A TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT
|
|
- Taisto Aro
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 A TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT GRAAFITEHTÄVIÄ JA -ALGORITMEJA Lähteet: Timo Harju, Opintomoniste Keijo Ruohonen, Graafiteoria (math.tut.fi/~ruohonen/gt.pdf) GRAAFIN LÄPIKÄYMINEN Perusta useimmille tehtäville ja algoritmeille Algoritmien tavoitteena on käydä läpi jokainen piste jotakin tiettyä tarkoitusta varten Graafin ajatellaan koostuvan kolmesta osasta: Puu (tree) jo läpikäydyt pisteet Reunus (fringe) pisteet etäisyydellä 1 puusta Tuntematon (unseen) kauempana olevat pisteet Läpikäymisessä on kaksi tasavahvaa strategiaa: BFS (breadth-first-search), leveyteen ensin haku DFS (depth-first-search), syvyyteen ensin haku KyAMK - TiRak, syksy GRAAFIN LÄPIKÄYMINEN BFS:ssä edetään ensin leveyssuunnassa DFS:ssä edetään ensin syvyyssuunnassa BFS:llä voidaan ratkaista esim. Mitkä ovat lyhimmät reitit tietystä pisteestä kaikkiin muihin pisteihin? (kriteerinä viivojen määrä) DFS:llä voidaan ratkaista esim. Onko verkko yhtenäinen? Mitkä ovat verkon yhtenäiset osaverkot? Onko verkossa silmukoita? TOPOLOGINEN JÄRJESTÄMINEN Määritetään osittainen järjestys suunnatun asyklisen graafin (DAG, Directed Asyclic Graph) pisteille Järjestämiskriteeri pisteille u ja v: u < v, jos on olemassa polku u v Sovelluksia Kurssien, osaprojektien, tms. suoritusjärjestys Yleisin algoritmi BFS-tyyppinen KyAMK - TiRak, syksy KyAMK - TiRak, syksy
2 LYHIN Etsitään graafissa oleva lyhin polku a) Kahden pisteen välillä b) Tietystä pisteestä kaikkiin muihin pisteisiin (sama suoritusaikaluokka!) Painotetussa graafissa etsitään kustannuksiltaan pienin polku Sovelluksena optimaalisen reitin haku Tietokone-, maantie-, lentokenttä- tms. verkko Algoritmit yleensä BFS-tyyppisiä, merkittävin Dijkstran algoritmi KRIITTINEN Verkko on ns. activity-node verkko Pisteissä aktiviteettiin kuluva aika Viivat ilmoittavat vain pisteiden väliset yhteydet Tehtävänä on Löytää nopein mahdollinen kokonaisaika alku- ja loppupisteen välillä ja vastaava polku (critical path) Selvittää, missä pisteissä ja kuinka paljon on löysää eli mitkä aktiviteetit ja kuinka paljon voivat viivästyä, että nopein kokonaisaika ei kasva Sovelluksia: projekti- ym. aikataulut Algoritmi löytyy mm. Weiss Data Structures and Algorithm Analysis in C KyAMK - TiRak, syksy KyAMK - TiRak, syksy VIRTAUSONGELMAT (NETWORK FLOW) Määritetään verkon kapasiteetti kahden pisteen u ja v välillä, kun viivojen kapasiteetit c(u,v) annettu Esimerkkejä: Viivat putkia ja kapasiteetit niiden vetoisuuksia Viivat maanteitä ja kapasiteetit liikennevirtoja Algoritmi löytyy Weissin kirjasta PIENIN VIRITTÄVÄ PUU (MINIMUM SPANNING TREE) Muodostetaan suunnatusta graafista G viivoja karsimalla puu, joka yhdistää kaikki G:n pisteet minimikustannuksilla Sovellus: (liikenne?) verkosto yksinkertaistettuna lyhimmäksi mahdolliseksi siten, että yhtenäisyys säilyy Tunnetuimmat algoritmit Primin algoritmi Kruskalin algoritmi KyAMK - TiRak, syksy KyAMK - TiRak, syksy
3 KAHDENNETUT VERKOT (BICONNECTED GRAPH) Kahdennettussa verkossa minkään pisteen poistaminen ei katkaise yhteyttä muiden pisteiden välillä Sovellus esim. tietokoneverkko, missä toimimaton kone ei estä yhteyksiä muiden koneiden välillä Tehtävänä a) Tutkia, onko verkko kahdennettu b) Jos ei, mitkä ovat heikot paikat (articulation points) GRAAFIEN ALGORITMEJA Seuraavassa on esitettynä joitakin tärkeimmistä graafialgoritmeista pseudokoodina Pääosin algoritmit ovat Weissin kirjasta, mutta muitakin lähteitä on käytetty Eri alkuperästä johtuen yksityiskohtaisuus sekä käytetyt merkinnät vaihtelevat KyAMK - TiRak, syksy KyAMK - TiRak, syksy GRAAFIEN ALGORITMEJA - GRAAFIEN ALGORITMEJA - Verkon BFS-läpikäynti (Breadth First Search): Samalla syntyy verkon BFS-hakupuu. void bfs( vertex v ) { Queue Q = empty; enqueue( v ); visited[v] = TRUE; /* in other words: mark( w ) */ while(! isempty Q ) { dequeue( v ); visit( v ); /* Do something */ for each vertex w adjacent to v visited[w] = TRUE; /* or: mark( w ) */ enqueue( w ); Verkon iteratiivinen DFS-läpikäynti (Depth First Search): Samalla syntyy verkon DFS-hakupuu. void dfs( vertex v ) { Stack S = empty; push( v ); visited[v] = TRUE; /* ( mark( w ) ) */ while(! isempty S ) { v = pop( ); visit( v ); /* Do something */ for each vertex adjacent to v visited[w] = TRUE; /* ( mark( w ) ) */ push( w ); KyAMK - TiRak, syksy KyAMK - TiRak, syksy
4 GRAAFIEN ALGORITMEJA - GRAAFIEN ALGORITMEJA TOPOLOGINEN JÄRJESTÄMINEN Verkon rekursiivinen DFS-läpikäynti: Samalla syntyy verkon DFS-hakupuu. void dfs( vertex v ) { visited[v] = TRUE; /* ( mark( w ) ) */ visit[v]; /* Do something */ dfs( w ); Topologinen järjestäminen void TopSort( graph G ) { Queue Q; int counter; Q = create_queue( NUM_VERTEX ); make_null( Q ); counter = 0; for each vertex v if ( indegree[v] == 0 ) enqueue( v, Q ); while (! isempty( Q ) ) { v = dequeue( Q ); topnum[v] = ++counter; for ( each w adjacent to v ) if ( --indegree[w] == 0 ) enqueue( w, Q ); if ( counter!= NUM_VERTEX ) error( graph has a cycle ); deletequeue( Q ); KyAMK - TiRak, syksy KyAMK - TiRak, syksy GRAAFIEN ALGORITMEJA LYHIN GRAAFIEN ALGORITMEJA LYHIN Verkon solmu: typedef int vertex; struct table_entry { List header; int known; dist_type dist; vertex path; ; #define NOT_A_VERTEX 0 typedef struct table_entry TABLE[NUM_VERTEX+1]; Taulukon alustus: void init_table( vertex start, graph G, table T ) { int i; read graph( G, T ); for ( i = NUM_VERTEX; i > 0; i-- ) { T[i].known = FALSE; T[i].dist = INT_MAX; T[i].path = NOT_A_VERTEX; T[start].dist = 0; Lyhimmän polu tulostus: (kun algoritmi on suoritettu) void print_path( vertex v, TABLE T ) { if ( T[v].path!= NOT_A_VERTEX ) { print_path( T[v].path, T ); printf( to ); printf( %v, v ); /*%v pseudokoodia! */ KyAMK - TiRak, syksy KyAMK - TiRak, syksy
5 GRAAFIEN ALGORITMEJA LYHIN GRAAFIEN ALGORITMEJA Lyhin polku painottamattomassa verkossa: void unweighted( TABLE T ) { Queue Q; Q = create_queue( NUM_VERTEX ); make_null( Q ); enqueue( s ); /*Enqueue start vertex, determined elsewhere*/ while (! isempty( Q ) ) { v = dequeue( Q ); T[v].known = TRUE; /* Not needed? */ if ( T[w].dist == INT_MAX ) { T[w].dist = T[v].dist + 1; T[w].path = v; enqueue( w, Q ); deletequeue( Q ); Lyhin polku painotetussa verkossa (Dijkstran algoritmi): void dijkstra( TABLE T ) { for (; ; ) { V = smallest unknown distance vertex; if ( v == NOT_A_VERTEX ) break; T[v].known = TRUE; if (! T[w].known ) if ( T[v].dist + cv,w < T[w].dist ) { decrease ( T[w].dist to T[v].dist + cv,w ); T[w].path = v; KyAMK - TiRak, syksy KyAMK - TiRak, syksy
A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT
A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT VERKOT ELI GRAAFIT Lähteet: Timo Harju, Opintomoniste Keijo Ruohonen, Graafiteoria (math.tut.fi/~ruohonen/gt.pdf) HISTORIAA Verkko- eli graafiteorian historia on saanut
LisätiedotTietorakenteet ja algoritmit. Verkot. Ari Korhonen
Tietorakenteet ja algoritmit Verkot Ari Korhonen 1 10. VERKOT ( graphs ) 10.1 Yleistä 10.2 Terminologiaa 10.3 Verkon esittäminen 10.4 Verkon läpikäyntialgoritmit (graph traversal) 10.5 Painotetut verkot
Lisätiedot1.1 Pino (stack) Koodiluonnos. Graafinen esitys ...
1. Tietorakenteet Tietorakenteet organisoivat samankaltaisten olioiden muodostaman tietojoukon. Tämä järjestys voidaan saada aikaan monin tavoin, esim. Keräämällä oliot taulukkoon. Liittämällä olioihin
LisätiedotTIETORAKENTEET JA ALGORITMIT
TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT Timo Harju 1999-2004 1 typedef link List; /* Vaihtoehtoisia nimiä */ typedef link Stack; /* nodepointterille */ typedef link Queue typedef struct node Node; /* itse nodelle
Lisätiedot10. Painotetut graafit
10. Painotetut graafit Esiintyy monesti sovelluksia, joita on kätevä esittää graafeina. Tällaisia ovat esim. tietoverkko tai maantieverkko. Näihin liittyy erinäisiä tekijöitä. Tietoverkkoja käytettäessä
LisätiedotTIE Tietorakenteet ja algoritmit 261
TIE-20100 Tietorakenteet ja algoritmit 261 12 Graafit Seuraavaksi tutustutaan tietorakenteeseen, jonka muodostavat pisteet ja niiden välille muodostetut yhteydet graafiin. Keskitymme myös tyypillisimpiin
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 13 Ti 23.2.2016 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin
LisätiedotOikeasta tosi-epätosi -väittämästä saa pisteen, ja hyvästä perustelusta toisen.
Tietorakenteet, kevät 2012 Kurssikoe 2, mallivastaukset 2. (a) Järjestämistä ei voi missään tilanteessa suorittaa nopeammin kuin ajassa Θ(n log n), missä n on järjestettävän taulukon pituus. Epätosi: Yleisessä
Lisätiedot3. Binääripuu, Java-toteutus
3. Binääripuu, Java-toteutus /*-------------------------------------------------------------/ / Rajapinta SearchTree: binäärisen hakupuun käsittelyrajapinta / / Metodit: / / void insert( Comparable x );
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit V Verkkojen algoritmeja Osa1 : Leveys- ja syvyyshaku
811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2016-2017 V Verkkojen algoritmeja Osa1 : Leveys- ja syvyyshaku Sisältö 1. Johdanto 2. Leveyshaku 3. Syvyyshaku 4. Kruskalin algoritmi 5. Dijkstran algoritmi 811312A
LisätiedotA274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT
A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT PUURAKENTEET, BINÄÄRIPUU, TASAPAINOTETUT PUUT MIKÄ ON PUUTIETORAKENNE? Esim. Viereinen kuva esittää erästä puuta. Tietojenkäsittelytieteessä puut kasvavat alaspäin.
Lisätiedot6.4. Järjestyssuhteet
6.4. Järjestyssuhteet Joukon suhteilla voidaan kuvata myös alkioiden järjestystä tietyn ominaisuuden suhteen. Järjestys on myös kaksipaikkainen suhde (ja on monia erilaisia järjestyksiä). Suhde R joukossa
LisätiedotTietorakenteet ja algoritmit
Tietorakenteet ja algoritmit Merkintöjen tulkintoja *++Pstack->top = item *Pstack->top++ = item (*Pstack->top)++ *(Pstack++)->top = item *(++Pstack)->top = item Lisää pinon toteutuksia Dynaaminen taulukko
LisätiedotA274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT
A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT PERUSTIETORAKENTEET LISTA, PINO, JONO, PAKKA ABSTRAKTI TIETOTYYPPI Tietotyyppi on abstrakti, kun se on määritelty (esim. matemaattisesti) ottamatta kantaa varsinaiseen
LisätiedotLuku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä
Luku 7 Verkkoalgoritmit Verkot soveltuvat monenlaisten ohjelmointiongelmien mallintamiseen. Tyypillinen esimerkki verkosta on tieverkosto, jonka rakenne muistuttaa luonnostaan verkkoa. Joskus taas verkko
LisätiedotEräs keskeinen algoritmien suunnittelutekniikka on. Palauta ongelma johonkin tunnettuun verkko-ongelmaan.
5. Verkkoalgoritmeja Eräs keskeinen algoritmien suunnittelutekniikka on Palauta ongelma johonkin tunnettuun verkko-ongelmaan. Palauttaminen edellyttää usein ongelman ja algoritmin pientä modifioimista,
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit
811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016 V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit Sisältö 1. Johdanto 2. Leveyshaku 3. Syvyyshaku 4. Kruskalin algoritmi 5. Dijkstran algoritmi
Lisätiedot13 Lyhimmät painotetut polut
TIE-20100 Tietorakenteet ja algoritmit 297 13 Lyhimmät painotetut polut BFS löytää lyhimmän polun lähtösolmusta graafin saavutettaviin solmuihin. Se ei kuitenkaan enää suoriudu tehtävästä, jos kaarien
LisätiedotT : Max-flow / min-cut -ongelmat
T-61.152: -ongelmat 4.3.2008 Sisältö 1 Määritelmät Esimerkki 2 Max-flow Graafin leikkaus Min-cut Max-flow:n ja min-cut:n yhteys 3 Perusajatus Pseudokoodi Tarkastelu 4 T-61.152: -ongelmat Virtausverkko
LisätiedotPino S on abstrakti tietotyyppi, jolla on ainakin perusmetodit:
Pino (stack) Pino: viimeisenä sisään, ensimmäisenä ulos (LIFO, Last In, First Out) -tietorakenne kaksi perusoperaatiota: alkion lisäys pinon päälle (push), ja päällimmäisen alkion poisto (pop) Push(alkio)
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit II Perustietorakenteet
811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2017-2018 II Perustietorakenteet Sisältö 1. Johdanto 2. Pino 3. Jono 4. Lista 811312A TRA, Perustietorakenteet 2 II.1. Johdanto Tietorakenne on tapa, jolla algoritmi
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit Kertausta jälkiosasta
811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2016-2017 Kertausta jälkiosasta IV Perustietorakenteet Pino, jono ja listat tunnettava Osattava soveltaa rakenteita algoritmeissa Osattava päätellä operaatioiden aikakompleksisuus
LisätiedotAlgoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava:
Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Dijkstra(V, E, l, v 0 ): S := { v 0 } D[v 0 ] := 0 for v V S do D[v] := l(v 0, v) end for while S V do valitse v V S jolle D[v] on minimaalinen S := S
LisätiedotTKT20001 Tietorakenteet ja algoritmit Erilliskoe , malliratkaisut (Jyrki Kivinen)
TKT0001 Tietorakenteet ja algoritmit Erilliskoe 5.1.01, malliratkaisut (Jyrki Kivinen) 1. [1 pistettä] (a) Esitä algoritmi, joka poistaa kahteen suuntaan linkitetystä järjestämättömästä tunnussolmullisesta
LisätiedotTietorakenteet ja algoritmit
Tietorakenteet ja algoritmit Elegantti toteutus funktiolle insert_to_list_end Alkion lisäys sisällön mukaan järjestettyyn listaan (insert_to_list) Linkatun listan yleisyys alkiotyypin suhteen source-tasolla
Lisätiedot10. Painotetut graafit
10. Painotetut graafit Esiintyy monesti sovelluksia, joita on kätevä esittää graafeina. Tällaisia ovat esim. tietoverkko tai maantieverkko. Näihin liittyy erinäisiä tekijöitä. Tietoverkkoja käytettäessä
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit Kertausta jälkiosasta
811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2018-2019 Kertausta jälkiosasta V Hashtaulukot ja binääriset etsintäpuut Hashtaulukot Perusajatus tunnettava Tiedettävä mikä on tiivistefunktio Törmäysongelman hallinta:
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 14 Ke 25.2.2015. Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 14 Ke 25.2.2015 Timo Männikkö Luento 14 Heuristiset menetelmät Heuristiikkoja kapsäkkiongelmalle Kauppamatkustajan ongelma Lähimmän naapurin menetelmä Kertaus ja tenttivinkit Algoritmit
LisätiedotLyhin kahden solmun välinen polku
Lyhin kahden solmun välinen polku Haluamme etsiä lyhimmän polun alla olevan ruudukon kohdasta a kohtaan b vierekkäisten (toistensa sivuilla, ylä- ja alapuolella olevien) valkoisten ruutujen välinen etäisyys
Lisätiedot2. Seuraavassa kuvassa on verkon solmujen topologinen järjestys: x t v q z u s y w r. Kuva 1: Tehtävän 2 solmut järjestettynä topologisesti.
Tietorakenteet, laskuharjoitus 11, ratkaisuja 1. Leveyssuuntaisen läpikäynnin voi toteuttaa rekursiivisesti käsittelemällä jokaisella rekursiivisella kutsulla kaikki tietyllä tasolla olevat solmut. Rekursiivinen
LisätiedotPARITUS KAKSIJAKOISESSA
PARITUS KAKSIJAKOISESSA GRAAFISSA Informaatiotekniikan t iik seminaari i Pekka Rossi 4.3.2008 SISÄLTÖ Johdanto Kaksijakoinen graafi Sovituksen peruskäsitteet Sovitusongelma Lisäyspolku Bipartite matching-algoritmi
LisätiedotGraafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria
Graafit ja verkot Suuntamaton graafi: eli haaroja Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja Suunnattu graafi: Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Haaran päätesolmut:
Lisätiedot8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19
8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19 Määritelmä Joukon suhteilla voidaan kuvata myös alkioiden järjestystä tietyn ominaisuuden suhteen. Järjestys on myös kaksipaikkainen suhde (ja on monia erilaisia järjestyksiä).
LisätiedotAlgoritmit 1. Demot Timo Männikkö
Algoritmit 1 Demot 2 1.-2.2.2017 Timo Männikkö Tehtävä 1 (a) Ei-rekursiivinen algoritmi: laskesumma(t, n) sum = t[0]; for (i = 1; i < n; i++) sum = sum + t[i]; return sum; Silmukka suoritetaan n 1 kertaa
LisätiedotGraafin virittävä puu 1 / 20
Graafin virittävä puu 1 / 20 Graafin virittävä puu PuuT on graafingvirittävä puu (spanning tree), jos se sisältää kaikkig:n pisteet. Virittäviä puita: 2 / 20 Yhdistämisongelma Yhdistämisongelma:(Connector
Lisätiedot58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2013) Kurssikoe 2, , vastauksia
58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2013) Kurssikoe 2, 652013, vastauksia 1 [6 pistettä] Vastaa jokaisesta alla olevasta väittämästä onko se tosi vai epätosi ja anna lyhyt perustelu Jokaisesta kohdasta
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 13 Ma Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 13 Ma 26.2.2018 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin
LisätiedotAbstraktit tietotyypit. TIEA341 Funktio ohjelmointi 1 Syksy 2005
Abstraktit tietotyypit TIEA341 Funktio ohjelmointi 1 Syksy 2005 Data abstraktio Abstraktio on ohjelmoinnin tärkein väline Data abstraktio abstrahoi dataa Abstrakti tietotyyppi Koostuu kolmesta asiasta:
Lisätiedot58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 11, ratkaisuja (Topi Musto)
811 Tietorakenteet (kevät 9) Harjoitus 11, ratkaisuja (Topi Musto) 1. Bellmanin-Fordin algoritmin alustusvaiheen jälkeen aloitussolmussa on arvo ja muissa solmuissa on arvo ääretön. Kunkin solmun arvo
LisätiedotJOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS KURSSIN PERUSTIEDOT VALINNAINEN AINEOPINTOTASOINEN KURSSI, 4 OP PERIODI 1: 6.9.2012-12.10.2012 (6 VIIKKOA) LUENNOT (B123, LINUS TORVALDS -AUDITORIO): TO 10-12, PE 12-14 LASKUHARJOITUKSET
Lisätiedot58131 Tietorakenteet ja algoritmit Uusinta- ja erilliskoe ratkaisuja (Jyrki Kivinen)
58131 Tietorakenteet ja algoritmit Uusinta- ja erilliskoe 12.9.2018 ratkaisuja (Jyrki Kivinen) 1. [10 pistettä] Iso-O-merkintä. (a) Pitääkö paikkansa, että n 3 + 5 = O(n 3 )? Ratkaisu: Pitää paikkansa.
Lisätiedot0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E.
Vieruspistematriisi Graafi esitetään tietokoneessa useimmiten matriisin avulla. Graafin G = (V, E), V = {v 1, v 2,..., v n } vieruspistematriisi (adjacency matrix)on n n matriisi M = (M ij ), missä n on
LisätiedotLiite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkot TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Verkko eli graafi: Määritelmä 1/2 Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 4 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 4 Ke 18.1.2017 Timo Männikkö Luento 4 Tietorakenteet Pino Pinon toteutus Jono Jonon toteutus Lista Listaoperaatiot Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 4 Ke 18.1.2017 2/29 Pino Pino, stack,
LisätiedotKysymys: Voidaanko graafi piirtää tasoon niin, että sen viivat eivät risteä muualla kuin pisteiden kohdalla?
7.7. Tasograafit Graafi voidaan piirtää mielivaltaisen monella tavalla. Graafin ominaisuudet voivat näkyä selkeästi jossain piirtämistavoissa, mutta ei toisessa. Eräs tärkeä graafiryhmä, pintagraafit,
LisätiedotTietorakenteet ja algoritmit
Tietorakenteet ja algoritmit Rekursio Rekursion käyttötapauksia Rekursio määritelmissä Rekursio ongelmanratkaisussa ja ohjelmointitekniikkana Esimerkkejä taulukolla Esimerkkejä linkatulla listalla Hanoin
LisätiedotMiten käydä läpi puun alkiot (traversal)?
inääripuut ieman lisää aidon binääripuun ominaisuuksia lehtisolmuja on yksi enemmän kuin sisäsolmuja inääripuut tasolla d on korkeintaan 2 d solmua pätee myös epäaidolle binääripuulle taso 0: 2 0 = 1 solmu
LisätiedotTietorakenteet ja algoritmit
Tietorakenteet ja algoritmit Pino Pinon määritelmä Pinon sovelluksia Järjestyksen kääntäminen Palindromiprobleema Postfix-lausekkeen laskenta Infix-lausekkeen muunto postfix-lausekkeeksi Sisäkkäiset funktiokutsut
LisätiedotHarjoitus 4 (7.4.2014)
Harjoitus 4 (7.4.2014) Tehtävä 1 Tarkastellaan Harjoituksen 1 nopeimman reitin ongelmaa ja etsitään sille lyhin virittävä puu käyttämällä kahta eri algoritmia. a) (Primin algoritmi) Lähtemällä solmusta
Lisätiedot58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) Toinen välikoe, malliratkaisut
Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 0) Toinen välikoe, malliratkaisut. (a) Alussa puu näyttää tältä: Lisätään 4: 4 Tasapaino rikkoutuu solmussa. Tehdään kaksoiskierto ensin oikealle solmusta ja sitten
LisätiedotJOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS KURSSIN PERUSTIEDOT VALINNAINEN AINEOPINTOTASOINEN KURSSI, 5 OP PERIODI 3: 16.1.2017-3.3.2016 (7 VIIKKOA+KOE) LUENNOT (CK112): MA 14-16, TI 14-16 LASKUHARJOITUKSET: RYHMÄ
LisätiedotTietorakenteet ja algoritmit
Tietorakenteet ja algoritmit Taulukon edut Taulukon haitat Taulukon haittojen välttäminen Dynaamisesti linkattu lista Linkatun listan solmun määrittelytavat Lineaarisen listan toteutus dynaamisesti linkattuna
LisätiedotJOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS KURSSIN PERUSTIEDOT VALINNAINEN AINEOPINTOTASOINEN KURSSI, 5 OP PERIODI 3: 18.1.2016-6.3.2016 (7 VIIKKOA+KOE) LUENNOT (CK112): MA 14-16, TI 14-16 LASKUHARJOITUKSET: RYHMÄ
LisätiedotJoonas Haapala Ohjaaja: DI Heikki Puustinen Valvoja: Prof. Kai Virtanen
Hävittäjälentokoneen reitin suunnittelussa käytettävän dynaamisen ja monitavoitteisen verkko-optimointitehtävän ratkaiseminen A*-algoritmilla (valmiin työn esittely) Joonas Haapala 8.6.2015 Ohjaaja: DI
LisätiedotTietorakenteet ja algoritmit. Kertaus. Ari Korhonen
Tietorakenteet ja algoritmit Kertaus Ari Korhonen 1.12.2015 Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1 Presemosta: 12. Kertaus» Mitkä tekijät, miten ja miksi vaiku1avat algoritmien nopeuteen» Rekursiohistoriapuut
LisätiedotTiraka, yhteenveto tenttiinlukua varten
Tiraka, yhteenveto tenttiinlukua varten TERMEJÄ Tietorakenne Tietorakenne on tapa tallettaa tietoa niin, että tietoa voidaan lisätä, poistaa, muokata ja hakea. Tietorakenteet siis säilövät tiedon niin,
Lisätiedot58131 Tietorakenteet Erilliskoe , ratkaisuja (Jyrki Kivinen)
58131 Tietorakenteet Erilliskoe 11.11.2008, ratkaisuja (Jyrki Kivinen) 1. (a) Koska halutaan DELETEMAX mahdollisimman nopeaksi, käytetään järjestettyä linkitettyä listaa, jossa suurin alkio on listan kärjessä.
LisätiedotMonilähetysreititys. Paketti lähetetään usealle vastaanottajalle Miksi? Monet sovellukset hyötyvät
Monilähetysreititys Paketti lähetetään usealle vastaanottajalle Miksi? Monet sovellukset hyötyvät ohjelmistopäivitykset WWW-välimuistien päivitykset etäopetus, virtuaalikoulu videoiden, äänitteiden lähetys
LisätiedotMäärittelydokumentti
Määrittelydokumentti Aineopintojen harjoitustyö: Tietorakenteet ja algoritmit (alkukesä) Sami Korhonen 014021868 sami.korhonen@helsinki. Tietojenkäsittelytieteen laitos Helsingin yliopisto 23. kesäkuuta
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 14 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 14 Ke 3.5.2017 Timo Männikkö Luento 14 Ositus ja rekursio Rekursion toteutus Kertaus ja tenttivinkit Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke 3.5.2017 2/30 Ositus Tehtävän esiintymä ositetaan
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 4 3.4.017 Tehtävä 1 Tarkastellaan harjoituksen 1 nopeimman reitin ongelmaa ja etsitään sille lyhin virittävä puu käyttämällä kahta eri algoritmia. a) (Primin algoritmi) Lähtemällä
LisätiedotKaksiloppuinen jono D on abstrakti tietotyyppi, jolla on ainakin seuraavat 4 perusmetodia... PushFront(x): lisää tietoalkion x jonon eteen
Viimeksi käsiteltiin pino: lisäys ja poisto lopusta jono: lisäys loppuun, poisto alusta Pinon ja jonon yleistävä tietorakenne: kaksiloppuinen jono alkion lisäys/poisto voidaan kohdistaa jonon alkuun tai
LisätiedotHarjoitus 1 (20.3.2014)
Harjoitus 1 (20.3.2014) Tehtävä 1 Piirretään tilanteesta verkko, jossa kaupungeille on annetttu seuraavat numerot: 1 = Turku 2 = Tampere 3 = Hämeenlinna 4 = Imatra 5 = Jyväskylä. 5 2 149(5) 190(4) 113(1)
Lisätiedot3. Hakupuut. B-puu on hakupuun laji, joka sopii mm. tietokantasovelluksiin, joissa rakenne on talletettu kiintolevylle eikä keskusmuistiin.
3. Hakupuut Hakupuu on listaa tehokkaampi dynaamisen joukon toteutus. Erityisesti suurilla tietomäärillä hakupuu kannattaa tasapainottaa, jolloin päivitysoperaatioista tulee hankalampia toteuttaa mutta
LisätiedotJOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS KURSSIN PERUSTIEDOT VALINNAINEN AINEOPINTOTASOINEN KURSSI, 5 OP PERIODI 1: 4.9.2014-17.10.2012 (7 VIIKKOA+KOE) LUENNOT (B123, LINUS TORVALDS -AUDITORIO): TO 10-12, PE 12-14
Lisätiedotv 8 v 9 v 5 C v 3 v 4
Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi
LisätiedotSisällys. 11. Javan toistorakenteet. Laskurimuuttujat. Yleistä
Sisällys 11. Javan toistorakenteet Laskuri- ja lippumuuttujat.. Tyypillisiä ohjelmointivirheitä: Silmukan rajat asetettu kierroksen verran väärin. Ikuinen silmukka. Silmukoinnin lopettaminen break-lauseella.
LisätiedotALGORITMIT 1 DEMOVASTAUKSET KEVÄT 2012
ALGORITMIT 1 DEMOVASTAUKSET KEVÄT 2012 1.1. (a) Jaettava m, jakaja n. Vähennetään luku n luvusta m niin kauan kuin m pysyy ei-negatiivisena. Jos jäljelle jää nolla, jaettava oli tasan jaollinen. int m,
Lisätiedot58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, , vastauksia
58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, 10..2014, vastauksia 1. [9 pistettä] (a) Todistetaan 2n 2 + n + 5 = O(n 2 ): Kun n 1 on 2n 2 + n + 5 2n 2 + n 2 +5n 2 = 8n 2. Eli
LisätiedotAlgoritmit 2. Demot Timo Männikkö
Algoritmit 2 Demot 2 3.-4.4.2019 Timo Männikkö Tehtävä 1 Avoin osoitteenmuodostus: Hajautustaulukko t (koko m) Erikoisarvot VAPAA ja POISTETTU Hajautusfunktio h(k,i) Operaatiot: lisaa etsi poista Algoritmit
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 2 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 2 Ke 15.3.2017 Timo Männikkö Luento 2 Tietorakenteet Lineaarinen lista, binääripuu Prioriteettijono Kekorakenne Keko-operaatiot Keon toteutus taulukolla Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento
LisätiedotA274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT
A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT HAJAUTUS, JÄRJESTÄMISESTÄ HAJAUTTAMISEN IDEA Jos avaimet (tai data) ovat kokonaislukuja välillä 1 N, voidaan niitä käyttää suoraan indeksointiin Järkevä rakenne on
Lisätiedot9. Graafit. 9.1. Graafin abstrakti tietotyyppi
9. Graafit Graafeilla eli verkoilla esitetään yhteystietoja. Esimerkkejä niistä ovat kaupunkikartan kadut ja tietoverkon tietokoneet. Tämä luku tarkastelee verkkojen perusasioita. 9.1. Graafin abstrakti
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 2 To Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 2 To 14.3.2019 Timo Männikkö Luento 2 Tietorakenteet Lineaarinen lista, binääripuu Prioriteettijono Kekorakenne Keko-operaatiot Keon toteutus taulukolla Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento
LisätiedotLyhyt kertaus osoittimista
, syksy 2007 Kertausta Luento 10 12.10.2007 Syksy 2007 1 Lyhyt kertaus osoittimista char *p; /* char, int, jne ilmoittavat, minkä tyyppisiä */ Keskusmuisti int *q; /* olioita sisältäviin muistilohkoihin
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2015-2016. VI Algoritmien suunnitteluparadigmoja
811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2015-2016 VI Algoritmien suunnitteluparadigmoja Sisältö 1. Hajota ja hallitse-menetelmä 2. Dynaaminen taulukointi 3. Ahneet algoritmit 4. Peruuttavat algoritmit 811312A
Lisätiedot2. Perustietorakenteet
2. Perustietorakenteet Tässä osassa käsitellään erilaisia perustietorakenteita, joita algoritmit käyttävät toimintansa perustana. Aluksi käydään läpi tietorakenteen abstrakti määritelmä. Tämän jälkeen
LisätiedotOhjelmoinnin perusteet Y Python
Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 15.3.2010 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 15.3.2010 1 / 56 Tiedostoista: tietojen tallentaminen ohjelman suorituskertojen välillä Monissa sovelluksissa ohjelman
LisätiedotAlgoritmit 2. Demot Timo Männikkö
Algoritmit 2 Demot 1 27.-28.3.2019 Timo Männikkö Tehtävä 1 (a) 4n 2 + n + 4 = O(n 2 ) c, n 0 > 0 : 0 4n 2 + n + 4 cn 2 n n 0 Vasen aina tosi Oikea tosi, jos (c 4)n 2 n 4 0, joten oltava c > 4 Kokeillaan
Lisätiedot.. X JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS
1 3 1 3 4 3 2 3 4 3 2 3 1 2 3 4 122 31 4 3 1 4 3 1 122 31........ X.... X X 2 3 1 4 1 4 3 2 3 2 4 1 4 JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS 2. ETSINTÄ JA PELIT LEVEYSSUUNTAINEN HAKU 1 9 3 2 5 4 6 7 11 16 8 12
LisätiedotEsimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista
Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista Ennen yleisempiä teoriatarkasteluja katsotaan joitain tyypillisiä esimerkkejä ongelmista ja niiden vaativuudesta kaikki nämä ongelmat ratkeavia
LisätiedotPienin virittävä puu (minimum spanning tree)
Pienin virittävä puu (minimum spanning tree) Jatkossa puu tarkoittaa vapaata puuta (ks. s. 11) eli suuntaamatonta verkkoa, joka on yhtenäinen: minkä tahansa kahden solmun välillä on polku syklitön: minkä
LisätiedotLuento 5. Timo Savola. 28. huhtikuuta 2006
UNIX-käyttöjärjestelmä Luento 5 Timo Savola 28. huhtikuuta 2006 Osa I Shell-ohjelmointi Ehtolause Lausekkeet suoritetaan jos ehtolausekkeen paluuarvo on 0 if ehtolauseke then lauseke
Lisätiedot13. Loogiset operaatiot 13.1
13. Loogiset operaatiot 13.1 Sisällys Loogiset operaatiot AND, OR, XOR ja NOT. Operaatioiden ehdollisuus. Bittioperaatiot. Loogiset operaatiot ohjausrakenteissa. Loogiset operaatiot ja laskentajärjestys.
LisätiedotTietorakenteet ja algoritmit
Tietorakenteet ja algoritmit Useampitasoiset ADT:t Käytetään esimerkkiohjelmaa Ratkaisuyritys 1 Ratkaisuyritys 2 Lopullinen ratkaisu Lopullisen ratkaisun toteutusyritys Lopullisen ratkaisun oikea toteutus
Lisätiedot11. Javan toistorakenteet 11.1
11. Javan toistorakenteet 11.1 Sisällys Laskuri- ja lippumuuttujat. Sisäkkäiset silmukat. Tyypillisiä ohjelmointivirheitä: Silmukan rajat asetettu kierroksen verran väärin. Ikuinen silmukka. Silmukoinnin
LisätiedotTassu Takala ! Verkostot / Tassu Takala! 1!
Tassu Takala 3.10.2016 3.10.2016! Verkostot / Tassu Takala! 1! August 2011 Web Server Survey! Millainen verkko on! Internet?! WWW?! Kuinka verkko rakentuu?! Mitä verkossa tapahtuu?! link 3.10.2016! to
LisätiedotGraafiteoria matematiikkaako?
Koostanut: Elina Viro, Juho Lauri Opettajalle Graafiteoria matematiikkaako? Kohderyhmä: 7.-9.-luokkalaiset Esitiedot: - Taustalla oleva matematiikka: Graafiteoria, looginen ajattelu Ajankäyttö: Varsinainen
LisätiedotStabiloivat synkronoijat ja nimeäminen
Stabiloivat synkronoijat ja nimeäminen Mikko Ajoviita 2.11.2007 Synkronoija Synkronoija on algoritmi, joka muuntaa synkronoidun algoritmin siten, että se voidaan suorittaa synkronoimattomassa järjestelmässä.
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 8 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 8 Ke 1.2.2017 Timo Männikkö Luento 8 Järjestetty binääripuu Solmujen läpikäynti Binääripuun korkeus Binääripuun tasapainottaminen Graafit ja verkot Verkon lyhimmät polut Fordin ja Fulkersonin
Lisätiedot58131 Tietorakenteet ja algoritmit Uusinta- ja erilliskoe malliratkaisut ja arvosteluperusteet
58131 Tietorakenteet ja algoritmit Uusinta- ja erilliskoe 15.6.2018 malliratkaisut ja arvosteluperusteet 1. [10 pistettä] Hakemistorakenteet. Vertaa linkitettyjen listojen, tasapainoisten hakupuiden ja
LisätiedotAlgoritmit 1. Demot Timo Männikkö
Algoritmit 1 Demot 2 7.-8.2.2018 Timo Männikkö Tehtävä 1 (a) Ei-rekursiivinen algoritmi: etsipienin(t, n) { pnn = t[0]; for (i = 1; i < n; i++) { pnn = min(pnn, t[i]); return pnn; Silmukka suoritetaan
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 11 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 11 Ti 24.4.2018 Timo Männikkö Luento 11 Rajoitehaku Kapsäkkiongelma Kauppamatkustajan ongelma Paikallinen etsintä Lyhin virittävä puu Vaihtoalgoritmit Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 7 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 7 Ti 4.4.2017 Timo Männikkö Luento 7 Joukot Joukko-operaatioita Joukkojen esitystapoja Alkiovieraat osajoukot Toteutus puurakenteena Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 7 Ti 4.4.2017 2/26
LisätiedotAlgoritmit 2. Demot Timo Männikkö
Algoritmit 2 Demot 4 24.-25.4.2019 Timo Männikkö Tehtävä 1 (a) int laske(n) { if (n
LisätiedotKysymyksiä koko kurssista?
Kysymyksiä koko kurssista? Lisää kysymyksesi osoitteessa slido.com syötä event code: #8777 Voit myös pyytää esimerkkiä jostain tietystä asiasta Vastailen kysymyksiin luennon loppupuolella Tätä luentoa
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 1 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 1 Ti 10.1.2017 Timo Männikkö Luento 1 Algoritmi Algoritmin toteutus Ongelman ratkaiseminen Algoritmin tehokkuus Algoritmin suoritusaika Algoritmin analysointi Algoritmit 1 Kevät 2017
LisätiedotHakupuut. tässä luvussa tarkastelemme puita tiedon tallennusrakenteina
Hakupuut tässä luvussa tarkastelemme puita tiedon tallennusrakenteina hakupuun avulla voidaan toteuttaa kaikki joukko-tietotyypin operaatiot (myös succ ja pred) pahimman tapauksen aikavaativuus on tavallisella
Lisätiedot12. Javan toistorakenteet 12.1
12. Javan toistorakenteet 12.1 Sisällys Yleistä toistorakenteista. Laskurimuuttujat. While-, do-while- ja for-lauseet. Laskuri- ja lippumuuttujat. Tyypillisiä ohjelmointivirheitä. Silmukan rajat asetettu
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 9 Ti 7.2.2017 Timo Männikkö Luento 9 Graafit ja verkot Kaaritaulukko, bittimatriisi, pituusmatriisi Verkon lyhimmät polut Floydin menetelmä Lähtevien ja tulevien kaarien listat Forward
Lisätiedot