Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Samankaltaiset tiedostot
Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006

1 Tensoriavaruuksista..

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

(1.1) Ae j = a k,j e k.

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III LINEAR ALGEBRA PART III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

Ortogonaalisen kannan etsiminen

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

Matriisit. Määritelmä 1 Reaaliluvuista a ij, missä i = 1,..., k ja j = 1,..., n, muodostettua kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =

Lineaarialgebra II P

2.8. Kannanvaihto R n :ssä

Koodausteoria, Kesä 2014

1 Kannat ja kannanvaihto

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Käänteismatriisi 1 / 14

Determinantti 1 / 30

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

Yleiset lineaarimuunnokset

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

Lineaariset Lien ryhmät / Ratkaisut 6 D 381 klo

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

Avaruuden R n aliavaruus

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Insinöörimatematiikka D

Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Insinöörimatematiikka D

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

Kanta ja dimensio 1 / 23

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Ennakkotehtävän ratkaisu

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

Alternoivat multilineaarimuodot

Insinöörimatematiikka D

3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

Insinöörimatematiikka D

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

4. LINEAARIKUVAUKSET

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio

Johdatus lineaarialgebraan

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI

sitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n

Differentiaalimuodot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D

Singulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi

Kanta ja Kannan-vaihto

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:

1. Normi ja sisätulo

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.

Esimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0).

2 / :03

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Lineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi

Matemaattinen Analyysi / kertaus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104

Matriisilaskenta. Harjoitusten 3 ratkaisut (Kevät 2019) 1. Olkoot AB = ja 2. Osoitetaan, että matriisi B on matriisin A käänteismatriisi.

Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Transkriptio:

Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä merkitään h T 1 T 2 T m 51 Jos I k, 1 k m, on avaruuden V k identiteettioperaattori, niin yhtälön 514 nojalla I 1 I 2 I m on avaruuden V 1 V 2 V m identiteettioperaattori Lause 520 Olkoon S i L U i, V i ja T i L V i, W i, missä 1 i m Tällöin T 1 T 2 T m S 1 S 2 S m 515 T 1 S 1 T 2 S 2 T m S m Seuraus 521 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Tällöin T 1 T 2 T m on kääntyvä, jos ja vain jos T i on kääntyvä kaikille 1 i m Todistus Jos jokainen kuvauksista T i on kääntyvä, niin jos yhtälössä 515 merkitään U i W i ja S i T 1 i, niin saadaan T 1 1 T 1 2 T 1 m T1 T 2 T m 1 516 Kääntäen, oletetaan, että kuvaus T 1 T 2 T m L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m on bijektio Tällöin, jos v i 0, kun 1 i m, niin Lauseen 515 nojalla T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m T 1 T 2 T m v 1 v 2 v m 0, joten T i v i 0 ja kuvaus T i on ei-singulaarinen kaikilla 1 i m Vertaamalla dimensioita nähdään, että T i on surjektio ja Ongelmana on, miten erotetaan toisistaan T 1 T 2 T m L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m T 1 T 2 T m L V 1, W 1 L V 2, W 2 L V m, W m 1

Lause 522 Vektoriavaruus on malli tensoritulolle L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m L V 1, W 1 L V 2, W 2 L V m, W m, missä {T 1 T 2 T m T i L V i, W i } on hajottavien tensorien jukko Todistus Olkoon T 1 T 2 T m kuvausten T i indusoima kuvaus ja merkitään väliaikaisesti avaruuden L V 1, W 1 L V 2, W 2 L V m, W m hajottavaa tensoria T 1 T 2 T m Tarkastellaan kuvaa 55 L 1 L 2 L m L 1 L 2 L m ψ KUVA 55 h L missä L i L V i, W i, 1 i m, L L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ja ψ T 1, T 2,, T m T 1 T 2 T m Koska ei voida olettaa, että T 1 T 2 T m on hajottava tensori, niin on näytettävä että kuvaus ψ on multilineaarinen: Nyt koska T 1 ct i + dt i T m v 1 v 2 v m T 1 v 1 ct i v i + dt i v i T m v m, ja koska vektoreiden T k v k tensoritulo on multilineaarinen, on myös yhtälön vasen puoli multilineaarinen Koska ψ on multilineaarinen on UFP:n nojalla olemassa yksikäsitteinen lineaarikuvaus h jolle pätee h : L 1 L 2 L m L, h T 1 T 2 T m T 1 T 2 T m On vielä näytettävä, että h on kääntyvä Olkoot n i dim V i ja k i dim W i, 1 i m Tällöin dim L i n i k i, joten dim L 1 L 2 L m ni k i Koska myös dim L n i k i, niin riittää osoittaa, että h on surjektio Olkoon {v ij 1 j n i } avaruuden V i ja vastaavasti {w ij 1 j k i } avaruuden W i kanta, missä 1 i m Jos S on mielivaltainen, mutta kiinteä avaruuden L lineaarikuvaus, niin Lauseen 512 nojalla on olemassa kompleksiset kertoimet siten, että S v 1j1 v 2j2 v mjm i c i1,,i m,j 1,,j m w 1i1 w 2i2 w mim, 2

missä 1 j i n i ja 1 i m, missä i k 1 k 2 i 1 1 i 2 1 k m i m 1 Määritellään Tjr i : V i W i asettamalla kantavektoreille Tjr i v it δ j,t w ir, missä 1 j, t n i, 1 r k i, 1 i m ja laajentamalla kuvaus lineaarisesti koko avaruuteen Tällöin S c i1,,i m,t 1,,t m Tt 1 1 i 1 Tt 2 2 i 2 Tt m m i m, 517 i t missä t n 1 n 2 t 1 1 t 2 1 n m t m 1 Yhtälö 517 nähdään oikeaksi, kun sovelletaan molempia puolia tuloon v 1j1 v 2j2 v mjm Koska S on muotoa T 1 T 2 T m olevien termien lineaarikombinaatio, S on kuvauksen h arvojoukossa ja h on surjektio Seuraavassa tarkastellaan indusoitujen lineaarikuvausten esittämistä matriisien avulla Määritelmä 523 Olkoon B i {e ij 1 j n i } avaruuden V i järjestetty kanta, 1 i m Sanotaan, että avaruuden V 1 V 2 V m kanta B {e 1j1 e 2j2 e mjm 1 j i n i, 1 i m} 518 on kantojen B 1,, B m indusoima kanta Indusoidussa kannassa B on sanakirjajärjestys, eli alkio e 1i1 e 2i2 e mim edeltää alkiota e 1j1 e 2j2 e mjm, jos ensimmäinen nollasta eroava erotus j t i t on positiivinen sanakir- Esimerkki 524 e 1r e 2s e 3t edeltää termiä e 1i e 2j e 3k jajärjestyksessä, jos 1 r < i; tai jos 2 r i ja s < j; tai jos 3 r i, s j ja t < k Lause 525 Olkoon {v ij 1 j n i } avaruuden V i järjestetty kanta ja {w ij 1 j k i } avaruuden W i järjestetty kanta, kun 1 i m Olkoon E {v 1j1 v 2j2 v mjm 1 j i n i, 1 i m} ja F {w 1j1 w 2j2 w mjm 1 j i k i, 1 i m} 3

avaruuksien V 1 V 2 V m ja W 1 W 2 W m järjestetyt indusoidut kannat Olkoon T p L V p, W p lineaarikuvaus, jolle k p T p v pj a p ij wpi, 1 j n p, jolloin kuvauksen T p matriisiesitys kantojen {v pr 1 r n p } ja {w pr 1 r k pi } suhteen on A p a p ij Tällöin indusoidun kuvauksen T1 T 2 T m matriisiesityksessä kantojen E ja F suhteen i 1, i 2,, i m, j 1, j 2,, j m - alkio on a p i p j p 519 Todistus p1 T 1 T 2 T m v 1j1 v 2j2 v mjm T 1 v 1j1 T 2 v 2j2 T m v mjm i a 1 i 1 j 1 a 2 i 2 j 2 a m i m j m w 1i1 w 2i2 w mim Määritelmä 526 Olkoon A p a p ij kp n p -matriisi, 1 p m Matriisien A p Kroneckerin tulo A 1 A 2 A m on k p n p -matriisi, jonka rivit indeksoidaan joukon {i 1, i 2,, i m 1 i p k p } sanakirjajärjestyksen ja sarakkeet joukon {j 1, j 2,, j m 1 j p n p } sanakirjajärjestyksen mukaan Tämän matriisin i 1, i 2,, i m, j 1, j 2,, j m -alkio on a p i p j p p1 Avaruudet L V i, W i ja C ki,n i ovat isomorfiset, joten Lauseen 522 avulla nähdään, etetä C Q k i, Q n i Ck1,n 1 C k2,n 2 C km,n m 520 Seuraus 527 Olkoon kuvauksen T i matriisiesitys vastaavien indusoitujen kantojen suhteen A i Tällöin kuvauksen T 1 T 2 T m matriisi on A 1 A 2 A m Todistus Kirjoitetaan Lause 525 Määritelmän 528 merkintöjä käyttäen Esimerkki 528 Olkoon A 1 A a ij C p,q ja A 2 B b rs C m,n Määritelmän 526 nojalla matriisin A B C pm,qn i, r, j, s-alkio on a ij b rs Sanakirjajärjestyksessä i 1, r 1 edeltää alkiota i 2, r 2, jos i 1 < i 2 tai jos i 1 i 2 ja r 1 < r 2 Siispä matriisin A B m ensimmäisen rivin indeksit ovat 1, 1, 1, 2,, 1, m Vastaavasti ensimmäisillä n sarakkeella on indekseinä 1, 1, 1, 2,, 1, n Olkoon L matriisin A B m ensimmäisestä 4

rivistä ja n ensimmäisestä sarakkeesta koostuva alimatriisi Tällöin matriisin L r, s-alkio on matriisin A B 1, r, 1, s-alkio eli a 11 b rs Siispä L a 11 B Toisaalta, jos M on alimatriisi, jossa on matriisin A B m ensimmäisen rivin sarkakkeet sarakkeesta n + 1 sarakkeeseen 2n, niin matriisin M r, s-alkio on matriisin A B 1, r, 2, s-alkio eli a 12 b rs ja M a 12 B Yleisesti A B on ositettu matriisi a 11 B a 12 B a 1q B a 21 B a 22 B a 2q B A B 521 a p1 B a p2 B a pq B Esimerkki 529 Olkoon edellisessä esimerkissä m p ja n q, jolloin A, B C p,q Matriisien A ja B Hadamarin tulo tai Schurin tulo on A B a ij b ij, eli p q-matriisi, jonka i, j-alkio on a ij b ij Erityisesti A B on matriisin A B pääalimatriisi, joka on riveillä 1, 1, 2, 2,, p, p ja sarakkeilla 1, 1, 2, 2,, q, q Esimerkki 530 Olkoot P p ij ja Q q ij kompleksisia n n- matriiseja Määritellään T L C n,n, C n,n, T A P AQ ja lasketaan kuvauksen T matriisiesitys kannan B {E ij 1 i, j n} suhteen, missä E ij on n n-matriisi, jossa ainoa nollasta eroava alkio on 1 paikassa i, j Määritelmän nojalla saadaan T E rs P E rs Q n p ir E is Q n n i,j1 p ir n q sj E ij j1 p ir q sj E ij, joten kuvauksen T matriisin kannan B suhteen i, j, r, s-alkio on p ir q sj, eli täsmälleen i, j, r, s-alkio tulossa P Q T Olkoon B i {e ij 1 j n i } sisätuloavaruuden V i, 1 i m ortonormaali kanta Tällöin on olemassa yksikäsitteinen sisätulo avaruudessa V 1 V 2 V m, siten että indusoitu kanta B {e 1j1 e 2j2 e mjm 1 j i n i, 1 i m} on ortonormaali kyseisen sisätulon suhteen Vektoreiden v n 1 n 2 j 1 1 j 2 1 n m j m 1 a j 1, j 2,, j m e 1j1 e 2j2 e mjm 5

ja w sisätulo on n 1 u, v n 2 j 1 1 j 2 1 n 1 n 2 j 1 1 j 2 1 n m j m 1 b j 1, j 2,, j m e 1j1 e 2j2 e mjm n m j m 1 a j 1, j 2,, j m b j 1, j 2,, j m 522 Kaavan 522 määrittelemä sisätulo näyttää riippuvan ortonormaalien kantojen B 1, B 2,,B m valinnasta Seuraavaksi osoitetaan, ettei näin ole Lause 531 Olkoon, i avaruudn V i sisätulo, 1 i m Jos, on yhtälön 522 määräämä sisätulo, niin tällöin v 1 v 2 v m, w 1 w 2 w m v i, w i V i ja 1 i m v i, w i i, 523 Todistus Olkoon B i {e ij 1 j n i } kaavan 522 johdossa käytetty avaruuden V i ortonormaali kanta Olkoon n i n i v i a ij e ij ja w i b ij e ij, j1 1 i m Lauseen 514 nojalla j1 ja v 1 v 2 v m n 1 n 2 j 1 1 j 2 1 n m j m 1 m a tjt e 1j1 e 2j2 e mjm t1 w 1 w 2 w m n 1 n 2 n m m b tjt e 1j1 e 2j2 e mjm, j 1 1 j 2 1 j m 1 t1 6

joten yhtälön 522 nojalla v 1 v 2 v m, w 1 w 2 w m m m a tjt b tjt j t1 t1 m a tjt b tjt j t1 n i a ij b ij j1 n i a ij b ij e ij, e ij i j1 n i n i a ij e ij, b ik e ij j1 v i, w i i k1 Koska hajottavat tensorit virittävät avaruuden V 1 V 2 V m, kaavan 522 määrittelemä sisätulo määräytyy täysin ja yksikäsitteisesti kaavasta 523 Erityisesti se ei riipu valitusta kannasta Koska yhtälö 523 on yhtälöä 522 yksinkertaisempi otetaan se määritelmäksi Määritelmä 532 Olkoot V 1, V 2,,V m sisätuloavaruuksia ja merkitään niissä määriteltyjä sisätuloja, i lyhyesti,, 1 i m Avaruuden V 1 V 2 V m yksikäsitteistä sisätuloa, joka toteuttaa yhtälön v 1 v 2 v m, w 1 w 2 w m i v i, w i, v i, w i V i ja 1 i m kutsutaan indusoiduksi sisätuloksi Seuraus 533 Olkoot V 1, V 2,, V m sisätuloavaruuksia ja olkoon T i L V i, V i, 1 i m Tällöin indusoidun sisätulon suhteen pätee T 1 T 2 T m T 1 T 2 T m 524 Todistus Koska hajottavat tensorit virittävät avaruuden V 1 V 2 V m ja koska adjungaatti on yksikäsitteinen, riittää todistaa tulos hajottaville 7

tensoreille T 1 T 2 T m v 1 v 2 v m, w 1 w 2 w m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m, w 1 w 2 w m T i v i, w i i v i, Ti w i i v 1 v 2 v m, T1 w 1 T2 w 2 Tm w m v 1 v 2 v m, T1 T2 Tm w 1 w 2 w m Tarkastellaan vielä tilannetta, jossa V 1 V 2 V m Otetaan käyttöön lyhennysmerkintä Määritelmä 534 Avaruuden V m:s tensoripotenssi jossa tekijöinä on m kappaletta avaruuksia V Siis V m on tensoritulo, V 0 C V 1 V V m V 1 V 2 V m, missä V 1 V 2 V m V Koska avaruuksilla V i on sama kanta, tarvitaan yksi indeksi vähemmän Merkitään avaruuden V kantaa B {e 1,, e n } Tällöin {e j1 e j2 e jm 1 j i n, 1 i m} on avaruuden V m kanta ja avaruuden V m yleinen alkio on v n n j 1 1 j 2 1 n j m 1 c j 1, j 2,, j m e j1 e j2 e jm 525 Määritelmässä 120 merkittiin funktioita joukosta {1, 2,, m} joukkoon {1, 2,, n} tunnuksella Γ m,n Jos samaistetaan j 1, j 2,, j m funktion α Γ m,n α i j i, 1 i m kanssa, voidaan yhtälö 525 kirjoittaa yksinkertaisemmassa muodossa v c α e α1 e α2 e αm 526 α Γ m,n Määritelmä 535 Jos v 1, v 2,, v m V ja α Γ m,n, niin määritellään v α v α1 v α2 v αm 8

Jos B {e 1,, e n } on avaruuden V järjestetty kanta, niin Määritelmän 535 mukaista avaruuden V m indusoitua kantaa merkitään { e α α Γ m,n } 527 ja kanta on järjestetty sanakirjajärjestykseen alkioiden α Γ m,n indeksien mukaan Yhtälön 526 avaruuden V m yleisen tensorin merkintä yksinkertaistuu edellen muotoon v c α e α 528 α Γ m,n Esimerkki 536 Olkoot A r a r ij ja Br b r ij kompleksisia n n- matriiseja 1 r m Lauseen 520 ja Seurauksen 527 nojalla saadaan A 1 A 2 A m B 1 B 2 B m A 1 B 1 A 2 B 2 A m B m Todistetaan väite myös suoraan, ilman edellä mainittuja tuloksia Matriisin A 1 A 2 A m B 1 B 2 B m α, β-alkio on matriisitulon määritelmän nojalla m m γ Γ m,n γ Γ m,n r1 n r1 m j1 a r αrγr r1 r1 a r αrγr br γrβr a r αrj br jβr A r B r αrβr, r1 b r γrβr mikä on matriisitulon A 1 B 1 A 2 B 2 A m B m α, β-alkio Lause 537 Olkoon A i C n n, 1 i m Jos A i 0, kun 1 i m, niin A 1 A 2 A m 0 Todistus Olkoon A i B i B i, 1 i m Tällöin A 1 A 2 A m B 1B 1 B 2B 2 B mb m B 1 B 2 B m B 1 B 2 B m B 1 B 2 B m B 1 B 2 B m 9

Seuraus 538 Olkoot B i ja C i positiivisesti semidefiniittejä hermiittisiä matriiseja Oletetaan, että A i B i + C i, 1 i m Tällöin A 1 A 2 A m B 1 B 2 B m + C 1 C 2 C m Todistus Koska Kroneckerin tulo on multilineaarinen, niin A 1 A 2 A m B 1 + C 1 B 2 + C 2 B m + C m B 1 B 2 B m + +C 1 C 2 C m, missä merkintä tarkoittaa muiden muotoa X 1 X 2 X m, missä X i on joko B i tai C i olevien termien summaa Summassa on 2 m 2 termiä Lauseen 537 nojalla jokainen näistä termeistä on positiivisesti semidefiniitti ja hermiittinen Seuraus 539 Olkoon V sisätuloavaruus Jos S i, T i L V, V ovat positiivisesti semidefiniittejä, kun 1 i m, niin S 1 S 2 S m ja T 1 T 2 T m ovat positiivisesti semidefiniittejä ja lisäksi S 1 + T 1 S 2 + T 2 S m + T m S 1 S 2 S m + T 1 T 2 T m Seuraus 539 on Seurauksen 538 operaattorimuotoinen versio Tulos voidaan muotoilla myös seuraavasti: Olkoon V sisätuloavaruus, jonka dimenso on n Olkoon T L V, V positiivisesti semidefiniitti Spektraalilauseen nojalla avaruudella V on ortonormaali kanta {u 1,, u n }, joka koostuu operaattorin T ominaisvektoreista, joille pätee T u i λ i u i ja λ i 0, 1 i n Jos r on positiivinen reaaliluku, määritellään T r 0 asettamalla kantavektoreille T r u i λ r i u i, 1 i n ja laajentamalla määrittely lineaarisesti koko avaruuteen Vertaa tätä yhtälöön 216 Seuraava on erikoistapaus yleisemmästä tuloksesta, joka on todistettu lähteissä [Lieb 1973] ja [Ando 1979]: Lause 540 Olkoon V sisätuloavaruus, jonka dimensio on n Olkoot S i ja T i positiivisesti semidefiniittejä hermiittisiä operaattoreita avaruudessa V, 1 i n ja olkoon 0 θ 1 Tällöin θs 1 + 1 θ T 1 1/n θs 2 + 1 θ T 2 1/n θs n + 1 θ T n 1/n θ S 1/n 1 S 1/n 2 Sn 1/n + 1 θ T 1/n 1 T 1/n 2 Tn 1/n Määritelmä 541 Olkoon T L V, V Tällöin merkinnällä T m L V m, V m tarkoitetaan operaattoria T T T Vastaavasti matriisin A a ij 10

C n n m:s Kroneckerin potenssi on matriisi A m A A A m kertaa Toisin sanoen A m on n m n m -matriisi, jonka rivien ja sarakkeiden indekseinä ovat Γ m,n Matriisin A m α, β-alkio on A m m a α,β αtβt 530 Kun yhdistetään Lause 540 ja Määritelmä 541 saadaan: Jos A ja B ovat positiivisesti semidefiniitttejä hermiittisiä n n-matriiseja ja 0 θ 1, niin θa + 1 θ B 1/n n θ A 1/n n + 1 θ B 1/n n t1 11