Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/144

Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/144

Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi... jos ja vain jos... Sulkeita ( ) käytetään selkeyden vuoksi osoittamaan konnektiivien soveltamisen järjestys. 2/144

Esimerkiksi tarkoittaa eri asiaa kuin A (B C) (A B) C. Tässä A, B ja C symboloivat ns. propositiolauseita. 3/144

Propositiolauseet Propositiolauseet ovat abstrakteja vastineita väitelauseille. väitelause ei väitelause 10 > 8 7 4 4 < 3 < 4 ( 3) 2 > 16 2 Z sin π N Väitelauseen voidaan ajatella olevan totta tai epätotta. 4/144

Negaation totuustaulu Määritelmä Negaatiolla on seuraava totuustaulu: A A 1 0 0 1 Huom. Yllä 1 tarkoittaa tosi ja 0 epätosi. Jos propositiolause A on tosi, niin A on epätosi. Jos propositiolause A on epätosi, niin A on tosi. 5/144

Konjunktion totuustaulu Määritelmä Konjunktiolla on seuraava totuustaulu: Huom. A B A B 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Propositiolause A B on tosi, jos ja vain jos propositiolauseet A ja B ovat molemmat tosia. Määritelmä vastaa konnektiivin ja intuitiivista merkitystä. 6/144

Disjunktion totuustaulu Määritelmä Disjunktiolla on seuraava totuustaulu: Huom. A B A B 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Propositiolause A B on epätosi, jos ja vain jos propositiolauseet A ja B ovat molemmat epätosia. Määritelmä vastaa konnektiivin tai intuitiivista merkitystä siinä tapauksessa, että kysymyksessä ei ole poissulkeva tai. 7/144

Implikaation totuustaulu Määritelmä Implikaatiolla on seuraava totuustaulu: Huom. A B A B 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Propositiolause A B on epätosi, jos ja vain jos etujäsen A on tosi ja takajäsen B on epätosi. 8/144

Esimerkki 1 Implikaatio Tarkastellaan väitettä jos x > 2, niin x 2 > 4. Joitakin esimerkkejä: x x > 2 x 2 x 2 > 4 3 tosi 9 tosi 5 epätosi 25 tosi 1 epätosi 1 epätosi Implikaation totuustaulu on määritelty niin, että kaikissa yllä olevissa tapauksissa implikaatio x > 2 x 2 > 4 on tosi. Toisenlainen implikaation totuustaulun määrittely johtaisi hankaluuksiin, koska kukaan tuskin kyseenalaistaa väitteen jos x > 2, niin x 2 > 4 totuutta. 9/144

Implikaatio Esimerkki 2 Tarkastellaan implikaatiota Jos juna liikkuu, niin sen ovet ovat kiinni. Merkitään propositiosymbolilla p 0 väitettä juna liikkuu ja propositiosymbolilla p 1 väitettä ovet ovat kiinni. Kysymyksessä on siis propositiolause p 0 p 1. Junan valvontaohjelmisto voi tarkkailla propositiolauseiden p 0 ja p 1 totuusarvoja, toisin sanottuna sitä, onko juna liikkeellä ja ovatko sen ovet kiinni. 10/144

Tapauksessa, jossa implikaatio p 0 p 1 on tosi, on kaikki hyvin ja tarkkailua voidaan jatkaa, sillä tällöin on kysymyksissä jokin tapauksista juna liikkuu juna ei liiku juna ei liiku ovet ovat kiinni ovet ovat kiinni ovet eivät ole kiinni Tapauksessa, jossa implikaatio p 0 p 1 on epätosi, on aihetta hälytykseen, sillä tällöin on kysymyksessä tapaus juna liikkuu ovet eivät ole kiinni 11/144

Ekvivalenssin totuustaulu Määritelmä Ekvivalenssilla on seuraava totuustaulu: Huom. A B A B 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Propositiolause A B on tosi, jos ja vain jos propositiolauseilla A ja B on sama totuusarvo. 12/144

Implikaatio, kontrapositio ja vain jos Olkoon I propositiolause olen iloinen ja B menen bussilla. Seuraavat propositiolauseet ovat loogisesti ekvivalentteja: Implikaatio: Jos olen iloinen, niin menen bussilla. I B I B 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 13/144

Implikaation kontrapositio: Jos en mene bussilla, niin en ole iloinen. I B B I B I 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 14/144

vain jos -väite: Olen iloinen vain jos menen bussilla. Bussilla meneminen on välttämätöntä iloisuuden saavuttamiseksi, mutta ei takaa sitä. Jos olen iloinen ja menen bussilla, väite on tosi. Jos olen iloinen vaikka en mene bussilla, niin väite on epätosi. Jos en ole iloinen enkä mene bussilla, niin väite on tosi. Jos en ole iloinen ja menen bussilla, niin väite on tosi. I B I vain jos B 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Kysymyksessä on siis implikaatio I B. 15/144

Kvanttorit Väite, jossa esiintyy ns. vapaa muuttuja, voi olla jollakin muuttujan arvolla tosi ja jollakin epätosi. Tarkastellaan esimerkiksi väitettä x 2 2x + 1 = 0. Jos x = 5, tämä väite on epätosi, sillä 5 2 2 5 + 1 = 16. Jos x = 1, tämä väite on tosi, sillä 1 2 2 1 + 1 = 0. 16/144

Kvanttorit Tällaisten väitteiden tapauksessa ollaan usein kiinnostuneita siitä, onko väite tosi kaikilla muuttujan arvoilla tai ainakin yhdellä muuttujan arvolla. Nämä asiat voidaan ilmaista kvanttoreiden avulla: kaikilla on olemassa 17/144

Esimerkki 3 Kvanttorit Tulkitse seuraavat reaalilukuja koskevat lauseet suomen kielelle ja päättele, ovatko ne tosia vai epätosia. (a) x(x 2 0) Kaikilla reaaliluvuilla x pätee, että x 2 0. Väite on tosi. (b) x(x 2 2x + 3 = 0) Yhtälöllä x 2 2x + 3 = 0 on ainakin yksi ratkaisu reaalilukujen joukossa. Väite on epätosi, sillä 2. asteen yhtälön ratkaisukaavassa neliöjuuren alle tuleva lauseke eli yhtälön ns. diskriminantti 2 2 4 1 3 = 4 12 = 8 < 0 eikä yhtälöllä sen vuoksi ole ratkaisuja reaalilukujen joukossa. 18/144

(c) x(x < 2 x 2 < 4) Kaikilla reaaliluvuilla x pätee, että jos x < 2, niin x 2 < 4. Väite on epätosi, sillä esimerkiksi 5 < 2 mutta kuitenkin ( 5) 2 = 25 4. (d) x(3x 12 = 3) On olemassa reaaliluku, joka toteuttaa yhtälön 3x 12 = 3. Väite on tosi, sillä 3 5 12 = 15 12 = 3. 19/144

Kvanttorit Esimerkki 4 Kirjoita seuraavat joukkoja A, B, C ja D koskevat väitteet logiikan symbolien avulla: (a) A B. x(x A x B) (b) B C. x(x B x C) (c) A B B C. x ( (x A x B) (x B x C) ) (d) A B = C D. x ( (x A x B) (x C x D) ) 20/144

Esimerkki 5 Kvanttorit ja negaatiot Kirjoita seuraavat tämän kurssin opiskelijoita koskevat väitteet logiikan symbolien avulla. Muodosta sen jälkeen niiden negaatiot suomen kielellä ja logiikan symbolien avulla. (a) Joku ei nukkunut luennolla. Ts. on olemassa ihminen, joka ei nukkunut luennolla. x N(x) missä N(x) tarkoittaa x nukkui luennolla. Väitteen negaatio on Kaikki nukkuivat luennolla x N(x). 21/144

(b) Kukaan ei ole hypännyt laskuvarjolla. x H(x) missä H(x) tarkoittaa x on hypännyt laskuvarjolla. Väitteen negaatio on Joku on hypännyt laskuvarjolla x H(x) Ts. on olemassa opiskelija, joka on hypännyt laskuvarjolla. 22/144

(c) Kaikki takarivissä istuvat puhuvat espanjaa. Ts. jos opiskelija istuu takarivissä, niin hän puhuu espanjaa. x ( T (x) E(x) ) missä T (x) tarkoittaa x istuu takarivissä ja E(x) tarkoittaa x puhuu espanjaa. Väitteen negaatio on Joku takarivissä istuva ei puhu espanjaa x (T (x) E(x)) eli x ( T (x) E(x) ). Ts. on olemassa opiskelija, joka istuu takarivissä eikä puhu espanjaa. 23/144

(d) Joku tietojenkäsittelytieteen pääaineopiskelijoista on käynyt Japanissa. Ts. kurssilla on opiskelija, jolla on tkt pääaineena ja joka on käynyt Japanissa. x ( C(x) J(x) ) missä C(x) tarkoittaa x on tietojenkäsittelytieteen pääaineopiskelija ja J(x) tarkoittaa x on käynyt Japanissa. Väitteen negaatio on Kukaan tietojenkäsittelytieteen pääaineopiskelijoista ei ole käynyt Japanissa x ( (C(x) J(x)) ) eli x ( C(x) J(x) ) eli x ( C(x) J(x) ). Ts. jokaisen opiskelijan kohdalla pitää paikkansa, että hän ei ole tietojenkäsittelytieteen pääaineopiskelija tai hän ei ole käynyt Japanissa; ts. jos ihminen on tietojenkäsittelytieteen pääaineopiskelija, niin hän ei ole käynyt Japanissa. 24/144

Kvanttorit ja negaatiot Yhteenveto: Lause x P(x) on loogisesti ekvivalentti lauseen x P(x) kanssa. Lause x P(x) on loogisesti ekvivalentti lauseen x P(x) kanssa. Huomaa myös: Propositiolause (P Q) on loogisesti ekvivalentti propositiolauseen P Q kanssa. Propositiolause (P Q) on loogisesti ekvivalentti propositiolauseen P Q kanssa. 25/144

Kvanttorien järjestys Esimerkki 6 Tulkitse seuraavat reaalilukuja koskevat väitteet suomen kielelle ja päättele, ovatko ne tosia vai epätosia. (a) x y(x + y = 5). Jokaista reaalilukua x kohti on olemassa jokin sellainen reaaliluku y, että lukujen x ja y summa on 5. Väite on tosi, sillä olipa x R mikä tahansa, voidaan aina valita y = 5 x. 26/144

(b) y x(x + y = 5). On olemassa sellainen reaaliluku y, että sen ja minkä tahansa reaaliluvun summa on 5. Väite on epätosi. Osoitetaan tämä epäsuoralla päättelyllä. Tehdään vastaoletus, että väite on tosi eli tällainen reaaliluku y on olemassa. Tällöin esimerkiksi y + 1 = 5 ja y + 7 = 5. Tästä seuraa, että y + 1 = y + 7 eli 0 = 6. Ristiriita! Näin väite ei voi olla tosi. Epäsuoraa päättelyä harjoitellaan myös tämän kurssin yhteisessä osuudessa. 27/144

Kvanttorien järjestys Esimerkki 7 Tulkitse seuraavat tämän kurssin opiskelijoita koskevat väitteet suomen kielelle ja pohdi, ovatko ne tosia vai epätosia. Tässä A(x, y) tarkoittaa x auttaa y:tä tehtävien tekemisessä. (a) x y A(x, y). On olemassa opiskelija, joka auttaa kaikkia tehtävien tekemisessä. (b) x y A(x, y). Jokainen opiskelija auttaa jotain opiskelijaa tehtävien tekemisessä. Jokaisella opiskelijalla on joku, jota auttaa tehtävien tekemisessä. 28/144

(c) x y A(x, y). On olemassa opiskelijat, joista toinen ei auta toista tehtävien tekemisessä. (d) x y A(x, y). On olemassa opiskelija, joka ei auta ketään tehtävien tekemisessä. Negaation paikkaa vaihtamalla saadaan väite muotoon x y A(x, y) tai x y A(x, y) Ei pidä paikkaansa, että jokainen opiskelija auttaa jotain opiskelijaa tehtävien tekemisessä. 29/144

(e) x y A(x, y). Ei ole olemassa opiskelijaa, joka auttaisi jotakuta tehtävien tekemisessä. Negaation paikkaa vaihtamalla saadaan väite muotoon tai x y A(x, y) x y A(x, y) Kukaan ei auta ketään tehtävien tekemisessä. 30/144

Geometrinen lukujono Määritelmä Lukujonoa a 0, a 1, a 2, a 3,... sanotaan geometriseksi, jos on olemassa sellainen q R että kaikilla n N pätee a n+1 = qa n. Lukua q nimitetään geometrisen lukujonon suhdeluvuksi. Huom. Jos a n 0, niin määritelmän yhtälö voidaan muuttaa muotoon a n+1 a n = q. Toisin sanottuna lukujono on geometrinen, jos kahden peräkkäisen luvun suhde on vakio. 31/144

Esimerkki 8 Geometrinen lukujono Määritellään lukujono asettamalla a n = ( 2) n kaikilla n N. Osoita, että lukujono on geometrinen ja laske sen neljä ensimmäistä termiä. Oletetaan, että n N. Peräkkäisten termien suhde on a n+1 a n = ( 2)n+1 ( 2) n = 2. Neljä ensimmäistä termiä ovat a 0 = ( 2) 0 = 1, a 1 = ( 2) 1 = 2, a 2 = ( 2) 2 = 4, a 3 = ( 2) 3 = 8. 32/144

Geometrinen lukujono Esimerkki 9 Onko lukujono geometrinen, jos se alkaa seuraavasti? (a) 18, 6, 2, 2/3,... Lukujono näyttäisi olevan geometrinen, sillä peräkkäisten termien suhde on vakio: Suhdeluku on 1/3. 6 18 = 1 3, 2 6 = 1 3 ja 2 3 : 2 = 1 3. 33/144

(b) 12, 18, 30, 42,... Lukujono ei ole geometrinen, sillä peräkkäisten termien suhde ei ole vakio: (c) 0, 0, 0, 0,... 18 30 = 1,5 mutta 12 18 1,67. Lukujono on geometrinen, sillä sen suhdeluvuksi kelpaa mikä tahansa reaaliluku. Suhdeluku voi olla vaikkapa 5, sillä lukujonon jokainen jäsen saadaan edellisestä kertomalla luvulla 5: 0 = 5 0. Geometrisen lukujonon määritelmä siis täyttyy. 34/144

Geometrinen lukujono Lause 10 Oletetaan, että a 0, a 1, a 2, a 3,... on geometrinen lukujono, jonka suhdeluku on q. Tällöin a n = a 0 q n kaikilla luonnollisilla luvuilla n 1. 35/144

Todistus. Alkuaskel: Geometrisen lukujonon määritelmän mukaan a 1 = qa 0 = a 0 q 1. Väite pätee siis luvulla 1 N. Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus: Oletetaan, että k 1 ja a k = a 0 q k. Näytetään, että tällöin vastaava väite pätee seuraavalla luonnollisella luvulla k + 1: Käytetään geometrisen lukujonon määritelmää ja induktio-oletusta: a k+1 = qa k = q(a 0 q k ) = a 0 q k+1. Johtopäätös: Alkuaskeleesta ja induktioaskeleesta seuraa induktioperiaatteen nojalla, että väite pätee kaikilla luonnollisilla luvuilla n 1. 36/144

Geometrinen sarja Määritelmä Oletetaan, että a, q R. Geometrinen sarja on päättymätön summa aq k = a + aq + aq 2 + aq 3 +.... Huom. k=0 Geometriseen sarjaan päädytään, jos yritetään laskea yhteen jonkin geometrisen lukujonon kaikki termit. Sarjoja opiskellaan kurssilla Analyysi II. Sopimus: yllä olevassa määritelmässä q 0 = 1 kaikilla q R, myös jos q = 0. 37/144

Määritelmä Geometrisen sarjan osasumma Oletetaan, että a, q R, n N ja n 1. Geometrisen sarjan aq k = a + aq + aq 2 + aq 3 +... k=0 n:s osasumma tarkoittaa sen n ensimmäisen termin summaa Huom. n 1 S n = aq k = a + aq + aq 2 + + aq n 1. k=0 Määritelmän mukaan S 1 = a, S 2 = a + aq, S 3 = a + aq + aq 2 jne. 38/144

Geometrisen sarjan osasumma Lause 11 Oletetaan, että a, q R ja n N, n 1. Geometrisen sarjan aq k = a + aq + aq 2 + aq 3 +... k=0 n:s osasumma on n 1 S n = aq k a 1 qn, jos q 1; = 1 q k=0 na, jos q = 1. Todistus. Induktiolla luvun n suhteen; jätetään harjoitustehtäväksi. 39/144

Geometrisen sarjan osasumma Esimerkki 12 Laske annetun geometrisen sarjan osasumma S 6. (a) 5 + 15 + 45 +... Suhdeluku on peräkkäisten termien suhde: q = 15/5 = 3. Osasumma S 6 on siten S 6 = 5 1 36 1 3 = 5 1 729 = 3640 = 1820. 2 2 40/144

(b) 1 1 2 + 1 4 1 8 +... Suhdeluku on peräkkäisten termien suhde: Osasumma S 6 on siten q = 1 2 1 = 1 2. S 6 = 1 1 ( 1/2)6 1 ( 1/2) = 1 1/64 = 63 3/2 64 2 3 = 21 32. 41/144

Geometrisen sarjan summa Oletetaan, että a R, n N ja 1 < q < 1. Tällöin voidaan osoittaa, että luvun n kasvaessa q n lähestyy nollaa eli q n 0. Tästä seuraa edelleen, että luvun n kasvaessa geometrisen sarjan aq k = a + aq + aq 2 + aq 3 +... k=0 osasummat S n lähestyvät lukua a/(1 q): S n = a 1 qn 1 q a 1 0 1 q = a 1 q. 42/144

Geometrisen sarjan summa Jos 1 < q < 1, niin lukua a 1 q sanotaan geometrisen sarjan summaksi. Huom. aq k = a + aq + aq 2 + aq 3 +... k=0 Sarjoja ja niiden suppenemista voi opiskella tarkemmin kurssilla Analyysi II. 43/144

Esimerkki 13 Geometrinen sarja Oletetaan, että alla olevan neliön sivun pituus on s. Mikä on väritetyn osan pinta-ala, jos väritystä jatketaan loputtomiin alla olevan kuvan mukaisesti? 44/144

Suurimman väritetyn suorakulmion pinta-ala on A 0 = 1 2 s s = s2 2. Seuraavan väritetyn suorakulmion kumpikin sivu on puolet edellisen suorakulmion vastaavasta sivusta, joten pinta-alaksi A n+1 saadaan A n+1 = 1 4 A n kaikilla n N. 45/144

Väritettyjen suorakulmioiden pinta-alat muodostavat siis geometrisen lukujonon, jonka suhdeluku q = 1/4. Koska 1 < q < 1, vastaava geometrinen sarja suppenee ja sen summa on k=0 A k = s2 /2 1 (1/4) = s2 /2 3/4 = s2 2 4 3 = 2 3 s2 eli 2/3 suurimman neliön pinta-alasta. 46/144

Geometrinen sarja Esimerkki 14 Viereisessä kuvassa on esitetty Kochin lumihiutaleen neljä ensimmäistä iteraatiota. Oletetaan, että ensimmäisen kolmion pinta-ala on 1. Mikä on tämän Kochin käyrän rajaaman alueen pinta-ala, jos iteraatioita jatketaan loputtomiin samalla periaatteella? 47/144

Uusien kolmioiden määrä: Toisessa iteraatiossa kolmion jokaiselle sivulle syntyy uusi kolmio. Uusia kolmioita syntyy siis kolme. Kolmannessa iteraatiossa jokaista edellisessä vaiheessa syntynyttä kolmiota kohti syntyy neljä uutta kolmiota: Myös seuraavissa iteraatioissa jokaista edellisessä vaiheessa syntynyttä kolmiota kohti syntyy neljä uutta kolmiota. 48/144

Uusien kolmioiden pinta-ala: Kolmion pinta-ala on puolet sen kannan ja korkeuden tulosta eli kuvan merkinnöin 1 2 sh. Kuvan pienessä suorakulmaisessa kolmiossa h = sin α h = s sin α. s Näin kolmion pinta-alaksi saadaan 1 2 s2 sin α. s α h 49/144

Uusien kolmioiden pinta-ala: Toisessa iteraatiossa syntyvän pienen kolmion sivun pituus on kolmasosa ensimmäisen kolmion sivun pituudesta s, joten sen pinta-ala on ( ) 2 1 1 2 3 s sin α = 1 ( ) 1 9 2 s2 sin α eli yhdeksäsosa alkuperäisen kolmion pinta-alasta. Seuraavissa iteraatioissa syntyvien kolmioiden pinta-alat pienenevät vastaavalla tavalla yhdeksäsosaan edellisen vaiheen kolmioiden pinta-aloista. 50/144

Uusia Uuden kolmion Uusi pinta-ala Iteraatio kolmioita (kpl) pinta-ala yhteensä 1 1 1 1 1 1 2 3 9 3 ( ) 2 1 1 3 3 4 9 3 4 9 ( ) 3 ( 1 4 3 4 2 1 4 9 3 9 ) 2 51/144

Iteraatioiden kokonaispinta-alat muodostavat siis 2. iteraatioista alkaen geometrisen lukujonon, jonka suhdeluku q = 4/9. Koska 1 < q < 1, vastaava geometrinen sarja suppenee ja sen summa on k=0 1 3 ( ) k 4 = 9 1/3 1 (4/9) = 1/3 5/9 = 1 3 9 5 = 3 5. Lisäämällä tähän ensimmäisen kolmion pinta-ala 1 saadaan Kochin käyrän rajaaman alueen pinta-alaksi 1 + A k = 1 + 3 5 = 8 5. k=0 52/144

Geometrinen lukujono Esimerkki 15 Tehtävä vuodelta 2001: Meksiko Cityn asukasluku oli vuoden 1995 alussa n. 13 miljoonaa. Minä vuonna metropolialueen asukasluku ylittää 25 miljoonan rajan, jos vuotuiseksi väestönkasvuksi oletetaan 4 %? Vuonna 2011 Meksiko Cityn asukasluku oli n. 21,2 miljoonaa (Wikipedia). Mikä oli todellinen vuotuinen väestönkasvu, jos oletetaan sen olleen vakio? 53/144

Geometrinen sarja Esimerkki 16 Tarkastellaan noppapeliä, jossa kaksi henkilöä heittää noppaa vuorotellen ja voittaja on se pelaaja, joka saa ensimmäisenä kuutosen. Millä todennäköisyydellä aloittaja voittaa? Kannattaako tällaisessa pelissä yrittää saada aloitusvuoro itselleen? 54/144

Binomikertoimet ja osajoukkojen lukumäärä Määritelmä Oletetaan, että n, k N. Jos n = 0, merkitään X n =. Jos n 1, merkitään X n = {1,..., n}. Tarkastellaan niitä joukon X n osajoukkoja, joissa on k kappaletta alkioita. Tällaisten osajoukkojen lukumäärää merkitään ( ) n. k Huom. Tämä merkintä luetaan n yli k. ( ) n Lukuja, missä n, k N, kutsutaan binomikertoimiksi. k 55/144

Binomikertoimet ja osajoukkojen lukumäärä Esimerkki 17 Merkitään X 3 = {1, 2, 3}. Joukon X 3 kaksialkioiset osajoukot ovat {1, 2}, {1, 3} ja {2, 3}, joten ( ) 3 = 3. 2 Joukolla X 3 ei ole yhtään viisialkioista osajoukkoa, joten ( ) 3 = 0. 5 56/144

Binomikertoimet ja osajoukkojen lukumäärä Esimerkki 18 Merkitään X 9 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Joukon X 9 ainoa nolla-alkioinen osajoukko on, joten ( ) 9 = 1. 0 Joukon X 9 ainoa 9-alkioinen osajoukko on X 9 itse, joten ( ) 9 = 1. 9 57/144

Joukon X 9 yksialkioiset osajoukot ovat {1}, {2},..., {9}, joten ( ) 9 = 9. 1 Joukon X 9 8-alkioiset osajoukot ovat yksialkioisten osajoukkojen komplementit X 9 {1},..., X 9 {9}, joten Huom. ( ) 9 = 9. 8 Voidaan osoittaa, että jos n,k N ja 0 k n, niin ( ) n = k ( ) n. n k 58/144

Osajoukkojen lukumäärä Esimerkki 19 Kuinka monta osajoukkoa on joukolla X 3 = {1, 2, 3}? Joukolla X 3 on seuraavat osajoukot: tyhjä joukko, yksiöt {1}, {2} ja {3}, kaksiot {1, 2}, {1, 3} ja {2, 3}, joukko itse {1, 2, 3}. Joukon X 3 osajoukkojen lukumäärä on siis 8 = 2 3. 59/144

Osajoukkojen lukumäärä Lause 20 Oletetaan, että joukossa X on n alkiota, missä n N. Tällöin joukon X osajoukkojen lukumäärä on 2 n. Todistus. Jos n = 0, niin X =. Tyhjällä joukolla on vain yksi osajoukko, joka on tyhjä joukko itse. Toisin sanottuna eikä tyhjällä joukolla ole muita osajoukkoja. Siis joukon X osajoukkojen lukumäärä on 1 = 2 0. 60/144

Oletetaan, että joukossa X on n alkiota, missä n 1. Tällöin voidaan merkitä X = {a 1, a 2,..., a n }. Muodostetaan joukon X osajoukko käymällä läpi joukon X alkiot ja päättämällä jokaisen alkion kohdalla, otetaanko se osajoukkoon vai ei. Eri mahdollisuuksia on tällöin yhteensä 2 } 2 {{ 2} = 2 n. n kpl Joukolla X on siis 2 n erilaista osajoukkoa eli joukon X osajoukkojen lukumäärä on 2 n. 61/144

Osajoukkojen lukumäärä Lause 21 Oletetaan, että n N. Tällöin ( ) ( ) n n + + + 0 1 ( ) n + n 1 ( ) n = 2 n. n Todistus. Yhtälön vasemmalla puolella on laskettu yhteen n-alkoisen joukon kaikkien erikokoisten osajoukkojen lukumäärät. Tämä summa kertoo n-alkoisen joukon kaikkien osajoukkojen lukumäärän, joka on lauseen 20 mukaan 2 n. 62/144

Osajoukkojen lukumäärä Esimerkki 22 Merkitään X 4 = {1, 2, 3, 4}. Huomataan, että ( ) 4 = 1, 0 ( ) 4 = 4, 1 ( ) 4 = 4 ja 3 ( ) 4 = 1, 4 sillä joukon X 4 ainoa nolla-alkoinen osajoukko on ja ainoa nelialkioinen osajoukko on X 4 itse, joukon X 4 yksialkoiset osajoukot ovat {1},..., {4} ja kolmialkoiset osajoukot ovat niiden komplementit X 4 {1},..., X 4 {4}. 63/144

Joukon X 4 kaksialkioisten osajoukkojen lukumääräksi jää siis lauseen 21 mukaan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 4 = 2 4 2 0 1 3 4 = 16 1 4 4 1 = 6. Havaitaan, että joukolla X 4 on seuraavat kaksialkoiset osajoukot: {1, 2} {1, 3} {1, 4} {2, 3} {2, 4} {3, 4}. 64/144

Pascalin identiteetti Lause 23 Oletetaan, että n, k N ja 0 < k < n. Tällöin ( ) ( ) ( ) n n 1 n 1 = +. k k 1 k Huom. Pascalin identiteetistä saadaan ns. Pascalin kolmio, jonka avulla pieniä binomikertoimia on helppo laskea. 65/144

Pascalin kolmio ( 0 0) ( 1 ) ( 1 0 1) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 0 1 2) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 0 1 2 3) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 0 1 2 3 4) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 0 1 2 3 4 5). 66/144

Pascalin kolmio 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1. 67/144

Pascalin identiteetti Seuraava esimerkki havainnollistaa ideaa, jolla Pascalin identiteetti voitaisiin todistaa. Esimerkki 24 Havaitaan, että joukolla X 5 = {1, 2, 3, 4, 5} on seuraavat kaksialkioiset osajoukot: {1, 5}, {2, 5}, {3, 5}, {4, 5} {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}. 68/144

Näistä ylemmät ovat muotoa {k} {5}, missä {k} on joukon X 4 yksialkoinen osajoukko. Niiden lukumäärä on ( ) 4. 1 Alemmat ovat joukon X 4 kaksialkoisia osajoukkoja, joiden lukumäärä on ( ) 4. 2 Siis ( ) 5 = 2 kuten lauseen 23 tulos sanoo. ( ) 4 + 1 ( ) 4 2 69/144

Pascalin identiteetti Oletetaan, että matka pisteestä A pisteeseen B on muodostuu yhteensä n askeleesta, joista n k oikealle ja k ylös. Y B X A Erilaisia reittejä pisteestä A pisteeseen B on tällöin ( ) n. k 70/144

Jokainen näistä reiteistä kulkee joko pisteen X tai pisteen Y kautta. Y B X A Reittejä A X on ( ) n 1 ja A Y vastaavasti k 1 ( ) n 1. k 71/144

Erilaisten reittien kokonaismäärä on siis ( ) ( ) ( ) n n 1 n 1 = +. k k 1 k Y B X A 72/144

Kertoma Määritelmä Oletetaan, että n N. Luvun 0 kertoma tarkoittaa lukua 0! = 1 Luvun (n + 1) kertoma tarkoittaa lukua (n + 1)! = (n + 1)n! Huom. Tässä kertoma määriteltiin rekursiivisesti. 73/144

Kertoma Esimerkki 25 Kertoman määritelmän mukaan 0! = 1 1! = 1 0! = 1 1 = 1 2! = 2 1! = 2 1 = 2 3! = 3 2! = 3 2 = 6 4! = 4 3! = 4 6 = 24 74/144

Lause 26 Kertoma Oletetaan, että n N ja n 1. Tällöin Todistus. n! = 1 2 3 n. Todistetaan väite induktiolla. Alkuaskel: määritelmän mukaan 1! = 1 0! = 1 1 = 1, joten väite pätee luvulla 1. Oletetaan, että jollakin k N pätee k! = 1 2 3 k (induktio-oletus). Osoitetaan, että vastaava yhtälö pätee tällöin myös luvulle k + 1. Määritelmää ja induktio-oletusta käyttäen saadaan (k + 1)! = (k + 1) k! = (k + 1) 1 2 3 k = 1 2 3 k (k + 1). 75/144

Binomikertoimet ja kertoma Lause 27 Oletetaan, että n, k N ja k n. Tällöin ( ) n = k n! k!(n k)! 76/144

Lauseen 27 todistus. Todistetaan lause induktiolla luvun n suhteen. Alkuaskel: Oletetaan, että n = 0. Tällöin väite pätee, sillä ( ) 0 = 1 = 1 0 1 1 = 0! 0!0!. Huomaa, että lauseessa esiintyvän luvun k on tässä tilanteessa oltava 0. Induktioaskel: Tehdään induktio-oletus, että n N, ja jos k N ja k n, niin ( ) n n! = k k!(n k)!. 77/144

Osoitetaan, että tällöin vastaava väite pätee luvulle n + 1. Oletetaan, että l N ja l n + 1. Jos l = 0, niin ( ) ( ) n + 1 n + 1 = = 1 = l 0 (n + 1)! (n + 1)! = (n + 1)! 0!(n + 1 0)! Jos l = n + 1, niin ( ) ( ) n + 1 n + 1 (n + 1)! (n + 1)! = = 1 = = l n + 1 (n + 1)! (n + 1)!0! 78/144

Oletetaan, että 0 < l < n + 1. Tällöin voidaan käyttää Pascalin identiteettiä (lause 23), jonka mukaan ( ) n + 1 = l ( ) n + l 1 ( ) n l (1) Nyt 0 l 1 < l n, joten molempiin yhteenlaskettaviin voidaan käyttää induktio-oletusta ja saadaan ( ) n + l 1 ( ) n = l n! (l 1)!(n (l 1))! + n! l!(n l)! (2) 79/144

Laventamalla yhteenlaskettavat samannimisiksi saadaan n! (l 1)!(n (l 1))! + n! l!(n l)! = Yhdistämällä yhtälöt (1), (2) ja (3) saadaan ( ) n + 1 = l = = = n!l n!(n l + 1) + l!(n l + 1)! l!(n l + 1)! n! (l + n l + 1) l!(n + 1 l)! n! (n + 1) l!(n + 1 l)! (n + 1)! l!(n + 1 l)! (n + 1)! l!(n + 1 l)! (3) 80/144

Johtopäätös: Alkuaskeleesta ja induktioaskeleesta seuraa I induktioperiaatteen nojalla, että väite pätee kaikilla n N. Siis jos n, k N ja k n, niin ( ) n = k n! k!(n k)! 81/144

Lauseen 27 perustelu kombinatorisella päättelyllä: Oletetaan, että n, k N ja k n. Tarkastellaan joukkoa, jossa on n alkiota. Muodostetaan näistä jono, jossa on k alkiota. Jonon ensimmäinen jäsen voidaan valita n eri tavalla, seuraava n 1 eri tavalla ja niin edelleen, joten k-alkioinen jono voidaan muodostaa kaikkiaan eri tavalla. n (n 1) 3 2 1 n (n 1) (n k + 1) = }{{} (n k) 3 2 1 k kpl = n! (n k)! 82/144

Toisaalta k-alkioinen jono voidaan muodostaa valitsemalla ensin jonoon tulevat alkiot eli n-alkioisen joukon k-alkioinen osajoukko. Näitä on ( ) n k erilaista. Tämän jälkeen valitut alkiot voidaan järjestää jonoon. Jonon ensimmäinen jäsen voidaan valita k eri tavalla, seuraava k 1 eri tavalla ja niin edelleen, joten valitusta osajoukosta on mahdollista muodostaa k-alkioinen jono eri tavalla. k (k 1) 3 2 1 = k! 83/144

Jokaista valittua osajoukkoa kohti saadaan siis muodostettua k! erilaista jonoa, joten erilaisten k-alkioisten jonojen lukumäärä on kaikkiaan ( ) n k! k Joukosta, jossa on n alkiota, voidaan siis muodostaa k-alkioinen jono ( ) n n! k! = k (n k)! eri tavalla. Tästä saadaan ( ) n = k n! k!(n k)! 84/144

Lause 28 Oletetaan, että a, b R. Tällöin Binomikertoimet (a + b) n = n k=0 kaikilla luonnollisilla luvuilla n 1. Huom. ( ) n a n k b k k Yhtälön oikealla puolella on summa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n a n + a n 1 b+ a n 2 b 2 + + ab n 1 + b n. 0 1 2 n 1 n 85/144

Binomikertoimet Lause 28 voidaan todistaa induktiolla käyttäen apuna Pascalin identiteettiä (lause 23). Esimerkki 29 (a) Poista sulut polynomista (x 1) 7. (b) Määritä termin x 15 kerroin polynomissa (1 + x) 18. 86/144

(a) Poistetaan sulut polynomista (x 1) 7 : (x 1) 7 = ( ) ( ) ( ) 7 7 7 x 7 + x 6 ( 1) + x 5 ( 1) 2 0 1 2 ( ) ( ) 7 7 + x 4 ( 1) 3 + x 3 ( 1) 4 3 4 ( ) ( ) 7 7 + x 2 ( 1) 5 + x ( 1) 6 + 5 6 = x 7 7x 6 + 21x 5 35x 4 + 35x 3 21x 2 + 7x 1 ( ) 7 ( 1) 7 7 87/144

(b) Määritetään termin x 15 kerroin polynomissa (1 + x) 18. Lauseen 28 mukaan kyseinen termi on ( ) 18 1 3 x 15 = 18! 15 15!3! x 15 18 17 16 = 3 2 1 x 15 = 3 17 16x 15, joten kysytty kerroin on 3 17 16 = 816. 88/144

Binomikertoimet Esimerkki 30 Oletetaan, että n N ja n 1. Osoita, että ( ) n 0 ( ) n + 1 ( ) n 2 Toisin sanottuna osoita, että ( ) n n ( 1) k = 0. k k=0 ( ) ( ) n n + + ( 1) n = 0. 3 n 89/144

Lauseen 28 mukaan ( ) ( ) n n (x 1) n = x n + x n 1 ( 1) + 0 1 ( ) n + n 1 Sijoittamalla tähän x = 1 saadaan 0 n = eli ( ) n 0 ( ) n 0 ( ) n + 1 ( ) n + 1 x( 1) n 1 + ( ) n x n 2 ( 1) 2 +... 2 ( ) n ( 1) n. n ( ) ( ) ( ) n n n + + ( 1) n 1 + ( 1) n 2 n 1 n ( ) ( ) ( ) n n n + + ( 1) n 1 + ( 1) n = 0. 2 n 1 n 90/144

2-kantainen logaritmi Merkitään jatkossa R + = {x R x > 0}. Siis R + on positiivisten reaalilukujen joukko. Määritelmä Oletetaan, että c R +. Luvun c 2-kantainen logaritmi kertoo, mihin potenssiin luku 2 pitää korottaa, jotta saadaan c. Toisin sanottuna log 2 (c) = t 2 t = c. 91/144

Huom. Voidaan osoittaa, että edellisessä määritelmässä jokaiseen c R + liitetään tasan yksi t R; toisin sanottuna 2-kantainen logaritmi on funktio R + R. Vastaavasti voidaan määritellä esimerkiksi kymmenkantainen logaritmi log 10 : R + R, jolla kantaluku on 10, ja luonnollinen logaritmi ln: R + R, jolla kantaluku on Neperin luku e 2,718. Kymmenkantaista logaritmia kutsutaan myös Briggsin logaritmiksi ja merkitään lg = log 10. Kaksikantaista logaritmia voidaan merkitä lb = log 2. 92/144

2-kantainen logaritmi ja kahdella jakaminen Oletetaan, että c R + ja log 2 (c) = n, missä n N, n 1. Logaritmin määritelmästä saadaan log 2 (c) = n c = 2 n c 2 n = 1. Siis 2-kantainen logaritmi luvusta c kertoo mihin potenssiin luku 2 pitää korottaa, jotta saadaan c; kuinka monta kertaa luku c pitää jakaa luvulla 2, jotta saadaan 1. 93/144

2-kantaisen logaritmin määrittäminen jakolaskun avulla Esimerkki 31 Määritä seuraavat logaritmit (tai niiden likiarvot) jakolaskun avulla: (a) log 2 (8) (b) log 2 (1) (c) log 2 (20) ( ) 1 (d) log 2 4 94/144

Esimerkin 31 ratkaisu: (a) log 2 (8) = 3, sillä jakolaskuja tarvitaan kolme: 8/2 = 4, 4/2 = 2, 2/2 = 1. Toisin sanottuna 8 2 3 = 1 eli 8 = 23. (b) log 2 (1) = 0, sillä jakolaskuja ei tarvita. Toisin sanottuna 1 = 2 0. 95/144

(c) log 2 (20) 4, sillä 20 2 = 10, 10 2 = 5, 5 2 = 2,5, 2,5 2 = 1,25, 1,25 = 0,625. 2 Huomaa, että neljännen jakolaskun tulos on lähimpänä lukua 1. ( ) 1 (d) log 2 = 2, sillä tarvitaan kaksi kertolaskua: 4 2 1 4 = 1 2, 2 1 2 = 1. Toisin sanottuna luku 2 täytyy korottaa negatiiviseen potenssiin, että saadaan 1/4: 2 2 = 1 2 2 = 1 4. 96/144

Logaritmiyhtälöiden ratkaisua Yksinkertaisia logaritmiyhtälöitä voi ratkaista käyttämällä logaritmin määritelmää. Esimerkki 32 Päättele mikä luku x on, jos tiedetään, että (a) log 2 (x) = 1. (b) log 2 (x) = 4. (c) log 2 (x) = 6,5. (d) log 2 (x) = 3. 97/144

Esimerkin 32 ratkaisu: Käytetään logaritmin määritelmää: (a) Jos log 2 (x) = 1, niin x = 2 1 = 2. (b) Jos log 2 (x) = 4, niin x = 2 4 = 16. (c) Jos log 2 (x) = 6,5, niin x = 2 6,5 = 2 6+0,5 = 2 6 2 0,5 = 2 6 2 = 64 2. (d) Jos log 2 (x) = 3, niin x = 2 3 = 1 2 3 = 1 8. 98/144

Potenssien laskusääntöjä: potenssin potenssi Oletetaan, että k, n N {0}. Tällöin (2 k ) n = (2 k ) (2 k ) (2 k ) }{{} n kpl = (2 } 2 {{ 2} ) (2} 2 {{ 2} ) (2} 2 {{ 2} ) k kpl k kpl k kpl = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 }{{} nk kpl = 2 nk. Vastaava tulos pätee myös tilanteessa, jossa eksponentit n ja k ovat mitä tahansa reaalilukuja, mutta sen osoittaminen on työläämpää. 99/144

Samankantaisten potenssien tulo Oletetaan edelleen, että k, n N {0}. Tällöin 2 k 2 n = (2 2 2) }{{} k kpl = 2 k+n. (2 2 2) }{{} n kpl = 2 2 2 2 2 2 }{{} k+n kpl Vastaava tulos pätee myös tilanteessa, jossa eksponentit n ja k ovat mitä tahansa reaalilukuja, mutta sen osoittaminen on työläämpää. 100/144

Potenssin logaritmi Oletetaan, että x on positiivinen reaaliluku. Merkitään a = log 2 (x). Tämä tarkoittaa logartimin määritelmän mukaan, että 2 a = x. Oletetaan, että b R. Määritetään log 2 (x b ): x b = (2 a ) b = 2 ba, joten logaritmin määritelmästä saadaan log 2 (x b ) = ba. Koska aiemmin merkittiin a = log 2 (x), niin log 2 (x b ) = b log 2 (x). Jos luku x korotetaan potenssiin b, logaritmi vain b-kertaistuu! 101/144

Tulon logaritmi Oletetaan, että x ja y ovat positiivisia reaalilukuja. Merkitään a = log 2 (x) ja b = log 2 (y). Tämä tarkoittaa logaritmin määritelmän mukaan, että x = 2 a ja y = 2 b. Tällöin xy = 2 a 2 b = 2 a+b. Tämä puolestaan tarkoittaa logaritmin määritelmän mukaan, että Siis log 2 (xy) = a + b. log 2 (xy) = log 2 (x) + log 2 (y). Tulon logaritmi on logaritmien summa. 102/144

Logaritmin kasvu hidastuu voimakkaasti (2, 1) (4, 2) (8, 3) (1, 0) y = log 2 (x) 103/144

Eksponenttiyhtälön ratkaiseminen Esimerkki 33 Ratkaise yhtälö 2 x = 50. Tapa I: Käytetään 2-kantaisen logaritmin määritelmää, jonka mukaan 2 x = 50 x = log 2 (50). Siis yhtälöllä on tasan yksi ratkaisu, joka on log 2 (50). 104/144

Ratkaisun likiarvo saadaan jakolaskun avulla: Jaetaan lukua 50 kantaluvulla 2 kunnes tulos on mahdollisimman lähellä lukua 1: 50 2 = 25, 25 2 = 12,5, 12,5 2 3,125 2 = 1,5625 1,5625 2 = 6,25, 6,25 2 = 0,78125. = 3,125, Päätellään, että log 2 (50) 6, sillä kuudennen jakolaskun tulos on lähimpänä lukua 1. 105/144

Tapa II: Otetaan yhtälön molemmilta puolilta vaikkapa 10-kantainen logaritmi, jolloin saadaan uusi yhtälö log 10 (2 x ) = log 10 (50). Muokataan yhtälön vasenta puolta logaritmien laskusäännöillä (potenssin logaritmi), jolloin saadaan yhtälö x log 10 (2) = log 10 (50). Jaetaan tuntemattoman kertoimella: x = log 10(50) log 10 (2). 106/144

Lopuksi tarkistetaan, että löydetty luku on todella alkuperäisen yhtälön ratkaisu. Tämä voidaan tehdä esimerkiksi sijoittamalla saatu tulos alkuperäiseen yhtälöön, jolloin laskimella tms. saadaan 2 log 10 (50) log 10 (2) = 50. Siis yhtälöllä on tasan yksi ratkaisu, joka on log 10 (50) log 10 (2). Ratkaisun likiarvo saadaan tavallisella laskimella: log 10(50) log 10 (2) 5,6. 107/144

Kantaluvun vaihto Edellisestä esimerkistä 33 voi päätellä, että log 2 (50) = log 10(50) log 10 (2). Yleisesti voidaan osoittaa, että jos a, b R + {1} ja x R +, niin log a (x) = log b(x) log b (a). 108/144

Logaritmiyhtälön ratkaiseminen Esimerkki 34 Ratkaise yhtälö log 2 (x) + log 2 (x + 6) = log 2 (16). Muokataan yhtälön vasenta puolta logaritmien laskusäännöillä (tulon logaritmi), jolloin saadaan uusi yhtälö log 2 (x(x + 6)) = log 2 (16). Logaritmifunktio on aidosti kasvava ja sen vuoksi saa jokaisen arvonsa vain kerran. Näin ollen edellisestä yhtälöstä seuraa, että x(x + 6) = 16 eli x 2 + 6x = 16 eli x 2 + 6x 16 = 0. 109/144

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan x = 6 ± 6 2 4 1 ( 16) 6 ± 10 = 2 1 2 eli x = 2 x = 8. Lopuksi tarkistetaan, että löydetyt luvut todella ovat alkuperäisen yhtälön ratkaisuja: log 2 (2) + log 2 (8) = 1 + 3 = 4 = log 2 (16), joten 2 on alkuperäisen yhtälön ratkaisu. log 2 ( 8) + log 2 ( 2) ei ole määritelty, sillä logaritmi on määritelty vain positiisille luvuille. Siis luku 8 ei ole alkuperäisen yhtälön ratkaisu. Aiempi päättely osoittaa, että mitään muita ratkaisuja ei ole olemassa. Yhtälöllä on siis tasan yksi ratkaisu: x = 2. 110/144

Jaollisuus Määritelmä Sanotaan, että kokonaisluku a on jaollinen kokonaisluvulla b, jos on olemassa q Z, jolla a = qb. Tällöin merkitään b a ja sanotaan, että luku b jakaa luvun a. Jos luku a ei ole jaollinen luvulla b, merkitään b a. Esimerkki 35 Esimerkiksi 6 42, sillä 42 = 7 6. Toisaalta 6 25. Nimittäin 4 6 = 24 < 25 ja 5 6 = 30 > 25. Siten 25 q 6 kaikilla q Z. 111/144

Jakoyhtälö Voidaan osoittaa seuraava tulos, ns. kokonaislukujen jakoyhtälö. Tähän perehdytään tarkemmin kurssilla Algebra I. Lause 36 (Jakoyhtälö.) Oletetaan, että a, b Z ja b 0. Tällöin on olemassa tasan yksi sellainen q Z ja tasan yksi sellainen r Z, että a = qb + r ja 0 r < b. Määritelmä Lauseessa 36 mainittua lukua r kutsutaan luvun a jakojäännökseksi luvulla b jaettaessa. 112/144

Jakoyhtälö Esimerkki 37 Tarkastellaan kuudella jakamista sekä lukuja 25 ja 13. (a) Huomataan, että 25 = 4 6 + 1, missä 0 1 < 6. Siis luvun 25 jakojäännös kuudella jaettaessa on 1. (b) Huomataan, että 13 = 3 6 + 5, missä 0 5 < 6. Siis luvun 13 jakojäännös kuudella jaettaessa on 5. 113/144

Tietojenkäsittelytieteen puolella jakojäännöksiä merkitään usein seuraavasti: 15 mod 4 = 3. Esimerkki 38 Laske: (a) 34 mod 5. (b) 20 mod 4. (c) 45 mod 6. Luvun 15 jakojäännös neljällä jaettaessa on 3. 114/144

Esimerkin 38 ratkaisu: (a) 34 mod 5 = 4, sillä vastaava jakoyhtälö on 34 = 6 5 + 4. (b) 20 mod 4 = 0, sillä vastaava jakoyhtälö on 20 = 5 4 + 0. (c) 45 mod 6 = 3, sillä vastaava jakoyhtälö on 45 = 7 6 + 3. 115/144

Kongruenssi Määritelmä Oletetaan, että a, b Z ja n N {0}. Jos luvuilla a ja b on sama jakojäännös luvulla n jaettaessa, sanotaan, että luvut a ja b ovat kongruentit modulo n ja merkitään a b (mod n). Huom. Luvuilla a ja b on sama jakojäännös luvulla n jaettaessa, jos ja vain jos luvut a ja b voidaan kirjoittaa muodossa a = q 1 n + r ja b = q 2 n + r, missä q 1, q 2, r Z ja 0 r < n. 116/144

Kongruenssi Esimerkki 39 Esimerkiksi 15 59 (mod 4), sillä lukujen 15 ja 59 jakojäännös neljällä jaettaessa on sama: Toisella tavalla merkittynä 15 = 3 4 + 3 59 = 14 4 + 3. 15 mod 4 = 3 59 mod 4 = 3. 117/144

Kongruenssi ja jaollisuus Seuraava lause yhdistää kongruenssin ja jaollisuuden: Lause 40 Oletetaan, että a, b Z ja n N {0}. Tällöin a b (mod n), jos ja vain jos n (a b). 118/144

Lauseen 40 todistus (osa): : Harjoitustehtävä. : Oletetaan, että n (a b). Tällöin on olemassa sellainen k Z, että a b = kn. Tästä seuraa, että b = a kn. Oletetaan, että luvun a jakojäännös luvulla n jaettaessa on r. Tällöin a = qn + r, missä q, r Z ja 0 r < n. Näin ollen b = a kn = qn + r kn = (q k)n + r, missä q k Z kahden kokonaisluvun erotuksena ja lisäksi r Z ja 0 r < n. Siis luvun b jakojäännös luvulla n jaettaessa on r. Luvuilla a ja b on siis sama jakojäännös luvulla n jaettaessa, joten a b (mod n). 119/144

Kongruenssien laskusääntöjä Lause 41 Oletetaan, että a, b, c, d Z ja k, n N {0}. Oletetaan lisäksi, että a b (mod n) ja c d (mod n). Tällöin (a) a + c b + d (mod n) (b) ac bd (mod n) (c) a k b k (mod n). 120/144

Lauseen 41 a-kohdan todistus: Oletetaan, että a, b, c, d Z ja k, n N {0}. Oletetaan lisäksi, että a b (mod n) ja c d (mod n). Tällöin luvuilla a ja b on sama jakojäännös luvulla n jaettaessa eli ne voidaan kirjoittaa muodossa a = q 1 n + r ja b = q 2 n + r, missä q 1, q 2, r Z ja 0 r < n. Vastaavasti luvuilla c ja d on sama jakojäännös luvulla n jaettaessa eli ne voidaan kirjoittaa muodossa c = p 1 n + s ja d = p 2 n + s, missä p 1, p 2, s Z ja 0 s < n. Saadaan a + c = q 1 n + r + p 1 n + s = (q 1 + p 1 )n + r + s b + d = q 2 n + r + p 2 n + s = (q 2 + p 2 )n + r + s 121/144

Näiden erotus on (a + c) (b + d) = (q 1 + p 1 q 2 p 2 )n, missä q 1 + p 1 q 2 p 2 Z, sillä kokonaislukujen summat ja erotukset ovat kokonaislukuja. Näin ollen luku n jakaa erotuksen (a + c) (b + d), joten lauseen 40 mukaan a + c b + d (mod n). 122/144

Kongruenssien laskusääntöjä Esimerkki 42 Laske kongruenssien laskusääntöjen avulla 590 + 6 100 mod 7. Huomataan, että 590 = 59 10. Päätellään, että 59 3 (mod 7), sillä 59 = 8 7 + 3. Vastaavasti 10 3 (mod 7), sillä 10 = 1 7 + 3. Näin ollen lauseen 41 b-kohdan nojalla 59 10 3 3 (mod 7). Siis 590 9 (mod 7) ja koska 9 2 (mod 7), niin 590 2 (mod 7). 123/144

Huomataan, että 6 1 (mod 7), sillä 1 = 1 7 + 6. Näin ollen 6 100 ( 1) 100 (mod 7). Siis 6 100 1 (mod 7). Koska 590 2 (mod 7) ja 6 100 1 (mod 7), niin lauseen 41 a-kohdan mukaan 590 + 6 100 2 + 1 (mod 7) eli 590 + 6 100 3 (mod 7). 124/144

Suurin yhteinen tekijä Määritelmä Oletetaan, että a ja b ovat kokonaislukuja, joista ainakin toinen on nollasta poikkeava. Suurin kokonaisluku, joka jakaa sekä luvun a että luvun b, on niiden suurin yhteinen tekijä. Lukujen a ja b suurinta yhteistä tekijää merkitään syt(a, b). Esimerkki 43 Lukujen 24 = 8 3 = 2 3 3 ja 36 = 4 9 = 2 2 3 2 suurin yhteinen tekijä on 2 2 3 = 12. Toisin sanottuna syt(24, 36) = 12. 125/144

Eukleideen algoritmi Suurin yhteinen tekijä voidaan löytää Eukleideen algoritmilla, johon tässä tutustutaan vain esimerkin kautta: Esimerkki 44 Määritä lukujen 110 ja 273 suurin yhteinen tekijä syt(110, 273). 126/144

Katsotaan ensin, mikä on jakojäännös, kun luku 273 jaetaan luvulla 110. Jakoyhtälö on nyt 273 = 2 110 + 53. Seuraavaksi tutkitaan, mikä on jakojäännös, kun 110 jaetaan edellä saadulla jakojäännöksellä 53. Jakoyhtälö on 110 = 2 53 + 4. Seuraavaksi tutkitaan, mikä on jakojäännös, kun 53 jaetaan edellä saadulla jakojäännöksellä 4. Jakoyhtälö on 53 = 13 4 + 1. 127/144

Seuraavaksi tutkitaan, mikä on jakojäännös, kun 4 jaetaan edellä saadulla jakojäännöksellä 1. Nyt jako menee tasan ja jakoyhtälö on 4 = 4 1 + 0. Voidaan osoittaa, että lukujen 110 ja 273 suurin yhteinen tekijä on tällä menetelmällä löydetty pienin (viimeinen) nollasta poikkeava jakojäännös. Siis syt(110, 273) = 1. 128/144

Bezout n lemma Lause 45 Oletetaan, että a ja b ovat kokonaislukuja, joista ainakin toinen on nollasta poikkeava. Tällöin on olemassa kokonaisluvut x ja y, joille pätee syt(a, b) = xa + yb. Lauseessa mainitut luvut x ja y voidaan löytää Eukleideen algoritmin avulla, mitä seuraava esimerkki havainnollistaa. Esimerkki 46 Esimerkissä 44 etsittiin Eukleideen algoritmilla syt(110, 273) = 1. Etsi kokonaisluvut x ja y, joilla 110x + 273y = 1. 129/144

Ratkaistaan esimerkissä 44 Eukleideen algoritmilla saadusta yhtälöstä 53 = 13 4 + 1 jakojäännös: 1 = 53 13 4. Luku 4 oli Eukleideen algoritmin edellisen vaiheen jakojäännös: 110 = 2 53 + 4. Ratkaistaan se tästä yhtälöstä, jolloin saadaan 4 = 110 2 53. Sijoitetaan: 1 = 53 13 4 = 53 13 (110 2 53) = 53 13 110 + 26 53 = 27 53 13 110 Luku 53 oli Eukleideen algoritmin edellisen vaiheen jakojäännös: 273 = 2 110 + 53. 130/144

Ratkaistaan se tästä yhtälöstä, jolloin saadaan 53 = 273 2 110. Sijoitetaan: 1 = 27 53 13 110 = 27 (273 2 110) 13 110 = 27 273 54 110 13 110 = 27 273 67 110. Näin ollen 27 273 67 110 = 1. Etsityiksi luvuiksi voidaan siis valita x = 67 ja y = 27. Muitakin mahdollisuuksia voi olla. 131/144

Kongruenssien ratkaisemisesta Esimerkki 47 Ratkaise kongruenssi 110x 42 (mod 273). Esimerkin 44 mukaan syt(110, 273) = 1, joten Bezout n lemman (lause 45) mukaan on olemassa kokonaisluvut x ja y, joilla 110x + 273y = 1. Tällaiset luvut etsittiin esimerkissä 46, jossa nähtiin, että 27 273 67 110 = 1. Havaitaan, että 27 273 0 (mod 273), joten 27 273 67 110 0 67 110 (mod 273) eli 1 67 110 (mod 273). 132/144

Kongruenssien laskusääntöjen (lauseen 41 b-kohta) nojalla voidaan tutkittavan kongruenssin 110x 42 (mod 273) molemmat puolet kertoa luvulla 67, jolloin saadaan 67 110x 67 42 (mod 273). Koska 67 110 1 (mod 273), saadaan edelleen x 2814 (mod 273). 133/144

Luvun 2814 jakojäännös luvulla 273 jaettaessa on 189, sillä 2814 = 11 273 + 189. Näin x 189 (mod 273). Tämä päättely osoittaa, että jos x toteuttaa tutkittavan kongruenssin 110x 42 (mod 273), niin x 189 (mod 273). Entä kääntäen? 134/144

Toisaalta, jos x 189 (mod 273), niin 110x 110 189 (mod 273). Luvun 110 189 = 20790 jakojäännös luvulla 273 jaettaessa on 42, sillä 20790 = 76 273 + 42. Siis 110x 42 (mod 273). Tämä päättely osoittaa, että jos x 189 (mod 273), niin x toteuttaa tutkittavan kongruenssin 110x 42 (mod 273). On osoitettu, että 110x 42 (mod 273) x 189 (mod 273). 135/144

Verkot Verkot muodostuvat solmuista (pisteistä) ja kaarista (nuolista tai viivoista pisteiden välillä). Määritelmä Verkko G on pari (V, E), missä V on verkon solmujen joukko ja E = {(a, b) V V solmusta a on kaari solmuun b} on verkon kaarien joukko. 136/144

Suunnattu verkko Verkkoja on useaa tyyppiä. Alla on suunnattu verkko G, jonka solmujen joukko on V = {1, 2, 3, 4} ja kaarien joukko on E. Huomataan, että esimerkiksi (3, 1) E, sillä solmusta 3 on kaari solmuun 1. Sanotaan, että 3 on kaaren (3, 1) lähtösolmu ja 1 on kaaren (3, 1) maalisolmu. 1 2 4 3 Voidaan merkitä 3 1. Sanotaan myös, että solmu 1 on solmun 3 vierussolmu. Koska (4, 4) E, sanotaan että verkossa on silmukka pisteessä 4. Huomataan, että (4, 1) E, sillä solmusta 4 ei ole kaarta solmuun 1. Solmu 1 ei ole solmun 4 vierussolmu. 137/144

Suuntaamaton verkko Alla on suuntaamaton verkko G, jonka solmujen joukko on V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ja kaarien joukko on E. Suuntaamattoman verkon viivojen ajatellaan muodostuvan kahdesta vastakkaissuuntaisesta kaaresta. Esimerkiksi (1, 4) E ja (4, 1) E, koska solmujen 1 ja 4 välillä on viiva. Sanotaan, että solmut 1 ja 4 ovat vierekkäisiä. 2 3 1 4 6 5 Yleisesti suuntaamattomassa verkossa pätee, että jos (x, y) E, niin (y, x) E. 138/144

Solmun aste suuntaamattomassa verkossa Suuntaamattomassa verkossa solmun v aste deg(v) tarkoittaa niiden viivojen lukumäärää, joiden toisena päätepisteenä kyseinen solmu on. Esimerkiksi alla olevassa verkossa deg(4) = 2. Voidaan osoittaa, että jos suuntaamattoman verkon viivojen lukumäärä on m, niin sen solmujen asteiden summa on 2m. 2 3 1 4 6 5 Tästä seuraa, että suuntaamattomassa verkossa on aina parillinen määrä sellaisia solmuja, joiden aste on pariton. 139/144

Kaksijakoinen suuntaamaton verkko Oletetaan, että G = (V, E) on silmukaton suuntaamaton verkko, ts. (x, x) E kaikilla x V. Verkko G on kaksijakoinen, jos solmujen joukko V voidaan jakaa kahdeksi erilliseksi ja epätyhjäksi joukoksi V 1 ja V 2 niin, että V 1 V 2 = V ja jokainen verkon G kaari yhdistää pisteet joukoista V 1 ja V 2. Voidaan osoittaa, että silmukaton suuntaamaton verkko on kaksijakoinen, jos ja vain jos sen solmut voidaan värittää kahdella värillä niin, etteivät mitkään kaksi vierekkäistä solmua ole samanvärisiä. 140/144

Vierusmatriisi Verkon vierusmatriisi tarkoittaa neliömatriisia A, jossa alkio A(i, j) = 1, jos solmusta i on kaari solmuun j, ja muuten A(i, j) = 0. Tässä A(i, j) tarkoittaa normaaliin tapaan sitä matriisin A alkiota, joka on i:nnellä rivillä 1 2 j:nnessä sarakkeessa. 4 3 Esimerkiksi viereisen verkon G vierusmatriisi on 0 1 0 1 A G = 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 141/144

Suuntaamattomien verkkojen isomorfisuus Oletetaan, että G 1 = (V 1, E 1 ) ja G 2 = (V 2, E 2 ) ovat silmukattomia suuntaamattomia verkkoja. Verkot G 1 ja G 2 ovat isomorfiset, jos on olemassa bijektio f : V 1 V 2, jolla lisäksi pätee seuraava ehto: a ja b ovat vierekkäisiä solmuja verkossa G 1, jos ja vain jos f (a) ja f (b) ovat vierekkäisiä solmuja verkossa G 2. Voidaan osoittaa, että isomorfisilla verkoilla on sama määrä solmuja; on sama määrä kaaria; solmuilla x V 1 ja f (x) V 2 on sama aste. 142/144

Polut ja yhtenäisyys Oletetaan, että G = (V, E) on suunnattu tai suuntaamaton verkko. Solmujono v 1, v 2,..., v n on polku (tai kulku) solmusta v 1 solmuun v n, jos jokaisesta jonossa esiintyvästä solmusta on kaari jonossa seuraavana olevaan solmuun eli v k v k+1 kaikilla k {1, 2,..., n 1}. Polun pituus on polkuun liittyvien kaarien lukumäärä; esimerkiksi polun v 1, v 2,..., v n pituus on n 1. Polku on yksinkertainen, jos kukin solmu esiintyy polussa vain kerran, paitsi ensimmäinen ja viimeinen saavat olla sama solmu. Yksinkertainen polku on sykli (eli kehä eli kierros), jos ensimmäinen ja viimeinen solmu ovat sama. Suuntaamaton verkko on yhtenäinen, jos verkon minkä tahansa kahden eri solmun välillä on polku. 143/144

Polut Mitkä seuraavista ovat polkuja alla kuvatussa suuntaamattomassa verkossa? Määritä jokaisen polun pituus. Mitkä ovat yksinkertaisia polkuja? Entä mitkä ovat syklejä? (a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 (b) 1, 4, 3, 6, 2, 1 (c) 2, 3, 5, 1, 4, 3, 6, 2 2 3 1 4 (d) 5, 3, 4, 1, 2, 6 6 5 144/144