MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + <, c) 4 d) > 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) + 4 + 8 56, d) + + + n.. Määritä lausekkeiden arvot 5 a) ( ) k k, b) k= 4. Millä reaaliluvun arvoilla l= l l +, c) a) 4 =, b) 7 =, c) = 5, d) 7 < 5, e), f) 4 >? 5. a) Osoita, että 4 ab ( a + b) kaikilla a, b. b) Sievennä () ( ) 9( ) 4 ( ). 6. Osoita, että + y, kun ja y. j=. 7. Olkoon z = 5 + i ja w = + i. Laske z + w, z w, w, zw, iw, w, w, z w ja w. 8. Vektorit v = i j + k, v = i + j k, v = i + j k ovat lineaarisesti riippumattomia ja muodostavat siten vektoriavaruuden R kannan. Määrää vektorin u = (4,, 4) koordinaatit tämän kannan suhteen. 9. a) Olkoot A(,, ), B(,, ) ja C(,, ) avaruuden R pisteitä. Laske AB AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja AC välinen kulma radiaaneina. b) Tutki, ovatko vektorit u v ja u 4 v kohtisuorassa toisiaan vastaan, kun tiedetään, että u = ja v = 4 sekä u v =.. Määrää reaaliluvut s ja t siten, että a) u v = ja u = v, b) u v = 5 i + 5 k, kun u = 4 i + s j t k ja v = s i + j + s k.. Kolmion kärjet ovat pisteissä A(,, ), B(,, ) ja C(,, ). Laske kolmion pinta-ala vektoritulon avulla.. a) Määrää sen suoran vektorimuotoinen parametriesitys, joka kulkee pisteiden A(,, ) ja B(,, ) kautta. Missä pisteessä suora leikkaa z-tason? Tutki, onko piste Q(4, 5, 5) tämän suoran piste. b) Olkoot l : p = a+t u = (,, )+t(,, ), t R, ja l : r = b+s v = (, 4, )+s(,, ), s R, kaksi suoraa. Määrää suorien leikkauspiste sekä sen suoran vektorimuotoinen parametriesitys, joka kulkee suorien leikkauspisteen kautta ja jonka suuntavektori on kohtisuorassa suorien l ja l suuntavektoreita u ja v vastaan.. Määrää vektoritulon avulla pisteen P (,, ) etäisyys suorasta l : p = (,, 5) + t(,, ), t R.
4. Määrää pisteiden A(, 7, ), B(4,, ) ja C(, 4, ) kautta kulkevan tason vektorimuotoinen parametriesitys ja yhtälö normaalimuodossa a + by + cz + d =. 5. Määrää tason T : p = a + s u + t v = (,, ) + s(,, ) + t(,, ), s, t R, ja suoran l : r = b + m w = (,, ) + m(,, ), m R, leikkauspiste sekä pisteen P (, 5, ) etäisyys tasosta T. 6. a) Osoita, että pisteen P (, y, z ) etäisyys tasosta T : a + by + cz + d = voidaan laskea kaavasta a + by + cz + d. a + b + c b) Määrää piste P -akselilta siten, että sen etäisyys tasoista T : 6y + 5z + = ja T : + y z = on yhtä suuri. 7. Määritteleekö yhtälö a) y =, b) y =, c) y = y:n :n funktiona? Hahmottele kuvaajat. 8. Määrää funktion f määritysjoukko, kun a) f() = +, b) f() = + 6, c) f() = 9. a) Olkoot f ja g funktioita, joille f() = + + 4 +. + ja g() =. Määrää funktiot f + g, fg ja f g määritysjoukkoineen M f+g, M fg ja M f. g b) Olkoon f() = 9 + 4 funktio, jonka määritysjoukko M f = [, [. Olkoon edelleen g() = 4 funktio, jonka määritysjoukko M g = [5, [. Määrää yhdistetyt funktiot f g, g f ja f f määritysjoukkoineen M f g, M g f ja M f f.. Tutki funktion f parillisuus/parittomuus, kun a) f() =, b) f() =, c) f() =, d) f() =, e) 5 f() = 5 +,.. Määritä funktion f perusjakso, kun a) f() = cos(), b) f() = sin, c) f() = tan() +.. Mikä on funktion f käänteisfunktio f määritysjoukkoineen M f, kun a) f() = +, b) f() = +, 6, c) f() = 5 4,.. a) Olkoot, y > reaalilukuja. Sievennä ln() ln(y) ln( y ). b) Millä reaaliluvun arvoilla lauseke ln( 4 + ) on määritelty? 4. Määritä kurssin kaavakokoelman taulukon avulla a) arc sin( ), b) arc cos( ), c) arc tan( ).
5. Laske raja-arvot a) lim 4 d) lim + 8 + 6, b) lim + 4 7 + 9 arc tan(), e) lim sin(5) sin() ( + 4 + ) 4, c) lim + 9 + 8 4,, f) lim cos() cos. 6. Laske raja-arvot 4 + 7 a) lim 5 + 6, b) lim 4 + 5 +, c) lim ( 4 + ), d) lim 5 + 5. 7. Määritä 4 sin() sin() a) lim, b) lim 5 + 4 + 5, c) lim. 8. Määritä a) lim sin ( + 5 + 7 ), b) lim ln cos( ). 9. Olkoon a sin() + 9 + b cos(), < f() = 4arc sin( ) + b, arc tan(ln( )) a( ), >. Määritä ne vakioiden a, b R arvot, joilla funktio f on jatkuva koko reaalilukujen joukossa R.. Johda derivaatta määritelmää käyttäen funktiolle a) f() =, b) f() = 4, >.. Esitä derivaattaa käyttäen (valiten sopivat merkinnät): a) kappaleen nopeus on suoraan verrannollinen aikaan, b) kappaleen lämpötilan muutosnopeus on suoraan verrannollinen kappaleen ja ympäristön lämpötilan erotukseen, c) kappaleen kiihtyvyys on kääntäen verrannollinen nopeuteen.. Määritä paraabelin y = + a) pisteen (, ) kautta kulkeva tangentti, b) pisteen (, ) kautta kulkevat tangentit.. Derivoi a) e e +, b) (4 + + ) cos(), c) 4. Derivoi tan() +. a) e sin(), b) (sin(4 )), c) arc sin( ), d) arc tan(ln( + )), e) ln(sinh ), f), g), h) e, i) + +. 5. a) Laske (f ) (), kun f() = +, 6. b) Voidaan osoittaa, että funktiolla f() = 4 e 8( ), >, on olemassa käänteisfunktio f (). Määritä (f ) (6). 6. Näytä, että funktio y(t) = Ce at, missä C, a R, toteuttaa yhtälön y (t) ay(t) = a. Mikä on y(t), kun a = ja y() = 4?
7. Olkoon y() = C sin() + C cos(), C, C R. Näytä, että y toteuttaa yhtälön y + 9y =. Määritä sellaiset vakiot C ja C, että y() = ja y () = 6. 8. Laske raja-arvot a) lim ln(5 9) 9 5 6, cos() sinh() b) lim sin( 8 ), c) lim, sin() d) lim ( cot()), e) lim, 9. a) Olkoon f derivoituva välillä I. Tällöin f on välillä I - kasvava, jos f () kaikilla I, - aidosti kasvava, jos f () > kaikilla I, - vähenevä, jos f () kaikilla I, - aidosti vähenevä, jos f () < kaikilla I. f) lim (cosh( ) ). Osoita derivaatan ja eo. tuloksen perusteella, että funktiolla f() = + 5 7, R, on käänteisfunktio y = f (). b) Funktiolla f on määritysjoukon pisteessä - paikallinen maksimi, jos on olemassa r > : f() f( ) kaikilla ( r, + r), - paikallinen minimi, jos on olemassa r > : f() f( ) kaikilla ( r, + r), - paikallinen ääriarvo, jos pisteessä on joko paikallinen maksimi tai minimi. Paikallinen ääriarvo on aito, jos yhtäsuuruus on voimassa vain jos =. Jos f ( ) =, sanotaan, että on funktion f kriittinen piste. Tällöin, jos f ( ) = ja - f ( ) >, niin on aito paikallinen minimipiste, - f ( ) <, niin on aito paikallinen maksimipiste, - f ( ) =, niin on käytettävä muita tuloksia kriittisen pisteen laadun tutkimiseen. Määrää eo. määrittelyjen ja tulosten perusteella funktion f() = ( ) kriittiset pisteet sekä niiden laatu. 4. Yhtälö +4y +5y+ = määrittelee y:n :n funktiona (y = f()) pisteen (, ) ympäristössä. a) Osoita, että piste (, ) on yhtälön määrittelemällä käyrällä. b) Määrää y ( ). c) Määritä käyrää pisteessä (, ) sivuavan tangentin yhtälö. 4. Funktio y = f() määritellään implisiittisesti yhtälöllä y sin = + cos y. Määritä derivaatta y () = f () implisiittisesti eli :n ja y:n avulla lausuttuna. 4. Määrää y :n ja y:n avulla, kun y + y =. 4. Olkoon { (t) = ln(t ) y(t) = t, t >, y-tason käyrä. a) Määrää käyrää pisteessä (, ) sivuavan tangentin yhtälö. b) Määrää ne käyrän pisteet, joissa tangentin kulmakerroin on. c) Määrää niiden tangenttien yhtälöt, jotka käyrälle voidaan piirtää origon (, ) kautta.
44. a) Lausu napakoordinaateissa y-tason piste (, ). b) Minkä y-tason pisteen napakoordinaattiesitys on (r, φ) = (, )? 45. Esitä seuraavat kompleksiluvut muodossa z = re iφ : a) 4, b) 5i, c) + i 6. 46. a) Mille kompleksiluvuille z on voimassa yhtälö z + 6z + =? b) Anna yhtälön z + 7 = kaikki ratkaisut sekä muodossa z = re iφ, missä r > ja φ [, [, että muodossa z = a + ib, missä a, b R. 47. Määrää a) ( + + + + ) d, b) d) d, e) + 5 4 d, c) d, f) + 5 ( + ) 4 d, + d. 48. Integroi a) sin(4) d, b) tan () d, c) sin () d, d) sin e) cos d, f) () cos d, g) e d, h) i) e d, j) sin() cos()e cos () d, k) (ln() + ln ) d, l) m) d, n) 9 4 d, o) + 4 + d, p) 49. Laske määrätyt integraalit a) d) 6 ( + + 4 + e ) d, b) tan() d, e) / /4 e d, c) ln cosh() d, ln d, f) e 4 e + d. cos (5) d, cos()e sin() d, ln d, 5 + 6 d. 5. Määritä se funktion f() = + integraalifunktio, jonka kuvaaja kulkee pisteen (, ) kautta. 5. Olkoon f() = Määritä funktion f paikalliset ääriarvokohdat. (t t)e t dt. 5. Olkoon Laske f() d. f() = {,,, <. 5. Laske a) e 5 d, b) d) 6arc tan() d, e) sin() d, c) d, f) ( + 7) 6 ln d, e sin d.
54. Laske annettua sijoitusta käyttäen: a) c) e 4 + e 4 d, t = e4, b) ( 4) + 5 d, t = + 5, d) 4 5 6 d, t = 6,, ( + ) d, t = +. 55. a) Määritä käyrän y = e, -akselin ja suoran = 4 rajoittaman äärellisen alueen pinta-ala. b) Määritä käyrän = y ja suoran y = rajoittaman alueen pinta-ala. 56. Laske a) d, b) + 9 d, c) 9 d, d) 9 d, e) 9 9 d. 57. Integroi 4 + 9 + 7 a) d, b) 4 58. a) Määrää sellainen funktion + 4 ( d, c) + ) f() = + 5 + 7 ( )( + )( + 4) integraalifunktio, jonka kuvaaja kulkee pisteen (, ) kautta. b) Määritä sellainen funktion integraalifunktio F (), jolle lim F () =. c) Laske sijoitusta t = käyttäen 59. a) Käyrä f() = 6 + 4 + ( + ) (4 + ) 4 4 ( + )( + 4) d. y = + ( + )(,, + ) + 5 + 5 ( + ) ( ) d. pyörähtää -akselin ympäri. Laske muodostuneen kappaleen tilavuus. b) Laske käyrän y = sin(), 4, -akselin ympäri pyörähtäessään muodostaman kappaleen tilavuus. c) Käyrien y = ja y = rajoittama alue pyörähtää -akselin ympäri. Laske muodostuneen kappaleen tilavuus. 6. Yhtälön (y )(y + 4y + 7) = y + 7y 6,, y, määrittämä käyrä pyörähtää y-akselin ympäri. Laske muodostuneen kappaleen tilavuus.
Vastauksia harjoitustehtäviin syksy 5. a) = tai = tai = 4 b) < tai > c) 4 < 5 d) < tai < < e) tai < +. a) 5 n 8 k (k ) b) c) ( ) k ( 5 k )k d) n ( ) k k k= k= k= k=. a) 5 b) 8 5 c) 4. a) = tai = b) = ± tai = ± c) ei millään reaaliluvun arvolla d) 7 < < e) ei millään reaaliluvun arvolla f) kaikilla reaaliluvun arvoilla 5. b) 4 7. z + w = 7 + 4i, z w = + i, w = i, zw = 7 i, iw = i, w = i, w = 5, z w = 5 5 i, w = 4i 8. vektorin u koordinaatit,, 9. a) AB AC = 89, AB AC = 9, kulma.85 rad b) eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. a) s = ± 6 ja t = b) s = ± ja t =.. a) p = ( t) i + ( + t) j + ( t) k, t R, piste (,, ), piste Q(4, 5, 5) on suoran piste b) leikkauspiste (, 4, ), suora q = 6t i + (4 + 5t) j + ( + 4t) k, t R. 966 7 4. p = ( + s + t) i + (7 s t) j + ( + 4s + 4t) k, s, t R, 8 + 4y z 78 = 5. leikkauspiste (,, ), etäisyys 6 6. b) P (,, ) tai P ( 4,, ) 7. a) kyllä b) ei c) ei 8. a) M f = R \ {, } b) M f = [ 4, 4] \ {} c) M f = [, [ ], 4] 9. a) (f + g)() = + 5, M f+g = R \ {, }, (fg)() = +, M fg = R \ {, }, ( f g )() = + 6 ++, M = R \ {, } f g b) (f g)() =, M f g = [, [, (g f)() =, M g f = [, [, (f f)() = 79 4 + 648 + 48, M f f = [, [. a) parillinen b) pariton c) ei parillinen eikä pariton d) parillinen e) pariton. a) b) c). a) f () = ( ), M f = R b) f () = +, M f = [ 7, 4 5 ] c) f () = 8+64 5, M f = [ 4, 5 4]. a) b) < < 4. a) b) c) 5. a) b) c) 7 d) e) f) 6. a) 4 5 b) c) d) 7. a) b) c) ei ole olemassa 8. a) b) 9. a = 7, b = 7. a) 6 b) 4, >. a) d dt = kt b) dt dt = c(t (t) T y(t)) c) dv dt = r v. a) y = b) y =, y = e. a) (e +) b) (8 + ) cos() ( 4 + + ) sin() c) ( tan() +) cos () ( +) 4. a) 9 cos( )e sin() b) 8 cos(4 )(sin(4 )) c) d) f) ln g) (ln + ) h) e (e ln() + e ) i) 5. a) (f ) () = 4 (+), 7 < < 4 5 b) (f ) (6) = 96 6. y(t) = e t 7. C =, C = 8. a) b) c) 8 d) e) f) 9. b) = ja = 5 5 aitoja paikallisia maksimipisteitä, = ja = 5 5 aitoja paikallisia minimipisteitä + (+)(+(ln(+)) ) + e) coth ( + + ( + ))
4. b) y ( ) = c) y = + 9 4. y () = y cos sin +sin y 4. y () = 8 (+y) 4. a) y = + b) (ln(6), 6) c) y = e 44. a) (r, φ) = (, 7 6 ) b) (, y) = (, ) 45. a) 4 = 4e i b) 5i = 5e i c) + i 6 = 7e iarc tan 6 46. a) z = ± i b) z = e i = + i, z = e i = + i, z = e i 5 = + i( ) 47. a) + ln + + 4 4 +C b) 4 4 +C c) ( +) 5 +C d) 5 ln(5 +)+C e) 5 arc tan(5) + C f) ln( + ) + C 48. a) 4 cos(4) + C b) tan() + C c) 8 sin(4) + C d) 5 sin(5) 5 sin (5) + C e) tan() + C f) tan + C g) e + C h) e sin + C i) e + C j) + C ecos k) ln () + ln ln + C l) ln ln + C m) arc sin() + C n) arc tan( + ) + C o) arc sin( ) + C p) arc tan( 4 5 ) + C 49. a) 4 + 4 + 4 ln e 4 + e b) 6 ( e ) c) 9 d) ln e) 6 f) ln 5 5. F () = ln( + ) arc tan + 4 5. = aito paikallinen maksimipiste, = ± aitoja paikallisia minimipisteitä 5. ln 5. a) 5 e 5 5 e 5 + C b) 8 c) ln d) arc tan() + arc tan() + C e) 54. a) 4 arc tan(e4 ) + C b) 48 55. a) 4 e + 8 b) 4 56. a) arc tan()+c b) 8 ln 9 +C c) 6 57. a) + + ln 4 + C b) ln ( ) 4 5 c) 5 88 + 9 ln( 7 ) f) 5 e (cos + sin ) + C ( 5 d) + ) 4 4 + C +4 5 + + ln +C d) 54 ln 9 +C e) ln 9 +C + C c) ln (+) + + C 58. a) ln ( ) + +4 + arc tan ln b) F () = + + arc tan() c) 8 ln 5 + arc tan 59. a) 4 ln 7 + 8 + arc tan b) 7 6. ln 687 48 + arc tan 6 8.474 ( + 4) c)
KAAVAKOKOELMA VÄLI- JA LOPPUKOKEISIIN u v = d(p, l) = u i v i u v = i= u ( AP ) u i j k u u u v v v d(p, T ) = cos sin 6 n ( AP ) n 4 sin + cos = tan = sin cot = cos tan ( ) ( ) sin = sin( ) = cos cos = cos( ) = sin sin = sin cos a sin α = cos = cos sin = cos = sin c a = b + c bc cos α sin γ b sin β = sin( + y) = sin cos y + cos sin y cos( + y) = cos cos y sin sin y sinh = (e e ) cosh = (e + e ) tanh = sinh cosh cosh sinh = coth = cosh sinh D n = n n D sin = cos D cos = sin D tan = cos = + tan De = e Da = a ln a(a > ) D ln = Darc sin = Darc cos = D log a = (a >, a ) ln a Darc tan = + (f ) (y ) = f ( ), missä y = f( ) n d = n+ + C (n ) d = ln + C tan d = ln cos + C n + d cos = ( + tan d ) d = tan + C sin = ( + cot ) d = cot + C d d = arc sin + C = arc tan + C + A = b a f() d V = b a (f()) d Q() = ( ) k... ( r ) k r ( + c + d ) l... ( + c s + d s ) l s ; P () Q() = A, +... + A,k ( ) k +... + A r, r +... + A r,k r ( r ) k r + B, + C, + c + d +... + B,l + C,l ( + c + d ) l +... + B s, + C s, +... + B s,l s + C s,ls + c s + d s ( + c s + d s ) l s