ESY Q16.2/2006/5 16.11.2006 Espoo Kompleksilukujen käyttö sähkömagneettisia kaavoja johdettaessa Matti Oksama
GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI 16.11.2006 Tekijät Matti Oksama Raportin laji Tutkimusraportti Toimeksiantaja GTK Raportin nimi Kompleksilukujen käyttö sähkömagneettisia kaavoja johdettaessa Tiivistelmä Raportissa käsitellään kompleksilukujen käytön perusteita sähkömagneettisten ilmiöiden tutkimisessa ja kaavojen johdossa. Asiasanat (kohde, menetelmät jne.) Sähkömagnetismi, kompleksiluvut, teoria, mallintaminen Maantieteellinen alue (maa, lääni, kunta, kylä, esiintymä) Karttalehdet Muut tiedot Arkistosarjan nimi Q-raporttisarja Arkistotunnus Q16.2/2006/5 Kokonaissivumäärä 5 Kieli suomi Hinta - Julkisuus julkinen Yksikkö ja vastuualue ESY/geofysiikan linja (va 213) Allekirjoitus/nimen selvennys Hanketunnus 2804003 Allekirjoitus/nimen selvennys
Sivu 2/4 SISÄLLYLUETTELO Johdanto Kentän kompleksiesitys Kenttien suhteet Kirjallisuusluettelo JOHDANTO Tämän raportin tarkoitus on selvittää kompleksilukujen käytön perusteet sähkömagneettisten ilmiöiden tutkimisessa ja kaavojen johdossa. Oikeastaan ainoa näkemäni tyhjentävä esitys on TKK:n sähkömagnetiikan professorin Ismo Lindellin esitys kirjansa alussa Methods for Electromagnetic Field Analysis (ks. viittet). Muut sähkömagnetiikan kirjat sivuuttavat selventävän esityksen. Jo yli sata vuotta on tajuttu, että saamme aikaharmoniselle kentälle matematiikan helpommaksi, jos käytämme kompleksilukuja. KENTÄN KOMPLEKSIESITYS Aikaharmoninen kenttä K on yleisesti muotoa K=Acoswt+Bsinwt, missä isot kirjaimet A ja B ovat vektoreita, ja riippuvat vain paikasta. Kun lisäämme yleiseen aikaharmonisen kentän esitykseen ei-todellista, merkitään se imaginääriseksi, saamme K=Acoswt+Bsinwt + i(-bcoswt+asinwt)= (A i B)exp(iwt). (2 Kun lähteen aikariippuvuuden ajatellaan olevan tätä ns. yleistettyä muotoa exp(iwt), yksinkertaistuvat laskumme lähes aina. Todelliset kentät ovat yleistettyjen kenttien reaaliosia. Laskettaessa differentiaaliyhtälöillä, supistamme kaikissa termeissä esiintyvän exp(iwt)-termin, ja saamme tulokseksi supistetusta differentiaaliyhtälöstä A - ib.
Sivu 3/4 Kompleksikentän ratkaisu on (A i B)exp(iwt). Edellä esitetyn mukaan luonnossa esiintyvä kenttä saadaan, kun otetaan kompleksisen kentän reaaliosa. Kun tiedämme kentän riippuvuuden ajasta, voimme laskea kaikki ajasta riippuvat suureet, luonnollisesti. Vaihtoehtoisesti, jos haluamme yleiseksi aikariippuvuudeksi exp(-iwt), imagimaariosana lisäämme kaavan mukaan K=Acoswt+Bsinwt + i(bcoswt-asinwt)= (A+iB)exp(-iwt). Vastaavasti, kompleksimuotoa käyttäen differentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa, supistamme tekijän exp(-iwt) ja saamme tulokseksi A+iB ja kentäksi (A+iB)exp(-iwt), jonka reaaliosa on todellinen kenttä. Sähkömagnetismin tunnettu osaaja Tai (Tai, 1971) käytti aikariippuvuutta exp(-iwt), Lindell (1992) aas käytti aikariippuvuutta exp(iwt). Molemmat ilmoittivat käyttämänsä yleistetyn aikariippuvuuden tietenkin. KENTTIEN SUHTEET Haluemme usein, lähes aina, mittaussuureeksi ja tulkintasuureeksi kenttien suhteet. Esimerkiksi Sligram-menetelmässä tulkintasuure on (hz href)/href, missä hz mitattu magneettikentän pystykomponentti ja href on valittu referenssikenttä, yleensä tyhjiön pystykomponentti. Sampossa tulkintasuure on hz/hrad, joka on joko itseisarvomerkkien sisällä, tai ei.
Sivu 4/4 Suhdesuureet lasketaan yleistetyllä aikariippuvuudella. Esim. kenttien hz ja hr suhde saadaan muotoon s = [abs(hz)(exp(iwt+ia+ivaihez)]/[abs(hr)exp(iwt+ia+ivaihez)] (1 = abs(hz/hr)exp(i(vaihez-vaiher)) = jokin kompleksiluku. a kuvaa ajanhetkeä, jolloin mittaukset on aloitettu. Suhdesuureet ovat siis laskennollisia. Niitä ei mitata suoraan, vaan ne lasketaan tarvittavista apusuureista. Esim. slingram-menetelmässä href on mitattu johtamattomassa ympäristössä, ja liitetään esitetyllä tavalla totaalikentän mittauksiin. Jos käytämme aikariippuvuutta exp(-iwt) laskiessamme kentän suhteita esitetyllä tavalla, saamme suhteeksi kompleksi-konjugaatin (imaginaariosa on eri merkkinen verrattuna aikariippuvuuteen exp(iwt)). ESIMERKKI Esimerkkinä esitetään kysymys, käyttääkö Sampo dataa käsitellessään exp(iwt) vai exp(-iwt) - aikariippuvuudella johdettuja kaavoja? Tiedetään, että Marco-mallinnusohjelma käyttää exp(iwt) -aikariippuvuutta. Kun Hangon syvän meren päällä mitattuja Sampo-vasteita (Hongisto ja muut, 2004) verrattiin Marcolla saatuihin tuloksiin kompleksimuodossa, saatiin samat reaali- ja imaginäärivasteet. Sampon datankäsittelyohjelmat käyttävät siis exp(iwt) - aikariippuvuudella johdettuja kaavoja. KIRJALLISUUSLUETTELO Ismo V. Lindel, 1992. Methods for Electromagnetic Field Analysis. Oxford. Hongisto, H.; Jokinen, J.; Jokinen, T.; Säävuori, H.; Oksama, M. 2004. Full scale EM modelling on sea ice [Electronic resource]. In: Sharing the Earth : EAGE 66th Conference & Exhibition, Paris, France, 7-10 June 2004 : extended abstracts. Houten: EAGE, 4 p.. Optical disc (CD-ROM). Chen-To Tai, 1971. Dyadic Green's Functions in Electromagnetic Theory. Monograph Series in Electrical Engineering.