7.7. Tasograafit Graafi voidaan piirtää mielivaltaisen monella tavalla. Graafin ominaisuudet voivat näkyä selkeästi jossain piirtämistavoissa, mutta ei toisessa. Eräs tärkeä graafiryhmä, pintagraafit, määritellään graafin piirrettävyyden perusteella. Kysymys: Voidaanko graafi piirtää tasoon niin, että sen viivat eivät risteä muualla kuin pisteiden kohdalla? Sovelluksia: Integroidut ja painetut piirit. On olemassa nopeita algoritmeja, jotka testaavat onko graafilla yo. ominaisuus. Tasograafin määritelmä Graafi on tasograafi (plane graph), jos sillä on sellainen esitys P(G) tasossa, että graafin viivat eivät leikkaa toisiaan muualla kuin viivojen päätepisteissä. Tällaista esitystä kutsutaan tasoupotukseksi (plane embedding). Piirit ovat tasograafeja, samoin kaikki graafit, jotka sisältävät vain yhden piirin. Myös graafit K 2,4 ja K 4 ovat tasograafeja.
Ylitysluku Tasoupotuksen löytäminen vaikeaa isoille graafeille. Ylitysten vähimmäismäärä vaikea löytää. Graafin G ylitysluku cr(g) (crossing number): Pienin määrä viivojen risteämisiä (muualla kuin pisteiden kohdalla), jolla graafi voidaan piirtää tasoon. Tasograafeille cr(g) = 0. Ei-tasograafi Esimerkki. Graafi K 5 ei ole tasograafi. Perustelu:... Lause 7.11. Jos graafi G ei ole tasograafi, niin mikään graafi, joka sisältää aligraafinaan graafin G ei ole tasograafi. Edellisen esimerkin perusteella K n ei ole tasograafi millään n 5, sillä K 5 K n aina kun n = 6, 7, 8,....
Toinen ei- tasograafi Osoitetaan, että K 3,n ei ole tasograafi millään n = 3, 4, 5.... Ratkaisu. Edellisen lauseen perusteella riittää osoittaa, että K 3,3 ei ole tasograafi, sillä K 3,3 K 3,n aina kun n = 4, 5,....... Viivalaajennus Selvästikään mikään graafi, joka sisältää graafin K 5 tai K 3,3 aligraafinaan ei ole tasograafi. Näiden kahden graafin avulla voidaan karakterisoida kaikki tasograafit. Graafin G = (V, E) viiva e = uv on laajennettu (subdivided), jos viiva e korvataan viivoilla ux ja xv, missä x on uusi piste. Graafi H on graafin G viivalaajennus (subdivision), jos H saadaan graafista G äärellisellä määrällä peräkkäisiä viivalaajennuksia. Graafi G tulkitaan itsensä viivalaajennukseksi. Selvästi on voimassa Lause 7.12 Graafi G on tasograafi jos ja vain jos jokainen sen viivalaajennus on tasograafi.
Kuratowskin tulos Kuratowski (1930) osoitti seuraavan karakterisoinnin tasograafeille. Lause 7.13.Graafi G on tasograafi jos ja vain jos G ei sisällä aligraafinaan graafin K 5 eikä graafin K 3,3 viivalaajennusta. Tod. Sivuutetaan. Petersenin graafi ei ole tasograafi
7.8. Graafin yhtenäisyys G1: G2: G3: G4: Kaikki graafit yhtenäisiä. Yhtenäisyys on "erilaista". Minkä tahansa viivan poistaminen muuntaa G 1 :sen epäyhtenäiseksi. Graafia G 2 ei viivan poistaminen tee epäyhtenäiseksi, mutta keskimmäisen pisteen poistaminen kyllä. Graafia G 3 ei saa epäyhtenäiseksi yhden viivan tai pisteen poistolla, mutta silti se on vähemmän yhtenäinen kuin täydellinen graafi G 4. Irrotuspisteet ja sillat Piste v on graafin G irrotuspiste (cut point vertex), jos graafi, joka saadaan G:stä poistamalla piste v ja kaikki siihen liittyvät viivat, sisältää enemmän komponentteja kuin G. Viiva e on irrotusviiva eli silta (bridge), jos graafi, joka saadaan G:stä poistamalla viiva e, sisältää enemmän komponentteja kuin G. Huom. Jos G on ainakin 3 pistettä sisältävä yhtenäinen graafi, ja uv on G:n silta, niin u tai v on G:n irrotuspiste.
Esimerkki u ja v G:n irrotuspisteet. uv on G:n silta. Silta ja piiri Lause 7.12. Viiva e E G on silta jos ja vain jos e ei esiinny missään G:n piirissä. Todistus... Aina kun e on yhtenäisen graafin G silta, niin graafi G e sisältää 2 komponenttia.
uv on silta u ja v ovat irrotuspisteitä. Ei irrotuspisteitä, eikä siis siltoja. Separoimaton graafi ja blokki Graafi on separoitumaton (non-separable), jos se on yhtenäinen, ei-triviaali ja se ei sisällä irrotuspisteitä. Graafin G blokki (lohko, block) on G:n maksimaalinen separoitumaton aligraafi.
Esimerkkigraafin blokit G:n blokit: Blokit, piirit ja polut Lause 7.13.Olkoon G = (V, E) yhtenäinen graafi ja V 3. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: (1) Graafi G on blokki (2) Jos v, v V, niin on olemassa molemmat pisteet sisältävä G:n piiri. (3) Jos v V ja e E, niin on olemassa v:n ja e:n sisältävä G:n piiri. (4) Jos e, e E, niin on olemassa e:n ja e :n sisältävä G:n piiri. (5) Aina kun v, v V ja e E, niin on olemassa sellainen polku P : v v, että e P. (6)Aina kun v, v, v V, niin on olemassa sellainen polku P : v v, että v P. (7)Aina kun v, v, v V ovat eri pisteitä, niin on olemassa sellainen polku P : v v, että v / P. Todistus. Sivuutetaan.
Graafin yhtenäisyys ja viansieto Graafin virittävä puu (kts. kappale 7.10) on yleensä optimaalinen ratkaisu, kun verkon rakentamisen rakennuskulut ovat tärkein kriteeri. Muita kriteereitä voivat olla esimerkiksi verkon viansieto. Voidaan esimerkiksi haluta varmistaa että kaksi verkon solmua (tietokonetta, komponenttia jne.) on liitetty toisiinsa niin, että yhden solmun ja/tai linkin (esim. kaapelin) vikaantuminen ei poista kaikkia yhteyksiä solmujen välillä. Aikaisemmin määriteltiin, että graafi G on separoitumaton, jos G v on yhtenäinen aina kun v V G. Separoitumattomasta graafistakin saadaan epäyhtenäinen poistamalla tarpeeksi pisteitä. Separoiva joukko Graafin G pisteiden joukko A V G on separoiva joukko (separating set), jos graafi G A on epäyhtenäinen.
Separoivan joukon olemassaolo Apulause 7.1. Jos yhtenäisellä graafilla G = (V, E) ei ole separoivaa joukkoa, niin se on täydellinen graafi. Todistus. Jos V 2, niin G on täydellinen. Oletetaan, että V 3. Jos u, v V ovat eri pisteet ja uv / E, niin silloin graafi G[{u, v}] on epäyhtenäinen, eli V \ {u, v} on G:n separoiva joukko. Jos siis G:llä ei ole separoivaa joukkoa, niin uv E aina kun u, v V ja u v. Silloin G on täydellinen graafi. Yhtenäisyysluku Graafin G (piste) yhtenäisyysluku (connectivity number) κ(g) = min{ A A V G ja G A on epäyhtenäinen tai triviaali}. Graafi G on k-yhtenäinen (k-connected), jos κ(g) k. G on epäyhtenäinen κ(g) = 0. G on täydellinen κ(g) = V G 1. Muulloin κ(g) on pisteiden lukumäärältään pienimmän G:n separoivan joukon koko. G on yhtenäinen G on 1-yhtenäinen.
Viivairrotusjoukko Graafin G viivojen joukko F E G on viivairrotusjoukko (edge cut), jos graafi G F on epäyhtenäinen. Jos lisäksi viivajoukko F \ {e} ei ole viivairrotusjoukko millään e F, niin F on side (bond). Graafin G viivayhtenäisyysluku (edge connectivity number) λ(g) = min{ F F E G ja G F on epäyhtenäinen }. Triviaaleille graafeille λ(g) = 0. Graafi G on k-viivayhtenäinen (k-edge connected), jos λ(g) k. Esimerkki Graafin Separoiva joukko {v, x} Viivairrotusjoukko {uv, xv, xy}, joka on myös side. κ(g) = 2, λ(g) = 3 G on 2-yhtenäinen ja 3-viivayhtenäinen.