Luento 7: Voima ja Liikemäärä

Luento 7: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä

Ajankohtaista

Konseptitesti 1 Kysymys Viereisessä kuvaajassa on kuvattu kappaleen nopeutta ajan funktiona. Mikä alla olevista graafeista kuvaa parhaiten kappaleeseen kohdistuvaa nettovoimaa ajan funktiona? v x t P Fx P Fx P Fx P Fx 1 2 3 4 t t t t

Johdanto Dynamiikka tutkii voimia ja niiden aiheuttamaa liikettä Newtonin liikelait (Newton s laws of motion) Pohjautuvat kokeellisiin havaintoihin (julk. 1687) Ovat samalla klassisen mekaniikan perusta Voimat jaetaan kontaktivoimiin (contact forces) ja pitkän kantaman voimiin (long range forces) Voima vektorisuure: sillä on suunta ja suuruus. [F] =N (newton)

Luennon sisältö Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä

Superpositioperiaate Kappaleeseen kohdistuvien (eri) voimien yhteisvaikutus sama, kuin jos siihen kohdistuisi yksi voima, joka on voimien vektorisumma Voimatehtävien ratkaisu perustuu tähän periaatteeseen Superpositioperiaatteen käänteissovellus Kappaleen tiettyyn pisteeseen kohdistuva voima voidaan aina jakaa komponentteihin Erittäin käytännöllinen tehtävien ratkaisemisessa ~F 1 ~F ~ F y ~F ~F 2 ~F x

Nettovoima eli resultantti Kaikkien kappaleeseen kohdistuvien voimien summa F net = R = X F i Voidaan aina laskea yhteen komponenteittain R x = X i F ix, R y = X i F iy, R z = X i F iz Voiman itseisarvo saadaan F net = R = q R 2 x + R 2 y + R 2 z

Newtonin 1. laki Kappale, johon vaikuttava nettovoima on nolla (~ F net = 0), liikkuu tasaisella nopeudella ~v = ~v 0 ~a = d~v = 0 dt Toisin sanoen sen kiihtyvyys nolla, ja sen liiketila ei muutu. Tätä kappaleen ominaisuutta pyrkiä jatkamaan liiketilaansa kutsutaan inertiaksi Newtonin 1. lakia kutsutaan usein inertian laiksi

Tasapaino Kappale tasapainossa (in equilibrium), kun siihen vaikuttavien voimien resultantti on nolla X ~F net = R ~ = ~F i = 0, eli komponenttimuodossa X ~F i,k = 0 missä k = x, y, z k Huomaa, että vakionopeudella liikkuva kappale on tasapainossa i

Inertiaalikoordinaatistoista Kertausta maanantailta Inertiaalikoordinaatisto (inertial frame of reference) tasaisella nopeudella liikkuva koordinaatisto Newtonin 1. laki voimassa vain inertiaalikoordinaatistossa Seuraus koordinaatistojen yhdenvertaisuusperiaatteesta: voiman suuruus ei saa riippua koordinaatiston valinnasta! Ei-inertiaalinen koordinaatisto kiihtyvässä liikkeessä Myös normaalikiihtyyys kiihtyvää liikettä Normaalikiihtyvyys muuttaa koordinaatiston liikesuuntaa

Massa Mikäli kappaleeseen vaikuttavien voimien resultantti 6= 0, kappale kiihtyvässä liikkeessä =) Kappaleen vauhti tai nopeuden suunta muuttuu Kokeellisesti havaittu, että nettovoima ~ F net = ~ R ja kiihtyvyys ~a samansuuntaisia vektoreita Tämän seurauksena tietylle kappaleelle nettovoiman ja kiihtyvyyden suhde vakio Vakiota kutsutaan massaksi m = F net a

Newtonin 2. laki Kappaleeseen vaikuttavien voimien resultantti on (inertiaalikoordinaatistossa) X ~F net = R ~ = ~F i = m~a, eli komponenttimuodossa X ~F i,k = ma k missä k = x, y, z k i! Huomaa, että m~a ei ole voima se on seuraus voimasta

Massa vs. paino Massa kuvaa kappaleen inertiaominaisuutta Paino on voima, joka kappaleeseen kohdistuu gravitaatiokentässä Maan pinnan lähellä painon ~w ja massan m välillä pätee ~w = m~g Kokeissa on todettu, että inertiaali- ja gravitaatiomassat ovat ainakin 12 numeron tarkkuudella samat Käsitteellinen ero!

Newtonin 3. laki Kun kaksi kappaletta vuorovaikuttaa, ne kohdistavat toisiinsa yhtäsuuret, mutta vastakkaissuuntaiset voimat (voima ja vastavoima) F ~ AB = F ~ BA Huomaa, että kappaleiden ei tarvitse olla kosketuksissa Newtonin 3. laki pätee myös pitkän kantaman voimille Huomaa, että voima ja vastavoima kohdistuvat eri kappaleisiin ~F F ~ ~F ~F

Jännitys Jos samaan kappaleeseen kohdistuu kaksi samansuuruista, mutta vastakkaissuuntaista voimaa, kappale jännityksessä Kappale vetojännityksessä (tension), kun kyseessä vetovoimat Työntövoimien tapauksessa kappale puristusjännityksessä (compression) Mitä tapahtuisi jos voimat olisivat vastakkaissuuntaiset, mutta erisuuruiset? ~F 2 = F ~ 1 ~F 1

Konseptitesti 2 Kysymys Viereisessä kuvassa on vaijerilla kahdesta pisteestä kytketty massa. Mitkä kuvan voimista pitää ottaa mukaan massan vapaakappalekuvioon? T 2 T 3 1. Jännitys T 1 T 1 2. Jännitys T 2 3. Jännitys T 3 4. Kaikki kuvan voimat 5. Gravitaatio m mg

Vapaakappalekuvio Free body diagram Kuvio, jossa vain tarkasteltava kappale (tai sen osa) ja kaikki siihen kohdistuvat voimat Kappaleen ympäristöä ei piirretä vapaakappalekuvioon ~F ~N ~w 2 ~w 1 ~F Kappale VKK 1 VKK 2

Harjoitus Piirrä parin kanssa vapaakappalekuviot allaolevasta kuvasta. VKK 1 : jossa massaan 1 vaikuttavat voimat ja VKK 2 : massaan 2 vaikuttavat voimat. m 1 m 2

Hiukkasen tasapaino Tasapainotilassa hiukkanen on levossa tai liikkuu vakionopeudella inertiaalikoordinaatistossa, jolloin hiukkaseen vaikuttava nettovoima on X ~F i = 0, ~F i = 0 ~F net = X i Tasapainoehdot voidaan kirjoittaa komponenteittain X ~F k,i = 0, missä k = x, y, z i i

Tasapainotehtävien ratkaisu Kertausta lukiosta 1. Piirrä yksinkertaistettu kuva tilanteesta (kappaleet, kulmat,... ) 2. Piirrä vapaakappalekuvio tilanteesta tärkeä 3. Mieti kappaleeseen kohdistuvat vuorovaikutukset (kontaktivoimat, köydet, painovoima), älä piirrä kappaleen itsensä aiheuttamia voimia 4. Valitse probleemaan sopiva koordinaatisto 5. Jaa voimat komponentteihin (muista etumerkit!) 6. Kirjoita tasapainoyhtälöt 7. Jos tarvitaan, jatka kohdasta 2 muille kappaleille 8. Ratkaise yhtälöt ja tarkista ratkaisu

Harjoitus jatkuu Äsken piirtämiesi vapaakappalekuvioiden pohjalta, määritä parisi kanssa systeemin tasapainoehdot. m 1 m 2

Ratkaisu w 1x = w 1 sin, w 1y = w 1 cos, w 1 > 0 1. x : T w 1 sin = 0 (1) y : N w 1 cos = 0

Ratkaisu w 1x = w 1 sin, w 1y = w 1 cos, w 1 > 0 1. x : T w 1 sin = 0 (1) y : N w 1 cos = 0 2. x : T w 2 = 0 =) T = w 2 = m 2 g Sij. yhtälöön (1) =) m 2 g m 1 g sin = 0 =) m 2 = m 1 sin

Konseptitesti 3 Kysymys Viereisessä kuvassa kappaletta B vedetään vaakasuunnassa voimalla F, jolloin molemmat kappaleet liikkuvat vaakasuunnassa toisiinsa kiinnittyneinä. A B Pöytä Kappaleen B ja pöydän välissä on kitkaa. Jos kappaleet liikkuvat vakionopeudella, 1. B kohdistaa A:han vaakasuuntaisen voiman vasemmalle 2. B kohdistaa A:han vaakasuuntaisen voiman oikealle 3. B ei kohdista vaakasuoraa voimaa A:han 4. Ei riittävästi informaatiota päätöksen tekemiseen F

Tukivoimat Kun kappale lepää esim tasolla, kohdistuu siihen tukivoima (voima, joka pitää sen paikoillaan) Tukivoima voidaan esittää kontaktitasoa vastaan kohtisuoran normaalivoiman ~ N sekä tason suuntaisen kitkavoiman (friction) ~ f summana Tasapaino =) ~ N + ~ f = ~w

Liikekitka Kun kappale on kontaktissa toisen kanssa tai liikkuu väliaineessa, kohdistuu siihen liikettä vastustavia kitkavoimia Esim. kun kappale on kontaktissa toisen kanssa ja liikkuu sen suhteen, vaikuttaa kappaleeseen ns. liikekitka (kinetic friction) f k = µ k N, missä µ k on liikekitkakerroin (coefficient of kinetic friction) Pyörivälle kappaleelle voidaan määritellä vierintäkitka (rolling friction) ja vierintäkitkakerroin µ r vastaavasti f r = µ r N,

Lepokitka Kun kappale on levossa alustaansa nähden, puhutaan lepokitkasta Lepokitka esitetään lähtökitkakertoimen (coefficient of static friction) µ s avulla Lepokitka saavuttaa maksiminsa juuri ennen kuin kappale lähtee liikkeelle Jos kappaleeseen ei vaikuta muita tason suuntaisia voimia, lepokitka on nolla f s apple µ s N F, f µ s N µ k N F = F 0 t f t

Esimerkki jatkuu Ratkaise äsken johtamistasi tasapainoehdoista minimikitkakerroin, jotta massat pysyvät paikoillaan silloinkin kun m 2 6= m 1 sin. y x ~N ~T x ~T m 1 m 2 ~w 1 ~w 2 VKK 1 VKK 2

Ratkaisu Kappaleet ovat tasapainossa (ilman kitkaa), kun m 2 = m 1 sin. Nyt m 2 6= m 1 sin. Kappaleen 1 vapaakappalekuvioon pitää lisätä voimatermi ~ f s = µ s ~ N, jolloin tasapainoehdot saadaan muotoon x :T + f s m 1 sin = 0 y :N w 1 cos

Ratkaisu Kappaleet ovat tasapainossa (ilman kitkaa), kun m 2 = m 1 sin. Nyt m 2 6= m 1 sin. Kappaleen 1 vapaakappalekuvioon pitää lisätä voimatermi ~ f s = µ s ~ N, jolloin tasapainoehdot saadaan muotoon x :T + f s m 1 sin = 0 y :N w 1 cos toisaalta T = m 2 g, josta saadaan tasapainoehdoksi m 2 g + f s m 1 g sin = 0

Ratkaisu Kappaleet ovat tasapainossa (ilman kitkaa), kun m 2 = m 1 sin. Nyt m 2 6= m 1 sin. Kappaleen 1 vapaakappalekuvioon pitää lisätä voimatermi ~ f s = µ s ~ N, jolloin tasapainoehdot saadaan muotoon x :T + f s m 1 sin = 0 y :N w 1 cos toisaalta T = m 2 g, josta saadaan tasapainoehdoksi jolloin m 2 g + f s m 1 g sin = 0 f s = m 1 g sin µ s m 1 sin m 2 m 1 cos m 2 g = µ s m 1 g cos

Hiukkasen dynamiikka Jos kappale ei ole tasapainossa, käytetään Newtonin 2. lakia ~F net = m~a On kuitenkin muistettava, että m~a ei ole voima, eikä sitä piirretä vapaakappalekuvioon Muutoin tehtävien ratkaisuperiaate sama kuin tasapainotehtävissä

Harjoitus Tehtävä Henkilö, jonka massa on 50.0 kg, seisoo vaa an päällä hississä. Jos hissin kiihtyvyys on 2.0 m s 2 ylöspäin, niin mitä vaaka näyttää?

Ratkaisu a y = 2.0ms 2, m = 50.0 kg Olkoon ~ F sp on vaa an henkilöön kohdistama voima, jolloin henkilö liikeyhtälö on y : X F y = F sp w = ma y =) F sp = m(a y + g) =590 N F ps = F sp = 590 N eli vaaka näyttää noin 60 kg. Mitä tapahtuu, kun hissin vauhti tasaantuu?

Väliaineen vastus Kappaleeseen kohdistuu sen liikettä vastustava kitkavoima sen kulkiessa väliaineen läpi Eräs tällainen kitkavoima on ilmanvastus, joka on pienillä nopeuksilla suoraan verrannollinen nopeuteen ~F = k~v Suuremmilla nopeuksilla ilmanvastus on verrannollinen nopeuden neliöön ~F = Dv 2 ~e T Vastustava kitkavoima johtuu pohjimmiltaan siitä, että kappale joutuu liikkuessaan siirtämään oman tilavuutensa verran väliainetta, joka vastustaa sitä "tahmeudellaan"

Yleinen liike väliaineessa Kun kappale putoaa väliaineessa, sen liikeyhtälö pystysuunnassa on X Fy = mg +( kv) =ma Lopullista nopeutta, jonka kappale saavuttaa, kutsutaan loppu- tai tasapainonopeudeksi (terminal velocity) v t Loppunopeus saadaan merkitsemällä a = 0 mg = kv t =) v t = mg k

Dynamiikka ympyräliikkeessä Tasaisessa ympyräliikkeessä normaalikiihtyvyys missä R on ympyrän säde, on vakio a rad = v 2 R, Newtonin toisen lain mukaan myös hiukkaseen vaikuttava nettovoima on itseisarvoltaan vakio F net = ma rad = m v 2 R Voiman suunta ei ole vakio, vaan osoittaa kohti ympyrän keskipistettä

Esimerkki Tehtävä Pieni kappale, jonka massa on 1.0 kg ja joka on sidottu 0.6 m pituisen köyden päähän, pyörii 60 kierrosta minuutissa pystytasossa. Laske köysivoiman suuruus, kun 1. kapple on ympyräradan korkeimmassa kohdassa 2. kappale on radan alimmassa kohdassa 3. köysi on vaakasuorassa Mikä pitää olla kappaleen vauhti radan ylimmässä kohdassa, jotta köysi pysyisi vielä suorana?

Ratkaisu! = 2 60 1/min 60 s min 1 = 6.28 s 1, a N = v 2 R =!2 R a) X F y = mg T 1 = ma y = m! 2 R =) T 1 = m! 2 R mg = 14 N b) X F y = mg + T 2 = m! 2 R =) T 2 = m! 2 R + mg = 33 N c) X F x = T 3 = m! R =) T 3 = m! 2 R = 24 N d) X F y = mg = m!2 R =) v = p Rg = 2.4ms 1

Esimerkki Tehtävä Laske kiertoheilurin kiertoaika, kun heilurin kulma ja langan pituus tunnetaan. Ratkaisu m L R VKK y T X F x = T sin = ma x = ma rad X F y = T cos mg = 0 w x

Ratkaisu X F x = T sin = ma x = ma rad X F y = T cos mg = 0 =) T = mg cos =) P = 2 R v = = m v 2 2 R p Rg tan R =) v = p Rg tan = 2 R P s s R L sin = 2 = 2 g tan g tan = 2 s L cos g

Johdanto Esimerkiksi kahden kappaleen törmäyksissä on vaikea määrittää minkäsuuruiset ja -suuntaiset voimat vaikuttavat kappaleisiin Tällaisia ongelmia on usein helpointa käsitellä impulssin (impulse) ja liikemäärän (momentum) avulla Ratkaistaan käyttäen liikemäärän säilymisen periaatetta Vaikuttavia voimia ei tällöin tarvitse edes tuntea

Newtonin toinen laki Newtonin toinen laki (N-II) m-massaiselle kappaleelle Kiihtyvyys on ~a = dv/dt! N-II voidaan lausua muodossa X ~F = ~ F net = m~a = m d~v dt = d(m~v) dt Yhtälö ~ F net = m~a ei ole Newtonin toinen laki yleisimmässä muodossaan Siinä on jo oletettu, että kappaleen massa säilyy vakiona Määritellään seuraavaksi liikemäärä, jonka avulla N-II voidaan yleistää

Liikemäärä Määritellään kappaleen liikemääräksi ~p = m~v Liikemäärä Liikemäärä on vektori, jolla sama suunta kuin nopeusvektorilla. Liikemäärä voidaan lausua komponenteittain p x = mv x, p y = mv y ja p z = mv z

Newtonin 2. lain yleinen muoto Liikemäärän avulla lausuttuna Newtonin toinen laki saadaan muotoon ~F net = d~p dt = Kappaleeseen vaikuttava nettovoima on yhtä suuri kuin kappaleen liikemäärän muutos ajan suhteen Voimassa vain inertiaalikoordinaatistoissa. Yleisempi kuin ~ F net = m~a, koska voidaan käyttää myös silloin kun massa muuttuu liikkeen aikana (raketti)