766328A Termofysiikka Harjoitus no. 2, ratkaisut (syyslukukausi 204). Kun sylinterissä oleva n moolia ideaalikaasua laajenee reversiibelissä prosessissa kolminkertaiseen tilavuuteen 3,lämpötilamuuttuuprosessinaikanasiten,ettäyhtälö on koko ajan voimassa. = k (a) Kaasun lämpötila saadaan ideaalikaasun tilanyhtälön avulla, = T T =. Loppulämpötila T 2 saadaan, kun tähän sijoitetaan annettu paineen yhtälö ja lopputilavuus =3, (b) Kaasun tekemä työ T 2 = (k)(3 ) = (k3)(3 ) = 9(k) = 9 =9T. W on määritelmän mukaan muotoa d. Kun tähän sijoitetaan annettu paineen lauseke, saadaan kaasun tekemäksi työksi Z 3 Z = k k d 3 = 3. 2 k d = 2 k (3) 2 = 2 k8 =4k 2 =4 T =4 =4T.
2. Kaasua, jota on n =mol, puristetaanisotermisestilämpötilassat =0,0 =283,5 K tilavuudesta =0,0 l tilavuuteen =0,200 l. Kaasuun tehty työ on määritelmän mukaan ( ) d. Käyttämällä kaasuvakiolle arvoa R =8,34472 J/(mol K) saadaan (a) ideaalikaasulle sen tilanyhtälöstä paineeksi = T/, jolloin T d. = T ln = T (ln ln ) = T ln =mol 8,34472 Jmol =9209,85786 J 9,2 kj K 283,5 K ln 0,0 l 0,200 l (b) argonille van der Waalsin tilanyhtälöstä paineeksi = T/( bn) an 2 /,missä parametri a =0,40 Jm 3 /mol 2 ja b =32,0cm 3 /mol, jolloin = T T bn an 2 d d + an2 bn d.. = T ln( bn)+an 2 bn = T ln + an 2 bn =mol 8,34472 Jmol K 283,5 K 0 2 m 3 3,2 0 5 m 3 mol mol ln 2 0 4 m 3 3,2 0 5 m 3 mol mol +0,40 Jm 3 mol 2 ( mol) 2 0 2 m 3 2 0 4 m 3 =8926,776327 J 8,93 kj. 3. Sylinterissä olevaa kaasua jäähdytetään ja puristetaan tilavuudesta =,70 m 3 tilavuuteen =,20 m 3 siten, että paine =2,30 0 5 a koko prosessin ajan. Sisäinen energia muuttuu tällöin määrällä E =,40 0 5 J. 2
(a) akiopaineessa kaasuun tehty työ on d = d = ( ) =2,30 0 5 a (,70 m 3,20 m 3 ) =5kJ. (b) Termodynamiikan. pääsäännön mukaan suljetussa systeemissä siirtynyt lämpömäärä Q saadaan sisäisen energian muutoksen ja työn avulla, E = Q + W ) Q = E W =,40 0 5 J 5 0 3 J = 255 kj. Koska Q on systeemiin siirtyvä lämpömäärä ja saatu tulos on negatiivinen, prosessissa siirtyy lämpöä 255 kj systeemistä ympäristöön. (c) Koska prosessi on isobaarinen, kaasun noudattamalla tilanyhtälöllä ei ole vaikutusta laskettuun työn määrään eikä siten lämpömääräänkään. 4. Yksiatomisen, van der Waalsin tilanyhtälöä + an2 ( bn) =T noudattavan kaasun sisäinen energia voidaan esittää muodossa E(T, )= 3 2 T an 2. Säiliössä, jonka tilavuus =l,onlämpötilassat =300K ainemäärä n =4mol argonia, jolle parametrit a =0,40 Jm 3 /mol 2 ja b =32,0 cm 3 /mol. Kaasuvakio R =8,34472 J/(mol K). (a) aine on van der Waalsin tilanyhtälöstä ratkaistuna = T bn an 2 = 4 mol 8,34472 Jmol K 300 K 0 3 m 3 3,2 0 5 m 3 mol 4 mol =920933,945 a 9,20 Ma. (b) Sijoittamalla lukuarvot sisäisen energian lausekkeeseen saadaan 0,40 Jm 3 mol 2 (4 mol) 2 0 3 m 3 2 E = 3 2 4 mol 8,34472 Jmol K 300 K 0,40 Jm3 mol 2 (4 mol) 2 =4966,0496 J 2240 J =2726,0496 J 2,7 kj, 0 3 m 3 3
mistä nähdään atomien liike- ja potentiaalienergian osuuksien olevan E kin 4,97 kj ja E pot 2,24 kj. (c) Lämpötilan muutos T = T 2 T loppu- ja alkutilojen välillä saadaan tarkastelemalla kaasun sisäisen energian muutosta. Koska laajeneminen tilavuudesta =l tilavuuteen =00l tapahtuu adiabaattisesti, lämpöä ei siirry systeemin ja ympäristön välillä, jolloin Q =0.Toisaaltavapaassalaajentumisessaeitehdämyöskääntyötä,joten0. Tällöin kaasun sisäinen energia ei muutu, jolloin E = E 2.Sijoittamallasisäisenenergian lauseke alku- ja lopputiloissa saadaan 3 2 T an 2 = 3 2 T an 2 2 ) 3 2 (T 2 T )=an 2 ) T = 2an 3R = 2 0,40 Jm3 mol 2 4 mol 3 8,34472 Jmol K = 44,4526226 K 44,5. Kaasu siis jäähtyy laajetessaan noin 44,5. 0 m 3 0 3 m 3 (d) Laajenemisen jälkeinen paine saadaan kohdan (a) tapaan sijoittamalla lopputilan lukuarvot (T 2 = T + T )vanderwaalsintilanyhtälöstäsaatavaanpaineeseen, = T 2 bn an 2 2 = 4 mol 8,34472 Jmol K (300 K 44,4526226 K) 0 m 3 3,2 0 5 m 3 mol 4 mol 0,40 Jm 3 mol 2 (4 mol) 2 =84874,5902 a 84,9 ka. 0 m 3 2 (e) Laajenemisen jälkeinen sisäinen energia saadaan kohdan (b) tapaan sijoittamalla lopputilan lukuarvot sisäisen energian lausekkeeseen, E = 3 2 4 mol 8,34472 Jmol K (300 K 44,4526226 K) 0,40 Jm 3 mol 2 (4 mol) 2 0 m 3 =2748,4496 J 22,4 J =2726,0496 J 2,7 kj, mistä nähdään atomien liike- ja potentiaalienergian osuuksien olevan E kin 2,7 kj ja E pot 22,4 J. Sisäinenenergiaeisiiskokonaisuudessaanmuuttunut,muttaE kin ja E pot muuttuivat. 5. Ideaalikaasun adiabaattista laajenemista voidaan tarkastella peräkkäisten isobaarisen ja isokoorisen prosessin avulla. 4
(a) Ensin tilavuus muuttuu isobaarisesti. Tällöin kaasun lämpötila on ideaalikaasun tilanyhtälön mukaan = T Lämpötilan muutos dt on siten T =. dt = d. (b) Systeemiin tuotu lämpömäärä d 0 Q on lämpökapasiteetin (vakiopaineessa) määritelmän mukaan d 0 Q C p = dt p d 0 Q = C p dt. Kun tähän sijoitetaan saatu dt :n lauseke, saadaan d 0 Q = C p d. (c) Systeemiin tuodaan isokoorisesti lämpömäärä d 0 Q. Tästä seuraa lämpötilan muutos, joka on lämpökapasiteetin (vakiotilavuudessa) määritelmän mukaan d 0 Q C = dt 2 dt 2 = d0 Q. C Sijoittamalla tähän edellisessä kohdassa laskettu lämpömäärä, saadaan dt 2 = C d C = d. (d) Lämpötilan kokonaismuutos dt on siten, kun tilavuuden kokonaismuutos d = d, dt = dt + dt 2 = d =( ) T d. d Saatu lämpötilan kokonaismuutos noudattaa luentojen yhtälöä (2.22). 6. Luennoissa on johdettu ideaalikaasun reversiibelissä ja adiabaattisessa laajenemisessa lämpötilan ja tilavuuden välille relaatio (2.24) T = a, 5
missä a on vakio. Kun yksiatomista klassista ideaalikaasua ( =5/3) sisältävä suljettu säiliö laajenee adiabaattisesti ja reversiibelisti äärettömän suureen tilavuuteen, lämpötila on T = a lim! ( ) (5/3 ) = a lim! = a lim /3! =0K. Ideaalikaasun sisäinen energia on ainoastaan lämpötilan funktio, E = E(T ), jotenkun T! 0 K, myös E! 0 J. Adiabaattiselle ja reversiibelille tilavuuden muutokselle on johdettu paineen ja tilavuuden välille relaatio (2.27) = b, missä b on vakio. Ratkaisemalla edellisestä ja sijoittamalla tämä kokonaistyön lausekkeeseen, saadaan kaasun tekemäksi työksi Z d = b = = Z d b. + b 0 + = b +. + + Sijoittamalla vakio b = ja =5/3, sekäkäyttämälläideaalikaasuntilanyhtälöä,saadaan kaasun tekemä työ muotoon + = = 3 2 = 3 2 T. Kun kyseessä on adiabaattinen prosessi, sisäisen energian muutos on. pääsäännön avulla E =0+W = 3 2 T. 6
Toisaalta E = E 2 E = E,kunE 2 =0. Tällöin sisäisen energian lauseke lämpötilan T funktiona on muotoa E = 3 2 T ) E = 3 2 T = 3 2 NkT, koska sisäinen energia riippuu ainoastaan lämpötilasta. 7. (a) Kohoavan ilman laajeneminen on lähes adiabaattista, joten se voidaan rinnastaa ideaalikaasun reversiibeliin prosessiin. Tällöin kohoavan ilman lämpötila voidaan ilmoittaa luennoilla johdetun lämpötilan ja tilavuuden välisen relaation (2.24) avulla muodossa T = a, missä a on vakio. Luennoilla johdetun ideaalikaasun reversiibeliä ja adiabaattista tilavuuden muutosta kuvaava -tason käyrä, adiabaatti (2.27) on muotoa ( )= b ) = b / b ) =, missä b on vakio. Sijoittamalla nämä edellä olevaan lämpötilan lausekkeeseen, saadaan missä c on vakio. T = a b b / = ab (/ ) / = c ( )/, (b) Derivoimalla (a)-kohdassa saatua lämpötilan lauseketta korkeuden suhteen ketjusäännön avulla, saadaan dt dy = dt d d dy = c ( ) d dy = c ( ) d dy. Ratkaisemalla lämpötilan lausekkeesta vakio c, c = 7 T ( )/
ja sijoittamalla tämä gradientin lausekkeeseen, saadaan dt dy = T ( ) d ( )/ dy = ( ) T ( )/ / = ( ) T d dy. d dy (c) Korvaamalla ilmanpaineen gradientti lämpötilan gradientti tulee muotoon g :lla ja käyttämällä ideaalikaasun tilanyhtälöä, dt dy = ( ) T d dy = g ( )T T = g ( ) = g ( ) m = ( )gm m. R Nähdään, että dt/dy on vakio, joten lämpötilan muutos on lineaarinen korkeuden funktio. (d) Sijoittamalla M m =29,0 g/mol, =,40, R =8,34472 J/(mol K) ja g =9,8 m/s 2, saadaan vakion dt/dy numeroarvoksi dt dy = (,40 ) 9,8 m/s2 29,0 0 3 kg/mol,40 8,34472 J/(mol K) = 9,77606962 0 3 K/m. Lämpötila on 5 km:n korkeudella siten T = 9,77606962 0 3 /m 5000 m +20 = 28,8803 29. 8