Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A lasketaan kaikki tehtävää. Taulukkokirjaa saa käyttää koko kokeessa. A. a) Sievennä. b) Ratkaise yhtälö ( x)( x ). c) Laske dx. x T06
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / A. a) Määritä viereisen polynomifunktion kuvaajan perusteella b) Määritä funktion c) Ratkaise yhtälö ) funktion derivaatan nollakohdat ) graafisesti derivaatan arvo kohdassa x. f ( x) x x. x x määrittelyjoukko. T06
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / A. a) Kartan mittakaava on : 000. Tontin pinta-ala on 000 m. Mikä on tontin pinta-ala tällä kartalla? x x b) Määritä lim. x x c) Asun hinta nousi ensin 0 % ja laski sitten 0 %. Kuinka monta prosenttia asun hinta muuttui yhteensä? T06
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / A. a) Määritä ympyrän Y: x y x y 6 8 keskipiste ja säde. (p) b) Osoita, että piste A (, ) on ympyrällä Y. (p) c) Määritä ympyrälle Y pisteeseen A piirretyn tangentin yhtälö ja piirrä tangentin kuvaaja. (p) T06
Preliminäärikoe Tehtävät B-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / B-osio. Laske tehtävistä B5-B9 enintään kolme. B5. Kolmion ABC kärkipisteet ovat A (,, ), B (0,,) ja C (,, ). a) Laske sivun AB pituus. (p) b) Määritä vektorien AC ja BC välinen kulma asteen kymmenesosan tarkkuudella. (p) c) Onko kolmio suorakulmainen? Perustele! (p) B6. Normaalista 5 kortin pakasta on poimittu seuraavat kortit pois: Hertta 0, hertta 9 sekä pata 9 ja pata 8. Nämä neljä korttia sekoitetaan hyvin ja asetetaan satunnaiseen järjestykseen kuvapuoli alaspäin pöydälle. Näistä korteista valitaan umpimähkään kaksi. Satunnaismuuttuja X ilmoittaa valittujen korttien arvon summan. a) Esitä pylväsdiagrammina tämän satunnaismuuttujan jakauma. b) Määritä satunnaismuuttujan X keskihajonta. B7. Olkoon funktio f ( x) x 8x 6x x 60. a) Määritä funktion ääriarvokohdat. Esitä perusteluksi kulkukaavio. (p) b) Määritä perustellen kumpi funktion arvoista 9 9 f ( 0 ) vai f ( 0 ) on suurempi? (p) c) Piirrä funktion kuvaajaa valaiseva kuvio. (+p) B8. Määritä käyrälle f ( x) ln x kohtaan x piirretyn tangentin T yhtälö suorituksen välivaiheet esittäen. Osoita, että tangentin T kuvaaja on aina käyrän kuvaajan yläpuolella sivuamispistettä lukuun ottamatta. B9. a) Millä muuttujan x arvoilla lukujono ln( x),ln(),ln( x ),... on aritmeettinen? Esitä suoritukseesi välivaiheita. b) Millä muuttujan x arvoilla lukujono cos x,, sin x,... on geometrinen? Esitä suoritukseesi välivaiheita. T05
Preliminäärikoe Tehtävät B-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / B-osio. Laske tehtävistä B0-B enintään kolme. B0. Suorakulmion kaksi kärkeä ovat suoralla x pisteissä A (, a) ja B (, a), missä a 0. Toiset kaksi muuta kärkeä ovat pisteissä C ja D käyrällä x y y-akselin oikealla puolella. a) Piirrä huolellinen kuvio tilanteesta. (p) b) Suorakulmio ABCD pyörähtää suoran x ympäri. Muodosta määrätyn integraalin avulla lauseke, jonka avulla syntyvän pyörähdyskappaleen tilavuus V voidaan laskea. (p) c) Määritä luku a siten, että tilavuus V on suurin mahdollinen. Perustele tuloksesi esim. derivaatan avulla. (p) B. Lentokone on etäisyydellä h maapallon pinnan yläpuolella. Osoita, että siihen maasta näkyvän osan pinta-ala saadaan lausekkeesta rh A, missä r on maapallon säde. h r Laske tehtävässä B joko tehtävä I tai II (EI MOLEMPIA!) B/I. Osoita, että luku n n n 9n positiivisilla kokonaisluvuilla n. on jaollinen luvulla kahdeksan kaikilla B/II. Käyrä y x rajoittaa x-akselin kanssa alueen A välillä [,]. a) Laske alueen A pinta-alan tarkka arvo välivaiheet esittäen. (p) b) Laske alueen pinta-alan arvio käyttäen Simpsonin menetelmää ja neljää osaväliä. (p) c) Mikä on arvion prosentuaalinen virhe? (p) x B. a) Osoita, että funktiolla f ( x), x on käänteisfunktio f. x b) Määritä käänteisfunktion derivaatta kohdassa x. c) Osoita, että funktion f kuvaaja ja käänteisfunktion kuvaaja eivät kohtaa toisiaan. f T05
Preliminäärikoe RATKAISUT PItkä matematiikka kevät 06 Sivu / 5 A. a) Sievennä. b) Ratkaise yhtälö ( x)( x ). c) Laske dx. x a) Ratkaisu: 9 7 6 6 6 7 7 7 6 9 b) Ratkaisu: ( x)( x ) x x x x x 6 0 x ( ) ( ) ( 6) 5 5 (p) (+p) (p) 5 5 x tai x (+p) c) Ratkaisu: dx x dx / x x (p) / x (+p) Vastaus: a) 7 9 b) x tai x c) V06
Preliminäärikoe RATKAISUT PItkä matematiikka kevät 06 Sivu / 5 A. a) Määritä viereisen polynomifunktion kuvaajan perusteella b) Määritä funktion c) Ratkaise yhtälö ) funktion derivaatan nollakohdat ) graafisesti derivaatan arvo kohdassa x. f ( x) x x. x x määrittelyjoukko. Ratkaisu: a) ) Derivaatan nollakohdat ovat ne kohdat, missä tangentti on vaakasuora eli tangentin kulmakerroin on nolla. Nollakohdat ovat x tai x. (p) ) Piirretään kohtaan x tangentti ja luetaan kuvasta tangentin kulmakerroin. Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo annetussa kohdassa. Siis 8 f '( ) (+p) V06
Preliminäärikoe RATKAISUT PItkä matematiikka kevät 06 Sivu / 5 b) Funktio x x 0 f ( x) x x on määritelty, kun juurrettava on positiivinen tai nolla. Siis. (p) Nollakohdat: xx 0 x( x) 0 x 0 tai x 0 x0 tai x Kyseessä on alaspäin aukeava paraabeli, joten f ( x) x x x x 0 määrittelyjoukko on siis 0 x, kun 0x. Funktion. (+p) c) x x x x x x x Vastaus: a) ) x tai x ) f '( ) b) 0x c) x (p) (+p) A. a) Kartan mittakaava on : 000. Tontin pinta-ala on 000 m. Mikä on tontin pinta-ala tällä kartalla? x x b) Määritä lim. x x c) Asun hinta nousi ensin 0 % ja laski sitten 0 %. Kuinka monta prosenttia asun hinta muuttui yhteensä? Ratkaisu: a) cm kartalla vastaa 0 m todellisuudessa. Täten cm vastaa (0 m) 00 m. Tästä kertomalla luvulla 5 saadaan, että 5cm vastaa 000 m. (p) (+p) b) x x x( x ) x( x)( x) lim lim lim x x x x x ( x) (p) lim( x( x)) ( ) (+p) x V06
Preliminäärikoe RATKAISUT PItkä matematiikka kevät 06 Sivu / 5 c) Olkoon asun alkuperäinen hinta a. 0 0 Tällöin uusi hinta on ( )( ) 0,99. 00 00 a a (p) Joten hinta on alentunut %. (+p) Vastaus: a) 5cm b) c) Alentunut % A. a) Määritä ympyrän Y: x y x y 6 8 keskipiste ja säde. (p) b) Osoita, että piste A (, ) on ympyrällä Y. (p) c) Määritä ympyrälle Y pisteeseen A piirretyn tangentin yhtälö ja piirrä tangentin kuvaaja. (p) Ratkaisu: a) x x y y 6 9 9 8 ( x ) ( y ). (p) Täten ympyrän keskipiste on K (, ) ja säde r. (+p) b) Saadaan ( ) ( ). ( tuli sama tulos kuin rivillä ) (p) c) Pisteiden KA (ympyrän säde) välisen janan kulmakerroin y ( ) kr x Koska ympyrän tangentti on kohtisuorassa sädettä vastaan, niin k tang. k Suoran yhtälö on muotoa y y0 k( x x0) eli y ( x ), josta y x 6. (p) Kuvaaja (p) r (p) Vastaus: a) Ympyrän keskipiste on A (, ) ja säde r c) y x 6 V06
Preliminäärikoe RATKAISUT PItkä matematiikka kevät 06 Sivu 5 / 5 B-osio. Laske tehtävistä B5-B9 enintään kolme. B5. Kolmion ABC kärkipisteet ovat A (,, ), B (0,,) ja C (,, ). a) Laske sivun AB pituuden tarkka arvo (p) b) Määritä vektorien AC ja BC välinen kulma asteen kymmenesosan tarkkuudella. (p) c) Onko kolmio suorakulmainen? Perustele! (p) Ratkaisu: a) AB (0 ) ( ) ( ). (p) b) AC ( ) i ( ) j ( ) k i j k, BC ( 0) i ( ( )) j ( ) k i 5 j k, AC ( ) 6 BC ( ) 5 ( ) 5 (+p) AC BC ( ) ( ) 5 ( ) (+p) AC BC AC BC cos AC, BC, joten AC BC 6 5, cos ( ) 7,9768... 7,0 6 5 (+p) c) Tutkitaan, toteutuuko Pythagoraan lause. Pisin sivu on BC, joten sen pitäisi olla hypotenuusa. AC AB BC 6 5 6 5 9 5 Epätosi, joten Pythagoraan lause ei toteudu. Täten kolmio ABC ei voi olla suorakulmainen. (On myös muita tapoja ratkaista tehtävä) (p) (p) Vastaus: a) b) 7,0 c) ei ole B6. Normaalista 5 kortin pakasta on poimittu seuraavat kortit pois: Hertta 0, hertta 9 sekä pata 9 ja pata 8. Nämä neljä korttia sekoitetaan hyvin ja asetetaan satunnaiseen järjestykseen kuvapuoli alaspäin pöydälle. Näistä korteista valitaan umpimähkään kaksi. Satunnaismuuttuja X ilmoittaa valittujen korttien arvon summan. a) Esitä pylväsdiagrammina tämän satunnaismuuttujan jakauma. b) Määritä satunnaismuuttujan X keskihajonta. Ratkaisu: a) Mahdolliset summat ovat 9, 8 ja 7. V06
Preliminäärikoe RATKAISUT PItkä matematiikka kevät 06 Sivu 6 / 5 Saadaan jakauma Summa Todennäköisyys 9 P( 9+0 tai 0+9 )= 8 P( 0+8 tai 8+0 tai 9+9 )= 7 P( 9+8 tai 8+9 )= Yhteensä eli OK Oikea idea (p) Taulukko oikein (p) Diagrammi (p) b) Odotusarvo 9 8 7 8 (Voidaan päätellä myös symmetrian avulla) Keskihajonta [(9 8) (8 8) (7 8) ] 0,8 Idea 6 Vastaus (kelpaa myös (p) (+p) ) (+p) Vastaus: 6 0,8 B7. Olkoon funktio f ( x) x 8x 6x x 60. a) Määritä funktion ääriarvokohdat. Esitä perusteluksi kulkukaavio. (p) b) Määritä perustellen kumpi funktion arvoista 9 9 f ( 0 ) vai f ( 0 ) on suurempi? (p) c) Piirrä funktion kuvaajaa valaiseva kuvio. (p) Ratkaisu: a) f x x x x x ( ) 8 6 60 f ( x) x x x. (p) V06
Preliminäärikoe RATKAISUT PItkä matematiikka kevät 06 Sivu 7 / 5 x x x 0 x ( x ) ( x ) 0 x ( x ) 0 x 0 tai x 0 x x 0 tai x tai x x tai x (+p) x, ylöspäin aukeava paraabeli + + + + - - - - - - + + + + + + + + x, - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + nouseva suora f ( x) - - - - - - + + + + - - - - - - + + + + f( x ) min max min Minimikohdat ovat x ja x, maksimikohta on x. (+p) b) Annetut muuttujan arvot ovat lähellä lukua, mutta sen oikealla puolella. Tällä välillä, funktio f ( x) x 8x 6x x 60 on aidosti vähenevä, (p) 9 9 9 9 joten f ( 0 ) on suurempi kuin f ( 0 ), sillä 0 0. (+p) c) (p) Vastaus: a) Minimikohdat ovat x ja x =, maksimikohta on x = b) f 9 ( 0 ) B8. Määritä käyrälle f ( x) ln x kohtaan x piirretyn tangentin T yhtälö suorituksen välivaiheet esittäen. Osoita, että tangentin T kuvaaja on aina käyrän kuvaajan yläpuolella sivuamispistettä lukuun ottamatta. Ratkaisu: ) Määrittelyjoukko x 0 x. (p) f ( x) ln x ln( x ) ln( x ), x V06
Preliminäärikoe RATKAISUT PItkä matematiikka kevät 06 Sivu 8 / 5 Derivaatta f ( x) k f () Tangentin T yhtälö on muotoa tan g x x (+p) 5 y ( ln( )) ( x ) y x (+p) ) Väite: x 5 ln x, x Tutkitaan erotusfunktiota E( x) x ln x, x (p) x ln( x ), x x x Derivaatta E( x), x x ( x ) ( x ) ( x ) Derivaatan nollakohta x (on määrittelyjoukossa). (+p) E(,5) ( negat.arvo) ja E() ( posit.arvo) Saadaan oheinen kulkukaavio: E ( x) Ex ( ) Abs.min Täten E() 0 on erotusfunktion pienin arvo. 5 Siten Ex ( ) 0 eli x ln x, x. Yhtä suuruus tapahtuu vain kohdassa x. Vastaus: Tangentin yhtälö 5 y x V06
Preliminäärikoe RATKAISUT PItkä matematiikka kevät 06 Sivu 9 / 5 B9. a) Millä muuttujan x arvoilla lukujono ln( x),ln(),ln( x ),... on aritmeettinen? Esitä suoritukseesi välivaiheita. b) Millä muuttujan x arvoilla lukujono cos x,, sin x,... on geometrinen? Esitä suoritukseesi välivaiheita. Ratkaisu: a) Lukujono ln( x),ln(),ln( x),... on aritmeettinen, joten peräkkäisten jäsenten erotus (ns. differenssi) on vakio. ln ln x ln( x) ln, x 0 (p) x ln ln x ln ln x x x x x x (+p) Koska x 0, niin vain x käy. (+p) b) Lukujono cos x,, sin x,... on geometrinen, joten peräkkäisten jäsenten suhde on vakio. sin x cos x sin xcos x (p) sin x ( p) x n : x n, n (+p) (Kaikki nämä kulmat kelpaavat, sillä tällöin sin x 0 ja cos x 0 eli nimittäjä ei tule nollaksi). Vastaus: a) x b) x n, n V06
Preliminäärikoe RATKAISUT PItkä matematiikka kevät 06 Sivu 0 / 5 B-osio. Laske tehtävistä B0-B enintään kolme. B0. Suorakulmion kaksi kärkeä ovat suoralla x pisteissä A (, a) ja B (, a), missä a 0. Toiset kaksi muuta kärkeä ovat pisteissä C ja D käyrällä x y y-akselin oikealla puolella. a) Piirrä huolellinen kuvio tilanteesta. (p) b) Suorakulmio ABCD pyörähtää suoran x ympäri. Muodosta määrätyn integraalin avulla lauseke, jonka avulla syntyvän pyörähdyskappaleen tilavuus V voidaan laskea. (p) c) Määritä luku a siten, että tilavuus V on suurin mahdollinen. Perustele tuloksesi esimerkiksi derivaatan avulla. (p) Ratkaisu: a) b) Piste C a a D a a (, ) ja (, ). Täten pyörähdyssäde r DA a a ( ) 5 (p) Tilavuus a a 0 (p) (5 a ) dy (5 a ) dy symmetrian nojalla. (+p) a a ( Symmetriaa ei vaadita) 5 c) V (5 a ) dy (5 a ) / y (5a 0 a a ) (p) 0 0 a Funktion määrittelyjoukko on avoin väli 0a, sillä annettu paraabeli leikkaa y-akselin kohdassa y. V( a) (5 0a 5 a ),0 a Merkitään b a, joten lauseke 0 (5 6 b b ) 0 ( b )( b 5) Täten V( a) 0 ( a )( a 5),0 a V a a a a a ( ) 0 tai 5 tai 5 V06
Preliminäärikoe RATKAISUT PItkä matematiikka kevät 06 Sivu / 5 Näistä vain a on määrittelyjoukossa. (+p) V(0,5),9...eli posit. arvo ja V(,5) 07,99... eli negat.arvo niin saadaan oheinen kulkukaavio. 0 V (a) + -- V(a) Abs.max Siis a antaa suurimman tilavuuden. (+p) Vastaus: b) V (5a 0a 5 a ),0 a c) a (laskimen käyttö sallitaan koko c) kohdassa) B. Lentokone on etäisyydellä h maapallon pinnan yläpuolella. Osoita, että siihen maasta näkyvän osan pinta-ala saadaan lausekkeesta rh A, missä r on maapallon säde. h r Ratkaisu: Huolellinen kuvio ja selkeät merkinnät. (p+p) Olkoon x pallokalotin korkeus ED x. Kolmiot OAD ja OBA ovat yhdenmuotoiset (kk), sillä DOA AOB on yhteinen ja D A 90. (perustelu oltava ) (+p) Saadaan verranto OA OD r r x, josta OB OA h r r (+p) hr Edelleen r hr r xh xr, josta x h r (+p) hr r h Pallokalotin pinta-ala A rh rx r h r h r (+p) V06
Preliminäärikoe RATKAISUT PItkä matematiikka kevät 06 Sivu / 5 Laske tehtävässä B joko tehtävä I tai II (EI MOLEMPIA!) B/I. Osoita, että luku n n n 9n positiivisilla kokonaisluvuilla n. Ratkaisu: Oletus: Olkoon n on positiivinen kokonaisluku. Väite: Luku n n n 9n on jaollinen luvulla kahdeksan kaikilla on jaollinen luvulla 8. V06
Preliminäärikoe RATKAISUT PItkä matematiikka kevät 06 Sivu / 5 Todistus: Muokataan lukuan n n 9n. Nyt n n n 9n n n n n n n n n n n n n n n (p) Koska n, n, n ja n ovat peräkkäiset kokonaisluvut, niin jokin niistä on jaollinen luvulla. Koska n ja n ovat peräkkäiset kokonaisluvut, niin toinen niistä on jaollinen luvulla. Luku ( n)( n ) on triviaalisti kokonaisluku. (+p) (+p) Täten luku nn n n n n n Täten väite on todistettu. on jaollinen luvulla 8. (+p) B/II. Käyrä y x rajoittaa x-akselin kanssa alueen A välillä [,]. a) Laske alueen A pinta-alan tarkka arvo välivaiheet esittäen. (p) b) Laske alueen pinta-alan arvio käyttäen Simpsonin menetelmää ja neljää osaväliä. (p) c) Mikä on arvion prosentuaalinen virhe? (p) Ratkaisu: a) Koska x 0 aina välillä [,], niin käyrän kuvaaja on x-akselin yläpuolella, joten pinta-ala saadaan määrätystä integraalista. ( ) dx x x dx (p) / x,67999 t. (+p) Integraalifunktio oltava b) Osavälin pituus h. ( ja hyvä aloitus) (+p) Simpsonin arvion mukainen pinta-ala A [ f () f ( ) f ( ) f ( ) f ()]. (+p), 68798 l (+p) c) Suhteellinen virhe l t 00 % 0,08097059 % 0,0%. t (+p) V06
Preliminäärikoe RATKAISUT PItkä matematiikka kevät 06 Sivu / 5 Vastaus: a) b) Likiarvo l,68798 c) 0,0 % x B. a) Osoita, että funktiolla f ( x), x on käänteisfunktio f. x b) Määritä käänteisfunktion derivaatta kohdassa. c) Osoita, että funktion f kuvaaja ja käänteisfunktion kuvaajat eivät kohtaa toisiaan. f Ratkaisu: a) x f ( x), x x x(x ) (x ) x x 6x 6x x f '( x) (x ) (x ) (x ) Osamäärä on nolla, jos osoittaja on nolla. Siis D 6 56 0, ei nollakohtia. Kyseessä on ylöspäin aukeava paraabeli, joten 6x x 0. 6x x 0 kaikilla x. Ja koska (x ) 0 kaikilla x, niin f( x) 0 kaikilla x. Täten funktio f( x ) on aidosti kasvava ja käänteisfunktio on siten olemassa. (p) (+p) b) x x x x x 0 x(x ) 0 x x 0 tai x Koska x, niin vain juuri x 0 on mahdollinen. (+p) Täten ( f ) ( ). (+p) f (0) 60 0 (0 ) c) Jos funktio ja suora y x eivät leikkaa tai sivua toisiaan, niin funktion f kuvaaja ja käänteisfunktion f kuvaaja eivät kohtaa toisiaan. (p) V06
Preliminäärikoe RATKAISUT PItkä matematiikka kevät 06 Sivu 5 / 5 x x x x x 0. Diskriminantti D 0. Yhtälöllä ei ole ratkaisua, joten f( x ) ja suora y = x eivät leikkaa tai sivua toisiaan. Täten funktion f kuvaaja ja käänteisfunktion f kuvaaja eivät voi kohdata toisiaan. (+p) Vastaus: b) ( f ) ( ) V06