Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Kevät 2010 Jukka Maalampi LUENTO 6

Yksinkertainen harmoninen liike yhteys ympyräliikkeeseen energia dynamiikka Värähdysliike Knight Ch 14 Heilahtelut pystysuunnassa ja gravitaation vaikutus Heiluri Vaimennettu värähtely Pakotettu värähtely Resonanssi

Peruskäsitteet ja esimerkkejä

Värähdysliike 1. Värähtely on liikettä, jota tasapainosta poikkeutettu kappale tekee tasapainoasemansa ympärillä 2. Värähtely on jaksollista (samanlaisena säännöllisesti toistuvaa) Jakso T on yhteen värähdykseen kulunut aika. [T ] = s Taajuus f (tai n ) on värähtelyjen määrä sekunnissa. [ f ] = s -1. f 1 T ja T 1 f 1 Hz = 1 värähdys sekunnissa = 1 s -1

Yksinkertainen harmoninen liike Monelle luonnon värähtelylle hyvä malli on yksinkertainen harmoninen värähtely. Esim. jousen värähtely tasapainopituutensa molemmin puolin. Värähtelyä kuvaa sinimuotoinen käyrä (sinivärähtely). Kappaleen maksimipoikkeama tasapainoasemasta on värähtelyn amplitudi A. Kappale liikkuu pisteiden x = -A ja x = A välillä, jos x = 0 on tasapainoasema.

Hetkellinen nopeus on nolla käännepisteissä x = A. Kappaleen nopeus on suurimmillaan, kun kappale ohittaa tasapainopisteen x = 0 m. Poikkeama tasapainosta ajan funktiona on 2 t Argumentti x( t) Acos ( ) radiaaneina T cos 0 cos cos 1 2 1 v dx dt

Määritellään kulmataajuus 2 2 f T [] = rad/s Poikkeama on x( t) Acos( t) v x Nopeus saadaan derivoimalla: ( t) dx dt 2 A 2 t sin( ) sin( t) T T v A max v max Tämä on kappaleen nopeus sen ohittaessa tasapainokohdan x = 0.

Jaksollisuus x ( t T ) Acos( t T ) Acos( t 2 ) x( t) x( t T ) x( t nt ), n 1, 2,... Acos( t) x( t) Kappaleen kiihtyvyys on a x ( t) dv dt 2 Acos( t) Kiihtyvyys saavuttaa minimiarvonsa (= suurimman negatiivisen arvonsa) samassa kohtaa kuin poikkeama x saavuttaa maksimiarvonsa ja päinvastoin. Kiihtyvyyden ja paikan välillä sanotaan olevan p :n vaihe-ero: cos(x - p) = - cos(x). x( t) Acos( t) v x a x ( t) Asin( t) 2 ( t) Acos( t) Nopeuden ja poikkeaman välillä on p/2 :n vaiheero: cos(x - p/2) = sin(x).

Esimerkki Perusesimerkki harmonisesta värähdysliikkeestä, jossa lasketaan taajuus ja maksiminopeus sekä paikka ja nopeus eräällä hetkellä. Ilmaratavaunu on kiinnitetty jouseen, vedetty 20.0 cm tasapainoasemastaan oikealle ja vapautettu hetkellä t = 0 s. Vaunu alkaa värähdellä tasapainoaseman ympärillä tehden 15 värähdystä 10.0 s aikana. a. Mikä on värähtelyn taajuus? b. Mikä on kappaleen suurin nopeus? c. Missä kappale on hetkellä t = 0.800 s? Malli Kappale suorittaa yksinkertaista harmonista värähtylyä. Ratkaisu a. Värähtelyn taajuus on f 15 värähdystä 10.0 s 1.50 värähdystä/s 1.50 Hz. Värähdysaika on siten T 1/ f 0.667 s.

b. Värähtelyn taajuus on A = 0.200 m. Täten maksiminopeus on v max 2A T 2 (0.200 m) 0.667 s 1.88 m/s. c. Kappale lähtee liikkeelle pisteestä x = +A hetkellä t = 0 s. Kappaleen paikka hetkellä t = 0.800 s on x 2 t Acos T 2 (0.800 s) (0.200 m)cos 0.667 s (0.200 m)cos(7.54 rad) 0.0625 m 6.25 cm. Kappaleen nopeus tuolla hetkellä on v x v max 2 t sin T 2 (0.800 s) (1.88 m/s)sin 0.667 s (1.88 m/s)sin(7.54 rad) 1.79 m/s.

Liike on hetkellä 0.800 s jatkunut hieman yli yhden jakson verran. Kappale on 6.25 cm tasapaikoaseman oikealla puolella ja liikkuu vasemmalle nopeudella 179 cm/s. (Huomaa, että kulmat olivat radiaaneja.)

Yhteys ympyräliikkeeseen Kun ympyräliike projisioidaan tasoon, se on yksinkertaista harmonista liikettä. Kuvassa pallon varjo heilahtelee tasolla samalla tavalla kuin jousen päässä oleva kappale. Jos ympyräliike tapahtuu xy-tasossa vastapäivään, radan säde on A ja radan keskipiste on origo, on kappaleen paikan x- komponentti x A cos d dt Kulmanopeus on, joten t d ( t) (0) 0 0 ( t) t 0 t 0 dt t

Argumettia t 0 kutsutaan oskillaation vaiheeksi, ja 0 on vaihevakio. Vaihevakio kertoo sen, missä vaiheessa oskillaatio on nollahetkellä t = 0 s eli oskillaation alkuehdon. Jos 0 = 0 rad, kappaleen poikkeama on hetkellä t = 0 s maksimissaan, x(0) = A ja nopeus on v(0) = 0 m/s.

Esimerkki Esimerkki liittyy alkuehtoihin. Kappaleen poikkeama ja liikesuunta hetkellä t = 0 s on annettu, ja värähtelyn amplitudi ja jakso tunnetaan. Pitää selvittää kappaleen toisena hetkenä. Jouseen kiinnitetty kappale värähtelee niin, että värähtelyn jakso on 0.80 s ja amplitudi on 10 cm. Hetkellä t = 0 s kappale on 5.0 cm tasapainoaseman vasemmalla puolella ja liikkuu vasemmalle. Mikä on kappaleen paikka ja liikkeen suunta hetkellä t = 2.0 s? Malli Kappaleen liike on yksinkertaista harmonista värähtelyä.

Ratkaisu Vaihevakio f 0 saadaan selville alkuehdosta x 0 = -5.0 cm = Acos f 0 : Koska kappale on hetkellä t = 0 s liikkeessä vasemmalle, se on ympyrärataesityksessä ympyrän yläosassa eli vaihevakio f 0 on välillä (0,p). Täten vaihevakion arvo on f 0 = 2p/3 rad. Kulmataajuus on Kappaleen paikka hetkellä t = 2.0 s on siten

Kappale on hetkellä t = 2.0 s siis 5.0 cm tasapainoaseman oikealla puolella. Mutta mihin suuntaan se liikkuu? Se saadaan selville helpoiten laskemalla kappaleen nopeus tuolla hetkellä: Jaa tämä piillä. Kappale liikkuu oikealle. Toinen tapa saada selville kappaleen liikesuunta on määrittää kappaleen vaihe hetkellä t = 2.0 s ja päätellä liikkeen suunta siitä. Edellä saatiin, että vaihe hetkellä t = 2.0 s 17.8 rad eli piin monikertoina ilmaistuna 4p vastaa kahta täyttä kierrosta, joten kappale on kolmannella kierroksella ja asemassa, jonka vaihekulma on 1.67p rad. Tämä on enemmän kuin p, joten ympyrärataesityksessä kappale on ympyrän alaosassa eli vaiheessa, jossa liike on oikealle.

Important Concepts

Chapter 14. Clicker Questions

An object moves with simple harmonic motion. If the amplitude and the period are both doubled, the object s maximum speed is A. quartered. B. halved. C. unchanged. D. doubled. E. quadrupled.

The figure shows four oscillators at t = 0. Which one has the phase constant