1 Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009 Rakenteellinen tasapaino ja transitiivisyys 20.2.2009 Seppo Pohjolainen
2 Rakenteellinen tasapaino Käsitteitä: Arvotettu graafi (signed graph) (+ tai - ) Suuntaamaton graafi (kaksisuuntainen, ei nuolta) Suunnattu graafi (yksisuuntainen, nuolia) Täydellinen graafi (kaikki solmut yhdistetty toisiinsa) Sykli (kierto vähintään 3 eri solmun kautta eri viivoja ja solmuja pitkin, paluu alkusolmuun) Syklin merkki (+)(-)(+)= -, (-)(-)(+)=(+) Polku (path) suunnatussa graafissa: kulku nuolten mukaan, s.e yhdessäkään solmussa tai kaarella ei käydä useammin kuin kerran. Rakenteellinen tasapaino = structural balance. Tunneside: pitäminen, ystävyys jne. Heider (1946) Kolmen entiteetin (solmun) kokonaisuus on tasapainossa, jos kaikki kytkennät ovat positiivisia tai kaksi on negatiivista ja yksi positiivinen
3 Rakenteellinen tasapaino Arvotettu graafi: + side =pitäminen ja - side =ei-pitäminen. Aluksi tarkastellaan suuntaamattomia graafeja. Kytkennän täytyy olla arvotettu, ts. se sisältää positiivisia ja negatiivisia latauksia: (ihailu/vähän arvostettu), (pitää/inhota), (ylistää/syyttää) ja (vaikuttaa posiitivisesti/negatiivisesti). Arvotetut suuntaamattomat graafit (suhteet) P=person, O=other (muu), X=objekti tai entiteetti Kuva 6.1 Jos kaikkien 3:n mittaisten syklien arvot ovat positiivisiä (arvo = 1), niin graafi on tasapainoinen (balanced) Yleistys: Cartwright, Harary (1956). Määritelmä 6.1: Arvotettu graafi on tasapainoinen, jos ja vain jos sen kaikilla sykleillä on positiivinen arvo.
Rakenteellinen tasapaino: Suuntaamaton graafi 4 Kaikki graafit eivät ole tasapainoisia tai tasapainottomia (unbalanced) Kaikilla graafeilla ei ole syklejä. Harary (1953,1955): Jos graafi on tasapainoinen ja arvotettu, se voidaan jakaa osajoukkoihin, joissa solmujen välillä on positiiviset kytkennät ja osajoukkojen välillä on negatiiviset kytkennät. Harary, Norman, Catwright (1965): Kaikilla poluilla, jotka yhdistävät kaksi solmua, on sama merkki (+ tai -). Esimerkki: Kuva 6.3 Osajoukot {n2,n3,n4,n5} ja {n1,n6} jakavat solmut pitämisen suhteen. Graafissa on neljä sykliä, yksi 4:n mittainen ja kolme 3:n mittaista. Kaikki ovat positiivisia
Rakenteellinen tasapaino: Suunnattu Tasapaino suunnatuille graafeille 5 Tasapaino suunnatuille graafeille. Syklin määritelmä: kierto nuolten suuntaan.(tästä luovutaan) Esimerkki: Kuva 6.4. semipaths (puolipolku), semicycles (puolisykli) Määritellään kuten polku ja sykli, mutta välittämättä nuolten suunnista. Määritelmä 6.2: Arvotettu graafi on tasapainoinen, jos ja vain jos kaikkien semisyklien merkki on positiivinen.
6 Rakenteellisen tasapainon tarkistus Suuntaamaton graafi: On tarkistettava kaikkien syklien, joiden pituus on 3,4,... merkki. Merkin pitää olla positiivinen. Tasapainotetun (suuntaamattoman?) graafin sosiomatriisin X kaikkien potenssien Xp diagonaalialkiot ovat positiivisia. Diagonaalialkiot= suljettujen kävelyiden merkkien summa. Syklin maksimipituus on solmujen määrä g, joten p g. Esimerkki: Taulukko 6.1. Onko kysymys riittävästä vai välttämättömästä ehdosta vai molemmista? Menettely on erilainen kun kyse on suunnatusta graafista. Sosiomatriisi muokataan symmetriseksi valenssimatriisiksi (valency matrix).
7 Tasapainon indeksi PC= positiivisten (semi)syklien määrä. TC= /semi)syklien kokonaismäärä Tasapainottomuuden (?) indeksi on PC/TC
8 Klusteroituvuus Harary (1954): Tasapainoinen arvotettu graafi voidaan jakaa kahdeksi osajoukoksi (klusteriksi), joissa klustereiden sisällä vallitsevat positiiviset kytkennät ja niiden välillä negatiiviset Solmut joiden välillä on negatiivinen kytkös ovat eri klustereissa. Määritelmä: Davis (1967): Arvotettu graafi on klusteroituva, jos se voidaan jakaa osajoukkoihin, joiden sisällä solmuilla on positiiviset siteet ja joiden välillä solmuilla on negatiiviset siteet.
9 Klusteroituvuusteoreemat Teoreema 6.1 Arvotettu graafi on klusteroituva täsmälleen silloin, kun graafi ei sisällä syklejä, joissa on täsmälleen yksi negatiivinen side. Esimerkki: Kuva 6.5. g=6 ei täydellinen 4 sykliä, joiden pituus on 3 3 sykliä, joiden pituus on 4 yksi sykli, jonka pituus on 5 yksi sykli, jonka pituus on 6. Pituudeltaan 3:n mittaisista sykleistä kaksi on negatiivista graafi ei ole tasapainoinen se on klusteroituva {n4,n5,n6},{n1},{n2},{n3} tai {n4,n5,n6}, {n1,n3} ja {n2}. graafi ei ole täydellinen
10 Klusteroituvuusteoreemat Teoreema 6.2 Seuraavat neljä väitettä ovat yhtäpitäviä täydellisille arvotetuille graafeille. Graafi on klusteroituva Graafilla on yksikäsitteinen klusterointi Graafille ei ole sykliä, jossa on täsmälleen yksi negatiivinen side Graafilla ei ole sykliä, jonka pituus on 3 ja jossa on täsmälleen yksi negatiivinen side Viimeisen ehdon perusteella tarvitsee tarkastella vain 3:n mittaisia syklejä.
11 Käytännön kokemuksia Leinhard (1968, 1973), Davis tutkivat n. 800 sosiomatriisia: Monet relaatiot ovat suunnattuja Tilanteet, joissa toimija valitsee toisen toimijan eivät ole vastavuoroisia Arvotetut siteet olivat harvinaisia Graafilla ei ole sykliä, jonka pituus on 3 ja jossa on täsmälleen yksi negatiivinen side Klustereiden toimijat ovat arvotettuja tai hierarkisia. Alemmalta tasolta valitaan ylemmän tason toimijoita, mutta ei päinvastoin Davis, Leonhard (1968) Hierarkinen klusterointi.
12 Transitiivisyys Määritelmä: Toimijoiden i,j ja k kolmikko on transitiivinen, jos i ->j ja j -> k niin i -> k. tyhjästi transitiivinen (vacuously transitive), ei-transitiivinen Lause 6.3 Suunnattu graafi on transitiivinen, jos sen kaikki sen sisältämät kolmikot (triadit) ovat transitiivisia. Kuva 6.7 Kuva 6.8.
13 Transitiivisyys Transitiiviset suunnatut graafit (t-graafit)(holland, Leinhard 1971) Transitiivisyys on sosiaalisten verkostojen keskeinen rakenteellinen ominaisuus.(transitivity bias) Menetelmiä on kehitetty sen selvittämiseen mitä verkostoon jää, kun transitiivisyys poistetaan. Suunnatut relaatiot - hierarkiset klusterit Lopuksi: olemme tutstuneet käsitteisiin Tasapaino, klusteroituvuus ja transitiivisyys