5. lukujonot ja sarjat. Lukujono on järjeste1y joukko lukuja x 1, x 2, x 3,..., x N Kun jonon alkiot lasketaan yhteen, saadaan sarja: N x i = x 1 + x 2 + x 3 +...+ x N i=1 Yhteenlaskun tulosta sanotaan sarjan summaksi. Jos N on äärellinen summan voi aina laskea. Jos N on ääretön, sarjan summa voi lähestyä jotain lukua (siis muuta kuin ± ) tai olla lähestymä1ä.
Suppeneminen Jos sarjan summa lähestyy jotain lukua, sanotaan e1ä sarja suppenee (engl. "the series converges"). Jos sarjan summa ei lähesty mitään lukua, sanotaan e1ä sarja hajaantuu tai divergoi (engl. "the series diverges"). Tällä kurssilla käsitellään aritmeeista, geometrista ja Taylorin sarjaa.
AritmeeInen sarja a 1 + (a 1 + d) + (a 1 + 2d) +... + (a 1 + (n -1)d) d = vakio n a 2 a 3 [ ] = a 1 + (N 1)d N=1 a n = n a 1 + a n 2 Jos n, sarja hajaantuu. Esim: 1+ 2 + 3+... +100 =100 1+100 2 = 5050
Geometrinen sarja a 1 + a 1 q + a 1 q 2 + a 1 q 3 +... + a 1 q n-1 q = vakio n-1 a 2 [ ] = a 1 q N N=0 a 3 a 4 a n = a 1(1- q n ) 1- q Kahden peräkkäisen termin suhde on aina a n+1 = a 1q n+1 a n a 1 q n = q Tätä käytetään tesnnä sille onko joku "tuntematon" sarja geometrinen vai ei.
Geometrisen sarjan suppeneminen Kun n, geometrinen sarja suppenee jos q < 1. Muuten se hajaantuu. Suppenevan geometrisen sarjan summa on: Esim: [ ] = a 1 q N = a 1 1- q N=0 ( q < 1) 1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 +... suhdeluku 1 2 suppenee 1+ 2 + 4 + 8 +16 +... suhdeluku 2 hajaantuu 1+1+1+1+1+1+... suhdeluku 1 hajaantuu
Taylorin sarja Jos funknonlla f(x) on kaikki derivaatat pisteessä x 0 (eli sen voi derivoida kuinka monta kertaa tahansa) niin funknon voi esi1ää Taylorin sarjana pisteessä x 0. f(x) = f(x 0 ) + f'(x 0)(x x 0 ) 1 + f'''(x 0 )(x x 0 )3 3! 1! +... = n=0 + f''(x 0)(x x 0 ) 2 2! f n (x 0 )(x x 0 ) n Käytännössä jos sarja suppenee, tarvitaan vain muutama termi. (Muista: 0! = 1). n!
Esimerkki: alkeisfunknoiden Taylorin sarjoja Esitä e x ja sin(x) taylorin sarjoina pisteen x 0 = 0 läheisyydessä. Laske sarjan neljä ensimmäistä termiä. Ratkaisu: Lasketaan ensin tarvi1avat derivaatat: d dx (ex ) = e x, d2 dx 2 (ex ) = e x, d3 dx 3 (ex ) = e x d d2 d3 (sin(x)) = cos(x), (sin(x)) = -sin(x), 2 dx dx dx 3 (ex ) = -cos(x) Taylorin sarjan 4 ensimmäistä termiä ovat: f(x) f(x 0 ) + f'(x 0 )(x x 0 )1 1! + f''(x 0 )(x x 0 )2 2! + f'''(x 0 )(x x 0 )3 3!
f(x) f(x 0 ) + f'(x 0 )(x x 0 )1 1! + f''(x 0 )(x x 0 )2 2! + f'''(x 0 )(x x 0 )3 3! Saadaan siis: e x e 0 + e0 (x 0) 1 1! =1+ x + x2 2 + x3 6 + e0 (x 0) 2 2! + e0 (x 0) 3 3! sin(x) sin(0) + cos(0)(x 0)1 1! + -sin(0)(x 0)2 2! + -cos(0)(x 0)3 3! = x x3 6
Taylorin sarja hyöty Taylorin sarjalla voidaan mikä tahansa funkno ilmaista "lokaalisn" (jonkun pisteen läheisyydessä) likimääräisesn polynomina. Tämä helpo1aa usein laskemista huoma1avasn, koska polynomeja on helpompi käsitellä kuin esim trigonometrisia funknoita. Taylorin sarjakehitelmät ovat usein hyödyllisiä erilaisten rajaarvojen ja likimääräisten arvojen selvi1ämisessä.
Taylorin sarja kemiassa: esim 1 Sähkökentän voimakkuus E etäisyydellä r sähköisestä varauksesta q on (k = vakio): E = kq r 2 Tarkastellaan kahta vierekkäistä, saman suuruista mu1a vastakkaismerkkistä varausta (esim atomeja). Olkoon varausten välinen etäisyys 2d. Halutaan Netää sähkökentän voimakkuus kun ollaan etäisyyden r päässä varausten keskikohdasta (yksinkertaisuuden vuoksi 1 ulo1uvuudessa): E = kq (r d) 2 kq 2d (r + d) 2 r +q q
Muokataan hieman: E = = kq (r d) 2 kq (r + d) 2 kq r 2 (1 d r )2 kq r 2 (1+ d = kq r 2 (1 d r ) 2 (1+ d r ) 2 r )2 r q 2d +q Lasketaan sähkökentän voimakkuudelle raja arvo joka pätee kun r >> d, eli d/r 0. Kehitetään (1+d/r) 2 ja (1 d/r) 2 sarjoiksi muu1ujan d/r suhteen. (1+x) 2 :n Taylorin sarja x = 0:n ympärillä: (1+ x) 2 (x 0) (1+ 0) 2 + 2(1+ 0) 3 1! =1 2x + 3x 2 +... 1 2x (x - 0) + 2 3 (1+ 0) 4 2! (x - 0) 2 +...
Äsken saanin: (1+ x) 2 1 2x (kun x 0) r q 2d +q Jolloin (1+ d r ) 2 1 2d r Ja edelleen ja (1 d r ) 2 1+ 2d r E = kq r 2 (1 d r ) 2 (1+ d r ) 2 kq 2d (1+ 2 r r = 4kqd r 3 (1-2d r )) Eli dipolin sähkökentän voimakkuus on kääntäen verrannollinen etäisyyden kolmanteen potenssiin. (Tämä on tärkeää molekyylien välisiä vuorovaikutuksia käsiteltäessä.)
Taylorin sarja kemiassa: esim 2 Mustan kappaleen säteilyjakauma (säteilyintensiteei aallonpituudella λ kappaaleen lämpönlan ollessa T): p(λ) = 8πhc λ 5 (e hc λkt -1) -1 Miltä p(λ) näy1ää kun aallonpituus on suuri (λ )? Ratkaisu: merkitään esin x = hc/λkt. Kun λ lähestyy ääretöntä, x lähestyy nollaa. Kehitetään ekspontenifunkno Taylorin sarjaksi x = 0 lähistöllä. 8πhc λ 5 (e hc λkt -1) -1 = 8πhc λ 5 (e x -1) -1 8πhc λ 5 (e 0 + e0 (x 0) 1! + e0 (x 0) 2 2! +... -1) -1
8πhc λ 5 (e hc λkt -1) -1 = 8πhc λ 5 (e x -1) -1 8πhc λ 5 (e 0 + e0 (x 0) 1! = 8πhc λ 5 + e0 (x 0) 2 2! +... -1) -1 (1+ x + x2 2 +... -1)-1 = 8πhc λ 5 (x + x2 2 +...)-1 Jos x on rii1ävän pieni, x 2, x 3 jne ovat paljon paljon pienempiä kuin x: voidaan siis unohtaa kaikki korkeammat termit Taylorin sarjasta, ja jä1ää vain lineaarinen termi p(λ) = 8πhc (x) -1 = 8πhc λ 5 λ 5 λkt hc = 8πkT mikä sa1uu olemaan klassisen fysiikan mukainen tulos... λ 4
6. Vektorit Vektori on n dimensioinen olio (useimmissa sovelluksissa = 2 tai 3) jolla on suunta ja pituus. Vektoria kuvataan usein nuolella joka kulkee kahden pisteen välillä. B( 1,5, 3) A(2,3,4) vektori AB = (-1-2)i + (5-3)j + (-3-4)k = -3i + 2j - 7k missä i, j ja k ovat yksikkövektoreita
Yksikkövektorit
Vektorin pituus Vektorin pituus lasketaan Pyhtagoran lauseen perusteella. Äskeiselle esimerkkivektorille: vektorin AB = - 3i + 2j - 7k pituus : AB = ( 3) 2 + (2) 2 + ( 7) 2 = 62 7.9 YleisesN mille tahansa vektorille X = ai + bj + ck pätee: X = a 2 + b 2 + c 2 Vastaavanlainen kaava pätee myös ulo1uvuuksien määrän ollessa pienempi tai suurempi kuin 3.
Otetaan toinen vektori joka kulkee pisteestä A pisteeseen C. C(2,4,5) B( 1,5, 3) θ A(2,3,4) vektori AC = (2-2)i + (4-3)j + (5-4)k = j + k AC = 0 2 +1 2 +1 2 = 2 1.4 Olkoon vektorien välinen kulma θ. Kulman voi AB ja AC laskea pistetulon avulla. AB AC = AB AC cos(θ) cos(θ) = AB AC AB AC
Pistetulo Kahden vektorin pistetulo lasketaan seuraavasn: olkoon P = a p i + b p j + c p k ja Q = a q i + b q j + c q k P Q = a p a q + b p b q + c p c q Äskeisille esimerkkivektoreille siis AB = 3i + 2j - 7k ja AC = j + k AB AC = (-3) 0 + 2 1+ (-7) 1 = -5 cos(θ) = θ = arccos( 5 AB AC = 5 62 2 ) 117 5 62 2
Esimerkki Ammoniakin NH 3 atomien karteesisiksi koordinaateksi on laskennallisen kemian ohjelmalla saatu (yksikkönä Ångström): N 0.0000 0.0000-0.1166 H 1-0.0010 0.9399 0.2721 H 2-0.8135-0.4708 0.2721 H 3 0.8144-0.4691 0.2721 Laske H 1 N H 2 sidoskulma. Ratkaisu: muodostetaan vektorit NH 1 ja NH 2. vektori NH 1 = (-0.0010-0.0)i + (0.9399-0.0)j + (0.2721- -0.1166)k = -0.0010i + 0.9399j + 0.3887k vektori NH 2 = (-0.8315-0.0)i + (-0.4708-0.0)j + (0.2721- -0.1166)k = -0.8135i + - 0.4708j + 0.3887k
Sidoskulma saadaan nyt pistetulon avulla: = cos(θ) = NH 1 NH 2 NH 1 NH 2-0.0010-0.8135 + 0.9399-0.4708 + 0.3887 0.3887 (0.0010 2 + 0.9399 2 + 0.3887 2 ) (0.8135 2 + 0.4708 2 + 0.3887 2 ) = 0.28096 θ = arccos( 0.28096) 106.3 Mikä on noin puolitoista aste1a pienempi kuin todellinen mita1u sidoskulma.
7. Kompleksiluvut Yhtälöllä x 2 = 1 ei ole reaalilukuratkaisua tarvitaan uusia lukuja. Kompleksiluku on kahden reaaliluvun järjeste1y "pari" (x,y): Z = x +iy Missä i on imaginääriyksikkö, jolla on ominaisuus i 2 = i i = 1 x = kompleksiluvun reaaliosa, Re(z) y = kompleksiluvun imaginääriosa, Im(z) Huom: älä sekoita imaginääriyksikköä i ja yksikkövektoria i
Kompleksilukuja esiintyy usein polynomiyhtälöiden ratkaisuina. Esim: x 2 2x + 5 = 0 x = 2 ± ( 2)2 4 1 5 2 1 = 2 ± 1 4 2 = 2 ± 4 i 2 Merkitään juuria Z 1 = 1 + 2i, Z 2 = 1 2i Re(Z 1 ) = 1 Re(Z 2 ) = 1 Im(Z 1 ) = 2 Im(Z 2 ) = 2 = 2 ± 16 2 =1± 2i
Kompleksilukujen laskutoimitukset Olkoon Z 1 = x 1 + y 1 i, Z 2 = x 2 + y 2 i Yhteenlasku: Z 1 + Z 2 = (x 1 + x 2 ) + (y 1 + y 2 )i Kertolasku: Z 1 Z 2 = (x 1 + y 1 i)(x 2 + y 2 i) = x 1 x 2 + x 1 y 2 i + x 2 y 1 i + y 1 y 2 i 2 = x 1 x 2 + (x 1 y 2 + x 2 y 1 )i y 1 y 2 = x 1 x 2 y 1 y 2 + (x 1 y 2 + x 2 y 1 )i
Kompleksiluvun lii5oluku eli kompleksikonjugaa8 Merkitään Z* tai Z Z = x + yi Z* = x yi Huomaa e1ä kompleksiluku kerro1una lii1oluvullaan antaa reaaliluvun: Z Z* = x 2 + y 2 Kompleksiluvun jakolasku Z 1 = x 1 + y 1 i Z 2 x 2 + y 2 i = (x 1 + y 1 i)(x 2 y 2 i) (x 2 + y 2 i)(x 2 y 2 i) = (x 1x 2 x 1 y 2 i + x 2 y 1 i y 1 y 2 i 2 ) x 2 2 + x 2 y 2 i x 2 y 2 i- y 2 2 i 2 = x 1x 2 + y 1 y 2 + (x 2 y 1 - x 1 y 2 )i x 2 2 + y 2 2 Kerrotaan molemmat puolet Z 2 *:lla Tämä meni nyt 3 edellisessä versiossa väärin, tässä se on vihdoin oikein.
Kompleksiluvun pituus ja argumeni Kompleksiluku voidaan esi1ää vektorina ns. kompleksitasossa. Z = x + iy (x,y) Im(Z) y (x,y) x Re(Z)
Kompleksiluvun pituus ja argumeni Kompleksiluku voidaan esi1ää vektorina ns. kompleksitasossa. Z = x + iy (x,y) Im(Z) y r θ (x,y) r: pisteen etäisyys origosta θ: vektorin ja Re(Z) akselin välinen kulma x Re(Z)
Im(Z) r θ (x,y) Re(Z) Olkon Z = x + iy. Tällöin Re(Z) = x ja Im(Z) = y. r = kompleksiluvun pituus eli itseisarvo, merkitään Z. Lasketaan pythagoraan kaavalla: Z = r = Re(Z) 2 + Im(Z) 2 = x 2 + y 2 θ = kompleksiluvun argumeni, merkitään Arg(Z): arctan( Im(Z) ) jos Re(Z) > 0 Re(Z) Arg(Z) = θ = { arctan( Im(Z) ) + π jos Re(Z) < 0 Re(Z)
Yhteys napakoordinaa1eihin Im(Z) r θ (x,y) Re(Z) Re(Z) = r cos(θ) Im(Z) = r sin(θ) Z = r (cos(θ) + i sin(θ))
Im(Z) r θ (x,y) Re(Z) Olkon Z = x + iy. Tällöin Re(Z) = x ja Im(Z) = y. θ = kompleksiluvun argumeni, merkitään Arg(Z): arctan( Im(Z) ) jos Re(Z) > 0 Re(Z) Arg(Z) = θ = { arctan( Im(Z) ) + π jos Re(Z) < 0 Re(Z) Re(Z) on vaaka akseli, eli π (= 180 ) lisätään silloin kun ollaan pystyakselin vasemmalla puolella.
ArkustangenIfunkNon käytös +90 Arctan(x) x 90
Yksikköympyrä kompleksitasossa y=im(z) r=1 θ x=re(z)
ArkustangenIfunkNon käytös ArkustangenI palau1aa kulmia 90 ja +90 asteen ( π/2 ja π/2 radiaanin) väliltä. Halutaan kuitenkin yleensä antaa argumeni kulmana 0 ja 360 väliltä! Jos y/x < 0, arctan(y/x) antaa tuloksena neganivisen kulman Jos y/x > 0, arctan(y/x) antaa tuloksena posinivisen kulman
Minkä merkkinen Im(Z)/Re(Z) on? [0...90 ] y posinivinen arctan(y/x) x Arg(Z) = arctan( Im(Z) Re(Z) ) Arctan antaa oikean kulman.
Minkä merkkinen Im(Z)/Re(Z) on? [90...180 ] neganivinen y x arctan(y/x) Arg(Z) = arctan( Im(Z) Re(Z) ) +180 Arctan antaa neganivisen & väärän kulman, pitää lisätä 180.
Minkä merkkinen Im(Z)/Re(Z) on? x arctan(y/x) posinivinen y [180...270 ] Arg(Z) = arctan( Im(Z) Re(Z) ) +180 Arctan antaa posinivisen mu1a väärän kulman, pitää lisätä 180.
Minkä merkkinen Im(Z)/Re(Z) on? Arctan antaa neganivisen joskin sinänsä oikean kulman. Jos halutaan rajata kulma 0...360 välille, pitää lisätä 360. x y neganivinen arctan(y/x) Arg(Z) = arctan( Im(Z) Re(Z) ) (+360 ) [270...360 ]
Esimerkki Etsi kompleksiluvun pituus ja argumeni ja piirrä kompleksilukuvektori. a) Z = 1 + i Ratkaisu: Z = Re(Z) 2 + Im(Z) 2 = 1 2 +1 2 = 2 Arg(Z) = arctan( Im(Z) Re(Z) ) = arctan(1 1 ) = 45 2 45
b) Z = 0.5 ( 3/2)i Ratkaisu: Z = Re(Z) 2 + Im(Z) 2 = (- 1 3 2 )2 + (- 2 )2 =1 3 Arg(Z) = arctan( Im(Z) Re(Z) ) +180 = arctan( 2 ) +180 = 240 1 2 240 1
Eulerin kaava Z =Re(Z) + Im(Z) i = r cos(θ) + r sin(θ) i = r (cos(θ) + i sin(θ)) = re iθ Z = r(cosθ + isinθ) = re iθ Eulerin kaava kytkee yhteen eksponen8funkgon ja trigonometriset funkgot, ja on hyvin hyödyllinen työkalu.
Eulerin kaavan sovelluksia Z = r(cosθ + isinθ) = re iθ KonjugaaI: Z* = re iθ = r(cos(-θ) + isin(-θ)) = r(cos θ - isin θ) Kertolasku Z 1 = r 1 e iθ 1, Z 2 = r 2 e iθ 2 Z 1 Z 2 = r 1 e iθ 1 r 2 e iθ 2 = r 1 r 2 e iθ 1 +iθ 2 = r 1 r 2 e i(θ 1 +θ 2 ) Jakolasku Z 1 Z 2 = r 1 eiθ1 r 2 e iθ 2 = r 1 r 2 e i(θ 1 θ 2 )
Eulerin kaavan sovelluksia Z 1 Z 2 = r 1 r 2 e i(θ 1+θ 2 ) Tulon itseisarvo: Z 1 Z 2 = r 1 r 2 Tulon argumeni: Arg(Z 1 Z 2 ) = θ 1 +θ 2 Imaginääriyksikön ominaisuuksia: i = 1(cos θ + isin θ) = 1e i(π 2 ) i i = e i(π 2 ) e i(π 2 ) = e iπ = (cos π + isin π ) = -1
Eulerin kaavan sovelluksia Kompleksiluvun potenssi: Z n = (re iθ ) n = r n e i nθ = r n (cos(nθ) + isin(nθ)) = r n (cos θ + isin θ) n Tämä tunnetaan De Moivren kaavana, ja se on hyödyllinen paitsi kompleksilukujen potenssien laskemisessa, myös trigonometristen funknoiden potenssien ja moninkertaisten tai murtolukukulmien idennteeien laskemisessa.
Eulerin kaavan sovelluksia Trigonometristen funknoiden ilmaiseminen eksponenifunknoiden avulla: e iθ = cos θ + isin θ (1) e iθ = cos θ isin θ (2) lasketaan yhtälöt 1 ja 2 yhteen: e iθ + e iθ = 2cos θ cos θ = eiθ + e iθ 2 vähennetään yhtälö 2 yhtälöstä 1: e iθ e iθ = isin θ isin θ sin θ = eiθ e iθ 2i
Trigonometristen idennteeien johtaminen Eulerin & de Moivren avulla Äsken saanin: r n (cos(nθ) + isin(nθ)) = r n (cos θ + isin θ) n Olkoon r = 1 ja n = 2. Saadaan: cos(2θ) + isin(2θ) = (cos θ + isin θ) 2 Lasketaan oikea puoli auki: cos(2θ) + isin(2θ) = (cosθ + isinθ)(cosθ + isinθ) cos(2θ) + isin(2θ) = cos 2 θ + 2cosθ isinθ + i 2 sin 2 θ cos(2θ) + isin(2θ) = cos 2 θ sin 2 θ + 2icosθsinθ Jo1a yhtälö voi päteä, reaali ja imaginääriosien tulee olla yhtä suuret, ts: cos(2θ) = cos 2 θ sin 2 θ ja sin(2θ) = 2cosθsinθ
Eulerin kaava & integroinntehtävät Esimerkki: laske cos(2θ)sin 2 (3θ)dθ Ratkaisu: käytetään Eulerin kaavasta johde1ua lauseke1a sini ja kosinifunknoille: cos(2θ)sin 2 (3θ)dθ = ( ei 2θ + e 2 i 2θ )( ei 3θ i 3θ e ) 2 dθ 2i = 1 8 (ei 2θ + e i 2θ )(e i 3θ e i 3θ )(e i 3θ e i 3θ )dθ = 1 8 (ei 2θ + e i 2θ )(e i 6θ 2e iθ(3 3) + e i 6θ ) dθ = 1 8 (ei 8θ 2e i 2θ + e i 4θ + e i 4θ 2e i 2θ + e i 8θ ) dθ
cos(2θ)sin 2 (3θ)dθ = 1 8 (ei 8θ 2e i 2θ + e i 4θ + e i 4θ 2e i 2θ + e i 8θ ) dθ = 1 8 ((ei 8θ + e i 8θ ) + (e i 4θ + e i 4θ ) 2(e i 2θ + e i 2θ ) dθ = 1 8 2cos(8θ) + 2cos(4θ) 4cos(2θ)) dθ = 1 8 (2sin(8θ) 8 = sin(8θ) 32 sin(4θ) 16 + 2sin(4θ) 4 + sin(2θ) 4 4sin(2θ) ) + C 2 + C
Missä kompleksiluvut ovat parempia kuin tavalliset vektorit? Mitä kompleksiluvulle tapahtuu kun se kerrotaan imaginääriyksiköllä (a + bi)i = ai + bi 2 = b + ai a + bi vastaa tason vektoria (a,b) b + ai vastaa tason vektoria ( b,a) Lasketaan vektorien välinen kulma: cos(θ) = (a,b) ( b,a) (a,b) (b,a) = -ab + ba (a,b) (b,a) = 0 θ = 90
Missä kompleksiluvut ovat parempia kuin tavalliset vektorit? Im(Z) a b Imaginääriluvulle kertominen on helppo tapa kiertää kompleksivektoria 90. Kiertoja on muutenkin helpompi kuvata kompleksiluvuilla. a + bi b a Re(Z)
Kompleksiluvut kemiassa Imaginääriluku i esiintyy usein kvanikemian operaa1oreissa, näistä on jo tava1u esim: Liikemäärän operaa1ori: p ˆ x = -i d dx = i d dx ImpulssimomenIoperaa1ori: (huom: saman näköiset!) J ˆ z = i φ Myös aaltofunknoissa on usein kompleksilukutermejä.
Esimerkki: kvanimekaaninen pyörimisliike Massat m 1 ja m 2, vastakkaisilla puolilla origoa ja etäisyyksien r 1 ja r 2 päässä siitä, pyörivät origon ympäri. Merkitään kulmaa θ:lla. m 1 r 2 m 2 r 1 θ Systeemin Schrödingerin yhtälö: m 2 d 2 ψ I = 1 m 2 (r 2I dθ 2 = Eψ 1 + r 2 ) 2 m 1 +m 2 (hitausmomen+)
Edellä annetun schrödingerin yhtälön yleinen ratkaisu on ψ(θ) = Ce i aθ a R Ratkaisun reunaehdot saadaan vaanmalla e1ä aaltofunkno on sama kulmalle θ ja θ + 2π: ψ(θ) = ψ(θ + 2π ) Ce i aθ = Ce i a(θ+2π ) = e i a2π Ce i aθ mistä nähdän e1ä a:n on oltava kokonaisuluku: a = {0, ±1, ±2...}. Ratkaistaan seuraavaksi energia operoimalla Hamiltonin operaa1orila anne1uun funknoon: 2 2I d 2 ψ(θ) dθ 2 = 2 2I d 2 aθ Cei 2 dθ = 2 d 2I dθ Cei aθ ia = 2 2I Cei aθ (ia) 2 = 2 a 2 2I Ce i aθ
Äsken saanin 2 d 2 ψ(θ) 2I dθ 2 = 2 a 2 Ce i aθ = 2 a 2 2I 2I ψ(θ) Vertaamalla tätä alkuperäiseen Schrödingerin yhtälöön 2 d 2 ψ 2I dθ 2 = Eψ nähdään hen e1ä E = 2 a 2 2I missä edelleen a = {0, ±1, ±2...}. (Vain Netyt a:n kokonaislukuarvoja vastaavat energianlat ovat siis mahdollisia; sanotaan e1ä pyörivän kappaleen energianlat ovat kvan./uneet.
Esimerkki: vetyatomin aaltofunknon kulmaosat Vetyatomin aaltofunknossa on kolme ns kvanilukua, n l ja m. ψ n,l,m (r,θ,ϕ) = N n,l,m e r na 0 ( 2r )L 2l+1 n l 1 ( 2r )Y m l (θ,ϕ) na 0 na 0 Kun sivukvaniluku l = 1 ja magneeinen kvaniluku m = ± 1, kulmaosa joka kuvaa elektronin suuntaa vetyatomin ynmestä on palloharmoninen funkno johon sisältyy kompleksiarvoinen eksponeni: Y ±1 1 (θ,ϕ) = ( 3 1 8π ) 2 sin(θ)e ±iϕ Voidaan jakaa reaali ja imaginääriosiin Eulerin kaavalla.