3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin tarvittavan ekvivalenssirelaation käsitteen. Määritelmä 3.1. Olkoon A epätyhjä joukko. Joukon A A osajoukko on relaatio joukossa A. Jos R A A on relaatio, usein merkitään a R b, jos(a, b) 2 R. Määritelmä 3.2. Joukon A relaatio R on (1) refleksiivinen, josa R a kaikilla a 2 A, (2) symmetrinen, josb R a kaikilla a, b 2 A, joillea R b, (3) transitiivinen, josa R c aina kun a R b ja b R c, (4) antisymmetrinen, josb = a kaikilla a, b 2 A, joillea R b ja b R a. Jos relaatio on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen, se on ekvivalenssirelaatio. JosR on ekvivalenssirelaatio joukossa A, sanotaan,ettäjoukona alkiot a ja b ovat ekvivalentteja, jos a R b. Ekvivalenssirelaation merkkinä käytetään usein merkkiä. Määritelmä 3.3. Jos on ekvivalenssirelaatio joukossa A, niinjokainenjoukona alkio a määrää ekvivalenssiluokan Ekvivalenssiluokkien joukko [a] ={b 2 A : a b}. A/ = [a] :a 2 A on ekvivalenssirelaatiota vastaava joukon A tekijäjoukko. Kuvaus A! A/, a 7! [a], on ekvivalenssirelaatiota vastaava tekijäkuvaus eli luonnollinen kuvaus. [0] = [5] = [2] + [3] [1] = [6] = [2][3] 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 [2] = [ 3] = [3] = [ 2] = Kuva 4. Kongruenssiluokat modulo 5. Esimerkki 3.4. Olkoon q 2 N, q 2. Olkoonrelaatio kokonaislukujen joukossa Z määritelty säännöllä a b, josonk 2 Z siten, että b = a + kq. Tällöin on ekvivalenssirelaatio: (1) a = a +0q kaikilla a 2 Z, (2) jos b = a + kq jollain k 2 Z, niina = b +( kq), (3) jos b = a + kq ja c = b + nq joillain k, n 2 Z, niinc = a +(k + n)q. Ekvivalenssirelaatiota kutsutaan kongruenssiksi (modulo q). Koskaekvivalenssi- relaatio riippuu luonnollisesta luvusta q, tälleekvivalenssirelaatiollekäytetäänmer- kintää a b mod q tai a b (mod q). 16
Kongruenssia vastaavia ekvivalenssiluokkia sanotaan kongruenssiluokiksi (modulo q) ja vastaavalle tekijäjoukolle käytetään merkintää Z/qZ. Tämä merkintätapa on yhteensopiva luvussa 7 esiteltävän yleisemmän teorian kanssa. Kokonaislukujen jakoyhtälön avulla (todistetaan esimerkiksi kurssilla Lukuteorian alkeet) nähdään, että Ekvivalenssiluokat ovat erillisiä: Z/qZ = {[0], [1], [2],...,[q 1]}. Lemma 3.5. Olkoon ekvivalenssirelaatio joukossa A. Pisteiden x, y 2 A ekvivalenssiluokille pätee: (1) Jos x y, niin[x] =[y]. (2) Jos [x] \ [y] 6= ;, niin[x] =[y]. Todistus. Harjoitustehtävä 28. Olkoot A i, i 2 I joukon A epätyhjiä osajoukkoja. Jos (3) A = [ i2i A i ja kaikille i 6= j pätee A i \ A j = ;, sanotaan,ettäa on erillinen yhdiste joukoista A i, i 2 I. Merkitsemme joukkojen A i, i 2 I, erillistäyhdistettä A = G i2i A i. Tämä merkintä sisältää tiedon, että yhdistettävät joukot ovat erillisiä. Jos A = F i2i A i,niinjoukota i, i 2 I muodostavat joukon A osituksen. Lemman 3.5 nojalla joukon X ekvivalenssirelaation ekvivalenssiluokat muodostavat joukon X osituksen. Itse asiassa myös käänteinen väite pätee: Jos joukot A i, i 2 I muodostavat joukon A osituksen, määritellään relaatio R asettamalla x R y, jos ja vain jos x, y 2 A i jollain i 2 I. Osoittautuu,ettärelaatioR on ekvivalenssirelaatio. Propositio 3.6. Olkoon X 6= ;. (1) Joukon X ekvivalenssirelaatio määrää joukon X osituksen. (2) Joukon X ositus määrää joukon X ekvivalenssirelaation. Todistus. Kohta (1) seuraa Lemmasta 3.5. Todistetaan kohta (2): Olkoon R osituksen A = F i2i A i määräämä relaatio. Tarkastamme ekvivalenssirelaation määrittelevät ominaisuudet: Koska A = S i2i A i,niinjokaisellea 2 A pätee a 2 A i jollakin i 2 I. Siis a R a, jotenr on refleksiivinen. Symmetrisyys on selvä, koska relaatio R määritellään ehdolla a, b 2 A i. Oletetaan, että a, b 2 A i ja b, c 2 A j joillain i, j 2 I. KoskajoukotA k, k 2 I muodostavat joukon A osituksen, pätee joko A i = A j tai A i \ A j = ;. Oletuksen mukaan b 2 A i \ A j,jotena i = A j,jasiisa, c 2 A i,jotenrelaatio R on transitiivinen. Määritelmä 3.7. Joukon A laskutoimitus ja ekvivalenssirelaatio ovat yhteensopivat, josa b a 0 b 0 aina kun a a 0 ja b b 0.JosjoukonA ekvivalenssirelaatio ja laskutoimitus ovat yhteensopivat, niin joukon A/ laskutoimitus, joka määritellään asettamalla [a] [b] =[a b] on laskutoimituksen määräämä tekijälaskutoimitus. 17
On helppo nähdä, että yhteensopivuus takaa sen, että tekijälaskutoimitus on hyvin määritelty. Seuraavat havainnot seuraavat suoraviivaisesti määritelmistä: Propositio 3.8. Olkoon laskutoimituksella varustetun joukon (E,) laskutoimituksen kanssa yhteensopiva ekvivalenssirelaatio. Luonnollinen kuvaus E! E/ on surjektiivinen homomorfismi. Jos e 2 E on laskutoimituksen neutraalialkio, niin [e] 2 E/ on tekijälaskutoimituksen neutraalialkio. Todistus. Olkoon luonnollinen kuvaus. Kaikille a, b 2 E pätee (a) (b) =[a] [b] =[a b] = (a b), joten luonnollinen kuvaus on homomorfismi. Kuvauksen surjektiivisuus on selvää, koska jokaisella ekvivalenssiluokalla on edustaja joukossa E. Neutraalialkiotakoske- va väite seuraa Propositiosta 1.16. Propositio 3.9. Olkoon laskutoimituksella varustetun joukon (E,) laskutoimituksen kanssa yhteensopiva ekvivalenssirelaatio. Jos laskutoimitus on assosiatiivinen, sen tekijälaskutoimitus on assosiatiivinen. Jos on kommutatiivinen, sen tekijälaskutoimitus on kommutatiivinen. Todistus. Koska luonnollinen kuvaus on Proposition 3.8 mukaan surjektiivinen homomorfismi, väite seuraa Propositiosta 1.16. Esimerkki 3.10. Kokonaislukujen yhteenlasku ja kertolasku ovat yhteensopivia kongruenssin kanssa. Osoitamme tämän yhteenlaskulle: Jos a 0 = a+mq ja b 0 = b+nq, niin a 0 + b 0 = a + b +(m + n)q, joten a 0 + b 0 a + b mod q. Kertolaskulle väite osoitetaan samaan tapaan harjoituksissa (Harjoitustehtävä 29). Kokonaislukujen yhteenlasku ja kertolasku määräävät siis laskutoimitukset q alkion joukossa Z/qZ. Proposition 3.9 nojalla molemmat laskutoimitukset ovat assosiatiivisia ja kommutatiivisia. Käytämme molemmille kongruenssiluokkien laskutoimituksille samaa merkintää kuin indusoiville laskutoimituksille: [a]+[b] =[a + b] ja [a][b] =[ab] kaikille [a], [b] 2 Z/qZ. Proposition 3.8 mukaan [0] on kongruenssiluokkien yhteenlaskun neutraalialkio ja [1] on kongruenssiluokkien kertolaskun neutraalialkio. Kurssilla Lukualueet tarkastellaan kokonaislukujen ja rationaalilukujen konstruktiota luonnollisista luvuista lähtien. Luonnollisten lukujen joukko ja sen laskutoimitukset yhteenlasku ja kertolasku oletetaan intuitiivisesti tunnetuiksi. Lukualueiden kurssin aikana konstruoidaan muut lukualueet Z Q R C laajentamalla asteittain luonnollisista luvuista lähtien. Samalla tarkastellaan, miten algebralliset ominaisuudet muuttuvat laajempaan lukualueeseen siirryttäessä. Tällä kurssilla tarkastelemme kokonaislukujen ja rationaalilukujen määrittelyä lyhyesti esimerkkinä tekijälaskutoimituksista. Esimerkki 3.11. Määrittelemme kokonaisluvut luonnollisten lukujen muodollisina erotuksina : Jos m ja n ovat luonnollisia lukuja ja m n, niinniidenerotusm n on luonnollinen luku, se on yhtälön n + x = m ratkaisu. Sama luonnollinen luku voidaan esittää erotuksena äärettömän monella eri tavalla, sillä kaikilla k 2 N pätee (m + k) (n + k) =m n. 18
Näiden havaintojen opastamana määrittelemme joukkoon N N relaation asettamalla (m, n) (p, q),josjavainjosm+q = p+n.harjoitustehtävässä30osoitetaan, että relaatio on ekvivalenssirelaatio. 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 Kuva 5. Kokonaislukujen määrittelyssä käytettävä ekvivalenssirelaatio joukossa N N. Kokonaislukujen joukko on Z = N N/. Kokonaislukujen yhteenlasku on luonnollisten lukujen yhteenlaskun tulon (4) (m, n)+(p, q) =(m + p, n + q), indusoima laskutoimitus, ja kertolasku on joukon N N laskutoimituksen (5) (m, n) (p, q) =(mp + nq, mq + np) indusoima laskutoimitus. Laskutoimitusten määritelmät ovat järkeviä: Paria (m, n) tulee ajatella erotuksena m n, jolloinlausekkeet(4)ja(5)vastaavatlausekkeita ja (m n)+(p q) =(m + p) (n + q) (m n)(p q) =(mp + nq) (mq + np). Kokonaislukujen laskutoimitukset ovat hyvin määriteltyjä, koska vastaavat joukkoon N N määritellyt laskutoimitukset ovat yhteensopivia ekvivalenssirelaation kanssa. Todistamme tämän yhteenlaskulle: Jos (m, n) (m 0,n 0 ) ja (p, q) (p 0,q 0 ), niin määritelmän mukaan pätee m + n 0 = m 0 + n ja p + q 0 = p 0 + q. Siis (m + p)+(n 0 + q 0 )=(m 0 + p 0 )+(n + q), joten (m + p, n + q) (m 0 + p 0,n 0 + q 0 ). Kertolasku käsitellään harjoitustehtävässä 31. 19
Esimerkki 3.12. Rationaaliluvut muodostetaan vastaavalla tavalla kuin kokonaisluvut edellä kokonaislukujen muodollisten osamäärien avulla: Määrittelemme ekvivalenssirelaation joukossa Z Z (missä Z = Z {0}) asettamalla(a, b) (c, d), jos ja vain jos ad = bc. Rationaalilukujen joukko on Q = Z Z /. Käytämme rationaaliluvuista tavanomaista merkintää p/q =[(p, q)]. Rationaalilukujen yhteenlasku on laskutoimituksen (a, b) (c, d) =(ad + bc, bd) indusoima tekijälaskutoimitus a b + c ad + bc = d bd ja rationaalilukujen kertolasku on kokonaislukujen kertolaskun tulon (a, b) ~ (c, d) =(ac, bd) indusoima laskutoimitus. Harjoitustehtävässä 32 osoitetaan, että laskutoimitukset ja ~ ovat ekvivalenssirelaation kanssa yhteensopivia. Harjoitustehtäviä. Tehtävä 27. Mitkä seuraavista ovat joukon C ekvivalenssirelaatioita? z R w, josjavainjosre z =Rew. z R w, josjavainjos z apple w. z R w, josjavainjosre z =Imw. Tehtävä 28. Olkoon ekvivalenssirelaatio joukossa A. Olkootx, y 2 A. Osoita, että ekvivalenssiluokille pätee: (1) Jos x y, niin[x] =[y]. (2) Jos [x] \ [y] 6= ;, niin[x] =[y]. Tehtävä 29. Osoita, että kokonaislukujen kertolasku on yhteensopiva kongruenssin kanssa. Tehtävä 30. Määritellään relaatio joukossa N N asettamalla (m, n) (p, q), jos ja vain jos m + q = n + p. Osoita,että on ekvivalenssirelaatio. Tehtävä 31. Määritellään laskutoimitus joukossa N N asettamalla (m, n) (p, q) =(mp + nq, mq + np). Osoita, että on yhteensopiva tehtävän 30 ekvivalenssirelaation kanssa. Todistuksessa voi käyttää vain luonnollisia lukuja! Tehtävä 32. Määritellään relaatio joukossa Z Z asettamalla (a, b) (c, d), jos ja vain jos ad = bc. Osoita,että on ekvivalenssirelaatio. Tehtävä 33. Määritellään laskutoimitukset (a, b) (c, d) =(ad + bc, bd) ja ~ joukossa Z Z asettamalla ja (a, b) ~ (c, d) =(ac, bd). Osoita, että nämä laskutoimitukset ovat yhteensopivia tehtävän 32 ekvivalenssirelaation kanssa. 20
Tehtävä 34. Määritellään relaatio reaalilukujen joukossa R asettamalla x y, jos ja vain jos x = qy jollain q 2 Q.Osoita,että on ekvivalenssirelaatio. Osoita, että tekijäjoukko R/ on ylinumeroituva. Tehtävä 35. Määritellään relaatio R joukossa C asettamalla z R w, josjavainjos z = w. Osoita, että R on ekvivalenssirelaatio. Millaisia joukkoja relaation R ekvivalenssiluokat ovat? Tehtävä 36. Olkoon f : X! A jokin kuvaus. Määritellään relaatio f joukossa X asettamalla x f y,josjavainjosf(x) =f(y). Osoita,että f on ekvivalenssirelaatio. Osoita, että f määrää bijektion F : X/ f! f(x) asettamalla F ([x]) = f(x). Tehtävä 37. Olkoot (X, ) ja (A, ~) laskutoimituksella varustettuja joukkoja ja olkoon :(X, )! (A, ~) homomorfismi. Olkoon homomorfismin määräämä ekvivalenssirelaatio joukossa X. Osoita,ettälaskutoimitus ja ekvivalenssirelaatio ovat yhteensopivat. Osoita, että laskutoimitus ~ indusoi laskutoimituksen joukkoon (X) ja että homomorfismin määräämä kuvaus : X/! (X) on isomorfismi. Tehtävä 38. Määritellään ekvivalenssirelaatio laskutoimituksella varustetussa joukossa C asettamalla z w, josjavainjos z = w. Osoita,että on yhteensopiva kertolaskun kanssa. Osoita, että C / on isomorfinen laskutoimituksella varustetun joukon (R +, ) kanssa. Tehtävä 39. Määritellään ekvivalenssirelaatio laskutoimituksella varustetussa joukossa (C, +) asettamalla z w,josjavainjosz w = k 2 i jollain k 2 Z.Osoita, että on yhteensopiva yhteenlaskun kanssa. Osoita, että (C, +)/ on isomorfinen kompleksilukujen multiplikatiivisen ryhmän C kanssa. 21