritetään fu : (b Määritetään f U : fu = {y R y = f(x jollakin x U} = {f(x x U} = {x 4 1 x } = {x 4 x } = {x 4 x 4 } = {y y } = [, ]. f U = {x R f(x U} = {x R 1 x 4 } = {x R 5 x 7} { = x R 5 x 7 } [ 5 = ], 7. U fu U f U
Tehtäväsarja III Seuraavissa tehtävissä oletetaan, että f : X Y on kuvaus, A, B X ja V, W Y. Kannattaa tutustua luentokalvojen 109-11 esimerkkeihin. 10. (a Osoita, että f[a B] fa fb. (b Osoita vastaesimerkillä, että inkluusio toiseen suuntaan ei päde yleisesti. (a Oletetaan, että y f[a B]. Tällöin y = f(x, missä x A B. Näin ollen x A ja x B. Koska y = f(x ja x A, niin y fa. Toisaalta, y = f(x ja x B, joten y fb. Näin ollen y fa fb. (b Olkoon X = {1, }, Y = {1}, A = {1} ja B = {}, jolloin A, B X. Määritellään kuvaus f : X Y, 1 1 ja 1. Tällöin fa fb = {1} {1} = {1} = f = f[a B] 11. Todista tai kumoa seuraava väite: f [V W] = f V f W. Väite pätee. Todistus: Oletetaan, että x f [V W]. Tällöin f(x V W. Jos f(x V, niin x f V, jolloin x f V f W. Jos f(x W, niin x f W, jolloin x f V f W. Näin ollen x f V f W. Oletetaan, että x f V f W. Jos x f V, niin f(x V, jolloin f(x V W. Näin ollen x f [V W]. Jos x f W, niin f(x W, jolloin f(x V W. Näin ollen x f [V W]. Näin ollen x f [V W]. Tehtäväsarja IV Seuraavassa tehtässä harjoitellaaan II induktioperiaatteen käyttöä. Luentokalvoista 117-1 voi olla apua. 1. Määritellään jono kokonaislukuja a 0, a 1, a,... rekursiivisesti asettamalla a 0 = 1, a 1 = ja a n+1 = a n a n 1, kun n 1. Osoita II induktioperiaatetta käyttäen, että a n = n + 1 kaikilla n N. Alkuaskel: Osoitetaan, että väite pätee kun n = 0: a n = a 0 = 1 = 0 + 1 = n + 1. Induktioaskel: Oletetaan, että jollakin k N pätee a m = m + 1 kaikilla luvuilla m {0, 1,..., k}. Osoitetaan, että väite pätee luvulle k + 1: Jos k = 0, niin a k+1 = a 1 = = 1 + 1 = k + 1 + 1. Jos k 1, niin a k+1 = a k a k 1 i.o = (k + 1 (k 1 + 1 = k + k = k + 1 + 1 Näin ollen induktioperiaatteen nojalla väite pätee kaikilla n N.
Kompleksiluvut Seuraavat tehtävät liittyvät kompleksiluvun napaesitykseen. 1. Viereinen kuva esittää kompleksitasoa (ruudun sivun pituus on 1. Lisäksi tiedetään, että z 7 = + i ja z 8 = + i. Kirjoita kuvaan merkittyjen kompleksilukujen napaesitykset. Tässä tehtävässä voit hyödyntää alla olevia ns. muistikolmioita: z 8 z z 5 z z z 1 z 4 z 7 π 1 π 1 π 4 1 1 z 1 = 5 ( cos π + i sin π z = ( cos 7π 4 + i sin 7π 4 z = ( cos 5π 4 + i sin 5π 4 z 4 = (cos 0 + i sin 0 z 5 = (cos π + i sin π z = cos π + i sin π ( z 7 = cos π + i sin π ( z 8 = cos π + i sin π. 14. Etsi seuraavien kompleksilukujen napaesitys: z 1 = 4 + 4i z = i z = i Lasketaan luvun z 1 = 4 + 4i itseisarvo: z 1 = ( 4 + 4 = = 4. Merkitsemällä luku z 1 kompleksitasoon huomataan, että vaihekulmaksi voidaan valita π π/4 = π/4. Siis z 1 = 4 (cos π 4 + i sin π 4. Lasketaan luvun z = i itseisarvo: z = =. Merkitsemällä luku z kompleksitasoon huomataan, että vaihekulmaksi voidaan valita π/. Siis z = (cos π + i sin π. Lasketaan luvun z = i itseisarvo: z = + ( = 48 = 4. Merkitsemällä luku z kompleksitasoon huomataan, että vaihekulmaksi voidaan valita π π/ = π/. Siis z = 4 (cos π + i sin π.
15. Onko kompleksiluku (sin π + i sin 4π napaesityksessä? Jos ei, niin etsi luvun napaesitys. Kompleksiluvun napaesitys on muotoa z = z (cos ϕ + i sin ϕ. Kompleksiluku (sin π + i sin 4π ei ole napaesityksessä, sillä itseisarvo on negatiivinen, vaihekulma ei ole sama ja kosinin tilalla on sini. Saadaan z = (sin π +i sin 4π = ( i = +i. Lasketaan itseisarvo: z = ( + =. Merkitsemällä luku z kompleksitasoon huomataan, että vaihekulmaksi voidaan valita π/4. Siis z = (cos π + i sin π. 4 4 1. Olkoon z = cos φ + i sin φ, missä φ on jokin reaaliluku. (a Laske z = (cos φ + i sin φ kertomalla sulut auki. (b Kirjoita kompleksiluku z 4 kahdella tavalla: De Moivrén kaavan avulla ja toisaalta kertomalla sulut auki. Tässä a-kohdasta on apua, sillä z 4 = z z. Päättele näistä esityksistä kosinin ja sinin nelinkertaisen kulmien kaavat; ts. päättele miten cos 4φ ja sin 4φ voidaan ilmaista lausekkeiden cos φ ja sin φ avulla. (a z = cos φ + i sin φ cos φ + i sin φ = cos φ sin φ + i sin φ cos φ. (b De Moivrén kaava: Kerrotaan sulut auki: z 4 = cos 4φ + i sin 4φ z 4 = (z = (cos φ sin φ + i sin φ cos φ = (cos φ sin φ + (cos φ sin φ i sin φ cos φ + (i sin φ cos φ = cos 4 φ sin φ cos φ + sin 4 φ + 4i sin φ cos φ 4i sin φ cos φ + i 4 sin φ cos φ = cos 4 φ sin φ cos φ + sin 4 φ + i(4 sin φ cos φ 4 sin φ cos φ Näin ollen ja cos 4φ = cos 4 φ sin φ cos φ + sin 4 φ = (cos φ + sin φ cos φ + (sin φ 8 sin φ cos φ = (cos + sin 8 sin φ cos φ = 1 8 sin φ cos φ sin 4φ = 4 sin φ cos φ 4 sin φ cos φ = 4 sin φ cos φ(cos φ sin φ = 4 sin φ cos φ(1 sin φ (sievennyksissä käytettiin identiteettiä sin φ + cos φ = 1
Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa Seuraavat tehtävät liittyvät binomikertoimiin. 17. Oheisessa kaavakuvassa on näkyvissä Kampin kortteleita välillä Albertinkatu-Yrjönkatu ja Merimiehenkatu-Lönnrotinkatu. Vihje tehtävään sivun alalaidassa 1. Anna kävelee joka arkiaamu kotoaan Merimiehenkadun ja Albertinkadun kulmasta (piste A työpaikalleen joka sijaitsee Vanhan kirkkopuiston kulmalla (piste B. B (a Oletetaan, että Anna kulkee aina kaavakuvassa näkyviä teitä pitkin ja aina jompaan kumpaan nuolilla merkityistä suunnista. Kuinka monta erilaista kävelyreittiä hänellä silloin on pisteestä A pisteeseen B? (b Oletetaan, että Anna poikkeaa joka arkiaamu kahvilassa pisteessä P. Kuinka monta erilaista reittiä hän tällöin voi kulkea? A P (a Kävelyreitit voidaan kuvata 8 alkioisilla bittijonoilla, joissa 1 tarkoittaa, että kävellään yhden ruudun ylöspäin ja 0, että kävellään yhden ruudun oikealle. Näin ollen kysymys on, kuinka monta 8 alkioista bittijonoa on, jossa on 5 ykköstä. Vastaus: ( 8 = 8! 5 5!! = 8 7 = 5 (b Nyt neljästä ensimmäisestä alkiosta kaksi pitää olla ykköstä, viides alkio pitää olla 1 ja kolmesta viimeisestä alkiosta pitää kakis olla ykköstä. Näin ollen reittejä on ( 4 ( = = 18 18. Eräässä työpaikassa kymmenen miestä ja kaksitoista naista harrastaa jalkapalloa. Kuinka monella tavalla heistä voidaan valita yksi jalkapallojoukkue (11 pelaajaa, jos (a joukkueeseen valittavien sukupuolella ei ole väliä? (b joukkueessa on oltava vähintään yksi nainen? (c joukkueessa on oltava vähintään yksi mies? (d joukkueessa on oltava vähintään kuusi naista ja vähintään kolme miestä? 1 Vinkki: bittijono.
(a Joukkueeseen valittavien sukupuolella ei ole väliä, jolloin valitaan työntekijästä 11 hengen joukkue. Tämä valinta voidaan tehdä eri tavalla. ( = 7054 11 (b Joukkuetta ei voida valita niin, etteikö siinä olisi vähintään yksi nainen, sillä miehiä on vain 10 ja joukkueen koko on 11. Joukkue voidaan muodostaa tällä ehdolla siis yhtä monella tavalla kuin kohdassa (a, eli eri tavalla. ( = 7054 11 (c Joukkueessa on oltava vähintään yksi mies tarkoittaa sitä, että emme ota huomioon vaihtoehtoja, joissa joukkueessa ei ole yhtään miestä. Tämä voidaan laskea siten, että vähennetään kaikista mahdollisista joukkueista ne, joissa on pelkästään naisia. Näiden lukumäärä saadaan valitsemalla 1 naisen joukosta 11 naista ja 10 miehen joukosta 0 miestä. ( 11 ( 1 11 ( 10 = 7054 1 = 70540. 0 (d Joukkueessa on oltava vähintään kuusi naista ja vähintään kolme miestä. Eri vaihtoehdot ovat seuraavat: joukkueessa on naista ja 5 miestä, 7 naista ja 4 miestä tai 8 naista ja miestä: ( 1 ( 10 5 + ( 1 7 ( 10 4 + ( ( 1 10 8 19. Kurssikokeeseen osallistuu 150 opiskelijaa. Koe järjestetään (a kahdessa salissa, jossa on 90 ja 0 istumapaikkaa. (b kahdessa salissa, jossa on 90 ja 1 istumapaikkaa. = 848 + 10 + 59400 = 45858. Kuinka monella tavalla opiskelijat voidaan jakaa saleihin näissä tapauksissa? (heidän keskenäisellä järjestyksellään salien sisällä ei ole merkitystä (a Tässä tapauksessa ensimmäiseen saliin menee 90 opiskelijaa ja toiseen loput 0. Eri tapoja jakaa opiskelijat on siis ( 150 4, 10 4 90 (b Tässä tapauksessa ensimmäiseen saliiin menee 90 opiskelijaa ja toiseen 0 tai ensimmäiseen menee 89 ja toiseen 1. Eri tapoja on siis ( 150 + 90 ( 150 1, 14 10 4 89
0. Osoita luentokalvojen lauseen 8 avulla, että kaikilla n N. n k=0 k( n k = 4 n Lauseen 8 mukaan (a + b n = ( n n k=0 k a n k b k. Olkoon a = 1 ja b =, jolloin ( n n n 4 n = (1 + n = 1 n k k = k( n k k=0 k k=0