1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa Tavallisessa analyyttisessä geometriassa käyrien yhtälöt esitetään x-koordinaattien ja y-koordinaattien avulla, esimerkiksi y = 1 x esittää tasasivuista hyperbeliä, jonka asymptootteina ovat koordinaattiakselit. Jos käyrän yhtälöön sijoitetaan x = 1 (z + z), y = 1 (z z), i saadaan yhtälö kompleksimuotoon, ts. muotoon Esimerkki. Kokeilu: F (z, z) = 0. y = 1 x 1 i (z z) = 1 (z + z) 1 1 (z z)(z + z) = 1 4i z z + zz zz 4i = 0 z z 4i = 0. z = (1, 1) = 1 + i z = 1 i z z 4i = 1 1 + i (1 1 i) 4i = 0. Analyyttinen geometria kompleksilukumerkinnöin näyttäisi olevan hyvin kätevä ratkaisu. Jos kääntäen on annettu muotoa F (z, z) = 0 oleva yhtälö, niin se hajoaa kahdeksi yhtälöksi: { Re F (z, z) = 0 F (z, z) = 0 Im F (z, z) = 0 Kun näihin vielä sijoitetan z = x + iy ja z = x iy, saadaan kaksi reaalista kahden tuntemattoman yhtälöä. Jotta yhtälö F (z, z) = 0 esittäisi tasokäyrää, 1

1 (1, 1) = 1 + i 1 Kuva 1: Tasasivuinen hyperbeli on yleensä näiden kahden yhtälön oltava oleellisesti samoja eli esitettävä samaa käyrää (tai toisen yhtälön oltava identtisesti voimassa). Esimerkki. Hajotetaan z z 4i = 0 reaali- ja imaginaariosiin. Re (z z 4i) = Re (z z = Re [(z z)(z + z)] = Re (iyx) = 0 kaikille (x, y) Im (z z 4i) = Im (z z ) 4i = Im (4ixy) 4i = 4ixy 4i = 0 xy = 1 y = 1 x. Suoran yhtälö. Tavallisessa muodosso suoran yhtälö on Ax + By + C = 0; A, B, C R, A + B > 0. Sijoitetaan x = 1(z + z), y = 1 (z z): i A (z z) + C = 0 i, A(z + z) ib(z z) + C = 0, (A ib)z + (A + ib)z + C = 0. Merkitään A + ib = a ja C = b. Silloin yhtälö tulee muotoon Suoran yhtälö on siis aina tyyppiä (1). az + az + b = 0; a 0, b R (1)

Tarkastellaan kääntäen yhtälöä αz + βz + γ = 0 ja oletetaan, että a = β 0 ja γ R. Silloin 0 = αz + βz + γ = βz + βz + γ = Re βz + γ. Olkoon β = A + ib ja 1 γ = C. Silloin yhtälö tulee muotoon 0 = Re βz + 1 γ = Re ((A ib)(x + iy)) + C = Ax + By + C. Kaikki muotoa (1) olevat yhtälöt esittävät siis suoraa. Mitä sitten esittää yhtälö αz + βz + γ = 0, () jos kertoimet α, β ja γ eivät toteuta ehtoja α = β ja γ R? Olkoot siis α, β, γ C, α + β > 0. (Jos α = β = 0, yhtälö surkastuu.) Tässä on ehkä parasta sijoittaa Yhtälö tulee muotoon α = a 1 + ia, β = b 1 + ib, γ = c 1 + ic, z = x + iy, z = x iy. 0 = (a 1 + ia )(x + iy) + (b 1 + ib )(x iy) + c 1 + ic = a 1 x a y + b 1 x + b y + c 1 + i(a x + a 1 y + b x b 1 y + c ) = (a 1 + b 1 )x (a b )y + c 1 + i ((a + b )x + (a 1 b 1 )y + c ) { (a1 + b 1 )x (a b )y + c 1 = 0 (a + b )x + (a 1 b 1 )y + c = 0 (3) Yhtälö hajoaa siis kahden suoran yhtälöksi. On muita vaihtoehtoja, joista voisi tehdä pienen harjoitustyön. 1) Toinen yhtälö toteutuu identtisesti a) c = (a 1 b 1 ) = (a + b ) = 0 eli γ R ja α = β. Tämä tapaus oli edellä 3

esillä ja se esittää yhtä suoraa. b) c 1 = (a b ) = a 1?b 1 = 0 Esittää yhtä suoraa (alempi yhtälö). Itse asiassa tämä tilanne palautuu edelliseen korvaamalla () yhtälöllä sillä iαz + iβz + iγ = 0, iγ = c + ic 1 iβ = b + ib 1 iα = a + ia 1. ) Yhtälöt (3) esittävät kahta toisiaan leikkaavaa suoraa, jolloin () esittää yhtä pistettä. 3) Suorat (3) ovat yhdensuuntaisia 0 = a 1 + b 1 a + b a + b a 1 b 1 a 1 + a = b 1 + b α = β Jos suorat (3) eivät ole samoja, () ei esitä mitään. 4) Suorat (3) ovat samoja. a) c 1 = c = 0 ja α = β Suorat (3) kulkevat origon kautta. () esittää origon kautta kulkevaa suoraa aina, kun α = β ja c 1 = c = 0. b) c 1 0, c 0 ja α = β. Joka tapauksessa suorat ovat yhdensuuntaisia eli α = β. Olkoon t = a 1 + b 1 a + b = a + b a 1 b 1. Lisäksi a +b 0, a 1 b 1 0, koska alempi yhtälö ei identtinen tai mahdoton. Suorat ovat samoja c 1 c = t. Yhtälö () näyttäisi esittävän suoraa siis tapauksissa 1)a), 1)b), 4)a) ja 4)b). Suoran esittäminen parametrimuodossa. 4

z 1 z z Kuva : Pisteiden z 1 ja z kautta kulkevan suoran yhtälö voidaan esittää muodossa z = z 1 + t(z z 1 ), t R. Kun t = 0 saadaan z = z 1 ja kun t = 1 saadaan z = z. Kun 0 < t < 1, on z pisteiden z 1 ja z välissä. Eliminoidaan parametri t seuraavasti: joten z z 1 = t(z z 1 ), z z 1 = t(z z 1 ), z z 1 z z 1 = z z 1 z z 1, mikä on eräs tapa muodostaa pisteiden z 1 ja z kautta kulkevan suoran yhtälö. Tämä on yhtäpitävä muodon arg z z 1 z z 1 = arg z z 1 + nπ, z z 1 arg (z z 1 ) arg (z z 1 ) = arg (z z 1 ) arg (z z 1 ) + nπ arg (z z 1 ) = arg (z z 1 ) + nπ kanssa. Itse asiassa tämä on geometrisesti luontevin tapa ilmoittaa pisteiden z 1 ja z kautta kulkevan suoran yhtälö. Kompleksimerkintä antaa siis hyvin erilaisia mahdollisuuksia käsitellä analyyttistä geometriaa. 5

y z a r x Kuva 3: a-keskinen r-säteinen ympyrä Ympyrän yhtälö. Jos ympyrän K = K(a, r) keskipiste on a ja säde r > 0, sen yhtälö voidaan esittää muodossa z a = r eli eli eli z a = r (z a)(z a) = zz az az + a = r zz + αz + βz + γ = 0, (4) missä α = β jaγ R, γ = a r, r = a γ > 0 eli γ < aa = αβ. Tämä poikkeaa suoran yhtälöstä ainoastaan termillä zz. Kääntäen, jos on annettu α = a ib, β = a + ib jaγ R, voidaan (4) kirjoittaa nuotoon x + y + (a ib)(x + iy) + (a + ib)(x iy) + γ = x + y + (ax + by) + γ = 0 (x + a) + (y + b) = a + b γ Tämä on ympyrä, jos r = a + b γ > 0. Keskipiste on tällöin ( a, b). Yhtälö zz + αz + βz + γ = 0 esittää ympyrää, jos ja vain jos α = β ja γ R, γ < αβ. 6

Esimerkkejä. 1. Millä ehdolla kolme eri pistettä z 1, z, z 3 ovat samalla suoralla? Mitä suoran esitystapaa kannattaa käyttää? Eräs järkevä ehto saadaan lähtemällä pisteiden z 1 ja z kautta kulkevan suoran parametriesityksestä z = z 1 + t(z z 1 ), t R Piste z 3 on tällä suoralla, jos ja vain jos jollekin t R on voimassa Ehto on siis: osamäärä z 3 z 1 z z 1 z 3 = z 1 + t(z z 1 ) z 3 z 1 = t(z z 1 ) z 3 z 1 z z 1 = t. on reaalinen. Toisin sanoen arg z 3 z 1 z z 1 = nπ arg (z 3 z 1 ) = arg (z z 1 ) + nπ. Esim. Ovatko pisteet 1 + i, + 3i, 3 + 5i samalla suoralla? 3 + 5i + 3i 1 + i Kuva 4: Pisteet 1 + i, + 3i ja 3 + 5i Ratk. z 1 = 1 + i, z = + 3i, z 3 = 3 + 5i. z 3 z 1 = 3 + 5i 1 i z z 1 + 3i 1 i = + 4i 1 + i 7

( + 4i)(1 i) = (1 + i)(1 i) = R. = + 8 4i + 4i 5 Siis pisteet ovat samalla suoralla.. Mikä on sen ympyrän yhtälö, joka kulkee origon kautta ja jonka keskipiste on 1 + i? 1 + i Eräs muoto: Tätä voidaan muokata: Kuva 5: z 1 i = = z 1 i = (z 1 i)(z 1 + i) = zz + ( 1 + i)z + ( 1 i)z +. Yhtälö tulee muotoon Tässä zz + ( 1 + i)z + ( 1 i)z = 0. α = 1 + i, β = 1 i, γ = 0, joten α = β ja γ < αβ =. Suora pisteiden 1 + i ja 1 + i kautta. z = 1 + i + t( 1 + i 1 i) = 1 + i + t( + i) = 1 t + i(1 + t). 8

Eliminoidaan t: { z 1 i = t( + i) z 1 + i = t( i) z 1 i = + i z 1 + i i ( i)z + + i + i 1 = ( + i)z + i i 1 ( i)z + ( i)z + 6i = 0. Tämä on tyyppiä 1)b). Kerrotaan yhtälö i:llä: (1 i)z + (1 i)z 6 = 0. Tämä on yhtälön perusmuoto. 4. Olkoon z suoran (1 + i)z + (1 i)z + 1 = 0 piste. Millä suoralla ovat pisteet z + i? Merkitään w = z + i. Silloin z = w i, joten 0 = (1 + i)(w i) + (1 i)(w + i) + 1 = (1 + i)w + (1 i)w + 1 i + 1 + i + 1 = (1 + i)w + (1 i)w + 3. 5. Oletetaan, että pisteet z 1, z, z 3, z 4 eivät ole samalla suoralla ja toteuttavat ehdon z 1 z 3 : z z 3 R. z 1 z 4 z z 4 Osoitettava, että pisteet ovat samalla ympyrän kaarella. Koulugeometria: Niiden pisteiden ura, josta annettu jana näkyy annetun kulman suuruisessa kulmassa, on janan päätepisteiden kautta kulkeva ympyräkaari. Kolmiossa kahden kulman summa=kolmannen vieruskulma. Siis β = arg (z z 3 ) arg (z z 4 ) = arg z z 3 z z 4. z 1 z 3 : z z 3 R z 1 z 4 z z [ 4 z1 z 3 arg : z ] z 3 = nπ, n = 0, ±1, ±,... z 1 z 4 z z 4 arg z 1 z 3 = arg z z 3 + nπ z 1 z 4 z z 4 z 1 ja z ympyrällä, josta jana z 3 z 4 näkyy vakiokulmassa. 9

z β β z Kuvio tulee selkeõmmõksi, jos oletetaan, ettõ suora z 3 z 4 on x-akselin suuntainen. z 4 z 3 β = π β z Kuva 6: Kompleksitason metriikka. Olkoon d : C C R kuvaus, jolle Tällöin d on metriikka C:ssä, sillä 1. d(z 1, z ) 0 z 1, z C d(z 1, z ) = z 1 z.. d(z 1, z ) = 0 z 1 = z 3. d(z 1, z ) = d(z, z 1 ) z 1, z C 4. d(z 1, z 3 ) = z 1 z 3 = z 1 z + z z 3 z 1 z + z z 3 = d(z 1, z ) + d(z, z 3 ) z 1, z, z 3 C. Esimerkkejä. 1. Määrää lausekkeen z + iz suurin ja pienin arvo joukossa z = 1. z + iz = z(z + i) = z z + i = z + i = z ( i) = d(z 1, i) Kolmioepäyhtälön perusteella = z i z ( i) z + i = 3. Kun z = i, on z + iz = 3 eli maksimi. Kun z = i, on z + iz = 1 eli minimi. Yleisesti epäyhtälössä z 1 z z 1 + z z 1 + z 10

β z β = arg z z 4 z z 3 = arg z z 3 z z 4 z arg (z z 4 ) arg (z z 3 ) β z 4 z 3 z 3 z 4 Kuva 7: z - -1 0 1 Kuva 8: esiintyy yhtäsuuruus, kun (ja vain kun) z 1 ja z ovat samalla origon kautta kulkevalla suoralla.. Määrää jokin sellainen reaaliluku δ > 0, että z 5 + 3z < 0, 1 kun z < δ. Tämä on tyypillinen ε δ -tehtävä.(vrt. seuraava luku.) Tarkastellaan funktion f(z) = z 5 + 3z jatkuvuutta origossa. Valitaan ε = 0, 1. Pyritään löytämään δ > 0 siten, että d(z, 0) < δ f(z) f(0) < 0, 1. z 5 + 3z z 5 + 3 z z + 3 z = 4 z, kun z < 1. 4 z < 0, 1, kun z < 0,1 = 0, 05. Valitaan δ = 0, 05. 4 3. Olkoot z 1, z, z 3 kompleksilukuja. Osoita, että z 1 +z +z 3 z 1 z z 3. 11

Tod. z 1 + z + z 3 ey z 1 + z z 3 z 1 + z z 3 ey z 1 z z 3 z 1 z z 3. Kompleksitason topologia. Pisteen a C r-säteinen ympyräympäristö eli r-ympäristö määritllään joukkona U(a, r) = {z C z a < r}. Piste a on joukon a sisäpiste, jos U(a, r) A jollakin r > 0. Joukko A C on avoin, jos jokainen piste a A on a:n sisäpiste. Joukko F C on suljettu, jos sen komplementti C\F on avoin. Komplementille ei ole vakiintunut hyvää merkintää. Voimme käyttää esimerkiksi merkintää C(F ) = C\F. Esimerkkejä avoimista joukoista: (i) C ja ovat avoimia (ii) Kiekko D = {z z z 0 < r} on avoin (iii) Punkteerattu taso C a = {z C z a} on avoin. (Merkintä C a ei ole aivan yleisesti käytössä.) Esimerkkejä suljetuista joukoista: (i) C ja ovat suljettuja (ii) Suljettu kiekko D = {z z z 0 r} on suljettu (iii) Yksiöt {a} ovat suljettuja. Olkoon A C. Komplementin C(A) sisäpisteitä sanotaan A:n ulkopisteiksi. Jos piste ei ole A:n sisä- eikä ulkopiste, niin se on A:n reunapiste. Olkoon IntA = A:n sisäpisteiden joukko ExtA = A:n ulkopisteiden joukko BdA = A:n reunapisteiden joukko. Silloin jokaiselle joukolle A on voimassa C = IntA ExtA BdA. Joukot IntA, ExtA ja BdA ovat pistevieraita. Niistä kaksi voi olla tyhjiä joukkoja. Esimerkki. A = {x + iy x, y Q}. Silloin IntA = ExtA = ja BdA = C. Joukko A = A BdA on A:n sulkeuma. Joukot IntA ja ExtA ovat avoimia ja A ja BdA suljettuja. 1

Joukko A on pisteen a ympäristö, jos a IntA. Piste a on joukon A kasaantumispiste, jos jokainen a:n ympäristö sisältää a:sta eroavan A:n pisteen. Pistejonon suppeneminen. Olkoon z 1, z,... = (z n ) kompleksitason (päättymätön) pistejono. Jonoa sanotaan suppenevaksi ja kompleksilukua z sen raja-arvoksi, jos jokaista z:n ympäristöä U vastaa n 0 N siten, että n > n 0 z n U. Tällöin merkitään z = lim n z n. Määritelmässä voidaan rajoittua r-ympäristöihin U(z, r). Itse asiassa lim n z n z = 0. Esimerkkejä. in+1 1. lim n = i, sillä (kun n > 1) n+i in + 1 n + i i = in + 1 in + 1 n + i = n + i n 1 < r, kun n > 1 + r. Laskut sujuivat siis hyvin samalla tavalla kuin reaalisten jonojen tapauksessa..olkoon z n = x n + iy n ja z = x + iy. Silloin { lim z limn x n = z n = x n lim n y n = y Tod.a) Oletus: lim n z n = z. Väite: lim n x n = x ja lim n = y. Tod: Koska ( -ey) x n x z n z ja y n y z n z, on lim n x n = x ja lim n y n = y. b) Oletus: lim n x n = x ja lim n y n = y. Väite: lim n z n = z. Tod: Olkoon r > 0. Tällöin on olemassa n 0 N siten, että Mutta silloin on n > n 0 x n x < r ja y n y < z n z = (x n x) + (y n y) < arvoilla n > n 0. Siis lim n z n = z. r r. + r = r 13

Kompleksisille jonoille ovat voimassa summan, tulon ja osamäärän rajaarvoa koskevat säännöt. Cauchyn konvergenssikriteerio. Jono (z n ) suppenee aina ja vain, kun jokaista positiivilukua ε vastaa kokonaisluku n ε siten, että z n+p z n < ε, kun n > n ε ja p 0. Todistus. a) Olkoon jono (z n ) suppeneva, se raja-arvo z ja ε > 0. Silloin on olemassa luku n ε siten, että n > n ε z n z < ε. Olkoot p 0 ja n > n ε kokonaislukuja. Koska p + n > n ε ja n > n ε, on Mutta tällöin z n+p z < ε ja z n z < ε. z n+p z n = (z n+p z) (z n z) z n+p z + z n z < ε + ε = ε. b) Olkoon lauseen ehto voimassa. Merkitään z n = x n + iy n. Koska x n+p x n z n+p z n, y n+p y n z n+p z n, ovat (x n ) ja (y n ) reaalisia Cauchyn jonoja. On siis olemassa x = lim n x n ja y = lim n y n. Tällöin lim n z n = z = x + iy. Esimerkki. Osoitetaan, että suppeneva jono (z n ) on rajoitettu. Olkoon z = lim n z n. Valitaan r = 1. Silloin on olemassa n 1 siten, että Arvoilla n > n 1 on siis z n U(z, 1), kun n > n 1. z n = z n z + z z n z + z < z + 1. Olkoon M = max{ z 1, z,..., z n1, z + 1}. Silloin eli z n U(0, M) kaikille n = 1,,.... z n M kaikille n = 1,,..., 14

U(z, 1) z 1 1 Kuva 9: 15