Lineaarialgebra Osa 1 Turun yliopisto Markku Koppinen
Alkusanat 9 elokuuta 2006 Lineaarialgebra on niitä perusteorioita, joita tarvitaan lähes kaikilla matematiikan aloilla ja monissa muissakin tieteissä Tämä kurssi perehdyttää lineaarialgebran alkeisiin Monisteen 1 osassa tarkastellaan aluksi analyyttista geometriaa sekä tasossa että 3-ulotteisessa avaruudessa Tutustutaan matriiseihin ja determinantteihin, ja melkein koko 1 osan läpäisevänä teemana on näiden soveltaminen lineaaristen yhtälöryhmien teoriaan Opitaan sellaiset käsitteet kuin aliavaruus, kanta ja dimensio, tosin tällä kurssilla vain R n :n aliavaruuksille Monisteen 2 osan ehkä tärkeimmät aiheet ovat lineaarikuvaukset, ominaisarvot ja diagonalisointi Lisäksi esille tulevat mm ortonormaalikannat, suorat summat, symmetriset matriisit, toisen asteen pinnat Sisällöltään moniste noudattelee aikaisempaa Tauno Metsänkylän kirjoittamaa monistetta Ainoa oleellinen muutos on, että abstraktit vektori- ja sisätuloavaruudet on jätetty pois (ne siirtyvät Algebran peruskursseihin I ja II ja niiden sijaan on otettu lineaarikuvausten teoria (joka ennen on kuulunut Algebran peruskurssiin I Lisäksi asioiden käsittelyä ja järjestystä on muutettu ja esimerkkejä on lisätty Ote on ehkä hiukan soveltavampi kuin aiemmassa monisteessa Esimerkkejä on enemmän Kaikkien ratkaisuja ei ole monisteeseen kirjoitettu Niitä käytäneen läpi luennoilla sikäli kuin aika antaa myöten ja joitakin ratkaistaneen demonstraatiotehtävinä Loppuja voi käyttää omaan harjoitteluun Laskuharjoitukset ovatkin olennaisen tärkeitä vain tekemällä oppii! Teoriaakin tulee paljon, ja valtaosa väitteistä todistetaan, ehkä kaikkikin Tähtäimenä on ensinnäkin oppia lineaarialgebran formalismia ja laskumenetelmiä; samoja asioita kohtaa varmasti myöhemminkin, joskus yllättävissäkin yhteyksissä Toisena tavoitteena on, että teoriaa opittaisiin myös soveltamaan itse Tällöin olisi osattava tunnistaa ne tilanteet, ehkä päällisin puolin aivan erinäköiset, joihin lineaarialgebran menetelmät sopivat, ja lisäksi olisi osattava soveltaa teoriaa uudenlaiseen tilanteeseen Tätä varten teorian ideat pitäisi ymmärtää pintaa syvemmältäkin Tällaisen oppimiseen todistustenkin tutkiminen on välttämätöntä Joitakin todistuksia on kuitenkin jätetty monisteen 1 osan loppuun liitteeseen, eikä niitä ehkä käydä kurssilla läpi Mukana on myös kaksi pitkähköä sovellusta, pykälät 24 ja 47, joita ei varmaan ehditä kurssilla käsitellä Ne kannattaa kuitenkin lukea itse, jo motivoinninkin vuoksi Monisteessa käsitellään pelkästään avaruuksia R n ja niiden aliavaruuksia (ja ominaisarvojen yhteydessä kompleksisia avaruuksia C n Rajoittumalla R n :ään on pyritty pitämään sisältö kohtuullisen kokoisena Myöhemmin, tutustuttaessa yleisiin vektori- ja sisätuloavaruuksiin, konkreettisten avaruuksien R n ymmärtäminen muodostaa hyvän pohjan abstraktimman teorian omaksumiselle; osoittautuu jopa, ettei teoriaan oikeastaan tule paljoakaan uutta se vain muotoillaan yleisemmäksi, aksiomaattisesti, jolloin se on sovellettavissa aivan toisenkinlaisiin avaruuksiin, esimerkiksi erilaisiin funktioavaruuksiin
Sisältö 1 Analyyttista geometriaa 1 11 Pisteet ja vektorit 1 111 Tasovektorit 1 112 Avaruusvektorit 4 12 Suorat 5 13 Tasot 7 14 n-ulotteinen avaruus 9 2 Matriisit 11 21 Johdatteleva esimerkki 11 22 Matriisi 12 23 Matriisitulo 13 24 Sovellus: Markovin ketjut 14 25 Lineaarinen yhtälöryhmä 16 26 Matriisialgebraa 18 27 Käänteismatriisi 21 28 Matriisien kertominen lohkomuodossa 23 3 Determinantit 25 31 Determinantin määritelmä ja perusominaisuuksia 25 32 Determinantin rivikehitelmät 28 33 Matriisin säännöllisyys ja käänteismatriisin lauseke 30 34 Sovellus yhtälöryhmiin Cramerin sääntö 31 35 Ristitulo 34 4 Aliavaruus, kanta ja dimensio 37 41 Aliavaruus 37 42 Vektorijoukon virittämä aliavaruus 39 43 Lineaarinen riippuvuus 41 44 Kanta 43 45 Dimensio 45 46 Ortogonaaliprojektio aliavaruudelle 48 ii
SISÄLTÖ iii 47 Sovellus: regressiosuora 49 5 Matriisin aste ja porrasmatriisit 52 51 Vaaka- ja pystyriviavaruus 52 52 Matriisin aste 55 53 Vaakarivimuunnokset ja riviekvivalenssi 57 54 Porrasmatriisit 58 55 Sovelluksia yhtälöryhmiin 60 56 Matriisin kääntäminen alkeismuunnoksilla 63 Liite 64
Luku 1 Analyyttista geometriaa 11 Pisteet ja vektorit 111 Tasovektorit Tason pisteitä on totuttu käsittelemään koordinaattien avulla reaalilukupareina: Kun koordinaatisto on kiinnitetty, niin jokaiselle tason pisteelle P saadaan tavalliseen tapaan koordinaatit (x, y Kutsumme reaalilukupareja v = (x, y (x, y R y P x vektoreiksi tai tasovektoreiksi Määrittelemme vektoreille kaksi operaatiota, yhteenlaskun ja reaaliluvulla eli skalaarilla kertomisen: Kun u = (u 1, u 2, v = (v 1, v 2 ja a R, niin { u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2, (11 au = (au 1, au 2 Sanotaan, että u+v on u:n ja v:n summa ja au on u:n skalaarimonikerta Tasovektorien joukkoa merkitään R 2 :lla, toisin sanoen R 2 = {(x, y x R, y R } (12 Huomautus 111 Vektorit (x, y ovat periaatteessa aivan eri asia kuin (euklidisen tason pisteet P Edelliset ovat algebrallisia ja jälkimmäiset geometrisia objekteja Kun koordinaatisto on kiinnitetty, niin niiden välillä on kääntäen yksikäsitteinen vastaavuus: Tason pisteille P saadaan algebrallinen esitys vektoreina (x, y, ja kääntäen, vektoreille (x, y R 2 saadaan geometrinen tulkinta tason pisteinä Nämä näkökulmat on totuttu samaistamaan, ja niin mekin yleensä teemme Mutta käytännössäkin tämä ero tulee tärkeäksi koordinaatiston vaihtojen yhteydessä: samalla pisteellä P on eri koordinaatit eri koordinaatistojen suhteen Tarkastelemme seuraavassa kaikkea yhden kiinnitetyn, suorakulmaisen koordinaatiston suhteen Olkoon O sen origo Olkoon P tason piste ja olkoot x ja y sen koordinaatit Silloin v = (x, y 1
LUKU 1 ANALYYTTISTA GEOMETRIAA 2 on P :n koordinaattivektori, ja reaalilukuja x ja y sanotaan myös v:n koordinaateiksi Kääntäen, vektoria v = (x, y esittää piste P, tai luonnollisemmin, P :n paikkavektori OP Laajennamme tätä vielä sanomalla, että vektoria v esittävät tasossa kaikki suunnatut janat, jotka ovat OP :n kanssa samansuuntaisia ja samanpituisia (siis kuvassa myös AB ja CD A B O P C D u O 13 10 u u u u+v v u u v v Nollavektori on 0 = (0, 0 ja vektorin v = (x, y vastavektori on v = ( x, y Merkitsemme u + ( v = u v ja sanomme tätä vektoreiden u ja v erotukseksi Summan ja erotuksen geometriset tulkinnat saadaan täydentämällä suunnikkaita kuten kuviossa Skalaarimonikerran geometrinen merkitys on vektorin pituuden muuttaminen (ja mahdollisesti suunnan kääntäminen vastakkaiseksi Esimerkki 112 Olkoon u = (1, 2 pisteen P ja v = (4, 1 pisteen Q paikkavektori Silloin P Q = v u = (3, 1 Vektoreilla on seuraavia laskulakeja: u P v Q u + v = v + u (vaihdanta- eli kommutatiivisuuslaki, (u + v + w = u + (v + w (liitäntä- eli assosiatiivisuuslaki, 0 + u = u (nollavektoriominaisuus, u + ( u = 0 (vastavektoriominaisuus, a(u + v = au + av (osittelu- eli distributiivisuuslaki, (a + bu = au + bv (osittelu- eli distributiivisuuslaki, 1v = v (ykkösalkio-ominaisuus Esimerkki 113 Olkoot A ja B kaksi pistettä ja a ja b vastaavasti niiden paikkavektorit Ratkaistaan janan AB keskipisteen X paikkavektori x Keskipiste määräytyy siitä, että suunnatut janat AX ja XB ovat yhtä pitkät ja samansuuntaiset Siis niitä esittää sama vektori Saadaan yhtälö x a = b x, ja tästä ratkaistaan x = 1 2 (a + b Esimerkki 114 Yleistetään esimerkki 113 Jos P 1,, P n ovat tason pisteitä ja v 1,, v n niiden paikkavektorit, niin määritellään, että pisteiden P 1,, P n painopiste eli keskipiste on piste X, jonka paikkavektori x toteuttaa ehdon n i=1 (v i x = 0 Mikä lauseke x:lle saadaan? Lasketaan esimerkkinä kolmion ABC painopiste (ts pisteiden A, B, C painopiste, kun kärkipisteiden A, B, C koordinaatit ovat (1, 3, (3, 2 ja (5, 2
LUKU 1 ANALYYTTISTA GEOMETRIAA 3 Vektorin v = (x, y pituus on v = x 2 + y 2, ja sen avulla kahden pisteen P ja Q etäisyys voidaan Pythagoraan lauseen mukaan lausua muodossa (u1 v 1 2 + (u 2 v 2 2 = u v, missä u = (u 1, u 2 on P :n ja v = (v 1, v 2 on Q:n paikkavektori Kun a R, niin au = a u Esimerkki 115 Olkoot A ja B kaksi pistettä ja a ja b vastaavasti niiden paikkavektorit On etsittävä janalta AB piste X, joka jakaa janan annetussa suhteessa p q Esimerkki 116 Olkoot kolmion ABC kärkipisteiden paikkavektorit a, b, c Olkoon P C kärjestä C piirretyn kulmanpuolittajan kantapiste, siis leikkauspiste sivun AB kanssa Mikä P C :n paikkavektori on? (Tiedetään, että kulmanpuolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa Vektorien u = (u 1, u 2 ja v = (v 1, v 2 sisätulo (eli pistetulo määritellään: (u, v = u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 Sisätulo toteuttaa seuraavat säännöt, jotka osoitetaan sisätulon määritelmästä: (u, u 0, (u, u = 0 u = 0, (u, v = (v, u, (u + v, w = (u, w + (v, w, (au, v = a(u, v Näistä, tai suoraan määritelmästä, näytetään myös sisätulon bilineaarisuus: (at + bu, cv + dw = ac(t, v + ad(t, w + bc(u, v + bd(u, w Esimerkki 117 Pituus voidaan lausua sisätulon avulla muodossa u = (u, u Kääntäen sisätulo voidaan lausua pituuksien avulla, kaavalla (u, v = 1 2 ( u + v 2 u 2 v 2 Nimittäin u + v 2 = (u + v, u + v = (u, u + (v, v + (u, v + (v, u = u 2 + v 2 + 2(u, v Vektorit u ja v ovat keskenään kohtisuorassa eli ortogonaaliset, jos (u, v = 0; tällöin merkitään u v Kun u ja v ovat kaksi vektoria ja v 0, määritellään, että u u:n ortogonaaliprojektio v:llä on se vektori p, joka on v:n skalaarimonikerta ja jolla u p v Lasketaan ortogonaalipro- v α p jektion lauseke Merkitään p = av, jolloin kohtisuoruusehto antaa (u av, v = 0 = (u, v a(v, v = 0 = (u, v a v 2 = 0
LUKU 1 ANALYYTTISTA GEOMETRIAA 4 Koska v 0, niin v = 0, ja voidaan ratkaista a = (u,v v 2 p = Siis u:n ortogonaaliprojektio v:llä on (u, v v (13 v 2 Kun vektorien u ja v välinen kulma on terävä niin (u, v > 0, sillä tällöin a > 0, ja kun kulma on tylppä niin (u, v < 0, sillä a < 0 (piirrä kuvio Vektorien u ja v välinen kulmakin α voidaan nyt laskea (kun u, v 0: Jos 0 α 90, niin cos α = p, ja jos u 90 α 180, niin cos α = cos(180 α = p u (piirrä kuvio Sijoittamalla ja sieventämällä saadaan cos α = (u, v u v, 0 α 180 (14 Esimerkki 118 Johdetaan tuttu kosinilause vektorilaskennalla: Kun kolmion sivujen pituudet ovat a, b, c ja kun α on a-sivun vastainen kulma, niin c 2 = a 2 + b 2 2ab cos α Nimittäin kun u ja v ovat kaksi vektoria, joiden välinen kulma on α, niin u v 2 = (u v, u v = (u, u + (v, v 2(u, v = u 2 + v 2 2 u v cos α Esimerkki 119 Sisätuloja laskemalla saadaan Pythagoraan lause seuraavassa muodossa: Kun u v, niin u + v 2 = u 2 + v 2 (15 Mikä tämän kaavan geometrinen tulkinta on? Esimerkki 1110 Todistetaan kolmioepäyhtälö Mikä sen geometrinen tulkinta on? Esimerkki 1111 Osoitetaan, että Schwarzin epäyhtälö u + v u + v (16 (u, v u v (17 seuraa epäyhtälöstä (u p, u p 0, missä p on u:n ortogonaaliprojektio v:llä (kun v 0 Osoitetaan, että epäyhtälössä on yhtäsuuruus tarkalleen silloin, kun v = 0 tai u = cv (c R Esimerkki 1112 Olkoot kolmion ABC kärkipisteiden paikkavektorit a, b, c Mikä on C:stä sivulle AB piirretyn korkeusjanan kantapisteen paikkavektori? 112 Avaruusvektorit Aivan vastaavalla tavalla käsitellään kolmiulotteista avaruutta Määritellään (avaruusvektorien joukko ja siinä kaksi operaatiota: R 3 = {(x, y, z x, y, z R }, (18
LUKU 1 ANALYYTTISTA GEOMETRIAA 5 ja { u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3, au = (au 1, au 2, au 3, kun a R ja u = (u 1, u 2, u 3, v = (v 1, v 2, v 3 R 3 Näitä koskevat aivan samanlaiset toteamukset kuin edellä tasovektoreita; nyt vain tulee joka kohdassa mukaan kolmaskin koordinaatti Esimerkiksi vektorin u = (u 1, u 2, u 3 pituus on u = u 2 1 + u2 2 + u2 3 ja sen sisätulo vektorin v = (v 1, v 2, v 3 kanssa on (u, v = u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + v 3 v 3 Avaruusvektorien geometriseen tulkintaan käytämme orto- z gonaalikoordinaatistoa kuvion mukaisesti P Merkitään i = (1, 0, 0, j = (0, 1, 0 ja k = (0, 0, 1 Jokainen vektori v = (x, y, z voidaan kirjoittaa vektorien i, j ja k x y ns lineaarikombinaationa v = xi + yj + zk Kulmia, jotka vektori v 0 muodostaa vektorien i, j ja k kanssa, sanotaan sen suuntakulmiksi Jos v = (v 1, v 2, v 3 ja sen suuntakulmia merkitään γ 1, γ 2, γ 3, niin kaavasta (14 (joka pätee myös R 3 :ssa saadaan Nähdään, että cos 2 γ 1 + cos 2 γ 2 + cos 2 γ 3 = 1 12 Suorat cos γ 1 = v 1 v, cos γ 2 = v 2 v, cos γ 3 = v 3 v Tarkastelemme nyt vain R 3 :n suoria, mutta tietenkin samat asiat soveltuvat, sopivasti muutettuina, myös R 2 :n suorille Suoran L määrittävät avaruudessa R 3 yksi suoralla oleva piste ja suoran suunta Näin ollen suora voidaan esittää muodossa L : r = r 0 + ts (t R, (110 missä r 0 on suoralta kiinnitetyn pisteen P 0 paikkavektori, s on L:n suuntainen vektori ( 0, ns suuntavektori, ja t on parametri, joka käy läpi kaikki reaaliluvut Tämä on suoran vektorimuotoinen parametriesitys Kun t käy kaikki reaaliluvut, niin paikkavektorin r kärki käy kaikki suoran L pisteet Suoran esitys muodossa (110 ei tietenkään ole yksikäsitteinen: r 0 :ksi voidaan ottaa suoran minkä tahansa pisteen paikkavektori, ja s voidaan korvata skalaarimonikerrallaan cs, missä c 0 (Vektorit s ja cs ovat yhdensuuntaiset Merkitään r 0 = (x 0, y 0, z 0, r = (x, y, z ja s = (a, b, c Silloin L:n esitys (110 tulee muotoon r = (x, y, z = (x 0 + ta, y 0 + tb, z 0 + tc, L O r 0 P 0 r s (19
LUKU 1 ANALYYTTISTA GEOMETRIAA 6 toisin sanoen L : x = x 0 + ta y = y 0 + tb z = z 0 + tc (t R (111 Tämä on suoran koordinaattimuotoinen parametriesitys Jos a, b, c 0, niin parametri t voidaan eliminoida yhtälöistä (111, esimerkiksi ratkaisemalla se jokaisesta ja merkitsemällä yhtäsuuriksi, jolloin saadaan L : x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c (112 Tätä sanotaan seuraavassa suoran standardiesitykseksi Huomaa, että se sisältää kaksi yhtälöä Jos a, b 0 mutta c = 0, niin standardiesitys on L : x x 0 a = y y 0, z = z 0, (113 b ja jos taas esimerkiksi b = c = 0 (jolloin täytyy olla a 0, niin standardiesitys on L : y = y 0, z = z 0 (114 Esimerkki 121 Lasketaan pisteiden (1, 2, 2 ja (3, 1, 3 kautta kulkevan suoran em esitykset Ratkaistaan suoran ja koordinaattitasojen (siis tasojen x = 0 ja y = 0 ja z = 0 leikkauspisteet Tasossa kaksi suoraa aina joko leikkaavat tai ovat yhdensuuntaiset (jälkimmäinen sisältää sen tapauksen, että suorat yhtyvät Avaruudessa tulee kolmaskin mahdollisuus: suorat voivat olla ristikkäiset, siis eivät ole yhdensuuntaiset mutteivät leikkaakaan Esimerkki 122 Tutkitaan suoria L 1 : r = (0, 1, 1 + t(1, 7, 3 ja L 2 : r = (1, 1, 3 + t( 2, a, b parametrien a ja b eri arvoilla x 4 Esimerkki 123 a Lasketaan suorien L 1 : 5 = y 3 = z 4 ja 5 L x 2 : 5 = y 1 8 = z 3 12 leikkauspiste (jos se on olemassa ja tutkitaan, ovatko suorat kohtisuorassa b Ratkaistaan sama tehtävä suorilla L 1 : x+1 2 = y 5 3 = z 7 1 ja L 2 : x+4 5 = y 1 3 = z 3 Esimerkki 124 Olkoot A = (2, 4 ja B = (3, 2 tason pisteitä On etsittävä sen suoran yhtälö, joka kulkee pisteen A kautta ja on kohtisuorassa janaa AB vastaan Jana AB määrää vektorin (1, 2 Eräs sitä vastaan kohtisuora vektori on (2, 1 Siis kysytty suora on r = (2, 4 + t(2, 1 Entä mikä sen yhtälö on muodossa ax + by = c? (t R Jos suoralta L tunnetaan kaksi pistettä P 1 ja P 2, joiden paikkavektorit ovat r 1 ja r 2, niin seuraavanlainen vektorimuotoinen parametriesitys on usein kätevä: L : r = t 1 r 1 + t 2 r 2 (t 1, t 2 R, t 1 + t 2 = 1 (115 Tähän päästään, kun parametriesityksessä (110 otetaan r 0 = r 1 ja s = r 2 r 1, jolloin uusiksi parametreiksi saadaan t 1 = 1 t ja t 2 = t
LUKU 1 ANALYYTTISTA GEOMETRIAA 7 Esimerkki 125 Olkoon ABC kolmio Osoitetaan, että piste C, sivun AB keskipiste ja kolmion painopiste ovat samalla suoralla (Kts esimerkit 113 ja 114 Tästä saadaan sitten tuttu tulos: kolmion keskijanat leikkaavat samassa pisteessä, joka on kolmion painopiste 13 Tasot Avaruudessa taso T on määrätty, kun on annettu yksi T :n piste P 0 ja T :n normaalivektori n ( 0 Olkoon r 0 pisteen P 0 paikkavektori Olkoon P mielivaltainen avaruuden piste ja r sen paikkavektori Silloin P on tasolla T jos ja vain jos r r 0 n Siis tason T yhtälöksi saadaan n r 0 r r 0 r T T : (r r 0, n = 0, (116 O eli T : (r, n = (r 0, n (117 Tämä on tason eräs vektorimuotoinen yhtälö Kirjoittamalla r = (x, y, z, n = (a, b, c ja r 0 = (x 0, y 0, z 0 saadaan T :lle koordinaattimuotoinen yhtälö eli T : a(x x 0 + b(y y 0 + c(z z 0 = 0, (118 T : ax + by + cz = d, (119 missä on merkitty d = (r 0, n (vakio Kääntäen on helppo osoittaa, että muotoa (119 oleva yhtälö, missä (a, b, c 0, saadaan muotoon (118 ja on siis tason yhtälö Huomaa, että tason normaalivektori n = (a, b, c voidaan heti lukea yhtälöiden (118 ja (119 kertoimista Esimerkki 131 Lasketaan tasojen 2x + 3y z = 3 ja 4x + 5y + z = 1 leikkaussuora jossakin suorien em esitysmuodoista Esimerkki 132 Määritetään pisteiden (2, 4, 3, (3, 7, 1 ja (4, 3, 0 kautta kulkevan tason yhtälö yo muodoissa Esimerkki 133 Etsitään edellisen esimerkin tasolle pisteen (1, 2, 3 kautta kulkevan normaalin yhtälö (Tason normaali on suora, jonka suuntavektori on yhdensuuntainen tason normaalivektorin kanssa Esimerkki 134 Johdetaan kaava pisteen etäisyydelle tasosta Olkoon T taso ax+by+cz = d ja olkoon P piste, jonka paikkavektori on r 1 = (x 1, y 1, z 1 Kysytään siis P :n kohtisuoraa etäisyyttä e tasosta T Merkitään T :n normaalivektoria n = (a, b, c, jolloin T :n yhtälö on T : (r, n = d
LUKU 1 ANALYYTTISTA GEOMETRIAA 8 Tason T sen normaalin L yhtälö, joka kulkee pisteen P kautta, on L : r = r 1 + tn (t R Etsitään L:n ja T :n leikkauspiste Q Sijoitetaan r = r 1 + tn tason yhtälöön, (r 1 + tn, n = d, ja ratkaistaan parametrin arvo, t = (r 1, n + d n 2 Siis leikkauspisteen Q paikkavektori on r 1 + tn = r 1 + (r 1, n + d n 2 n Kysytty etäisyys e on janan P Q pituus, toisin sanoen ( e = r 1 r 1 + (r 1, n + d n 2 n = (r 1, n d n 2 n = (r 1, n d n 2 n = (r 1, n d n = ax 1 + by 1 + cz 1 d a2 + b 2 + c 2 Esimerkki 135 Tarkastellaan esimerkin 134 tilannetta Olkoon R piste, joka saadaan peilaamalla piste P tason T suhteen, toisin sanoen R on sellainen piste, että T kulkee janan P R keskipisteen kautta ja on kohtisuorassa sitä vastaan Mikä R:n paikkavektori on? Esimerkki 136 Esimerkin 134 tulos saadaan myös kaavasta (13 Miten? Esimerkki 137 Aurinko paistaa vektorin (1, 1, 1 suunnasta Ajatellaan, että sen säteet ovat yhdensuuntaiset Valkoinen taso on asetettu xy-tasoon Jokainen tason yläpuolella oleva esine heittää sille varjon a Mihin pienen esineen varjo syntyy, kun esine sijaitsee pisteessä (a, b, c, c > 0? b Kuvaile rautalangasta tehdyn kuution varjo, kun kuutio sijaitsee siten, että sen särmät ovat koordinaattiakselien suuntaiset ja kaksi vastakkaista kärkeä on pisteissä (0, 0, 1 ja (1, 1, 2 Kuution sivutahkot ovat neliöitä ovatko niiden varjotkin neliöitä? (Tässä on kyse ns yhdensuuntaisprojektiosta R 3 R 2 Palaamme tähän esimerkkiin lyhyesti matriisien yhteydessä Voidaan myös osoittaa, mitä emme kylläkään tässä yhteydessä tee, että jokaisella tasolla T on seuraavanlainen vektorimuotoinen parametriesitys: T : r = r 0 + t 1 s 1 + t 2 s 2 (t 1, t 2 R, (120 missä r 0 on tason yhden pisteen paikkavektori ja s 1 ja s 2 ovat jotkin kaksi n:ää vastaan kohtisuoraa vektoria 0 ja s 1, s 2 eivät ole yhdensuuntaisia (ts eivät saman- tai vastakkaissuuntaisia Vektoreita s 1, s 2 sanotaan joskus T :n suuntavektoreiksi; ne eivät tietenkään ole yksikäsitteisiä n O r 0 s 2 s 2 s 1 s 1 T
LUKU 1 ANALYYTTISTA GEOMETRIAA 9 Esimerkki 138 Tarkastellaan tasoa T : x + 2y + 3z = 4 Lasketaan T :lle muotoa (120 oleva parametriesitys Ensinnäkin n = (1, 2, 3 on T :n normaalivektori ja r 0 = (1, 0, 1 on T :n yhden pisteen paikkavektori Sopivat vektorit s 1 = (2, 1, 0 ja s 2 = (3, 0, 1 saadaan huomaamalla, että ne ovat kohtisuorassa n:ää vastaan ja että koska kumpikaan ei ole toisen skalaarimonikerta niin ne eivät ole yhdensuuntaisia Näytetään, että näillä valinnoilla (120 todella on T :n yhtälö Tason T yhtälö on (r, n = 4 Kun r = r 0 + t 1 s 1 + t 2 s 2, niin (r, n = (r 0 + t 1 s 1 + t 2 s 2, n = (r 0, n + t 1 (s 1, n + t 2 (s 2, n = 4 + 0 + 0 = 4, siis ko piste kuuluu T :hen Olkoon kääntäen r 1 = (x 1, y 1, z 1 jokin T :n piste On osoitettava, että se on muotoa r 0 + t 1 s 1 + t 2 s 2 joillakin t 1 :llä ja t 2 :lla Yhtälöstä eli r 1 = r 0 + t 1 s 1 + t 2 s 2 (x 1, y 1, z 1 = (1, 0, 1 + t 1 (2, 1, 0 + t 2 (3, 0, 1 saadaan sen kanssa ekvivalentti yhtälöryhmä 2t 1 + 3t 2 = x 1 1 t 1 = y 1 t 2 = z 1 1 Jälkimmäisistä kahdesta yhtälöstä ratkaistaan t 1 = y 1 ja t 2 = z 1 + 1 Nämä toteuttavat ensimmäisenkin yhtälön: 2t 1 + 3t 2 = 2y 1 3z 1 + 3 = x 1 1, sillä koska kyseessä on T :n piste, niin x 1 + 2y 1 + 3z 1 = 4 Siis vaaditut t 1, t 2 ovat olemassa Huomaa, että esimerkin lineaarisessa yhtälöryhmässä oli 3 yhtälöä ja 2 tuntematonta Pääsääntöisesti tällaisella ei ole ratkaisua, mutta nyt yhtälöt eivät olleet riippumattomat, vaan esimerkiksi ensimmäinen yhtälö seurasi kahdesta muusta Ratkaisu oli jopa yksikäsitteinen Tutustumme myöhemmin yleisesti tällaisten yhtälöryhmien teoriaan, ratkaisujen olemassaoloon ja yksikäsitteisyyteen sekä ratkaisujoukon rakenteeseen kun ratkaisuja on enemmän kuin yksi 14 n-ulotteinen avaruus Avaruuksille R 2 ja R 3 voidaan muodostaa luonnollinen yleistys: Määritelmä 141 Olkoon n 1 Merkitään R n = {(x 1,, x n x 1,, x n R} Kun a R ja x = (x 1,, x n R n, y = (y 1,, y n R n, niin määritellään x + y = (x 1 + y 1,, x n + y n, ax = (ax 1,, ax n, ja sanotaan, että nämä ovat x:n ja y:n summa ja x:n skalaarimonikerta
LUKU 1 ANALYYTTISTA GEOMETRIAA 10 Analyyttinen geometria n-ulotteisessa (reaalisessa vektoriavaruudessa R n on periaatteessa yhtä helppoa kuin R 2 :ssa tai R 3 :ssa Tietenkin se on rikkaampaa; esimerkiksi R 4 :ssä on pisteiden, suorien ja tasojen lisäksi ns 3-ulotteisia hypertasoja Avaruuksista R n ei saane suoranaista geometrista mielikuvaa kun n 4, mutta me löydämme niille aivan toisenlaisen sovelluksen yhtälöryhmien ja matriisien teoriassa Yleensäkin niillä on matematiikassa käyttöä hyvin monessa yhteydessä Usein kirjoitamme R n :n alkiot vaakavektorien x = (x 1,, x n sijasta pystyvektoreiksi x 1 x = x n
Luku 2 Matriisit 21 Johdatteleva esimerkki Tarkastellaan kahta lineaarista yhtälöryhmää, joista ensimmäinen on homogeeninen: { { 2x + 3y = 0 2x + 3y = 1 4x + ky = 0 4x + ky = 5 (21 (Yhtälöryhmän lineaarisuus tarkoittaa, että kaikki tuntemattomia x ja y sisältävät termit ovat niiden suhteen ensimmäistä astetta, ja homogeenisuus, että vakiotermit = 0 Ratkaistaessa todetaan, että jos 2k 3 4 0, niin kummallakin ryhmällä on yksikäsitteinen ratkaisu Jos sitä vastoin 2k 3 4 = 0, niin ensimmäisellä ryhmällä on äärettömän monta ratkaisua (ryhmän yhtälöt ovat ekvivalentit ja ryhmä on siis ekvivalentti yhden yhtälön 2x+3y = 0 kanssa, kun taas toisella ryhmällä ei ole yhtään ratkaisua (ryhmän yhtälöt ovat ristiriitaiset Miksi luku 2k 3 4 osoittautuu niin ratkaisevaksi, että tilanne muuttuu täysin sen mukaan, onko se 0 vai ei? Onko tämän seikan takana jokin yleinen periaate? Miksi ratkaisujen määrä on 0, 1 tai? Eikö muita mahdollisuuksia ole? Olisiko ryhmän ratkaisemiseen muita keinoja kuin tavallinen eliminointimenetelmä; voisiko ehkä olla jonkinlainen ratkaisukaava, kuten on esimerkiksi yhtälöille ax = b tai ax 2 + bx + c = 0? Tässä luvussa tutustumme teoriaan, joka selvittää mm tämän lineaarisiin yhtälöryhmiin liittyvän ongelmavyyhden Saamme vastauksen siihen, milloin lineaarisella yhtälöryhmällä on ratkaisu, montako niitä voi olla, ja mikä ratkaisujoukon rakenne on Lisäksi saamme pari uutta ratkaisumenetelmää (eivät välttämättä sen lyhyempiä kuin vanha Osoittautuu, että oikeat käsitteet näiden asioiden tutkimiseen ovat matriisit, niiden algebra, erityisesti matriisitulo ja käänteismatriisit, sekä matriisien determinantit Tulemme näkemään esimerkiksi, että oikeanpuoleiseen ryhmistä (21 liittyy ns kerroinmatriisi ( ( ( ( 2 3 4 k ja pystyvektori 1 5, ja että ryhmä voidaan kirjoittaa matriisiyhtälönä 2 3 xy 4 k = ( 1 5, missä vasen puoli on ns matriisitulo, ja että luku 2k 3 4 on kerroinmatriisin determinantti Tulemme myös näkemään, miksi determinantilla on tässä tilanteessa juuri em merkitys 11
LUKU 2 MATRIISIT 12 22 Matriisi Määritelmä 221 Kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = (a ij m n, a m1 a m2 a mn jossa a ij :t ovat reaalilukuja, sanotaan m n-matriisiksi eli tyyppiä m n olevaksi matriisiksi Jos m = n, niin A on neliömatriisi ( Esimerkki 222 Eräs 2 2-matriisi on 2 3 A = 4 k Jos siinä merkitään A = (aij m n, niin a 11 = 2, a 12 = 3, a 21 = 4 ja a 22 = k Pystyvektori ( 1 5 on, paitsi vektori, myös 2 1-matriisi, ja vaakavektori (3, 2, 1 on 1 3-matriisi Määritelmä 223 Kahta matriisia A ja B sanotaan samaksi, merkitään A = B, jos ne ovat samaa tyyppiä ja jos niiden vastinalkiot ovat samat Toisin sanoen, kun A = (a ij m n ja B = (b ij r s, niin A = B jos m = r, n = s ja a ij = b ij (i = 1,, m, j = 1,, n Samaa tyyppiä olevien matriisien A = (a ij m n ja B = (a ij m n summa on ja matriisin A skalaarimonikerta on missä c R Esimerkki 224 Kun A = 2A = ( 2 0 6 4 2 6 A + B = (a ij + b ij m n ca = (ca ij m n, ( 1 0 3 ja B = 2 1 3 ( 0 7 1, niin A + B = 5 6 4 ( 1 7 2 ja 7 7 7 Yllä määritellyt matriisioperaatiot ovat R 2 :ssa ja R 3 :ssa (tai R n :ssä määriteltyjen operaatioiden suora yleistys Ne toteuttavat samanlaiset ehdotkin Esimerkiksi yhteenlasku on kommutatiivinen, siis A + B = B + A, ja assosiatiivinen, siis (A + B + C = A + (B + C, kun A, B, C ovat samaa tyyppiä (Itse asiassa tähän asti määriteltyjen operaatioiden suhteen voitaisiin jopa katsoa, että m nmatriisit ovat R mn :n vektoreita; ne on vain kirjoitettu erikoiseen muotoon Asia muuttuu kuitenkin, kun määrittelemme matriisitulon Nollamatriisiksi sanomme matriisia O = O m n = (0 m n ja matriisin A = (a ij m n vastamatriisiksi matriisia A = ( a ij m n
LUKU 2 MATRIISIT 13 Silloin A + O = O + A = A ja A + ( A = ( A + A = O Kun A ja B ovat samaa tyyppiä, niin niiden erotus on A + ( B = A B Käytämme m n-matriisien joukolle merkintää M m n = M m n (R Yhteenlasku ja skalaarilla kertominen voidaan katsoa kuvauksiksi M m n M m n M m n ja R M m n M m n Matriisin A = (a ij m n vaakarivit ovat ja pystyrivit (a 11, a 12,, a 1n, (a 21, a 22,, a 2n,, (a m1, a m2,, a mn a 11 a 21 a m1, a 12 a 22 a m2,, a 1n a 2n Vaakarivejä on m kappaletta ja ne kuuluvat avaruuteen R n, kun taas pystyrivejä on n kappaletta ja ne kuuluvat avaruuteen R m (kun R n :n vektorit kirjoitetaan vaakavektoreiksi ja R m :n vektorit pystyvektoreiksi Jos matriisin A = (a ij m n vaakarivit vaihdetaan pystyriveiksi ja päinvastoin, alkioiden järjestys muuten säilyttäen, saadaan A:n transponoitu matriisi a 11 a 21 a m1 A T a 12 a 22 a m2 = (a ji n m = a 1n a 2n a mn a mn Esimerkiksi vaakavektorista tulee transponoimalla pystyvektori: x 1 (x 1,, x n T = Huomautus 225 Kurssin alkuosassa matriiseja sovelletaan lähes pelkästään lineaarisiin yhtälöryhmiin Kurssin loppuosassa tulee toinen tärkeä sovellus: lineaarikuvaukset Matriiseja käytetään monilla muillakin tavoilla matematiikan eri aloilla 23 Matriisitulo Määritelmä 231 Matriisien A = (a ij m s ja B = (b ij s n tulo määritellään missä u ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a is b sj = x n AB = (u ij m n, s a ik b kj k=1 (i = 1,, m, j = 1,, n Siis matriisitulo antaa kullakin n:llä, s:llä ja m:llä kuvauksen M m s M s n M m n
LUKU 2 MATRIISIT 14 Esimerkki 232 2 1 4 3 1 1 5 3 1 4 = 19 6 16 4 (2 5 + 1 1 + 4 2 = 19 jne, 0 2 1 2 1 0 9 ( ( ( ( ( ( 2 1 3 2 10 5 3 2 2 1 4 11 =, =, 1 4 4 1 13 2 4 1 1 4 7 8 ( ( ( ( 3 2 6 32 3 2 =, (6, 7 = (46, 47 4 5 7 59 4 5 Huomaa, että tulo AB on määritelty vain kun A:n pystyrivien ja B:n vaakarivien määrät ovat samat Voi ajatella, että tulon AB kohdassa (i, j oleva alkio on A:n i:nnen vaakarivin ja B:n j:nnen pystyrivin sisätulo (kun sisätulo on luonnollisella tavalla yleistetty R s :ään Toisaalta vektorin sisätuloa voi ajatella matriisitulona: Kun x, y R n, niin (x, y = x T y, (22 missä oikealla puolella on 1 n- ja n 1-matriisien tulo, siis 1 1-matriisi, jollaiset tässä samaistamme reaalilukujen kanssa Jos A ja B ovat samankokoisia neliömatriiseja, niin sekä AB että BA ovat määritellyt ja samaa kokoa, mutta useimmiten AB BA, kuten edellisessä esimerkissä; siis matriisitulo ei ole kommutatiivinen! Jos A on m n-matriisi ja B on n m-matriisi, niin AB ja BA ovat määritellyt, mutta edellinen on m m-matriisi ja jälkimmäinen n n-matriisi Esimerkki 233 Esimerkissä 137 laskettiin, että pisteessä (a, b, c olevan esineen varjo tulee pisteeseen (a c, b c Kuvaus (a, b, c (a c, b c voidaan kirjoittaa matriisitulon avulla: a b c ( a c b c = ( 1 0 1 a b 0 1 1 c ( xy Tämä on esimerkki siitä, miten ns lineaarikuvaus (tässä kuvaus R 3 R 2, z voidaan esittää matriisilla 24 Sovellus: Markovin ketjut ( x z y z Tässä pykälässä on tarkoitus näyttää, miten matriisitulon käsite syntyy aivan luonnollisella tavalla konkreettisista sovelluksista Ajatellaan, että tutkittavanamme on systeemi, joka voi olla n eri tilassa, jotka on numeroitu 1, 2,, n Oletetaan, että aika ajoin systeemi siirtyy tilasta toiseen (suorittaa transition, ja että tämä noudattaa seuraavaa yksinkertaista lakia: Jos systeemi on tilassa j, niin transition jälkeen se on tilassa 1 todennäköisyydellä p 1j, tilassa 2 todennäköisyydellä p 2j, tilassa n todennäköisyydellä p nj,
LUKU 2 MATRIISIT 15 ja että todennäköisyydet p ij ovat vakioita Koska kyse on todennäköisyyksistä, niin 0 p ij 1 ja n i=1 p ij = 1 (j = 1,, n Oletukset merkitsevät, että systeemin tilan todennäköisyys transition jälkeen määräytyy vain transitiota edeltävästä tilasta Tällaista mallia sanotaan Markovin ketjuksi Jos systeemi aluksi on tilassa j, niin yhden transition jälkeen se on tilassa i todennäköisyydellä p ij Entä kahden transition jälkeen? Entä t transition jälkeen? Kahdessa transitiossa systeemi voi päätyä tilasta j tilaan i eri teitä: Näiden todennäköisyydet ovat j 1 i, j 2 i, j 3 i,, j n i p i1 p 1j, p i2 p 2j, p i3 p 3j,, p in p nj Tapaukset ovat toisensa poissulkevia, joten todennäköisyys, että systeemi kahden transition jälkeen on tilassa i, on n p i1 p 1j + p i2 p 2j + p i3 p 3j + + p in p nj = p ik p kj Tämä voidaan tulkita erään matriisitulon alkioksi: Kun määritellään transitiomatriisi P = (p ij n n, niin yo lauseke on matriisin P P = P 2 kohdassa (i, j oleva alkio Samalla tavalla nähdään, että jos systeemi on aluksi tilassa j, niin todennäköisyys sille, että t transition jälkeen se on tilassa i, on n n n p ikt 1 p kt 1 k t 2 p k2 k 1 p k1 j ; k 1=1 k 2=1 k t 1=1 tässä tulee lasketuksi kaikki mahdolliset tiet j k 1 k 2 k t 1 i Myöhemmin näemme, että tämä on matriisin P t kohdassa (i, j oleva alkio, missä P t tarkoittaa matriisin P t:nnettä potenssia, joka määritellään rekursiivisesti P s = P P s 1 (s 2 Siis P t antaa todennäköisyydet t transition jälkeen Esimerkki 241 Olkoon systeemillä 3 tilaa, ja oletetaan, että transitiomatriisi on k=1 1/2 1/2 0 P = 1/2 0 1/2 = 1 1 1 0 1 0 1 0 1/2 1/2 2 0 1 1 Laskemalla todetaan, että P 2 = 1 2 1 1 1 2 1, P 3 = 1 3 3 2 3 2 3, P 4 = 1 6 5 5 5 6 5, 4 1 1 2 8 2 3 3 16 5 5 6 ja niin edelleen Näyttää kuin t:n kasvaessa P t lähestyisi matriisia, jonka jokainen alkio on 1 3 Että näin onkin, seuraa P t :n yleisestä lausekkeesta P t = 1 1 1 1 ( 1 1 1 1 t+1 + 1 0 1 0 0 0 1 ( 1 t+1 1 2 1 2 4 2 3 1 1 1 2 1 0 1 3 2 1 2 1
LUKU 2 MATRIISIT 16 (Emme johda tätä, mutta valmiin lausekkeenhan voisi todistaa oikeaksi induktiolla Siis suurilla t:n arvoilla P t 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 Tämä merkitsee, että kun t on suuri, niin systeemi löydetään t transition jälkeen kustakin tilasta 1, 2 tai 3 suurin piirtein samalla todennäköisyydellä 1 3, ja näin on alkutilasta riippumatta 25 Lineaarinen yhtälöryhmä Tarkastellaan lineaarista yhtälöryhmää a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = c 2 (23 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = c m jossa on m yhtälöä ja n tuntematonta Se voidaan kirjoittaa matriisiyhtälönä Ax = c, (24 missä a 11 a 12 a 1n x 1 a 21 a 22 a 2n A = (a ij m n =, x = x 2, c = c 2 a m1 a m2 a mn x n c 1 c m Tässä x on tuntemattomien x i muodostama pystyvektori, ja sitä voi ajatella matriisiyhtälön Ax = c tuntemattomana Jos se saadaan ratkaistuksi, niin samalla saadaan tietenkin x i :t Esimerkki 251 Yhtälöparit (21 voidaan kirjoittaa ( 2 3 4 k ( x y eli Ax = 0 ja Ax = c, missä A = = ( 0 0, ( 2 3 4 k ( x y ( ( ( 2 3 4 k, xy x = ja 1 c = 5 = ( 1, 5 Yhtälöryhmä (23 on homogeeninen, jos c 1 = = c m = 0; muutoin se on epähomogeeninen Ryhmää (23 vastaavaksi homogeeniseksi yhtälöryhmäksi sanomme ryhmää a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 (25 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = 0 Matriisien kielellä: lineaarista yhtälöryhmää Ax = c vastaava homogeeninen yhtälöryhmä on Ax = 0
LUKU 2 MATRIISIT 17 Seuraava lause antaa tärkeän yhteyden yhtälöryhmien Ax = c ja Ax = 0 ratkaisujen välillä Todistusta varten toteamme ensin, että kun A M m n ja u, v R n, niin A(u+v = Au+Av Olkoon nimittäin A = (a ij, u = (u 1,, u n T ja v = (v 1,, v n T Silloin u + v = (u 1 + v 1,, u n + v n T, ja vektorin A(u + v i:s alkio on n a ij (u j + v j = j=1 n a ij u j + j=1 joka on sama kuin vektorin Au + Av i:s alkio (i = 1,, m n a ij v j, Lause 252 Olkoon x 0 jokin lineaarisen yhtälöryhmän (23 ratkaisu Silloin ryhmän (23 tarkalleen kaikki ratkaisut ovat x = x 0 + y, missä y käy vastaavan homogeenisen ryhmän (25 kaikki ratkaisut Toisin sanoen yhtälöryhmän (23 yleinen ratkaisu on x = x 0 + y, missä x 0 on ryhmän jokin yksittäisratkaisu ja y on vastaavan homogeenisen ryhmän yleinen ratkaisu Todistus Olkoon x 0 jokin yhtälöryhmän (23 ratkaisu, toisin sanoen Ax 0 = c Olkoon x R n mielivaltainen Merkitään y = x x 0, eli x = x 0 + y Silloin j=1 Ax = c A(x 0 + y = c Ax 0 + Ay = c c + Ay = c Ay = 0 Siis x on ryhmän (23 ratkaisu jos ja vain jos y on ryhmän (25 ratkaisu { x + y + z = 1 Esimerkki 253 Yhtälöparilla on yksittäisratkaisu (x, y, z = (0, 1, 0 x + 2y + 3z = 2 { x + y + z = 0 Siis sen yleinen ratkaisu on (0, 1, 0 + (x, y, z, missä (x, y, z on ryhmän x + 2y + 3z = 0 yleinen ratkaisu Lasketaan ratkaisu ja tulkitaan se geometrisesti Nyt voimme perustella sen, että yhtälöryhmän (23 ratkaisujen määrä on 0, 1 tai Oletetaan, että sillä on kaksi ratkaisua, x 0 ja x 1 Silloin x 1 = x 0 + y 1, missä y 1 0 on vastaavan homogeenisen yhtälöryhmän ratkaisu, siis Ay 1 = 0 Myös jokainen ty 1 on saman homogeenisen ryhmän ratkaisu (t R, sillä selvästi A(ty 1 = tay 1 = 0 Siis ryhmällä (23 on ainakin ratkaisut x = x 0 + ty 1 (t R Huomaa, että tämähän on R n :ssä sen suoran yhtälö, joka kulkee pisteiden x 0 ja x 1 kautta Tavallinen reaalilukujen yhtälö ax = c ratkaistaan jakamalla a:lla eli kertomalla käänteisluvulla a 1 (jos a 0, ja ratkaisuksi tulee x = a 1 c Kun nyt saimme yhtälöryhmän (23 yksinkertaiseen muotoon (24, niin voidaan kysyä, olisiko tähän tilanteeseen kehiteltävissä jokin samantapainen menettely Siis voidaanko matriisille A määritellä jonkinlainen käänteismatriisi A 1? Voidaanko yhtälö Ax = c kertoa sellaisella käänteismatriisilla A 1 ja saada ehkä x ratkaistuksi muodossa x = A 1 c?
LUKU 2 MATRIISIT 18 Vastaus on, että neliömatriiseille sellainen käänteismatriisi voidaan määritellä, ja sitä voidaan käyttää juuri em tavalla, jos se on olemassa Joillakin neliömatriiseilla ei ole käänteismatriisia, aivan samoin kuin reaaliluvulla 0 ei ole käänteislukua Lähdemme nyt käsittelemään tässä tarvittavaa teoriaa Tuloksena saamme selvitetyksi niiden yhtälöryhmien ratkaisemisen, joissa m = n ja kerroinmatriisilla on käänteismatriisi Myöhemmin selvitämme muutkin tilanteet 26 Matriisialgebraa Lause 261 Matriisitulo toteuttaa seuraavat laskulait, kun kyseiset matriisitulot ovat määriteltyjä: A(BC = (ABC (assosiatiivilaki, A(B + C = AB + AC (distributiivilaki, (A + BC = AC + BC (distributiivilaki, r(ab = (rab = A(rB r R (skalaarin siirto Todistus Matriisien tyyppejä tarkastelemalla nähdään, että jos jossakin näistä yhtälöistä toinen puoli on määritelty, niin toinenkin on Merkitään assosiatiivilain todistusta varten A = (a ij m t, B = (b ij t s ja C = (c ij s n Ensinnäkin BC = (d ij t n, missä Siis A(BC = (u ij m n, missä s d ij = b ik c kj k=1 (i = 1,, t, j = 1,, n t t t s u ij = a ih d hj = b hk c kj = a ih b hk c kj h=1 h=1 a ih( s k=1 Samoin saadaan (ABC = (v ij m n, missä h=1 k=1 (i = 1,, m, j = 1,, n v ij = s k=1 h=1 t a ih b hk c kj (i = 1,, m, j = 1,, n Silloin u ij = v ij, koska summissa on samat termit vaikkakin eri järjestyksessä Distributiivilait ja skalaarin siirtoa koskeva sääntö todistetaan aivan vastaavasti Assosiatiivisuuden nojalla matriisitulot voidaan kirjoittaa ilman sulkeita; merkitään ABC = A(BC = (ABC Tekijöiden järjestys on kuitenkin tärkeä, koska matriisitulo ei ole kommutatiivinen Todistuksesta saatiin kolmen matriisin tulolle laskukaavakin: (a ij (b ij (c ij = (u ij, u ij = h,k a ih b hk c kj, kun matriisit ovat sopivia tyyppejä, niin että tulo on määritelty
LUKU 2 MATRIISIT 19 Esimerkki 262 Osoitetaan että kun tulo AB on määritelty (AB T = B T A T, (26 Esimerkki 263 Neliömatriisi A on symmetrinen, jos A T M m n, niin A T A ja AA T ovat symmetrisiä = A Osoitetaan, että jos A Esimerkki 264 Kun A M m n, niin (Au, v = (u, A T v (u R n, v R m (27 Tässä u ja v ovat pystyvektoreita Yhtälön voisi todistaa käyttäen matriisi- ja vektorialkioita, mutta mukavammin se tulee kaavojen (22 ja (26 avulla: (Au, v = (Au T v = (u T A T v = u T (A T v = (u, A T v Merkitään M n = M n n Matriisia 1 O 1 I = I n = M n O 1 sanotaan identiteettimatriisiksi Siinä siis päälävistäjällä on ykkösiä ja muualla nollia Otetaan käyttöön Kroneckerin symboli eli Kroneckerin delta δ ij : { 1 jos i = j, δ ij = (28 0 jos i j Silloin I n = (δ ij n n Lause 265 Kun A M m n, niin A = AI n = I m A Todistus Olkoon A = (a ij m n Tulon AI n kohdassa (i, j oleva alkio on n a ik δ kj = a ij, k=1 koska summassa δ jj = 1 ja muut δ kj :t ovat nollia Siis AI n = A, ja toinen väite todistetaan samoin Huomautus 266 Jos A ja B ovat n n-matriiseja, niin niiden summa ja tulo ovat määriteltyjä ja nekin ovat n n-matriiseja Lauseet 261 ja 265 merkitsevät (yhdessä matriisisumman ominaisuuksien kanssa, että M n = M n n on ns rengas, jossa I n on ykkösalkio Kun tähän otetaan vielä mukaan skalaarillakertomisoperaatio, niin M n :stä saadaan esimerkki algebrallisesta systeemistä, josta käytetään nimitystä (assosiatiivinen algebra (yli R:n
LUKU 2 MATRIISIT 20 Esimerkki 267 Lävistäjä- eli diagonaalimatriisiksi sanotaan matriisia, jonka päälävistäjän ulkopuoliset alkiot ovat nollia, ja merkitään diag(d 1, d 2,, d n = d 1 O O d 2 Näillä laskeminen on helppoa: Kun D = diag(d 1,, d n ja E = diag(e 1,, e n, niin d n D + E = diag(d 1 + e 1,, d n + e n, DE = diag(d 1 e 1,, d n e n Neliömatriisin A potenssit määritellään A 0 = I (jos A O, ja kun k 1, niin A k = AA A missä on k tekijää Assosiatiivilain nojalla tässä ei tarvita sulkeita Huomaa, että yleensä Esimerkki 268 Lasketaan matriisin (AB k = ABAB AB A k B k ( 0 1 0 0 0 1 potenssit 0 0 0 Esimerkki 269 Tarkastellaan rekursiivisesti määriteltyä lukujonoa u 0 = a, u 1 = b, u n = u n 1 + 2u n 2 kun n 2, missä a ja b ovat vakioita Todetaan, että ( ( ( u n u = A n 1 ba n 1, missä 1 2 A = 1 0 Näin ollen u n :lle saadaan ratkaistuksi suljettu lauseke, jos osataan johtaa A n :lle suljettu lauseke Emme johda sitä nyt, vaan otamme lausekkeen valmiina: ( ( A n = 2n 2 2 + ( 1n 1 2 3 1 1 3 1 2 Sen pystyy tietenkin helposti osoittamaan oikeaksi induktiolla Matriisiyhtälöitä voidaan käsitellä samoin kuin lukuyhtälöitä, niin kauan kuin ei tarvita jakolaskua Esimerkiksi ja 2X A = B X = 1 (A + B 2 AB = C = ABD = CD Sen sijaan yhtälöstä AB = AC ei aina seuraa, että B = C, vaikka A O Nimittäin AB = AC A(B C = O, mutta kahden matriisin tulo voi olla O vaikkei kumpikaan tekijä ole O Esimerkki 2610 ( ( ( 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 = 0 0
LUKU 2 MATRIISIT 21 27 Käänteismatriisi Määritelmä 271 Olkoon A n n-matriisi Jos matriisi B toteuttaa ehdot AB = BA = I, niin B on A:n käänteismatriisi ja merkitään B = A 1 Jos A:lla on käänteismatriisi, niin A on säännöllinen (eli kääntyvä eli ei-singulaarinen; engl regular, invertible, non-singular Matriisin A käänteismatriisi on yksikäsitteinen, jos se on olemassa Jos nimittäin matriiseista B ja B kumpikin on A:n käänteismatriisi, niin B = BI = B(AB = (BAB = IB = B Lisäksi (A 1 1 = A ( ( Esimerkki 272 Olkoon 1 2 2 1 A = 3 4 Merkitään B = 3 2 1 Silloin AB = BA = I, 2 joten A on säännöllinen ja B = A 1 ( Esimerkki 273 Selvitetään yleisen 2 2-matriisin käänteismatriisi Olkoon a b A = c d Merkitään B = d b ( c a Laskemalla todetaan, että AB = BA = (ad bci Jos siis ad bc 0, niin A on säännöllinen ja A 1 = (ad bc 1 B Näin ollen ( 1 a b = c d ( 1 ad bc d b c a jos ad bc 0 (29 Miten nähdään, että ehto ad bc 0 on myös välttämätön A:n säännöllisyydelle? Myöhemmin selvitämme, mitkä matriisit ovat säännöllisiä ja miten käänteismatriisi lasketaan Toteamme nyt heti, että säännölliset matriisit ovat niitä, joilla voidaan jakaa tai supistaa yhtälöissä; tosin on erotettava vasemmalta jakaminen ja oikealta jakaminen: Lause 274 Olkoon A säännöllinen matriisi Silloin AB = AC B = C ja DA = EA D = E, kun ko matriisitulot ovat määriteltyjä Todistus Riittää todistaa implikaatiot vasemmalta oikealle, koska toiseen suuntaan väitteet ovat selvät Kertomalla A 1 :llä vasemmalta saadaan AB = AC = A 1 (AB = A 1 (AC = (A 1 AB = (A 1 AC = IB = IC = B = C Implikaatio DA = EA D = E todistetaan samoin kertomalla A 1 :llä oikealta
LUKU 2 MATRIISIT 22 Seuraus 275 Jos yhtälöryhmän a 11 x 1 + + a 1n x n = c 1 a n1 x 1 + + a nn x n = c n kerroinmatriisi A = (a ij n n on säännöllinen, niin ryhmällä on yksikäsitteinen ratkaisu x 1 c 1 = A 1 x n c n Todistus Ax = c x = A 1 c Homogeenisella lineaarisella yhtälöryhmällä on aina triviaali ratkaisu x = 0, joten saadaan: Seuraus 276 Jos homogeenisen yhtälöryhmän a 11 x 1 + + a 1n x n = 0 a n1 x 1 + + a nn x n = 0 kerroinmatriisi A = (a ij n n on säännöllinen, niin ryhmällä on vain triviaali ratkaisu x 1 = = x n = 0 { x + 2y = 8 Esimerkki 277 Ratkaistaan yhtälöpari käyttäen käänteismatriisia Kerroinmatriisilla 1 2 2 1 3x + 4y = 9 ( ( ( A = 3 4 on käänteismatriisi A 1 = 3 2 1 = 1 4 2 2 3 1 ; kts esimerkkiä 272 tai 273 Yhtälöpari saadaan muotoon xy 89 ( ( 2 A = Seurauksen 275 mukaan sillä on yksikäsitteinen ratkaisu ( ( ( ( ( x = A 1 8 = 1 4 2 8 = 1 14, y 9 2 3 1 9 2 15 siis x = 7, y = 15 2 Lause 278 Olkoot A, B ja C n n-matriiseja (i Kun A ja B ovat säännöllisiä, niin myös AB on säännöllinen ja (AB 1 = B 1 A 1 (ii Kun A on säännöllinen, niin myös A T on säännöllinen ja (A T 1 = (A 1 T (iii Jos AB = I = CA, niin A on säännöllinen ja B = C = A 1 Todistus Olkoot A ja B säännöllisiä Väite (i tarkoittaa, että matriisi K = B 1 A 1 toteuttaa matriisin AB käänteismatriisin ehdon (ABK = I = K(AB Ensinnäkin (ABK = (AB(B 1 A 1 = A(BB 1 A 1 = AIA 1 = AA 1 = I,
LUKU 2 MATRIISIT 23 ja samoin osoitetaan, että K(AB = I Olkoon A säännöllinen Merkitään K = A 1 Silloin AK = KA = I Transponoimalla ja muistamalla, että transponointi voidaan ottaa tekijöittäin kääntämällä samalla tekijöiden järjestys, saadaan K T A T = A T K T = I T = I Siis K T on A T :n käänteismatriisi Oletetaan nyt, että AB = I = CA Silloin B = IB = (CAB = C(AB = CI = C, joten AB = I = BA, ja siis B = C on A:n käänteismatriisi Kohdasta (i saadaan induktiolla: Seuraus 279 Kun A 1,, A k ovat säännöllisiä n n-matriiseja, niin samoin on A 1 A k, ja (A 1 A k 1 = A 1 k A 1 1 Esimerkki 2710 Olkoot A, B, C samankokoisia neliömatriiseja Mikä lauseke tulee A 1 :lle, jos BAC = I ja oletetaan että B ja C ovat säännöllisiä? (Matriisien B ja C säännöllisyys kyllä seuraa yhtälöstä BAC = I; kts seurausta 335 jäljempänä Entä jos BAC = D, missä myös D on säännöllinen? Esimerkki 2711 Neliömatriisi A on nilpotentti, jos A k = O jollain k:lla a Osoitetaan, että jos A on nilpotentti, niin I A on säännöllinen ja sen käänteismatriisi on I + A + A 2 + + A k 1 b Lasketaan matriisin ( 1 1 0 0 1 1 0 0 1 käänteismatriisi Esimerkki 2712 Neliömatriisin A = (a ij n n jälki tr(a (trace on diagonaalialkioiden summa, tr(a = a 11 + + a nn a Osoitetaan, että kun A ja B ovat samankokoisia neliömatriiseja, niin tr(ab = tr(ba b Osoitetaan, että jos B on lisäksi säännöllinen, niin tr(b 1 AB = tr(a 28 Matriisien kertominen lohkomuodossa Matriisin sanotaan olevan lohkomuodossa, jos se on jaettu pysty- ja vaakasuorilla jakoviivoilla pienempiin matriiseihin (jakoviivoja ei tarvitse merkitä näkyviin Esimerkiksi ( A B C D on lohkomuotoinen matriisi, jossa lohkot A, B, C, D ovat esimerkiksi tyyppiä r s, r (n s, (m r s, (m r (n s Matriisitulon määritelmästä nähdään, että lohkomuodossa olevia matriiseja voidaan kertoa ikään kuin lohkot olisivat alkioita, kunhan vain lohkojen tyypit sopivat kertolaskun puolesta yhteen ja kun matriisitulon epäkommutatiivisuus otetaan huomioon Esimerkiksi ( A B C D ( A B C D = m n ( AA + BC AB + BD CA + DC CB + DD,
LUKU 2 MATRIISIT 24 jos lohkojen tyypit ovat sopivat Esimerkki 281 Kun A M m n ja B M n p, niin ( I A O I ( A O I B ( O AB = I B Esimerkki 282 Olkoon A M m n ja B M n k, ja merkitään B:n pystyrivejä b 1,, b k Silloin AB = A ( b 1 b 2 b k = ( Ab1 Ab 2 Ab k (210 Tämä kaava tulee meillä ahkeraan käyttöön
Luku 3 Determinantit 31 Determinantin määritelmä ja perusominaisuuksia Determinantin määritelmää varten tarvitaan joitakin apukäsitteitä, jotka ovat kyllä itsessäänkin tärkeitä: Määritelmä 311 Lukujen 1, 2,, n permutaatio on jono (j 1,, j n, jossa on samat luvut jossakin järjestyksessä Esimerkki 312 Lukujen 1, 2, 3 kaikki permutaatiot ovat (kirjoitettuina ilman sulkeita ja pilkkuja 123, 132, 213, 231, 312, 321; niitä on siis 6 = 3! kappaletta Määritelmä 313 Lukujen 1, 2,, n permutaatiossa (j 1,, j n paria (j h, j k sanotaan inversioksi, jos h < k ja j h > j k Permutaatio on parillinen, jos sen inversioiden määrä on parillinen, ja muuten pariton Permutaation merkki on { +1, jos (j 1,, j n on parillinen, sign(j 1,, j n = 1, jos (j 1,, j n on pariton Esimerkki 314 Permutaatio 312 on parillinen, koska siinä on kaksi inversiota, (3, 1 ja (3, 2 Lukujen 1, 2, 3 permutaatioista parillisia ovat 123, 231 ja 312, ja parittomia ovat 132, 213 ja 321 Lause 315 (i Lukujen 1, 2,, n permutaatioita on n! = 1 2 n kappaletta, ja kun n 2, niin niistä puolet on parillisia ja puolet parittomia (ii Jos permutaatiossa (j 1,, j n vaihdetaan mitkä tahansa kaksi alkiota (eli suoritetaan transpositio, niin permutaation merkki vaihtuu (iii Jokainen permutaatio saadaan peruspermutaatiosta (1, 2,, n suorittamalla peräkkäin transpositioita, ja permutaation merkki on +1 tai 1 sen mukaan, tarvitaanko tässä transpositioita parillinen vai pariton määrä Todistus Ensimmäinen väite on tunnettu Jos n 2 ja (j 1, j 2, j 3,, j n on jokin parillinen permutaatio, niin selvästi (j 2, j 1, j 3,, j n on pariton permutaatio, ja päinvastoin (kun n 2 Tästä saadaan kohdan (i toinen väite 25
LUKU 3 DETERMINANTIT 26 Samoin nähdään heti, että jos permutaatiossa vaihdetaan kaksi vierekkäistä alkiota, niin sen merkki vaihtuu Jos permutaatiossa (j 1,, j h,, j k,, j n vaihdetaan alkiot j h ja j k (h < k, niin se voidaan tehdä vierekkäisten alkioiden transpositioilla siten, että ensin viedään j h askel kerrallaan oikealle alkioiden j h+1,, j k yli, ja sitten viedään j k askel kerrallaan vasemmalle alkioiden j k 1,, j h+1 yli Transpositioita tulee (k h + (k h 1 = 2(k h 1 kappaletta, siis pariton määrä, joten kaiken kaikkiaan merkki vaihtuu Kohta (iii on nyt ilmeinen Määritelmä 316 Matriisin A = (a ij n n determinantti on a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det(a = = sign(j 1, j 2,, j n a 1j1 a 2j2 a njn, (31 a n1 a n2 a nn missä summaan otetaan kaikki joukon {1, 2,, n} permutaatiot (j 1, j 2,, j n a Esimerkki 317 11 a 12 a 21 a 22 = sign(1, 2a 11a 22 + sign(2, 1a 12 a 21 = a 11 a 22 a 12 a 21, siis a b c d = ad bc (32 a 11 a 12 a 13 Samoin a 21 a 22 a 23 = sign(1, 2, 3a 11 a 22 a 33 + + sign(3, 2, 1a 13 a 22 a 31, josta a 31 a 32 a 33 a b c d e f = aei afh bdi + bfg + cdh ceg (33 g h i Determinantin summalausekkeessa on siis n! termiä Kukin termi on (merkkiä vaille tulo, jossa on yksi alkio jokaisesta pystyrivistä ja yksi jokaisesta vaakarivistä Summaan tulevat kaikki mahdolliset tällaiset tulot, puolet niistä ( 1:llä kerrottuna Determinantin perusominaisuuksia: 1 det(a T = det(a 2 Pysty- tai vaakarivin yhteinen tekijä voidaan siirtää determinantin tekijäksi; siis ja vastaavasti vaakariveille a 11 ca 1k a 1n a 11 a 1k a 1n a 21 ca 2k a 2n a 21 a 2k a 2n = c, a n1 ca nk a nn a n1 a nk a nn
LUKU 3 DETERMINANTIT 27 3 Jos pystyrivi on kahden pystyvektorin summa, niin determinantti voidaan hajottaa vastaavalla tavalla summaksi: a 11 a 1k + b 1k a 1n a 11 a 1k a 1n a 11 b 1k a 1n a 21 a 2k + b 2k a 2n a 21 a 2k a 2n a 21 b 2k a 2n = +, a n1 a nk + b nk a nn a n1 a nk a nn a n1 b nk a nn ja vastaavasti vaakariveille 4 Jos determinantissa jokin pysty- tai vaakarivi koostuu nollista, niin determinantti on = 0 5 Jos determinantissa on kaksi samaa pystyriviä tai kaksi samaa vaakariviä, niin determinantti on = 0 6 Determinantti muuttuu vastaluvukseen, jos kaksi pystyriviä vaihdetaan keskenään tai jos kaksi vaakariviä vaihdetaan keskenään 7 Determinantti ei muutu, jos jokin pystyrivi lisätään skalaarilla kerrottuna johonkin toiseen pystyriviin: a 11 a 1h a 1k a 1n a 11 a 1h a 1k + ca 1h a 1n a 21 a 2h a 2k a 2n a 21 a 2h a 2k + ca 2h a 2n = (h k, a n1 a nh a nk a nn a n1 a nh a nk + ca nh a nn ja vastaavasti vaakariveille Sivuutamme todistukset (kts liite Esimerkki 318 Kannattaa huomata, että ominaisuudesta 2 seuraa det(ca = c n det(a, kun A on n n-matriisi ja c R Niinpä det(ci n = c n det(i n = c n ja det( I n = ( 1 n Summalausekkeessa (31 on n! termiä, joka kasvaa jyrkästi n:n kasvaessa Determinanttia ei yleensä kannatakaan laskea määritelmästä, kun n 4, vaan on parempi käyttää esimerkiksi perusominaisuuksia yhdessä seuraavassa pykälässä esitettävän keinon kanssa 2 3 4 Esimerkki 319 Lasketaan 5 6 7 Yhtälö (33 antaisi tälle suoraan lausekkeen, mutta käytetään ensin determinantin perusominaisuuksia Hankitaan determinanttiin ominaisuuden 7 8 9 1 avulla mahdollisimman paljon nollia: Ensin ensimmäinen pystyrivi vähennetään toisesta pystyrivistä (siis lisätään ( 1:llä kerrottuna, sitten ensimmäinen pystyrivi vähennetään kolmannesta pystyrivistä, sitten toinen pystyrivi lisätään ( 2:lla kerrottuna kolmanteen pystyriviin, sitten ensimmäinen vaakarivi vähennetään toisesta vaakarivistä ja kolmannesta vaakarivistä, ja niin edelleen Lopuksi käytetään kaavaa (33 2 3 4 5 6 7 8 9 1 = 2 1 4 5 1 7 8 1 1 = 2 1 2 5 1 2 8 1 7 = 2 1 0 5 1 0 8 1 9 = 1 3 ( 9 + 0 + + 0 = 27 = 2 1 0 3 0 0 6 0 9 = 0 1 0 3 0 0 6 0 9 = 0 1 0 3 0 0 0 0 9