LUKUJONOT JA TRIGONOMETRISET FUNKTIOT LUKION MATEMATIIKASSA

LAURI JUDIN LUKUJONOT JA TRIGONOMETRISET FUNKTIOT LUKION MATEMATIIKASSA DIPLOMITYÖ Aihe hyväksytty tiedekunnan kokouksessa 03.09.2008 Tarkastajat: professori Sirkka-Liisa Eriksson FL Terhi Kaarakka

II ALKUSANAT Tämä työ on tehty Tampereen teknillisen yliopiston matematiikan laitoksella. Työn aihe kiinnosti, koska lukion oppikirjoista ei juuri ole tehty tutkimusta. Valitsin vertailun kohteiksi kirjat, jotka käsittelevät lukujonoja ja trigonometrisiä funktioita. Ne eivät olleet omina lukioaikoinani samoissa kansissa ja oli mielenkiintoista tutkia, miten nämä kaksi aihetta on kirjoissa esitetty. Kiitän työni ohjauksesta ja antoisista keskusteluista professori Sirkka-Liisa Erikssonia. Kiitos kuuluu myös työni toiselle tarkastajalle, lehtori Terhi Kaarakalle. Matematiikan laitosta kiitän erinomaisesta opetuksesta ja monipuolisesta kurssitarjonnasta. Lopuksi haluan kiittää Sonjaa ja vanhempiani arvokkaasta tuesta. Tampereella 2009 Lauri Judin

III TIIVISTELMÄ TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknis-luonnontieteellinen koulutusohjelma Matematiikan laitos Lauri Judin: Lukujonot ja trigonometriset funktiot lukion matematiikassa Diplomityö, 86 sivua Tarkastajat: professori Sirkka-Liisa Eriksson, FL Terhi Kaarakka Marraskuu 2009 Lukion matematiikka ja etenkin pitkä matematiikka on haastavaa. Hyvä oppikirja ja asiantunteva opettaja voivat auttaa mielenkiinnon herättämisessä, jos sitä ei vielä ole yläkoulusta lukioon siirryttäessä. Jotta matematiikkaa voi sisäistää oppiaineena, pitää myös olla tietty sisäinen innostus asiaa kohtaan. Asioihin perehtyminen, ongelmien ratkaiseminen ja silkka onnistumisen ilon tavoitteleminen ovat matematiikan opiskelun mielekkäitä puolia. Lukion pitkässä matematiikassa oppikirjalla on tärkeä rooli. Koska aikaa lähiopetukseen ei ole rajattomasti, olisi kirjan oltava itseopiskelua varten riittävän johdonmukainen ja matemaattisen ajattelutavan syntyä tukeva. Suomessa tehdyt oppikirjat ovat pääosin hyvin tehtyjä ja ne on laadittu opetussuunnitelman tavoitteet mielessä pitäen. Kirjasarjoissa on kuitenkin eroja ja erot saattavat olla suuria. On mahdotonta tehdä täydellistä oppikirjaa, koska tekijöillä on eri näkemyksiä asioista ja jokainen ihminen omaksuu asioita eri tavoin. Mikä sopii yhdelle, ei välttämättä sovi toiselle. Tämä tutkimus on tehty vertailemalla puolueettomasti viittä lukion pitkän matematiikan oppikirjaa kolmelta eri kustantajalta. Kirjojen nimet ovat Pitkä matematiikka 9, Laudatur 9, Calculus 5, Pyramidi 9 ja Matematiikan taito 9. Kirjat käsittelevät lukujonoja ja trigonometrisiä funktioita. Tarkoituksena on selvittää, mitä oppikirjat sisältävät ja minkälaisia valmiuksia oppikirjat tarjoavat lukiolaisille jatko-opintoja ajatellen.

IV ABSTRACT TAMPERE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Master s Degree Programme in Science and Engineering Institute of Mathematics Lauri Judin: Sequences and trigonometric functions in upper secondary school mathematics Master of Science Thesis, 86 pages Examiner: Professor Sirkka-Liisa Eriksson, FL Terhi Kaarakka November 2009 Mathematics and especially higher level mathematics is a demanding subject in upper secondary school. A good textbook and a skilful teacher can help in raising motivation, if a student doesn t yet possess it when moving from upper level of comprehensive school to upper secondary school. One must have a certain inner enthusiasm towards mathematics, so that it could be internalized as a subject. Making oneself familiar with it, solving problems and experiencing occasional success are the pleasant sides of studying mathematics. A textbook plays an important role in upper secondary school mathematics. There is not enough time to teach students one at a time. This could easily pose a problem. A mathematics textbook should be consistent enough to be studied by oneself and at the same time it should be capable of nurturing the mathematical way of thinking. Textbooks made in Finland are mainly well written and they have been prepared keeping in mind the objectives of the Finnish curriculum. There are, however, differencies in the series of textbooks and these differencies can be large. It is impossible to write a perfect textbook, because the people responsible for the books have different outlook on things and also because people adopt things very differently. What suits one person, might not suit others. This thesis is based on the unbiased comparison between five mathematics textbooks from three different publishers. The names of the books are Pitkä matematiikka 9, Laudatur 9, Calculus 5, Pyramidi 9 and Matematiikan taito 9. The contents of the textbooks are sequences and trigonometric functions. The intention is to find out what the books contain and what kind of abilities do they offer to students concerning their further studies.

V SISÄLLYS 1. Johdanto..................................... 1 2. Matematiikka lukiossa.............................. 2 2.1 Pitkä ja lyhyt matematiikka........................ 3 2.2 Opetussuunnitelma............................. 3 2.3 MAA9-kurssin tavoitteet.......................... 4 3. Trigonometrian historia............................. 5 3.1 Kreikkalainen matematiikka........................ 5 3.2 Hipparkhos................................. 6 3.3 Menelaos Aleksandrialainen........................ 7 3.4 Ptolemaios ja Almagest.......................... 7 3.5 Trigonometriset funktiot.......................... 10 4. Lukujonojen historia............................... 11 4.1 Fibonacci.................................. 11 4.1.1 Parittomien lukujen ja neliölukujen yhteys............. 14 4.1.2 Fibonaccin lukujonon yleisen termin lauseke............ 16 4.1.3 Kokonaislukujen Zeckendorf-esitys.................. 18 4.1.4 Ketjumurtoluvut............................ 18 4.2 Édouard Lucas............................... 19 5. Kirjojen kannet.................................. 21 6. Kirjojen yleisilmeet............................... 23 7. Kirjojen johdanto-osuudet............................ 25 8. Kirjojen rakenne................................. 29 9. Kirjojen teoriaosuudet.............................. 31 9.1 Trigonometriset funktiot.......................... 31 9.1.1 Suunnattu kulma ja radiaani..................... 31 9.1.2 Sini-, kosini- ja tangenttifunktio................... 35 9.1.3 Määrittely- ja arvojoukot....................... 40 9.1.4 Trigonometriset yhtälöt........................ 42 9.1.5 Trigonometristen funktioiden derivaatat............... 51 9.2 Lukujonot.................................. 58 9.2.1 Lukujonon määritelmä........................ 58 9.2.2 Aritmeettinen summa......................... 67 9.2.3 Geometrinen summa......................... 73 10.Harjoitustehtävät................................ 78 11.Esimerkit.................................... 80 12.Lisämateriaalit................................. 81 13. Yhteenveto ja päätelmiä............................ 84

Lähteet....................................... 85 VI

1 1. JOHDANTO Monenlaisia asioita arvioidaan ja vertaillaan julkisesti. Tekniikan Maailma testaa autoja ja autokorjaamoja,tietokone tulostimia ja digikameroita, Kuluttaja pölynimureita, päivä- ja aikakauslehdet taidenäyttelyjä, konsertteja ja kirjoja. On kuitenkin tärkeitä kirjoja, joista ei juuri missään mitään kirjoiteta: koulukirjat. [21, s. 4] Koulut valitsevat käyttöön tulevat oppikirjat ja valinnanmahdollisuus on melko suuri, mutta mikään ei estä opiskelijaa käyttämästä opinnoissaan toista kirjaa, jos se sopii hänelle paremmin. Opiskelu ei todennäköisesti ole kovin mieluisaa, jos joutuu opiskelemaan vaikeaselkoisesta ja jopa ulkoasultaan luotaantyöntävästä kirjasta. Vertailtavina kirjoina on viisi lukion pitkän matematiikan pakollisen kurssin, Trigonometriset funktiot ja lukujonot (MAA9), oppikirjaa. Kurssi suoritetaan tavallisesti lukion viimeisen vuoden aikana. Kirjojen nimet ovat Pitkä matematiikka 9 [15], Laudatur 9 [12], Lukion Calculus 5 [14], Pyramidi 9 [18] ja Matematiikan taito 9 [11]. Kirjojen vertailu suoritetaan pääosin tässä järjestyksessä. Vertailun kohteina olevat kirjat eroavat toisistaan merkintä-, lähestymis- ja esitystavoissa. Koska tässä tekstissä viitataan vertailtaviin oppikirjoihin usein, on syytä ottaa käyttöön lyhennysmerkinnät. Kirjaan Pitkä matematiikka 9 viitatessa käytetään lyhennystä PM, kirjaan Laudatur 9 viitatessa lyhennystä L ja kirjaan Lukion Calculus 5 viitatessa lyhennystä C. Kirjaan Pyramidi 9 viitatessa kirjoitetaan P ja kirjaan Matematiikan taito 9 viitatessa kirjoitetaan MT. Jokaisen kirjoitustavan jälkeen merkitään myös sivunumero ja merkinnät esiintyvät suluissa, esimerkiksi (L, s. 7) tarkoittaa kirjan Laudatur 9 sivua 7. Kirjat käsittelevät Calculusta lukuunottamatta kahta aihetta. Kirjat on jaettu siten, että kirjasta noin puolet käsittelee trigonometrisiä funktioita ja toinen puoli lukujonoja. Lukion Calculus 5 sisältää vielä integraalilaskennan osuuden, joka käsitellään lukion viimeisellä pakollisella kurssilla Integraalilaskenta (MAA10).

2 2. MATEMATIIKKA LUKIOSSA Lukion pitkä matematiikka käsittää kymmenen pakollista kurssia sekä kolme syventävää kurssia. Koulukohtaisia kursseja on usein syventävinä kursseina enemmänkin. Lukion lyhyt matematiikka sisältää kuusi pakollista kurssia sekä kaksi syventävää kurssia laajennettuna mahdollisilla koulukohtaisilla kursseilla. Lukion matematiikka, mukaan lukien pitkä matematiikka, on lopulta pelkkä raapaisu pintaa. Lähtökohtana opetuksessa on se, että totutaan pitkäjänteiseen työhön ja hahmotetaan sekä ymmärretään kokonaisuuksia. Ei ole välttämätöntä oppia kaikkea täydellisesti. Lukiossa tehdään pohjatyö siihen, että opitun tiedon päälle voidaan tulevaisuudessa rakentaa uutta tietoa esimerkiksi jatko-opintoja ajatellen. Lukiossa tarjotaan opiskelijoille jonkinlainen käsitys siitä, mitä asioita voi ja olisi kiinostavaa opiskella jatkossa. Matematiikan rakenteet ja pienet viehättävät yksityiskohdat saattavat jäädä monille täysin huomiota vaille, mutta moni asia tarvitsee usein vain pienen kipinän, jotta siihen jaksaa perehtyä enemmän. On toivottavaa, että tämä kipinä löytyy mahdollisimman varhaisessa vaiheessa. Lukiossa opetettavan matematiikan määrä ei missään nimessä ole suppea, kun ajatellaan sitä, että lukiolaisten on opiskeltava monia muitakin oppiaineita. Yläkoulussa harva tottuu matematiikan vaatimaan työntekoon yläkoulun kolmen oppivuoden aikana. Lukioon siirryttäessä kasvava työmäärä voi olla järkytys monelle ja helpoiten siitä voivat kärsiä ne, jotka eivät pärjänneet yläkoulun matematiikassa kovin hyvin ja joutuvat vasta lukiossa harjoittelemaan matematiikan opiskelua. Pitkän ja lyhyen matematiikan opiskelu on haastavaa ja pitkäjänteistä työtä, mutta työn hedelmät palkitaan viimeistään tulevaisuudessa. Matematiikka tuottaa joillekin opiskelijoille kaikista oppiaineista eniten työtä ja sen vuoksi sen opiskelu voidaan kokea vastenmielisenä. Tällöin mielenkiinto voi helposti suuntautua mielekkäämpinä pidettyihin oppiaineisiin. Toisaalta ajoittainen onnistuminen matematiikassa antaa suurta onnistumisen tunnetta ja tätä eivät muut oppiaineet aina välttämättä tarjoa. Matematiikan opiskelu kaipaa nimenomaan onnistumisen tunnetta. Sanotaan, että matematiikkaa ei opi kuin tekemällä (ks. esim. [20, s. 41]). Ei varmasti voi väittää, ettei tämä olisi totta, mutta yksi tärkeä ensiaskel on kuitenkin se, miten saadaan halu tehdä. Miksi ihminen haluaa istua työpöytänsä ääreen opiskelemaan matematiikkaa? Yksi syy voisi olla hyvä oppikirja.

2. Matematiikka lukiossa 3 2.1 Pitkä ja lyhyt matematiikka Pitkän ja lyhyen matematiikan opetuksen tavoitteet eroavat hieman toisistaan. Pitkän matematiikan opetus tavoittelee opetussuunnitelman perusteiden mukaan sitä, että opiskelija oppii näkemään matemaattisen tiedon loogisena rakenteena (ks. [24, s. 119]), kun taas yhtenä lyhyen matematiikan opetuksen päämäräänä on, että opiskelija saa käsityksen matemaattisen tiedon luonteesta ja sen loogisesta rakenteesta (ks. [24, s. 125]). Näiden kahden tavoitteen ero riippuu vain muutamasta sanasta eli sanoista oppii ja saa käsityksen, mutta näiden sanojen merkitysten ero on huomattava. Lyhyt matematiikka keskittyy käytännön asioihin enemmän. Siinä missä lyhyen matematiikan opiskelija osaa käyttää matematiikkaa jokapäiväisen elämän ja yhteiskunnallisen toiminnan apuvälineenä (ks. [24, s. 125]) pitkän matematiikan tavoitteena on, että opiskelija kehittää lausekkeiden käsittely-, päättely- ja ongelmanratkaisutaitojaan (ks. [24, s. 119]). Tarkoituksena ei ole asettaa vastakkain pitkän ja lyhyen matematiikan opetuksen tavoitteita, mutta opetussuunnitelmasta käy ilmi kummankin tavoitteiden erot. Tavoitteena voi tosin pitää myös sitä, että kummankin tavoitteet toteutuvat molemmissa, sekä pitkässä että lyhyessä matematiikassa, opiskeltavan asian laajuudesta riippumatta. 2.2 Opetussuunnitelma Lukion tarkoitus on jatkaa perusopetuksen opetus- ja kasvatustehtävää. Lukiokoulutuksen tehtävänä on antaa laaja-alainen yleissivistys. Sen tulee antaa riittävät valmiudet lukion oppimäärään perustuviin jatko-opintoihin. [24, s. 12] Opetussuunnitelmassa on myös määritetty matematiikan pitkän oppimäärän opetuksen tehtävät (ks. [24, s. 118]): Matematiikan pitkän oppimäärän opetuksen tehtävänä on antaa opiskelijalle matemaattiset valmiudet, joita tarvitaan ammatillisissa opinnoissa ja korkeakouluopinnoissa. Pitkän matematiikan opinnoissa opiskelijalla on tilaisuus omaksua matemaattisia käsitteitä ja menetelmiä sekä oppia ymmärtämään matemaattisen tiedon luonnetta. Opetus pyrkii myös antamaan opiskelijalle selkeän käsityksen matematiikan merkityksestä yhteiskunnan kehityksessä sekä sen soveltamismahdollisuuksista arkielämässä, tieteessä ja tekniikassa. Opetussuunnitelman tavoitteiden pitäisi toteutua opetuksessa, mutta ajanpuute on usein ongelma kouluissa. Sen takia jotkut asiat voivat jäädä kokonaan opettamatta. Tämä ei välttämättä tarkoita sitä, että kirjat olisivat pullollaan opetettavaa asiaa ja että kirjojen tekijät olisivat jotenkin epäonnistuneet tehtävässään, mutta jää silti opettajan harteille päättää, mistä asioista karsitaan. Tämä vaatii opettajalta kykyä nähdä tärkeimmät pääkohdat ja kokonaisuudet. Niitä pitää käsitellä enemmän ja tämä tapahtuu vähemmän oleellisten asioiden kustannuksella. Samalla

2. Matematiikka lukiossa 4 opettaja ottaa suuren vastuun. Lukion matematiikan opetus tähtää monen opiskelijan näkökulmasta vain ylioppilaskirjoituksista selviämiseen ja niissä menestyminen saattaa edellyttää pienten yksityiskohtien osaamista. Voi tuntua liialliselta opiskella itse asioita, jotka olisi periaatteessa pitänyt olla esillä oppitunneilla, mutta jotka ovat ajanpuutteen vuoksi jääneet käsittelemättä. Ylioppilaskirjoituksia varten kun on kuitenkin opiskeltava muitakin aineita kuin vain matematiikkaa. Opiskelijat ovat lopulta itse vastuussa valmentautumisestaan kirjoituksia varten, mutta opettajan mahdollistama apu on edelleen tarjolla, jos mieleen tulee kysymyksiä. Opettajan työ ei pääty siihen, kun abiturienteilla alkaa lukuloma. 2.3 MAA9-kurssin tavoitteet Kurssin Trigonometriset funktiot ja lukujonot ensimmäisenä tavoitteena on opetussuunnitelman (ks. [24, s. 122]) mukaan se, että opiskelija oppii tutkimaan trigonometrisiä funktioita yksikköympyrän symmetrioiden avulla sekä tutkii trigonometrisia funktioita derivaatan avulla. Opiskelijan pitää oppia ratkaisemaan sellaisia trigonometrisiä yhtälöitä, jotka ovat tyyppiä sin f(x) = a tai sin f(x) = sin g(x) ja osata trigonometristen funktioiden yhteydet sin 2 x + cos 2 x = 1 ja tan x = sin x/ cos x. Koska kurssi käsittelee myös lukujonoja, opiskelijalta edellytetään (ks. [24, s. 122]), että hän ymmärtää lukujonon käsitteen, oppii ymmärtämään lukujonoja palautuskaavojen avulla sekä osaa ratkaista ongelmia aritmeettisen ja geometrisen jonon ja niistä muodostettujen summien avulla. Nämä tavoitteet pitäisi saavuttaa kurssilla, jonka keskeiset sisällöt (ks. [24, s. 123]) ovat suunnattu kulma, radiaani, trigonometriset funktiot symmetria- ja jaksollisuusominaisuuksineen sekä trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen ja trigonometristen funktioiden derivaatat. Lukujonojen osuus pitää vielä sisällään rekursiivisen lukujonon, aritmeettisen jonon ja aritmeettisen summan sekä geometrisen jonon ja geometrisen summan.

5 3. TRIGONOMETRIAN HISTORIA 3.1 Kreikkalainen matematiikka Suunnilleen kahden ja puolen sadan vuoden ajan, Hippokrateesta Erastotheneeseen, kreikkalainen matematiikka tutki suorien ja ympyröiden välisiä suhteita. Niitä sovellettiin monenlaisiin tieteellisiin ongelmiin, mutta ne eivät johtaneet systemaattiseen trigonometriaan. [3, s. 238] Kreikan perustavaa laatua oleva merkitys matematiikan historialle näkyy vaikkapa lukuisien matemaattisten termien kreikkalaisesta alkuperästä. Tällaisia ovat vaikkapa trigonometria, logaritmi, aritmetiikka, geometria, matematiikka, teoreema, tetraedri, probleema, ellipsi, paraabeli, hyperbeli, aksiooma, analyysi... Luetteloa voi jatkaa lähes rajatta. [19, s. 11] Sana trigonometria esiintyy ensimmäisen kerran teologi Bartholomeo Pitiscuksen (1561-1613) kirjassa Trigonometria, joka julkaistiin vuonna 1595. Pitiscus itse asiassa keksi sanan trigonometria (ks. esim. [16, s. 402]). Pitiscukseen viitataan joskus desimaalipilkun keksimisen yhteydessä, koska se esiintyy hänen trigonometrisissä taulukoissaan. Desimaalipilkun käytön omaksui myöhemmin myös John Napier (1550-1617) omissa logaritmitaulukoissaan. Kreikkalaisten trigonometria ei tuntenut meidän trigonometrisia funktioitamme. Kolmioiden ja pallokolmioiden ratkaisut esitettiin puhtaasti geometrian keinoin. Trigonometria on monien muiden tieteenalojen tavoin antiikin kreikkalaisten peruja. Sana trigonometria juontaa kreikan sanoista trigonon, joka tarkoittaa kolmiota ja metron, joka tarkoittaa mittaamista (ks. esim. [1, s. 103]). Trigonometria on trigonometristen funktioiden tutkimista, erityisesti kolmioiden ratkaisemisen yhteydessä. Ratkaiseminen tarkoittaa kolmion sivujen ja kulmien laskemista, kun kolme niistä on annettu (esim. kaksi sivua ja niiden välinen kulma). [28, s. 392] Käytännön elämässä taito laskea kolmion puuttuvan sivun pituus (tai yhtä hyvin kolmion puuttuva kulma) on erittäin hyödyllinen monenlaisille ihmisille, esimerkiksi rakentajille, maanmittaajille, insinööreille, astronomeille ja navigaattoreille [9, s. 60]. Trigonometriaa sovelletaan esimerkiksi tähtitieteessä, kemiassa, arkkitehtuurissa, meteorologiassa ja kartografiassa.

3. Trigonometrian historia 6 3.2 Hipparkhos On ilmiselvää, että egyptiläiset tiesivät aika paljon kolmioista - kuten pyramideista voidaan päätellä - mutta trigonometrian perustajana pidetään kreikkalaista astronomia Hipparkhos Nikealaista (noin 190-125 ekr.). [9, s. 60] Trigonometristen funktioiden synty liittyy ympyrän jänteiden tutkimiseen. Jos annettuna on tietynsäteinen ympyrä, on ongelmana löytää pituus sille jänteelle, joka vastaa tiettyä keskuskulmaa. Hipparkhos laati ensimmäisiä trigonometrisiä (jänne)taulukoita ja tästä syystä häntä kutsutaan trigonometrian isäksi [3, s. 239]. Hän myös otti käytäntöön käsitteet maantieteellinen pituus ja leveys, laati tähtiluettelon sekä paransi tähtitieteellisten vakioiden, kuten Kuun koko, kuukauden ja vuorokauden pituus sekä ekliptikan kaltevuus, arvoja [3, s. 239]. Vähemmän tunnettu trigonometrinen funktio on jänne (engl. chord) ja se määritellään nykymerkinnöin crd(α) = 2 sin(α/2). Hipparkhoksen taulukoissa yksisäteisen ympyrän kulmaa α vastaavan jänteen pituus on juuri tämä funktio. Hipparkhos jakoi taivaalla näkyvät tähdet kuuteen luokkaan niiden näennäisen kirkkauden mukaan. Kirkkaimmat tähdet kuuluivat ensimmäiseen suuruusluokkaan ja heikoimmat paljain silmin näkyvät kuudenteen. Euroopan avaruusjärjestö ESA laukaisi 1989 astrometrisen Hipparcos-satelliitin. Vaikka se ei saavuttanutkaan suunniteltua kiertorataa, se pystyi kuitenkin mittaamaan yli sadantuhannen tähden tarkan paikan. Satelliitin havaintoihin perustuva Hipparcos-luettelo sisältää 118 000 tähden astrometriset ja fotometriset tiedot. Koordinaattien tarkkuus on parin millikaarisekunnin luokkaa. [6, s. 62] Edellä millikaarisekunti tarkoittaa 1/3 600 000 astetta. Astrometria on tähtitieteen osa-alue. Se tutkii tähtien sekä muiden taivaankappaleiden paikkoja, etäisyyksiä ja ominaisliikettä taivaalla ja on luonut perustan muun muassa taivaanmekaniikalle. Fotometria on tekniikka, jolla mitataan jonkin tähtitaivaan kohteen sähkömagneettisen säteilyn intensiteettiä. Aristarkhos oli tiennyt, että annetun ympyrän kaaren suhde jänteeseen pienenee, kun kulma pienenee 180 asteesta nollaan ja lähestyy arvoa 1. Näyttää kuitenkin siltä, että ennen Hipparkhosta kukaan ei ollut taulukoinut kaaren ja jänteen vastinarvoja kulmien sarjalle.[3, s. 239] Hipparkhos ilmeisesti laati taulukkonsa omia tähtitieteellisiä töitään varten. Töiden lähtökohdista tiedetään vähän. Hipparkhoksen taulukon laadinnassa käyttämää menetelmää ei tunneta tarkkaan, sillä hänen kirjoituksensa ovat hävinneet.[3, s. 239] Ajankohtaa, jolloin 360 asteen ympyrä otettiin matematiikassa käyttöön, ei tiedetä tarkkaan. Se kuitenkin näyttää olevan Hipparkhoksen ja hänen jännetaulukoidensa seuraus.

3. Trigonometrian historia 7 3.3 Menelaos Aleksandrialainen Hipparkhoksen jälkeen Menelaos Aleksandrialainen (noin 100 jkr.) teki kuusiosaisen teoksen Ympyrän jänteet, joka nimensä mukaisesti käsitteli ympyrän jänteitä. Tämä teos ei ole säilynyt meille, mutta sen sijaan Menelaoksen Sferica on. Se on ensimmäinen pallotrigonometriaa käsittelevä teos ja siinä on kolme kirjaa. Kirjassa I Menelaos rakentaa Eukleideen Kirjassa I olevia tasokolmioiden perusteita vastaavat pallokolmioiden perusteet. Kirja II kuvaa pallogeometrian soveltamista tähtitieteeseen. Viimeinen eli Kirja III sisältää tunnetun Menelaoksen teoreeman. Se kuuluu tyypillisessä kreikkalaisessa muodossa esitettyyn pallotrigonometriaan, joka on ympyrän jänteiden geometriaa tai trigonometriaa. [3, s. 240] Pallotrigonometriaa tarvittiin tähtitieteessä. Sanan teoreema, samoin kuin teorian ja teatterin pohjana on kreikan katsomista tarkoittava verbi [19, s. 12]. Kuvassa 3.1 ympyrän jänne AB on kaksi kertaa keskuskulman AOB puolikkaan sini ympyrän säteellä kerrottuna. Menelaos ja hänen kreikkalaiset seuraajansa kutsuivat kuitenkin janaa AB yksinkertaisesti kaarta AB vastaavaksi jänteeksi [3, s. 240]. Jos BOB on ympyrän halkaisija, jänne AB on kaksi kertaa kulman AOB puolikkaan kosini (kerrottuna ympyrän säteellä) [3, s. 240]. Thaleen ja Pythagoraan teoreemat johtavat nyt yhtälöön AB 2 +AB 2 = 4r 2 ja ne vastaavat nykyistä trigonometristä yhtälöä sin 2 θ + cos 2 θ = 1 [3, s. 240]. A B O B Kuva 3.1 3.4 Ptolemaios ja Almagest Ptolemaios Aleksandrialaisen puolisensataa vuotta Menelaos Aleksandrialaisen (n. 100 jkr.) jälkeen kirjoittama kolmetoista kirjaa käsittävä Matemaattinen Syntaksi oli koko antiikin selvästi vaikutusvaltaisin ja merkityksellisin trigonometrinen

3. Trigonometrian historia 8 tutkielma. Ptolemaioksen teoksesta käytettiin usein nimeä megiste, jonka seurauksena Arabiassa sitä alettiin kutsua Almagestiksi ( suurin ) ja tätä nimeä käytetään edelleen. Tähän pääteokseen sisältyy trigonometristen taulukoiden laatimisperusteiden kuvaus. [3, s. 242] Luettelo sisälsi 1025 kirkasta tähteä, joiden paikat oli alun perin mitannut Hipparkhos 250 vuotta aikaisemmin. Ptolemaioksen tähtiluettelo oli ainoa käytössä ollut luettelo aina 1600-luvulle asti. [6, s. 60] Ptolemaios laski taulukkoarvot helppojen kulmien perusteella käyttäen apuna lauseita, joka mahdollistivat puolta kulmaa ja kahden kulman summaa vastaavien jänteiden laskemisen [3, s. 242]. Almagestin kirjoittajan elämästä tiedetään vähän. Ei tiedetä varmasti, missä ja milloin Ptolemaios syntyi. Almagestin perusteella voidaan sanoa, että hän eli toisella vuosisadalla, koska hän viittaa teoksessaan havaintoihin, jotka perustuvat tunnettuihin astronomisiin tapahtumiin [1, s. 101]. Ptolemaioksen jänteiden suuruuksien laskennan kannalta keskeinen geometrinen tulos tunnetaan edelleen nimellä Ptolemaioksen teoreema (ks. Teoreema 1). Teoreema 1. Ympyrän sisään piirretyn (kuperan) jännenelikulmion ABCD janojen pituuksille pätee AB CD + BC DA = AC BD. Ympyrän sisään piirretyn nelikulmion vastakkaisten sivujen pituuksien tulojen summa on siis yhtäsuuri kuin lävistäjien pituuksien tulo. Väite voidaan todistaa piirtämällä jana BE siten, että kulma ABE on yhtäsuuri kuin kulma DBC. Kolmiot ABE ja BCD voidaan todeta yhdenmuotoisiksi. Todistus. Piirretään havainnollistava kuva (ks. kuva 3.2). Seuraavassa merkintä B C A E D Kuva 3.2 ABE tarkoittaa kulmaa ABE ja vastaavasti merkintä DBC kulmaa DBC. Merkinnöissä keskimmäinen kirjain, B, määrää kulmien kärjen. Jännettä BC vastaavat

3. Trigonometrian historia 9 kehäkulmat BDC ja BAC ovat yhtäsuuret. Valitaan janalta AC piste E, jolle ABE = DBC. Kolmiossa ABE on kaksi kulmaa yhtäsuuret kuin kolmiossa DBC, joten kolmiot ABE ja DBC ovat yhdenmuotoiset yhtenevyyslauseen (kaksi kulmaa) perusteella. Jännettä AB vastaavat kehäkulmat BCA ja BDA ovat yhtäsuuret. Koska kulmat ABE ja DBC ovat yhtäsuuret, kulmat ABD ja CBE ovat yhtäsuuret. Kolmiossa ABD on kaksi kulmaa yhtäsuuret kuin kolmiossa ECB, joten kolmiot ABD ja ECB ovat yhdenmuotoiset yhtenevyyslauseen (kaksi kulmaa) perusteella. Kolmioiden yhdenmuotoisuuksista seuraa, että kolmioiden vastinjanojen suhde on vakio. Siis AB = AE ja EC = BC ja edelleen BD CD DA BD AB CD + DA BC = BD AE + BD EC = BD ( AE + EC ) = BD AC. Almagest koostuu kolmestatoista kirjasta, jotka käsittelevät eri aiheita seuraavasti (ks. esim. [29]): Kirja I sisältää Ptolemaioksen perusteluja perusolettamuksilleen, joiden mukaan Maa sijaitsee maailman keskipisteessä ja on pallomainen sekä liikkumaton. Kirja II jatkaa yleisen teorian käsittelyä, muun muassa pallotrigonometrian ja pallotähtitieteen yleisiä periaatteita. Kirjassa on myös päivän pituuden määrittämistä eri leveysasteilla. Kirja III aloittaa varsinaisen tähtitieteellisen osuuden Almagestista tutkimalla Auringon liikettä Maan ympäri. Kirjat IV,V,VI käsittelevät Kuun liikettä ja Kuun parallaksin mittaamista. Kirjassa VI tutkitaan Auringon ja Kuun ratoja erityisesti pimennysten laskemisen kannalta. Kirjat VII ja VIII sisältävät kiintotähtien luettelon, joka perustuu suureksi osaksi Hipparkhoksen tekemiin mittauksiin. Luettelossa on 1022 tähden ja viiden sumumaisen kohteen paikat sekä suhteelliset kirkkaudet. Kirjat IX - XII käsittelevät viiden tuolloin tunnetun planeetan (Merkurius, Venus, Mars, Jupiter ja Saturnus) ratoja.

3. Trigonometrian historia 10 3.5 Trigonometriset funktiot Trigonometriset funktiot ovat kulman funktioita. Ne ovat tärkeitä, kun tutkitaan kolmioita tai mallinnetaan jaksollisia ilmiöitä. Funktioiden määrittely tapahtuu yleisesti kulman sisältävän suorakulmaisen kolmion sivujen suhteina, mutta ne voidaan yhtäpitävästi määritellä yksikköympyrään piirrettyjen janojen pituuksina. Modernimmat määritelmät esittävät ne sarjoina tai tiettyjen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuina, jolloin ne voidaan laajentaa käsittämään sekä positiiviset että negatiiviset luvut ja jopa kompleksiluvut. Hindut käyttivät sinifunktiolle sanaa jua. Tämän ottivat käyttöön arabit, jotka kutsuivat siniä nimellä jiba. Myöhemmissä arabikirjoituksissa tämä sana muuntui jaibiksi ja tällä sanalla on merkitys, poimu. Kun eurooppalaiset käänsivät arabialaisia teoksia latinaksi, he kirjoittivat sanan jaib sanaksi sinus, joka tarkoittaa poimua latinaksi. Erityisesti Fibonacci käytti termiä sinus rectus arcus ja tämä rohkaisi käyttämään sanaa sini maailmanlaajuisesti. [23] Sveitsiläinen Leonhard Euler (1707-1783) oli merkittävä matemaatikko, joka myös otti käyttöön useita nykypäivänä käytettyjä merkintöjä. Niinpä hän saattaa olla ensimmäinen, joka otti käyttöön merkinnät trigonometrisille funktioille, kuten sin x ja cos x (ks. esim. [17]). Tunnetuimpia trigonometrisiä funktioita on yhteensä kuusi ja ne ovat sini, kosini, tangentti, kosekantti, sekantti ja kotangentti. Opiskelijat opettelevat ainakin suuren osan näistä mukaan lukien niitä koskevia kaavoja sekä miten funktiot liittyvät toisiinsa. Kun käsitellään kulmiin liittyviä ongelmia, ei trigonometristen funktioiden käyttöä yleensä pystytä välttämään. Etenkin kolmea eniten käytettyä trigonometrista funktiota eli siniä, kosinia ja tangenttia, voi olla vaikea välttää. Tässä tekstissä viitataan yleisimmillä trigonometrisilla funktioilla siniin, kosiniin ja tangenttiin.

11 4. LUKUJONOJEN HISTORIA Lukujono voidaan muodostaa antamalla sääntö, jonka mukaan jonkin joukon alkioita asetetaan määrättyyn järjestykseen. Sääntö määrää yksikäsitteisesti lukujonon jokaisen alkion. Lukujono on lukujen järjestetty luettelo. Lukujonon alkioita kutsutaan myös lukujonon termeiksi tai lukujonon jäseniksi. Lukujono merkitään yleensä sulkuihin ja sen alkiot erotetaan toisistaan pilkuilla. 4.1 Fibonacci Tunnetuimpiin lukujonoihin kuuluu Fibonaccin lukujono, jonka ensimmäisiä alkioita ovat 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... Tämä lukujono voidaan yleistää seuraavasti: 0, jos n = 0 F n = 1, jos n = 1 F n 1 + F n 2, jos n > 1. Jono toimii yksinkertaisen säännön mukaan eli kaksi ensimmäistä alkiota ovat ykkösiä ja muut kahden edellisen alkion summia. Lukujono on esimerkki rekursiivisesta lukujonosta, jossa ilmoitetaan jonon ensimmäiset jäsenet ja annetaan rekursiokaava, joka ilmaisee, miten muut jäsenet lasketaan edellisten jäsenten avulla. Lukujono on nimetty Leonardo Pisalaisen, tunnetummin Fibonaccin (noin 1175-1250), mukaan. Häntä voidaan pitää Euroopan ensimmäisenä matemaatikkona persialaisen al-khwarizmin ohella [28, s. 239]. Leonardo oli italialainen kauppias, jonka tunnetuin kirjallinen teos on vuonna 1202 valmistunut Liber Abaci eli Helmitaulun kirja. Siinä Fibonacci esitti lukujononsa seuraavan ongelman yhteydessä (ks. esim. [25, s. 41]): 1) Oletetaan, että kuukauden vanha kaniinipari ei vielä pysty lisääntymään, mutta kahden kuukauden ikäisenä se pystyy. Oletetaan myös, että joka kuukausi toisesta kuukaudesta alkaen se tuottaa kaniiniparin (uroksen ja naaraan). 2) Jos jokainen pari lisääntyy samoin, kuinka monta kaniiniparia on kunkin kuun alussa?

4. Lukujonojen historia 12 Syntyvien kaniiniparien lukumäärät muodostavat Fibonaccin lukujonon. Fibonacci ei aikoinaan tutkinut tätä jonoa, eikä sitä pidety merkityksellisenä ennen 1800- lukua, jolloin matemaatikot kiinnostuivat lukujonoista, niiden ominaisuuksista ja aloista joilla ne esiintyivät [25, s. 41]. Fibonaccin lukujono löytyy luonnosta yllättävän monista paikoista, esimerkiksi terälehtien määrästä tai männynkävyn suomuista. Jopa ananas on elävä Fibonaccin muistomerkki, jossa kahdeksan suomuriviä suuntautuu vasemmalle ja 13 oikealle [9, s. 28]. Fibonaccin lukujono esiintyy (ks. esim. [25, s. 41]): Pascalin kolmiossa, binomikaavassa ja todennäköisyyslaskennassa, kultaisessa leikkauksessa, luonnossa, erityisesti kasveissa, kiehtovissa matemaattisissa tempuissa, matemaattisissa identtisyyksissä. Eräs esimerkki Fibonaccin lukujonojen ominaisuuksista on geometrinen illuusio (ks. esim. [28, s. 106]). Ideana on konstruoida neliö, jonka sivun pituus on esimerkiksi kahdeksan ruutua (F 6 = 8). Neliö rikotaan kuvan 4.1 mukaisesti. Kuva 4.1 Seuraavaksi liitetään palat yhteen siten, että sivuiksi tulevat F 5 = 5 ja F 7 = 13 (ks. kuva 4.2).

4. Lukujonojen historia 13 A D B C Kuva 4.2 Neliön pinta-ala on 8 2 = 64, kun taas suorakulmion ala on 5 13 = 65. Erotus on 65 64 = 1. Selitys on se, että kuvan 4.2 kuvio ei ole aukoton. Suoralta näyttävä osa ADBC on itse asiassa ohut suunnikas, jonka pinta-ala on 1 (ks. kuva 4.3). Kuva 4.3 Fibonaccin jono F n täyttää ehdon F 2 n+1 = F n F n+2 + ( 1) n (n 1). Kun n = 5, F 2 6 =F 5 F 7 + ( 1) 5 = 5 13 1 = 64. Vielä vakuuttavammaksi illuusio saadaan, jos valitaan F 8 = 21 cm. Näin menetellen saadaan suorakulmio, jonka sivut ovat F 7 = 13 cm ja F 9 = 34 cm. Suunnikkaan suurin leveys on siten noin 0, 4 mm ja tämä on silmälle lähes mahdoton huomata. Fibonaccin kirjassa esiteltiin arabialaiset numerot ja niillä laskeminen (ks. esim. [16, s. 307-309]). Hän esitti, että on paljon helpompaa laskea arabialaisilla numeroilla kuin roomalaisilla numeroilla. Fibonacci suositteli uutta laskutapaa Venetsian kaup-

4. Lukujonojen historia 14 piaille, mutta nämä pitivät sitä roomalaisilla numeroilla laskemista vaikeampana ja kielsivät sen käytön. Uusi laskutapa osoittautui kuitenkin myöhemmin ylivoimaiseksi ja se levisi kaikkialle Eurooppaan. Se hyväksyttiin laajemmin kuitenkin vasta 1500-luvulla, jolloin arabialaiset numerot syrjäyttivät roomalaiset numerot lopullisesti (ks. esim. [16, s. 310]). Fibonacci ymmärsi myös negatiivisten lukujen merkityksen ja käytti niitä esimerkiksi velkojen ilmaisemiseen. Liber abaci oli merkittävä teos siinä mielessä, että sen avulla islamilainen matematiikka esiteltiin Eurooppaan [16, s. 309]. Koska Fibonacci oli matemaattisesti lahjakas ja Euroopassa selvästi aikaansa edellä, on epäselvää, milloin hän esitti muilta oppimiaan ja milloin itse keksimiään asioita. Ilmeisesti arabit ja intialaiset, joiden matematiikasta arabit olivat perillä, tunsivat Fibonaccin mukaan nimetyn lukujonon, sillä jono syntyy myös esimerkiksi sanskriitin runomittoihin liittyvistä lukumääräongelmista. [18, s. 153] Liber abaci tunnetaan Fibonaccin kirjoista parhaiten. Siitä julkaistiin toinen laitos vuonna 1228, mutta sitä ei ilmeisesti arvostettu kouluissa ja painettu laitos ilmestyi vasta 1800-luvulla. Leonardo Pisalainen oli kiistatta omaperäisin ja kyvykkäin kristillisen Euroopan keskiaikainen matemaatikko, mutta hänen työnsä oli liian edistynyttä hänen aikalaistensa ymmärrettäväksi. [3, s. 364] Hänen muistakin kirjoituksista löytyy merkittäviä keksintöjä. Pyramidissa (P, s. 153) kerrotaan Fibonaccista seuraavasti: Fibonaccin taitoa ja hänen itämaisia vaikutteitaan osoittaa se tapa, jolla hän käsittelee yhtälöä x 3 + 2x 2 + 10x = 20. Persialaisen runoilijan ja filosofin Omar Khaijamin (1000-luvulta) väitetään tunteneen yhtälön, mutta hän ei esittänyt tälle ratkaisua. Fibonacci todisti ensin, ettei yhtälöllä ole rationaalisia juuria eikä edes tietyntyyppisten neliöjuurilausekkeiden muotoisia ratkaisuja. Sen jälkeen hän esitti yhtälölle käsittämättömän tarkan likiarvoratkaisun x 1 + 22 60 + 7 60 + 42 2 60 + 33 3 60 + 4 4 60 + 40 5 60 6. Hänen on täytynyt muodostaa yhtälölle jono peräkkäisiä likiarvoratkaisuja, jotka olivat toinen toistaan tarkempia. Tämä olisi ollut esiaste nykyaikaisista menetelmistä, joissa muodostetaan ratkaisua kohti suppeneva lukujono. 4.1.1 Parittomien lukujen ja neliölukujen yhteys Tutkitaan parittomien lukujen jonoa 1, 3, 5, 7, 9,... ja neliölukujen jonoa 1, 4, 9, 16,....

4. Lukujonojen historia 15 Fibonacci huomasi, että näillä lukujonoilla on seuraava yhteys (ks. esim. [8, s. 5]): 1 = 1 = 1 2 1 + 3 = 4 = 2 2 1 + 3 + 5 = 9 = 3 2 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4 2.. Neliöluvut voidaan siis muodostaa parittomien lukujen avulla ja näin löydetään yhteys alkujaan erillisiltä näyttäville lukujonoille. Fibonaccin elinaikana ei ollut käytössä nykyajan merkintätapoja, joten hän kirjoitti lähes kaiken sanallisesti (ks. esim. [8]). Nykymerkinnöin seuraava tarkastelu on helppo yleistää. Merkitään parittomien lukujen jonon alkioita a i (i = 1,...,n) ja neliölukujen jonon alkioita b i (i = 1,...,n). Näin saadaan seuraavat vastaavuudet: a 1 = 1 b 1 = 1 a 2 = 3 b 2 = 4 a 3 = 5 ja b 3 = 9.. a n = 2n 1 b n =n 2... Edellisen jonon yleinen termi on a n = 2n 1 ja jälkimmäisen b n = n 2. Parittomien lukujen summa voidaan kirjoittaa seuraavasti: 1 + 3 + 5 +... + (2n 1) = n 2 Tätä käyttäen voidaan määrittää mikä tahansa neliöluku parittomien lukujen summan avulla. On olemassa vieläkin yksinkertaisempi merkintätapa ja se on summamerkintä (Σ). Sitä käyttäen merkitään n (2k 1) = n 2. k=1 Fibonacci huomasi nämä yhteydet, mutta pystyi kirjoittamaan kaiken vain sanallisesti.

4. Lukujonojen historia 16 4.1.2 Fibonaccin lukujonon yleisen termin lauseke Fibonaccin lukujonon F 1 = 1 F 2 = 1 F n = F n 1 + F n 2, n = 3, 4, 5,... yleiselle termille voidaan johtaa lauseke (ks. esim. [27, s. 19]): F n = 1 (( ) n ( ) n ) 1 + 5 1 5,n = 1, 2, 3,.... 5 2 2 Todistus. Osoitetaan induktiolla, että yleisen termin lauseke on oikea. Alkuaskeleina tarkistetaan tapaukset n = 1 ja n = 2. Kun n = 1, Kun n = 2, Tällöin F 1 = 1 (( ) 1 ( ) 1 ) 1 + 5 1 5 5 2 2 = 1 ( ) 1 + 5 1 + 5 5 2 = 1 (tosi). F 2 = 1 (( ) 2 ( ) 2 ) 1 + 5 1 5 5 2 2 = 1 (( ) ( )) 6 + 2 5 6 2 5 5 4 4 = 1 ( ) 6 + 2 5 6 + 2 5 5 4 = 1 (tosi). F 3 = F 2 + F 1 = 1 + 1 = 2 (tosi). Tehdään induktio-oletus eli oletetaan, että yleisen termin lauseke on tosi, kun

4. Lukujonojen historia 17 n k 1 (n N). Nyt F k 1 = 1 (( ) k 1 1 + 5 5 2 F k 2 = 1 (( ) k 2 1 + 5 5 2 ( ) k 1 ) 1 5 2 ( 1 5 2 ) k 2 ). Tavoitteena on todistaa, että lauseke on tosi myös silloin, kun n = k. Muodostetaan summa F k 1 +F k 2 = 1 ( ) ( k 2 1 + 5 1 + ) 5 + 1 1 ( 1 5 5 2 2 5 2 Huomataan, että Vastaavasti huomataan, että Näin ollen ja väite on todistettu. 1 + 5 2 1 5 2 + 1 = 3 + 5 2 = 6 + 2 5 4 = 1 + 2 5 + 5 4 ( 1 + ) 2 5 =. 2 + 1 = 3 5 2 = 6 2 5 4 = 1 2 5 + 5 4 ( 1 ) 2 5 =. 2 F k = F k 1 + F k 2 = 1 ( ) k 1 + 5 1 ( 1 5 5 2 5 2 ja ) k 2 ( 1 5 ) k 2 ) +1.

4. Lukujonojen historia 18 4.1.3 Kokonaislukujen Zeckendorf-esitys Positiivisen kokonaisluvun Zeckendorf-esitys on luvun yksikäsitteinen esitys erillisten Fibonaccin lukujen summana. Vaatimuksena on, että mitkään kaksi Fibonaccin lukua eivät ole peräkkäisiä Fibonaccin lukujonon termejä ja termiä F 1 = 1 ei käytetä, mutta termiä F 2 = 1 voidaan käyttää. [26, s. 29] Jos termi F 1 = 1 hyväksyttäisiin, ei Zeckendorf-esitys olisi yksikäsitteinen, koska F 1 = F 2. Esimerkkejä Zeckendorfesityksestä: 85 =F 10 + F 8 + F 6 + F 2 = 55 + 21 + 8 + 1 ja 100 =F 11 + F 6 + F 4 = 89 + 8 + 3. Esitys on nimetty belgialaisen matemaatikon, Edouard Zeckendorfin (1901-1983) mukaan. 4.1.4 Ketjumurtoluvut Liber Abacin osassa, joka käsittelee murtolukujen jakamista yksikkömurtolausekkeisiin, Fibonacci esittää eräänlaisen ketjumurtoluvun. Hän esimerkiksi käyttää lausekkeelle 1 + 1+1 5 4 3 = 1 3 + 1 3 4 + 1 3 4 5 lyhennysmerkintää 1 1 1. Nykyinen käytäntö on esittää ketjumurtoluvut muodossa 3 4 5 2 + 1 4 + 1 1+ 1 3+ 1 2 Edellä oleva murtoluku on esimerkki päättyvästä murtoluvusta. [5, s. 299] Useat tahot ovat sitä mieltä, että ketjumurtolukujen teorian voidaan katsoa alkaneeksi italialaisen Rafael Bombellin toimesta. Teoksessaan L Algebra Opera (1572) hän yritti määrittää neliöjuuria päättymättömien ketjumurtolukujen avulla.[5, s. 300] Bombelli (1526-1572) muun muassa osoitti, että 13 voidaan esittää ketjumurtolukuna muodossa 13 = 3 + 4 6 + 4 6+ 4. 6+... Tarkastellaan yksinkertaista (osoittajat ykkösiä), päättymätöntä murtolukua. 1 + 1 1 + 1 1+ 1 1+....

4. Lukujonojen historia 19 Merkitään Tällöin x = 1 + 1 1 + 1 1+ 1 x = 1 + 1 x, 1+.... koska murtoluku on loputon. Kun yhtälö kerrotaan molemmin puolin kirjaimella x, saadaan x 2 = x + 1 eli x 2 x 1 = 0. Ratkaistaan yhtälöstä x: x = ( 1) ± ( 1) 2 4 1 ( 1) 2 1 = 1 ± 5. 2 Koska x > 0, hylätään negatiivinen ratkaisu ja siis x = 1 + 5 2 Tämä luku on kultaisen leikkauksen suhde. 4.2 Édouard Lucas François Édouard Anatole Lucas (1842-1891) oli ranskalainen matemaatikko. Lucasin luvut määritellään seuraavasti: L n = L n 1 + L n 2, n 3, missä L 1 = 1 ja L 2 = 3. Lucasin luvut toteuttavat saman rekursioyhtälön kuin Fibonaccin luvut (ks. s. 11), mutta kaksi ensimmäistä lukua eivät ole samoja kuin Fibonaccin luvuilla (F 1 = 1 ja F 2 = 1). Lucasin luvuille, kuten Fibonaccin luvuille, on olemassa useita erilaisia identiteettejä (ks. esim. [26, s. 28-29]). Esimerkiksi n. Lucasin luku, L n, voidaan antaa seuraavalla tavalla: L n = α n + β n, missä α = (1 + 5)/2, β = (1 5/2) ja n 1. Lucas tunnetaan myös vapaa-ajan matematiikan kehittäjänä. Häneltä on peräi-.

4. Lukujonojen historia 20 sin muun muassa matemaattinen peli nimeltä Hanoin torni (ks. esim. [13, s. 297] tai MT, s. 146). Peli koostuu kolmesta paikallaan olevasta tangosta ja yhdessä niistä on n kappaletta ympyränmuotoisia levyjä. Levyt muodostavat tornin. Levyissä on tankoja varten reikä keskellä ja jokaisen levyn halkaisija on pienempi kuin alla olevan levyn. Ongelmana on siirtää torni jompaan kumpaan levyttömään tankoon siirtämällä aina yhtä levyä kerrallaan siten, että yksikään levy ei milloinkaan ole halkaisijaltaan pienemmän levyn päällä. Tehtävänä on määrittää tarvittavien siirtojen pienin määrä, H n.

21 5. KIRJOJEN KANNET Ensimmäinen asia, johon ihminen kiinnittää huomionsa ottaessaan käteen minkä tahansa lehden tai kirjan, on kansi. Kun selaa kirjaa, on ensimmäisiä havaintoja esimerkiksi se, kuinka pientä tekstiä kirja sisältää, minkälaisia kuvia siinä mahdollisesti on ja mitä kansi kertoo kirjasta. Ensivaikutelma on tärkeä ja oppikirjojen kansien pitäisi tarjota jotain mielenkiintoista tai sitten jotain hyvin yksinkertaista. Nykyajan painotekniikalla kansista saa tehtyä monipuoliset ja huomiota herättävät. Ei ole kuitenkaan tarpeen tehdä kannesta näyttävää taideteosta. Vaikka kansi ei olisikaan kiinnostava, voi se silti olla sellainen, ettei siihen kohdistu liikaa huomiota. Eri kurssien kirjojen kannet vaihtelevat usein säilyttäen kuitenkin samannäköisen tyylin kirjasarjan sisällä. Tutun näköinen kansi tai joku muu teema saattavat luoda turvallisuuden tunnetta kurssien seuratessa toisiaan. Kirjassa tärkein asia ei missään nimessä ole kansi, mutta kun opiskelija ottaa kirjan käteen, ei kirjasta saa tulla sellaista kuvaa, ettei sen ääreen viitsi syventyä kuin pakon sanelemana. Yksinkertainen on kaunista ja sanonta pätee hyvin myös matematiikan kirjan kanteen. Koulukirjojen kannet eivät yleensä ole kirjan tekijöiden luomia vaan ne on suunnitellut jokin tekijätiimin ulkopuolinen henkilö tai henkilöt. Kirjan Pitkä matematiikka 9 kannessa on valokuva taivaasta, jossa on muutama pilvilautta ja kuvan etualalla siintää kallioseinämä. Laudatur 9-kirjassa on kuvattu hämyisessä ilta-auringossa oleva kupolimainen urheiluhalli. Kuva on Suomen kuvapalvelu Oy:n kuva. Kirjan Calculus 5 kannen kuva on peräisin Luonnonkuvaarkistosta. On vaikea sanoa, mitä se esittää. Kirjan Pyramidi 9 kannen värit ovat keltainen ja oranssi. Kansi ei välttämättä esitä mitään erityistä. Kannesta on vastuussa Suomen kuvapalvelu Oy (SKOY) ja kuvatoimisto Corbis. Matematiikan taito 9 tarjoaa kannessaan vihertävänkeltaisen ja purppuranvärisen värimaailman. Vertailtavien kirjojen takakansissa on valtakunnallisten pitkän matematiikan kurssien kirjojen nimet. Muissa kirjoissa Pyramidia lukuunottamatta on myös kirjojen jako pakollisiin ja syventäviin kursseihin. Laudatur 9-kirja eroaa tässä asiassa kaikista muista vertailtavista kirjoista, koska sen takakannessa kerrotaan kurssin tavoitteet ja keskeiset sisällöt. Tämä voi olla lukijalle hyödyllisempää kuin lista kirjasarjan muista kirjoista, sillä jos tuntuu, että on tilapäisesti tiedoton kurssin tärkeistä asioista, on kätevää kääntää kirja ympäri ja löytää asiat sieltä. Laudatur 9 kertoo

5. Kirjojen kannet 22 takakannessa kirjastaan seuraavaa: Vastaa sisällöltään lukion opetussuunnitelman perusteiden mukaista pitkän matematiikan kurssia Trigonometriset funktiot ja lukujonot, Opettaa tutkimaan trigonometrisiä funktioita yksikköympyrän symmetrioiden avulla, Opettaa ratkaisemaan trigonometrisiä yhtälöitä, Perehdyttää trigonometristen funktioiden tutkimiseen derivaatan avulla, Johdattaa ymmärtämään lukujonon käsitteen, Harjoittaa määrittelemään lukujonoja palautuskaavojen avulla, Opettaa ratkaisemaan käytännön ongelmia aritmeettisen ja geometrisen jonon ja niistä muodostettujen summien avulla.

23 6. KIRJOJEN YLEISILMEET Pitkä matematiikka Kirjassa Pitkä matematiikka 9 on teoriaosuudet erotettu muusta sisällöstä värillisellä pohjalla. Teoriaosuuden sisällä kaavat on korostettu laatikoilla, jotka tukevat niiden nopeaa löytämistä. Valitettavasti määritelmien ja lauseiden korostaminen on tehty lähes samalla tavalla ja tässä yksivärisyys voi kostautua. Sanat lause ja määritelmä puuttuvat kirjasta kokonaan. Laudatur Laudaturissa teoriaosuudet on erotettu värillisellä pohjalla, josta tärkeät asiat on erikseen kehystetty tummempaan laatikkoon. Kirjasta ei löydy ollenkaan sanoja lause ja määritelmä. Kirja on vertailtavista ainoa, joka sisältää muita kuin matematiikkaan liittyviä kuvia. Kirjassa esiintyvät toistuvasti erilaiset eläinhahmot, kuten koira ja pöllö. Kirjan alkusanoissa on jokaisesta kirjan tekijästä piirrokset ja niiden alla tekijöiden etunimet. Yksikään piirros ei kuvaa tekijää ihmishahmona vaan eräänlaisena karikatyyrinä. Calculus Lukion Calculus 5, kuten Pitkä matematiikka 9, on kaksivärinen kirja. Kurssin MAA9 Calculus on oranssin sävyinen kauttaaltaan. Calculus ryhmittelee asiat johdonmukaisiin kokonaisuuksiin, joita edustavat selkeästi otsikoidut luvut ja kappaleet [14, s. 2]. Sana määritelmä esiintyy aina kaksinkertaisissa kehyksissä värillisten laatikoiden vieressä ja sana esimerkki yksinkertaisissa kehyksissä esimerkkien vieressä. Sen sijaan sanaa lause ei kirjasta löydy. Ainoa nimenomaan lauseena esitetty asia, joka kirjasta löytyy, on analyysin peruslause (C, s. 138). Se käsitellään kurssilla Integraalilaskenta (MAA10). Trigonometristen funktioiden ja lukujonojen osuus päättyy kirjan sivulle 106, joten Calculus 5 on sivumäärältään kaikista vertailtavista kirjoista selkeästi suppein.

6. Kirjojen yleisilmeet 24 Pyramidi Pyramidi on monivärinen kirja. Siinä käytetään väreinä muun muassa vaaleansinistä, harmaata, kahta eri keltaisen sävyä, karmiininpunaista ja vihreätä. Värien käyttö ei ole liiallista, koska kirjan esipuheessa on selkeästi kerrottu, mitä milläkin korostuksella tarkoitetaan. Kirjan esipuheessa (P, s. 5) sanotaan, että Tärkeimmät asiat on esitetty ytimekkäästi keltaisissa laatikoissa, jotka auttavat opiskelijoita myös kurssin asioiden kertaamisessa. Lisäksi todetaan, että Harmaalla palkilla on merkitty se oppiaines, jonka opettaja voi harkintansa mukaan sisällyttää kurssiin. Kiinnostuneille on kirjan lopussa tarjolla lisätietoa kokonaan harmaalla pohjalla. Sanaa määritelmä käytetään kirjassa, mutta sanaa lause ei. Matematiikan taito Kun selaa kirjaa Matematiikan taito 9, kiinnittää ulkoasussa huomiota melko pieni kirjasinkoko. Näin kirjasta voi saada sellaisen vaikutelman, että sivut ovat täynnä tekstiä ja että kaikki tieto on ahdettu liian pieneen tilaan. Tämä voi aluksi tehdä kirjasta sekavannäköisen. Kirjan marginaaleissa esiintyvät usein sanat lause ja määritelmä ja näitä sanoja myös korostetaan yksivärisillä laatikoilla. Asiat, joita määritelmät ja lauseet kulloinkin sisältävät, ovat myös omissa laatikoissaan. Laatikoissa on myös otsikot, esim. Sini, kosini ja tangentti (MT, s. 10). Voi kuitenkin herätä kysymys, miksi sanat määritelmä ja lause eivät ole samassa laatikossa. Matematiikan kirjassa selkeys on yksi oppimisen avainsanoista. Tämän kirjan korostustapa ei välttämättä tue sitä, että opiskelijat täysin ymmärtäisivät, että lauseella ja määritelmällä on merkityksellinen ero.

25 7. KIRJOJEN JOHDANTO-OSUUDET Oppikirjan alusta löytyy yleensä tärkeä osio, joka valitettavan usein jää vähälle huomiolle. Tämä osio on johdanto. Johdannon tarkoitus on johdatella lukija aiheeseen, joten siinä on tapana selvittää opiskelijalle kirjan rakennetta, kirjan toimintaa ja kurssilla käsiteltävää asiaa. Hyvässä johdannossa nämä asiat tuodaan esille selkeästi ja kattavasti. Johdannossa on myös hyvä olla motivointia tulevaa työskentelyä varten. Kiinnostuksen herättäjänä voi käyttää esimerkiksi käytännön sovelluksia kurssin asioihin liittyen. Johdannon läheisyydestä löytyy yleensä myös sisällysluettelo. Eri kirjoissa johdannon voi korvata jokin muu vastaava, kuten esipuhe tai alkusanat. Johdanto-osuudet ovat onnistuneet vertailtavissa kirjoissa vaihtelevasti. Tämä käy eri kirjojen kohdalla ilmi seuraavasta tarkastelusta. Pitkä matematiikka Pitkä matematiikka-oppikirjan esipuhe on pitkä muihin vertailtaviin kirjoihin verrattuna. Johdanto (PM, s. 3-4), joka on kirjassa nimellä Lukijalle, alkaa lyhyellä kirjasarjan tavoitteiden ja pitkän matematiikan esittelyllä. Tämä osuus löytyy jokaisesta Pitkä matematiikka-sarjan kirjasta. Erona muihin sarjan kirjoihin verrattuna on johdannon loppuosa, jossa kerrotaan hieman kunkin kurssin sisällöstä. Muissa vertailtavissa kirjasarjoissa, lukuunottamatta Matematiikan taitoa, tätä tapaa luoda jo alusta asti jatkumoa kurssien välille ei löydy. Kirjan käyttöä ja rakennetta on esitetty, mutta motivointi kurssin aiheisiin jää pinnalliseksi. Trigonometrian sovelluksista ei sanota mitään ja lukujonoistakin vain sen verran, että lukujono on hyödyllinen käsite sekä teoreettisessa että sovelluksiin suuntautuvassa matematiikassa (PM, s. 4). Sisällysluettelossa (PM, s. 5) on vain ylimmän tason otsikot, mutta kirjan takaa löytyy hakemisto (PM, s. 215-216). Kirjan lukuja ei ole numeroitu. Sisällysluetteloa seuraa ote lukion opetussuunnitelman perusteista (PM, s. 6). Opiskelija voi siitä halutessaan selvittää tai kerrata kurssin tavoitteet ja keskeiset sisällöt. Laudatur Laudaturin tavoitteena on ollut tehdä selkeä, iloinen ja johdonmukainen oppikirja (L, s. 3). Laudaturin rakennetta ja toimintaa on selitetty riittävästi ja kurssin

7. Kirjojen johdanto-osuudet 26 sisältöön luodaan lyhyt katsaus. Sisällöstä ja tavoitteista kerrotaan lisää kirjan takakannessa. Opiskelijaa motivoidaan mainitsemalla se, että jokaiseen kirjan kappaleeseen on pyritty sisällyttämään myös sanallisia sovellustehtäviä, jotka tuovat esille yhteyttä arkielämän sovelluskohteisiin. Alkusanoja täydentää käsitekartta kurssin keskeisimmistä käsitteistä (L, s. 4). Tämä käsitekartta voi olla jollekin aluksi sekava, eikä se kirjan alussa annettuna palvele juuri mitään tarkoitusta. Käsitekarttojen hyöty on suurimmillaan silloin, kun opiskelija itse laatii niitä. Alkusanoissa on myös kirjan kotisivujen osoite. Kotisivuilla on muun muassa lisää tehtäviä ja ratkaisuja aiheittain ylioppilaskirjoituksia varten. Alkusanat päättyvät seuraavaan lauseeseen tekijöiltä: Vaaniassa syysmyrskyn pyyhkäistessä Suomen yli lokakuussa 2006. Tämän tyyppinen irrallinen lause voi tehdä kirjasta inhimillisemmän. Johdanto-osuus jatkuu kymmenen tehtävää käsittävällä testillä (L, s. 5), jolla voi kartoittaa omia taitojaan ennen kurssin alkua. Sen jälkeen on yksi sivu omistettu trigonometrian historialle (L, s. 6). Siinä kerrotaan, että trigonometristen funktioiden jaksollisuutta käytetään hyväksi esimerkiksi sähkö- ja aaltoliikeopissa ja että trigonometriset funktiot ovat suuri sovelluskohde tietoliikennejärjestelmissä. Kirjassa on lukujonoihin siirryttäessä sivun verran lukujonojen historiaa (L, s. 79). Tässä yhteydessä kerrotaan kahdesta kuuluisasta Zenonin paradoksista, jotka saattavat herättää joidenkin opiskelijoiden mielenkiinnon. Nämä paradoksit ovat Akilleus ja kilpikonna sekä Dikotomia. Calculus Calculuksen kahden sivun pituiset alkusanat (C, s. 2-3) kertovat Pitkä matematiikka-sarjan tapaan kirjasarjan kirjojen rakenteen sekä esitystavan. Alkusanoissa (C, s. 2) sanotaan muun muassa seuraavaa: Lukion Calculus ryhmittelee asiat johdonmukaisiin kokonaisuuksiin, joita edustavat selkeästi otsikoidut luvut ja kappaleet. Opetusteksti johdattaa uuteen asiaan ja tukee monin perusteluin sen omaksumista. Malliesimerkit näyttävät, miten teoriaa sovelletaan, ja niissä ilmenevä idea auttaa opiskelijaa vastaavissa tehtävissä. Kurssin sisällöstä kerrotaan kirjan sivulla 3. Perusoppiaineksesta poikkeavien tehtävien ja aihepiirien erottelu tähdellä (*) ja ylioppilastehtävien merkinnät tulevat ilmi alkusanoista (C, s. 3). Kurssin keskeiset sisällöt kerrotaan molempien kirjassa olevien kurssien osalta, ei tosin yhtä kattavasti kuin kirjassa Pitkä matematiikka 9, jossa ne esitetään otteessa opetussuunnitelman perusteista. Pyramidi Pyramidin aloitus on jaettu erilliseen esipuheeseen (P, s. 5) ja johdantoon (P, s. 7-9). Pyramidin periaatteena on ollut seuraava ajatus (P, s. 5): Olemme kirjaa tehdes-