Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÑÑ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø Ô ÒÓÖ Ø Ù Ò Ø Ð ÙÙ Ø Ö Ø ÐÙ¹ ÒÝØ ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö ÐÙÖ Ý Ø Ñ ÐÐ Ô ÐÐ Ò ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò Ó Ó Ð Ø ÝÐ Ô Ò ÓÐ Ú ÐÙÖ º ÂÓ Ò Ø ÐÙÖ Ñ Ò ÔÓ ÙØ ¹ Ø Ò Ò Ò Ò ÑÑ Ø Ô Ù ÐÙÖ Ø ÐÙÑ Ø Ò Ô Ò ÐÐ ÑÔÐ ØÙ ÐÐ ÙÒ Ø Ð ÑÑ ÐÙÖ Ð Ø Ð ÙØØ Ð ÔÝ ØÝÝÒ Ò Ò Ø Òº Ë ÒÓÑÑ ØØ Ð ÒØÓ ÓÒ Ø Ð ÙÒ Ø ÝÐ ÒØÓ ÓÒ Ô Ø Ð º Ì Ô ÒÓÔ Ø Øº È Ø ØØ p R n ÙØ ÙØ Ò Ý Ø Ñ Ò x (t) = f(x(t)) Ø Ô ÒÓÔ Ø Ó f(p) =. ÌÐÐ Ò ÐÚ Ø ϕ t (p) = p ÐÐ t R, Ð p Ø Ð Ú Ö Ø Ù ÔÝ ÝÝ Ò Ù Ø º Ì Ô ÒÓÔ Ø ØØ p ÙØ ÙØ Ò Ø Ð Ó Ó¹ ÐÐ ε > ÓÒ ÓÐ Ñ δ > Ø Ò ØØ u B δ (p) = ϕ t (u) B ε (p) ÐÐ t >. Ê Ø ÙØ ÔÝ ÝÚØ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ð ÐÐ Ø ¹ Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø ØØ ÙÒ Ò Ð ÙÔ Ø ÓÒ Ø Ö Ø¹ ØÚÒ Ð Ðк Ì Ô ÒÓÔ Ø p ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ó ÐÐ Ò Ð ÓÒ ÓÐ Ñ p Ò ÝÑÔÖ Ø B (p) Ø Ò ØØ v B (p) = lim t ϕ t (v) = p, Ð ÙÒ Ö ØØÚÒ Ð ÐØ Ð Ø ÚØ Ö Ø ÙØ Ð Øݹ ÚØ Ô Ø ØØ p. u p δ δ u v p Ì ØÚ º½º ÑÑ Ò ÑÖ ØØ Ð ÑÑ Ð Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ø Ð ÙÙ Ò ÝÑÔ¹ ØÓÓØØ Ò Ø Ð ÙÙ Ò Ñ Ò Ö Ø Ú ÐÐ º ÆÝØ ØØ Ð Ò Ö Ø Ô Ù µ Ò Ò¹ Ø Ú Ø ÝÐÐ ÓÐ Ú Ò Ò Ý ØÔ ØÚØ ÑÖ Ø ÐÑغ Ä ÑÑ º½º ÇÐ ÓÓÒ A R n n Ø Ò ØØ α(a) <. ÌÐÐ Ò ÒØ Ö Ð W = e t AT e t A t ÙÔÔ Ò W ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ò ØØ Ñ ØÖ Ó ØÓØ ÙØØ º½µ v, W Av 2 W v, Wv, v Rn. ÌÓ º ÇÐ ÓÓÒ β (α(a), ). ÌÐÐ Ò Ð Ù Ò ¾º½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ K Ø Ò ØØ e t A Ke t β, ÓØ Ò ÒØ Ö Ð ÙÔÔ Ò º Ë ÐÚ Ø W ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Òº ÈØ v T Wv = e t A v 2 t. Ë Ô Ó v T Wv =, Ò Ò e t A v = t, ÓÐÐÓ Ò v =, Ð W ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ º ε ε
ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÃÝØØ Ò Ú t y(t) 2 = 2 y(t), y (t) Ò ÐÐ Ò v, WAv = = 2 t e t A v, e t A Av t = e t A v 2 t = 2 Ñ Ø º½µ ÙÖ Ó v, Wv W v 2. / e t A v, Ae t A v t = e t A v 2 = 2 v 2, Ë ÙÖ Ú Ð Ù ÒØ ÒÝØ Ö ØØÚÒ ÓÒ ÔÐ Ò Ö Ò Ý Ø Ñ Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø Ò ÝÑÔ¹ ØÓÓØØ ÐÐ Ø Ð ÙÙ ÐÐ Ò Ò ÓÒ Ó Ú Ø Ú Ø Ô ÒÓÔ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ð Ò Ö Ó ØÙ Ý Ø Ñ ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º Ä Ù º¾º ÇÐ ÓÓÒ f Ø ÙÚ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ p Ø Ô ÒÓÔ Ø A = Df(p). ÂÓ α(a) <, Ò Ò p ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º ÌÓ º ÎÓ ÑÑ ÓÐ ØØ ØØ p =. ÇÐ ÓÓÒ W ÙØ Ò Ð ÑÑ º½ σ = º 2 W Ø Ø Ò ØÙÐÓ x, y W = x, Wy Ú Ø Ú ÒÓÖÑ x W = x, x W. ÇÐ ÓÓØ m 2 M 2 W Ò Ô Ò Ò ÙÙÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓº ÌÐÐ Ò Ö Ú Ø Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø Ò ÒÝØ lim x f(x) Ax W x W m x x W M x, x R n. M m lim f(x) f() Df()x = x x Ó ÐÐ x, y R n ÔØ x, y W x W y W Ù Ý Ë Û ÖÞµ Ò x, f(x) Ax lim W x x 2 W ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ c (, σ) δ > Ø Ò ØØ ÓÐÐÓ Ò ÂÓ ÒÝØ x (t) = f(x(t)) =. x W < δ = x, f(x) Ax W (σ c) x 2 W, x, f(x) W x, Ax W + (σ c) x 2 W c x 2 W. t > x() W < δ, Ò Ò t x(t) 2 W = 2 x(t), f(x(t)) W 2c x(t) 2 W, ÓØ Ò x(t) W x() W e ct, Ð x(t) W < δ t > lim t x(t) =. Ì ØÚ º¾º Î Óºµ ÆÝØ Ó f(p) = Ó Df(p) ÐÐ ÓÒ ÓÑ Ò ÖÚÓ λ, ÓÐÐ Re λ >, Ò Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø p ÓÐ Ø Ð º ÂÓ Ò Ò ÓÐ ÚÓ ÑÑ Ø Ò Ò ÑÙÙØØÙ ÒÚ ÓÒ y = x p.
Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ Ñ Ö º½º ËÝ Ø Ñ ÐÐ x 2 x + x = 2 2 x 2 x + x 2 ÓÒ ÓÖ ÓÒ p = (, ) Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø q = (2, 2). ÆÝØ Df(x) = 2 2x 2 º ÇÖ Ó ¹ Df(p) = 2 ØÐÐ ÓÒ ÓÑ Ò Ô ¹ Ö Ø ( 2, [ 3 ]) (, [ ]) º ÌØ Ò Ö Ø ÙØ Ð¹ ØÝÚØ ÓÖ Ó Ð Ô Ø Ò ÙÙÒÒ Ø ± [ 3 ] ÔÓ ØÙÚ Ø x 2 Ð Ô Ø Òº È Ø q = (2, 2) Ò Ð Ò Ö Ó ÒØ Ñ ØÖ ÐÐ Df(q) = 2 4 ÓÐÐ ÓÒ ÓÑÔÐ Ø ÓÑ ¹ Ò ÖÚÓØ ± i 7 º ÌØ Ò q ÓÒ ÝÑÔ¹ 2 2 ØÓÓØØ Ø Ø Ð Ö Ø ÙØ Ð ØÝÚØ Ø ÔÝ Ö Òº Ç Ò ÙÚ Ò ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ Ú ØÓ¹ Ö ÒØØ f ÑÙÙØ Ñ Ö Ø Ù ÝÖ º p q ÀÙÓÑ ÙØÙ º½º ÂÓ Df(p) Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ø Ø ØÒ Ú Ò ØØ Ò Ò Ö Ð Ó Ø ÚØ ÓÐ ÔÓ Ø Ú Ò Ò ØÐÐ Ò ÑÑ ÚÓ Ú ØØ Ø Ð ÙÙ Ø Ú Ð Ñ ØÒ Ö ÔÔÙÙ ÐÐÓ Ò ÓÖ ÑÑ Ò Ø Ò Ø ÖÑ Øº Ñ Ö º¾ À ÐÙÖ µº Ñ Ö Ò ½º¾ Ý Ø Ñ ÐÐ x (t) = L x 2 ÓÒ Ø Ô ÒÓ¹ g sin(x ) Ô Ø Ø (x, x 2 ) = (kπ, ), k Z. È Ö ÐÐ Ø k Ø Ú Ø Ú Ø Ø Ô ÒÓÔ Ø Ø Ñ Ö Ø ÚØ Ý Ð Ø Ñ ÐÙÖ ÖÓ ÙÙ Ð ÚÓ Ð Ô Ò Ô Ö ØØÓÑ Ø k Ø Ú Ø Ú Ø ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò ÝÐ Ô Ò Ø Ô ÒÓ Ð Ú ÐÙÖ º 2π ÖÓØ Ð Ú Ø Ú Ò ÔÝ Ö Ý ÖÖÓ ¹ º [ ÆÝØ Df(x) = L g cosx Df(2jπ, ) = ], ÓØ Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø L g Df((2j + )π, ) = L g ÇÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø Ú Ø Ú Ø λ,2 = ±i g L λ,2 = ± g. ÌØ Ò Ô Ö ØÓÒØ k Ò ÖÚÓ L Ú Ø Ú Ø Ø Ô ÒÓÔ Ø Ø ÓÚ Ø ÐÐ Ò Ø ØÚÒ ÑÙ Ò Ô Ø Ð º ÃÙÒ k ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÔÙ Ø Ø Ñ ÒÖ Ø ÒÝ Ý Ø ÝÐ Ø ØÙÐÓ ¹ ÑÑ ÚØ Ú Ð Ö Ø ÒÓÑ Ò Ø Ð ÙÙ Ø Ñ ØÒº ÇØ Ø Ò Ý ÚÙ Ò Ö ÐÝݺ Æ ÑÑ ØØ E = 2 v2 + gl( cosθ) = 2 x2 2 + gl( cosx ). ÓÒ Ú Ó Ô Ø Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ø Ö Ø Ù ÝÖ t E(t) = x 2x 2 + gl sin(x )x = x 2 g sin(x ) + gl sin(x ) L x 2 =.
¼ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÂÓ E() δ 2, Ò Ò E(t) δ 2 ÐÐ t x 2 (t) 2δ cos(x (t)) δ2 gl, Ð θ kπ α. º ÙÚ µº Æ Ò ÓÐÐ Ò Ö Ø¹ Ù ÔÝ ÝÝ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ð ÐÐ ØÐÐ Ø Ø ¹ Ô ÒÓÔ Ø ØØ ÙÒ Ò Ð ÙÔ Ø ÓÒ Ú Ð ØØÙ Ö ØØÚÒ Ð Ðغ Ë ÒÑ Ø Ô ÒÓÔ Ø Ø ÓÚ Ø Ø Ð ÑÙØØ ÚØ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º -.5 - -.5.5.5.5 - gl δ 2 α cos θ θ x 2 Î Ö ÓÒ Ø ØØÝ ÑÙÙØ Ñ Ö Ø Ù Ý¹ Ö º ÀÙÓÑ Ö ØÝ Ø Ô Ø Ð Ø Ø ¹ Ô ÒÓÔ Ø Ø ØÓ Ò Ô Ö ØØÓÑ Ø k ص Ùй Ú Ø Ò º Ø ÖÓ Ð Ò Øµ Ö Ø Ùغ π π x ÂÓ ÓØ ÑÑ ÑÝ ÐÑ ÒÚ ØÙ Ò ÙÓÑ ÓÓÒ ÚÓ Ñ Ò Ó ÓÒ Ú ÖÖ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ÒÓÔ ÙØ Ò Ý Ø Ñ ÑÙÓ ÓÒ θ (t) = v(t), L v (t) = g sin(θ(t)) αv(t), [ Ð f(x) = x ] L 2. ÆÝØ Ø Ô ÒÓÔ Ø g sin(x ) αx 2 Df(2jπ, ) = L g α Df((2j + )π, ) = L g α ÇÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÒÝØ Ú Ø Ú Ø λ,2 = α 2 ± ( α 2 )2 g L λ,2 = α 2 ± ( α 2 )2 + g L.. ÌØ Ò Ô Ö ØÓÒØ k Ò ÖÚÓ Ú Ø Ú Ø Ø Ô ÒÓÔ Ø Ø ÓÚ Ø ÐÐ Ò Ô Ø ¹ Ð ÙÒ Ø Ô Ö ÐÐ Ø k Ø Ú Ø Ö Ð Ó ÐØ Ò Ò Ø Ú Ø ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÒÑ Ø Ô ÒÓÔ Ø Ø ÓÚ Ø ÝÑÔ¹ ØÓÓØØ Ø Ø Ð ÐÐ Ò Ð Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ º ÁØ ØÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ ÔØ Ö Ø ÙØ Ð ØÝÚØ ÓØ Ò Ø ¹ Ô ÒÓÔ Ø ØØ ÙÙÖ Ò Ó Ö Ø Ù Ø ÔØÝÝ Ø Ð Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø Òº π x 2 π x
Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ½ Ì Ô ÒÓÔ Ø ØØ p ÒÓØ Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ó Df(p) ÐÐ ÓÐ ÓÑ Ò ÖÚÓ ÓÒ Ö Ð Ó ÓÐ ÒÓÐÐ º Ñ Ö Ø ¾º ¾º½¼ ÓÚ Ø ÝÔ Ö ÓÐ º Î Ñ ÒØ Ñ ØØÓÑ Ò ¹ ÐÙÖ Ò Ø Ð Ø Ø Ô ÒÓÔ Ø Ø k Ô Ö ÐÐ Ò Òµ ÚØ ÓÐ ÝÔ Ö ÓÐ ÙÒ Ø Ô Ø Ð Ø k Ô Ö ØÓÒµ ÓÚ Øº Î Ñ ÒÒ ØÙÒ ÐÙÖ Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø Ø ÓÚ Ø ÝÔ Ö ÓÐ º Ä Ù Ò º¾ Ø ØÚÒ º¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò Ë ÙÖ Ù º º ÀÝÔ Ö ÓÐ Ò Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø ÓÒ Ó Ó Ô Ø Ð Ø ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º º½º Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø Óغ Ä Ù Ò º¾ ØÓ ØÙ ÓÐ ÐÐ Ø ÒÝØ ØØ Ò ØØ ÙÒ ¹ Ø ÓÒ V (x) = x p 2 W ÖÚÓØ Ô Ò Ò ÚØ ÙÒ ØÒ Ô Ø Ò Ö Ø ÙØÖ ØÓÖ º Ä ÔÙ¹ ÒÓÚ Ò ÓÐ Ø Ö Ø ÐÐ ÝÐ ÑÔ ÑÙÓØÓ ÓÐ Ú ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ Ú Ò ÚØ Ô Ø Ò ÒÒ ØÙÒ Ý Ø Ñ Ò Ö Ø Ù º ÇÐ ÓÓÒ V : R n R Ö ÒØ Ó ØÙÚ º ÂÓ grav (x), f(x) <, Ò Ò Ô Ø Ò x Ð ÐÐ ÙÐ Ú Ö Ø Ù Ô Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ V ÖÚÓØ Ú Ò ÚØ ÐÐ ÌÐÐ Ò Ò Ø Ö Ø ÐÙ Ó Ø ÙÖ Ú Ò V t (ϕt (x)) t= = grav (x), f(x) <. Ä Ù º Ä ÔÙÒÓÚ Ò Ø Ð ÙÙ Ð Ù µº ÇÐ ÓÓÒ f C, p Ý Ø Ñ Ò x = f(x) Ø Ô ¹ ÒÓÔ Ø U Ò Ó Ò ÝÑÔÖ Ø º ÇÐ ÓÓÒ V : U R Ø ÙÚ Ø Ö ÒØ Ó ØÙÚ Ø Ò ØØ µ x p = V (x) > V (p), µ grav (x), f(x) ÐÐ x U. Ö Î Üµ Ü Ø Ùµ V= vakio ÌÐÐ Ò p ÓÒ Ø Ð º ÂÓ Ð µ gra V (x), f(x) < ÐÐ x U \ {p, ܵ Ò Ò p ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º ÌÓ Ø ÑÑ ØÑÒ Ñ Ò ÑÝ ÑÑ Òº ÙÒ Ø ÓØ Ó ØÓØ ÙØØ ÓØ µ µ ÙØ Ù¹ Ø Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø Ò Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø Ó º ÂÓ ÑÝ µ ÔØ Ò Ò Ø ÒÓØ Ò Ø Ö Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø Ó º Ñ Ö º º ÃÙÒ Ñ ØÖ ÐÐ A = Df(p) ÓÒ Ö Ð Ó ÐØ Ò Ò Ø Ú Ø ÓÑ Ò Ö¹ ÚÓØ W ÓÒ ÙØ Ò Ð ÑÑ º½ Ò Ò V (x) = x p 2 W ØÓØ ÙØØ Ø Ö Ò Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓØ ÐÙ U = { x R n x p, Wf(x) < {p, Ó ÓÒ Ö p Ò ÝÑÔÖ Ø º Ð Ù Ò º¾ ØÓ ØÙ µº Ð Ø Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÝØÑ Ò Ò ÒÒ ØÙÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ ÚÓ ÓÐÐ Ò Ð º Å ØÒ ÝÐ ÔØ Ú Ö ÔØ ÓÐ º Ý Ð Ý Ø Ñ Ò Ö Ø Ö Ø ÐÙØ ØÙÓØØ Ú Ø Ù Ò Ú Ø Ö Ò È Ø Ö ½ ¾
¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ØÙÐÓ Òº Æ ÒÔ Ú Ñ ÒØ Ñ ØØÓÑ Ò ÐÙÖ Ò Ñ Ö º¾µ Ó ÓÒ Ò Ö E ÓÒ ÓØ µ µ ØÓØ ÙØØ Ú Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø Óº Í Ò ÒÒ ØØ ÝÖ ØØ ÓÔ Ú ÑÙÓØÓ ÓÐ Ú V غ x Ñ Ö º º ÇÖ Ó ÓÒ Ý Ø Ñ Ò 2x + 3x x = x 3 2 2 2x 2 x2 2 Ø Ô ÒÓÔ Ø º Ä ¹ x3 2 Ò Ö Ó ÙÒ Ý Ø Ñ Ò Ñ ØÖ [ 2 ] ÒÒ Ñ Ò ÔØ ÐÐ Ñ ØÒ Ø Ð ÙÙ Ø º Ö Ø ØÒ Ý Ø Ñ ÐÐ Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø ÓØ ÑÙÓ Ó V (x) = a x 2 + a 2 x 2 2, a, a 2 >. ÌÐÐ Ò Ò Ò ØÓ µ ØÓØ ÙØÙÙº ÆÝØ grav (x), f(x) = 2a x x + 2a 2x 2 x 2 = 2a x ( 2x + 3x x 3 2 ) + 2a 2x 2 ( 2x 2 x2 2 x3 2 ) = 4a x 2 + (6a 4a 2 )x 2 x3 2 2a 2x 4 2, Ó Ø Ú Ð Ø Ñ ÐÐ a = 2, a 2 = 3 Ò grav (x), f(x) = 8x 2 6x 4 2, Ð V (x) = 2x 2 + 3x 2 2 ÓÒ Ø Ö Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø Ó ÓÖ Ó ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º Ë ÖÖÝØÒ ÒÝØ Ä ÔÙÒÓÚ Ò Ø Ð ÙÙ Ð Ù Ò ØÓ ØÙ Òº ÌÓ º ÂÓ u U, Ò Ò V (ϕ t (u)) V (u) Ò Ò Ù Ò ÙÒ ϕ t (u) U. V t (ϕt (u) = grav (ϕ t (u)), f(ϕ t (u)), ÓØ Ò ÇÐ ÓÓÒ ε > Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò Ø Ò ØØ B ε (p) U. Ø Ø Ò c = min x p =ε V (x), ÓÐÐÓ Ò c > V (p). Å Ò Ñ ÓÒ ÓÐ Ñ Ó V ÓÒ Ø ÙÚ Ô ÐÐÓÒ B ε (p) Ô ÒØ ÓÒ ÓÑÔ Ø ºµ ÇÐ ÓÓÒ U c = { x U V (x) < c º Uc ÓÒ ÚÓ Ò Ó V ÓÒ Ø ÙÚ º ÌÐÐ Ò ÔØ Ó u U c, Ò Ò V (ϕ t (u)) V (u) < c ÐÐ t, ÓØ Ò Ë p ÓÒ Ø Ð º ϕ t (u) B ε (p) ÐÐ t. ÇÐ Ø Ø Ò ÒÝØ ØØ ØÓ µ ÓÒ ÑÝ ÚÓ Ñ ÓÐ ÓÓÒ ε >, c > V (p) ÙØ Ò Ðк ÂÓ u U c, Ò Ò V (ϕ t (u)) ÓÒ Ú Ò Ú V (p), ÓØ Ò V = lim t V (ϕ t (u)) ÓÒ ÓÐ Ñ º ÆÝØ ØÒ ØØ V = V (p). Ì Ò Ú Ø ÓÐ ØÙ V > V (p). ÌÐÐ Ò ÓÙ Ó D = { x U c V (x) V ÓÒ ÓÑÔ Ø Ø ÙÚ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ η(x) = gra V (x), f(x) ÓÒ ÐÐ Ñ Ñ = k < ÓÒ µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ µº Î Ø ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò ϕ t (u) D ÐÐ t, ÓØ Ò V t (ϕt (u)) k ÐÐ t, Ó Ø V (ϕ t (u)) V (u) kt, Ó ÓÒ Ö Ø Ö Ø º Ë Ô lim t V (ϕ t (u)) = V (p). ÌÓ ÐØ V (p) ÓÒ V Ò ÓÐÙÙØØ Ò Ò Ñ Ò Ñ ÓÑÔ Ø ÓÙ Ó B ε (p), ÓØ Ò ÚÐØØÑØØ lim t ϕ t (u) = p p ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º
Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ Ì ØÚ º º Ø ÙÖ Ú ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø ÓØ x a) x 2x = x 2 2x 2 2 x x 2 x 3 b) 3x 3 = x 2 2 + x x 2 x 5 2x 3 2 x 2 x 2. Î Ñ ÒØ Ñ ØÓÒ ÐÙÖ Ñ Ö º¾µ ÓÒ Ö Ó Ø Ô Ù ÙÖ Ú Ø º Ñ Ö º º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ñ m Ð ÙÙ ÓÒ ÖÚ Ø Ú ÚÓ Ñ ÒØ F(x) = gra φ(x), Ñ φ ÓÒ Ð Ö ÔÓØ ÒØ Ð º ÌÐÐ Ò ÙÒ x ÓÒ Ñ Ò Ô v Ò ÒÓÔ Ù Ò x = v, v = gra φ(x). m ÇÐ ÓÓÒ (x, v ) R 6 Ý Ø Ñ Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø º ÌÐÐ Ò v = graφ(x ) =. Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ó ÓÒ Ò Ö E(x, v) = 2 m v 2 + φ(x). Ë ÐÚ Ø E(x, v) = m v, graφ(x) + graφ(x), v =, t m Ð Ò Ö ÐÝݺ Æ Ò ÓÐÐ Ò E ÓÒ Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø Ó Ó Ó Ò (x, ) Ò ÝÑÔÖ Ø (x, v) (x, ) = E(x, v) > E(x, ) Ð ÙÒ x ÓÒ φ Ò ØÓ Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ñ º ÌÑ ÓÒ Ä Ö Ò Ò Ð Ù ÓÒ ÖÚ Ø Ú Ò ÚÓ Ñ ÒØÒ Ø Ô ÒÓÔ Ø (x, ) ÓÒ Ø Ð Ó x ÓÒ ÔÓØ ÒØ Ð Ò ØÓ Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ñ º º¾º Ö ÒØØ Ý Ø Ñ Øº ÅÓÒ Ø Ý Ø Ñ Ø ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ x = f(x) = grav (x), x U, Ñ V ÓÒ Ö Ð ÖÚÓ Ò Ò C 2 ÙÒ Ø Óº ÌÐÐ ÙØ ÙØ Ò Ö ÒØØ Ý Ø Ñ º Æ ÐÐ V Ø ÓÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò Ä ÔÙÒÓÚ Ò ØØ º Ä Ù º º ËÝ Ø Ñ ÐÐ x = grav (x) ÔØ µ V Ò ÖÚÓØ Ú Ò ÚØ Ô Ø Ò Ö Ø Ù Ô Ø Ø Ô ÒÓÔ Ø º µ ÂÓ p ÓÒ V Ò ØÓ Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ñ Ò Ò ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ø ¹ Ô ÒÓÔ Ø º µ ËÝ Ø Ñ Ò Ö Ø Ù ÝÖØ Ð Ú Ø V Ò Ø ÖÚÓÔ ÒÒ Ø Ó Ø ÙÓÖ Ø º µ ÂÓ V ÓÒ ¹Ò Ø Ú Ò Ò Ò Ò Ö Ø Ù ÐÐ ÔØ x (τ) 2 τ V (x()). ÌÓ º µ ÆÝØ grav (x), f(x) = gra V (x), grav (x) = gra V (x) 2. µ ÃÙÒ p ÓÒ V Ò ØÓ Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ñ Ò Ò Ð Ù Ò º ÓØ µ¹µ ØÓØ ÙØÙÚ Øº µ ÂÓ x U ÓÐ Ø Ô ÒÓÔ Ø v ÓÒ Ô ÒÒ Ò { y U V (y) = V (x) Ø Ò ÒØØ Ô Ø x, Ò Ò h V (x + hv) h= = Ð grav (x), v =. µ ÌÓ ØÙ Ò µ Ó Ò ÑÙ Ò V (x()) V (x(t)) = Ó Ø Ú Ø ÙÖ Ó V (x(t)). t t V (x(τ)) τ = τ x (τ) 2 τ,
ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Ñ Ö º º ÇÐ Ó Ý Ø Ñ [ x cos(x )[x = f(x) = 2 sin(x )] sin(x ] 2 ) + sin(x ) x 2 Ö ÒØØ Ý Ø Ñ ÂÓØØ f ÓÐ ÓÒ ÙÒ Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÒØØ ÓÒ ÓÐØ Ú f 2 x. Æ Ò Ò ÓÒ ÑÓÐ ÑÑ Ø = cos(x ). ÃÓ f 2 = V x 2, Ò V (x, x 2 ) = x 2 ( + sin(x ) ξ) ξ + g(x ) = x 2 ( + sin(x )) + 2 x2 2 + g(x ). ÌÓ ÐØ V x = f, Ó Ø g ÐÐ Ð x 2 cos(x ) g (x ) = x 2 cos(x ) ( + sin(x )) cos(x ) 2 sin(x ) g(x ) = x [( + sin(ξ)) cos(ξ) + 2 sin(ξ)] ξ = 2 ( + sin(x )) 2 2 cos(x ), V (x, x 2 ) = 2 (x 2 sin(x )) 2 2 cos(x ). f x 2 = x 2 ÌÐÐ ÓÒ Ø Ô ÒÓÔ Ø Ø (x, x 2 ) = (kπ, ). È Ö ÐÐ Ø k Ø Ú Ø Ú Ø V Ò Ñ Ò Ñ ¹ Ô Ö ØØÓÑ Ø ØÙÐ Ô Ø Øº Î Ö ÙÚ ÓÒ Ó Ø ¹ Ò V Ò Ø ÖÚÓ ÝÖ ÑÙÙØ Ñ ØÖ ØÓÖ º 3 2-2 4 6 8 Ì Ö Ø Ð ÐÐ Ø ÙÖ Ù Ð Ù ØØ ÔÖÓÔÓ Ø ÓØ ØÑÒ ÙÚ Ò ÚÙÐÐ º ÀÙÓÑ ØØ Ú ØÖ ØÓÖ Ò Ð ÙÔ Ø Ø ÓÚ Ø ÝÚ Ò Ð ÐÐ ØÓ Ò Ò ÔØÝÚØ Ö Ø Ô ÒÓÔ Ø Òº ÇÒ Ó ØÑ Ö Ø Ö Ò Ò ØØ Ö Ø Ù Ö ÔÔÙÙ Ø ÙÚ Ø Ð ÙÔ Ø Ø Î Ø Ù ÓÐ º Å µ x º º Ê Ø Ù Ò ÑÓØØ ÐÙ º Ê Ø Ù Ò ÝØØÝØÝÑ Ø ÖØÓÓ Ô Ð ÓÒ ÓÙ ÓØ Ó ÓÒ ÙÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ö Ú ØØ ÓÒ Ú ÓÑ Ö Ò Òº [ Ì Ö Ø Ð ÑÑ [ Ñ Ò Ó Ý Ø Ñ Øº Å Ö ØÒ { ÑÚ ¹ x f x Ø x =, f = Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ý Ø Ñ x y] g] = f(x, y) = f(x) Ð. y = g(x, y) ÅÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ÓÙ ÓØ X + = { (x, y) f(x, y) >, X = { (x, y) f(x, y) <, Y + = { (x, y) g(x, y) >, Y = { (x, y) g(x, y) <,
Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ A ++ = X + Y +, A + = X + Y, A + = X Y +, A = X Y. ÂÓÙ Ó X + Ö Ø ÙÒ x ÓÓÖ Ò ØØ Ú ÓØ Ò ÙÐ Ø Ò Ó ÐÐ Ô Ò ÓÙ Ó A ++ ÝÐÚ ØÓÓÒ Ó ÐÐ Ò º ÂÓÙ Ó Ò Ö ÙÒÓ ÐÐ ÙÐ Ø Ò Ó Ó Ú ¹ Ø ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò Ø ØØ Ò ÓÐÐ Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø º ÂÓ Ú Ð Ø Ö Ø Ð ÑÑ Ø Ô ÒÓÔ Ø Ð Ò Ö Ó ¹ ØÙ Ý Ø Ñ ÓÒ Ñ ÐÐ Ù Ò Ó Ñ Ð Ó ÝÚ ÙÚ Ø Ñ Ø Ò Ö Ø Ù ÝÖØ ÙÐ Ú Øº Ñ Ö º º ËÝ Ø Ñ ÐÐ { x = x + y y = x 2 x y ÑÑ X + = {y > x, X = {y < x, X = {y = x, Y + = {y < x 2 x, Y = {y > x 2 x, Y = {y = x 2 x. Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø p [ = (, ) ] q = (2, 2). Df(x, y) =, ÓØ Ò 2x p : Ð Ò Ö Ó ØÙ Ý Ø Ñ Df(, ) =, ÓÑ Ò ÖÚÓØ λ,2 = ± i. ÌÑ ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ó Ù º q : Ð Ò Ö Ó ØÙ Ý Ø Ñ Df(2, 2) =, 3 ÓÑ Ò ÖÚÓØ λ,2 = ± 3. ÌÑ [ ÓÒ ØÙÐ ] ÓÐÐ ÓÒ[ ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø ] v = v 3 2 = º ÃÙÚ ÓÙ ÓØ 3 A ++ Ò ÓÒ Ø ØØÝ ÒÙÓÐ ÐÐ º 3 2.5 2.5.5.5.5.5.5 2 2.5 3 Ì ØÚ º º ÌÙØ Ñ Ò Ø Ô Ò Ý Ø Ñ { x = y y = x x 3 ky, ÙÒ k =, 2. Í Ò Ý Ø Ñ Ò Ö Ø Ù Ø º { x = f(x, y) y = g(x, y) Ö Ø Ù ÝÖØ xy Ø Ó Ð ÝØÝÚØ Ð Ö Ý ØÐ Ò y x = y/t x/t = g(x, y) f(x, y) ÀÙÓÑ ÙØÙ º¾º Ê Ø Ù Ö Ø Ù ÝÖ ÓÚ Ø Ö Ó Ø º Ê Ø Ù ÓÒ t Ò ÙÒ Ø Ó Ö Ø Ù ÝÖ ÓÒ R n Ò ÝÐÐ xy Ø ÓÒµ Ó ÓÙ Óº
ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Ñ Ö º º ËÝ Ø Ñ Ò { x = x + xy 2 y = x 2 x 2 y y x = x2 x 2 y x + xy = x 2 y +, Ö Ø Ù ÝÖØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ý ØÐ Ò Ð 2 y2 + y = 2 x2 + C. ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ö Ø ÙØ ÙÐ Ú Ø Ô Ø Ò (, ) ÝÑÔݹ Ö Øº Ì ØÚ Ô ÖÖ ÓÙ ÓØ X +, X, Y +, Y Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ø ÙØ Ò Ø ÝÑÔÝÖ Ø Ô Ø Ò ÙÐ Ú Øº ÌÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ ÓÒ Ô Ð ÓÒ Ø Ô ÒÓÔ Ø Øµº Ì ØÚ º º ÆÝØ ØØ Ô ØÓ Ð Ñ Ö ÐÐ ½º ÓÒ ÐÙ p >, s > Ý Ø Ô ÒÓÔ Ø ØØ ÓÒ Ø Ð º Î ÒÝØ Ý ØÐ p s = p/t cp + sp = s/t as bsp = s c s p a bp ÓÒ Ô ÖÓ ØÙÚ sp Ø Ó Ò Ö Ø Ù ÝÖØ a ln p bp = c ln s + s + C, ÓØ ÓÚ Ø Ø Ô ÒÓÔ Ø Ò ÝÑÔÖ ÙÐ Ú ÙÐ ØØÙ ÝÖ º Ì ØÚ º º Å Ø ÝÖ Ô Ø Ò Ý Ø Ñ Ò µ x = αx, y = βy, µ x = 2x y, y = 4x y, Ö Ø ÙØ ÙÐ Ú Ø º º È Ö Ó Ø Ö Ø Ùغ Ì Ø Ö Ø Ð ÑÑ ÐÙ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ô Ö Ó Ö Ø Ù ØÓ Ò ÒÓ Ò ÐÐ ÓØ Ô Ð Ú Ø Ð ÙÔ Ø Ò º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö¹ Ú Ñ ÒØ Ñ ØØÓÑ Ò ÐÙÖ Ý Ø Ñ Ò Ð ÐÐ Ø Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø ØØ ÔÝ Ö ÚØ Ö Ø¹ Ùغ ÂÓ Ý Ø Ñ Ò x = f(x) Ô Ø Ø x Ð Ø Ú Ö Ø Ù ØÙÐ ÙÙ Ø Ò x Ò Ò τ ÙÐÙØØÙ Ð Ó φ τ (x ) = x, Ò Ò ØÖ ØÓÖ Γ = { φ t (x ) t [, τ] ÑÙÓ Ó Ø ÙÐ ØÙÒ ÝÖÒ R n º ÌÐÐ Ò φ τ (x) = x ÐÐ x Γ, ÐÐ Ó x = φ t (x ), Ò Ò φ τ (x) = φ τ (φ t (x )) = φ t (φ τ (x )) = φ t (x ) = x. ÌÓ Ò ÒÓ Ò φ t+τ (x) = φ t (x) ÐÐ t R, x Γ. ÌÐÐ Ø Ö Ø Ù ÙØ ÙØ Ò τ Ô Ö Ó º ÇÐ ÑÑ Ò Ò Ø Ò Ø Ñ Ö Ú Ñ ÒØ Ñ ØØÓÑ ÐÐ ÐÙÖ ÐÐ º ÃÙØ Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø Ø ÑÝ Ô Ö Ó Ø Ö Ø ÙØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ø Ð Ô Ø Ð Ø ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ò ÑÙ Ò Ñ Ø Ò Ú Ø Ú Ò ØÖ ØÓÖ Ò Γ Ð ÐØ Ð Ú Ø Ö Ø ÙØ ÝØØÝØÝÚØ ÔÝ ÝÚØ Ò Ð ÐÐ ÓÙØÙÚ Ø Ó Ò Ù Ø Ð ØÝÚØ Ò Γ º ÑÑ ÖÝ Ý Ò Ø Ø Ø Ö ÑÑ Ò ÑÖ ØØ Ð ÑÒ Ú Ò ÐÙÓØ ÑÑ ÒØÙ Ø ÓÓÒ Ø Ö Ø Ð ÑÑ Ñ Ö º Ñ Ö º º Î Ñ ÒØ Ñ ØØÓÑ Ò ÐÙÖ Ò Ô Ö Ó Ø Ö Ø ÙØ ÓÚ Ø Ø Ð ÐÐ Ð ÐØ Ð Ø ÚØ Ö Ø ÙØ ÓÚ Ø ÑÝ Ô Ö Ó ÔÝ ÝÚØ Ð Ðк Ì Ö Ø ØÑÒ ÚÓ ÒÝØØ Ö Ó ØÙ Ø ØÚµ Ø Ö Ø Ð Ñ ÐÐ ÐÐ Ò Ó ÓÒ Ò Ö º ÆÑ ÚØ Ù ¹ Ø Ò Ò ÓÐ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º ÌÖ ØÓÖ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ö Ø Ù ÝÖÒ ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ô Ø ÓÙ Ó R n º
Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ Ñ Ö º½¼º ÇÐ ÓÓÒ Ý Ø Ñ x = f(x) ÒÝØ x = ( x2 x2 2 )x + 4x 2 x 2 = 4x + ( x 2 x 2 2)x 2. 4 ÌÐÐ ÓÖ Ó ÓÒ Ô Ø Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø f x () =, ÓÑ Ò ÖÚÓØ λ 4,2 = ±4i. Ö Ø ØÒ ÒÙÑ Ö Ø Ö Ø Ù Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ Ó Ø ÖÖÓØ Ò ÐÙÚÙ µº ÃÙÚ Ø Ò Ò ØØ ÓÖ ÓÒ Ð ÐÐ x Ú Ù Ò Ô Ò Ò º Ä Ø Ò Ó x (t) = f(x(t)), Ò Ò t x(t) 2 = 2x x + 2x 2x 2 = = 2[( x 2 x 2 2)x 2 + 4x x 2 4x x 2 + ( x 2 x2 2 )x2 2 ] = = 2 x(t) 2 ( x(t) 2 ). ÌÓ Ò ÒÓ Ò g(t) = x(t) 2 ØÓØ ÙØØ g (t) = 2g(t)( g(t)). x 2.5 - -.5.5.5 2 x Ì Ø Ò Ò Ø ØØ g = ÓÒ ØÑÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø ÐÐ (2g( g)) g g= = 2 < µº Ð ÙÔ Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ñ Ö Ø ØØ Ó x() =, Ò Ò x(t) = ÐÐ t Ó x(), Ò Ò x(t), ÙÒ t. Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ò Ò ØØ [ cos sin4t 4t ] ÓÒ Ö Ö Ø Ù ÓØ Ú Ø Ú ØÖ ØÓÖ ÓÒ Ý ÝÑÔÝÖº ÌÑ ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð ÐÐ Ð ÐØ Ð Ú Ø Ö Ø ÙØ Ð ØÝÚØ Øº Ñ Ö º½½ Î Ò Ö ÈÓеº ÃÙÙÐÙ Ý Ø Ñ ÓÒ Ð Ø Ó Ø ÓÐ Ð ØÖÓÒ ÔÙØ Ò Ò ÐÝ Ó ÒÒ ÓÒ Ò º Î Ò Ö ÈÓÐ Ò Ý ØÐ Ô ÖÙ ÑÙÓ Ó Ò { x = y x 3 + x. y = x ÆÙÑ Ö Ø ÑÙÐÓ ØÙÒ Ö Ø Ù Ð Ù ÖÚÓ Ø [. ] ÒÝØØ ØÐØ -.5 -.5.5 y.5 x.5 5 5 2 25 3 t ÆÝØØ ÐØ ØØ Ö Ø Ù ÐÙÑ Ò Ô Ö Ó Ø º ÇÖ Ó ÓÒ Ô Ø Ð Ó Ù ÓÖ Ó Ð Ò Ö Ó ÙÒ Ý Ø Ñ Ò Ñ ØÖ ÓÒ [ ], ÓÒ ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø λ = ± i 3. 2 2
ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ø ÓÒ ÐÙ Ø Ó x ÐÐ y ÐÐ ÓÒ Ú ÓÑ Ö Ð ÓÙ Ó Ò X +/, Y +/ Ð Ù A ++ = { (x, y) x < y > x 3 x A + = { (x, y) x > y > x 3 x A + = { (x, y) x < y < x 3 x A = { (x, y) x > y < x 3 x º A ++ 2-2 - 2 A -+ A -- - -2 A +- y Ð ÐÐ x =, ÓØ Ò y =, Ð Ú ØÓÖ ÒØØ ÓÒ Ú ÙÓÖ Ó ÐÐ ÔÓ¹ Ø Ú ÐÐ Ú ÑÑ ÐÐ Ò Ø Ú ÐÐ y Ð ÐÐ º ÃÝÖÐÐ y = x 3 x ÔØ x =, ÓÐÐÓ Ò Ú ØÓÖ ÒØØ ÓÒ ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ð Ô Ò ÙÒ x > ÝÐ Ô Ò ÙÒ x <. ÇÖ ÓÒ Ð ÐÐ Ý Ø Ñ ÝØØÝØÝÝ Ù¹ ] Ø Ò [ x y ] = [ ][ x y ÙÚ ÖÑ ÝÖÒÔØ µº ÌÙØ Ø Ò Ñ Ø Ò Ý Ø Ñ ÝØØÝØÝÝ Ù Ò ÓÖ Ó Ø º à ÒØØÚ ØÓÖ Ø Ø Ð Ñ ÐÐ ÒÝØØ ÐØ ØØ Ù Ö Ø ÙØ Ð ØÝ ÚØ ÓÖ Ó º È Ò Ò ÒÓÖÑ Ä Ø Ò t φt (x, y) 2 t= = 2x (y x 3 + x) + 2y ( x) = 2x 2 x 4. Æ Ò ØØ ØÑ ÓÐ Ò Ò Ø Ú Ò Ò ÓÐ x 2 +y 2 Ú Ù Ò ÙÙÖ º ÆÓÖÑ Ú Ò ÙÐ ØØ y Ð Ò Ð Ðк ÆÓÖÑ = Ú Ó Ú Ø ÝÑÔÝÖº Æ Ø ÙÐ Ø Ò ÒÔ Ò ÓÐ ÝÑÔÝÖ ØØ Ò Ú Ù Ò ÙÙÖ º ÃÓ ÐÐ Ò ÐÐ Ô Ó ÓÐ Ô Ø ÙÐ Ò Ò Ó ÐÐ ÝÐ Ô Ò ÓÐÐÓ Ò Ò Ò y Ð Ò Ð ÐÐ ÒØØ ÙÐ ÒÔ Òº ÌÐÐ Ò Ò ÐÐ Ô ÓÐ Ñ Ö V (x, y) = 2x 2 2xy + y 2 = r 2. ÇÒ Ó ØÑÒ Ö ÙÒ ÐÐ ÒØØ ÒÔ Ò ÐÐ Ô Ò ÙÐ ÓÒÓÖÑ Ð ÓÒ ( gra V (x, y) = x (2x2 2xy + y 2 ), ) y (2x2 2xy + y 2 ) = (4x 2y, 2x + 2y) ÒØØ ÓÒ ÒÔ Ò Ó grav, f < ÐÐ Ô Ò Ö ÙÒ ÐÐ Ð Ô Ø y = x ± r 2 x 2, x r. Ø Ø Ò g(r, x) = gra V (x, y), f(x, y) V (x,y)=r 2, ÓÐÐÓ Ò g(r, x) = 2 (3x 2 x 4 + x(x 2 2) ) r 2 x 2 r 2. ÆÝØ Ô Ø Ð ÝØ r > Ø Ò Ø¹ Ø ØÑ ÓÐ Ò Ø Ú Ò Ò ÐÐ x [ r, r]. È ÖÖ ÐÐÒ g(r, x) ÝÖ Ö r Ò ÖÚÓ ÐÐ º Æ Ò ØØ ÙÒ r = 2, Ò Ò g ÓÒ Ò Ò Ø Ú Ò Òº ÃÝй Ð ØÑÒ ÚÓ Ò ÐÝÝØØ Ø Ò ÒÝع Ø ÑÙØØ ÓÒ Ñ Ò Ø Ù Ø Ó¹ Ø Ò ÐÙÓØ Ø Ò ÒÝØ ÙÚ Òº r= g x -r r r=2 r=3
Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ 3 p 2-2 - 2 K A ++ p A -+ A -- - -2 A +- ÆÝØ ÓÙ Ó K = { (x, y) 2x 2 2xy + 2y 2 4, ÓÒ Ö ÙÒ ÓÒ V Ò Ø ÖÚÓ ÝÖ Ö ÙÒ Ò Ô Ø grav, f < ÓÒ Ò ¹ Ø Ú Ò Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø ÒÚ Ö ÒØØ Ò Ö ÙÒ Ò ÐÔ Ñ Ò ØÖ ØÓÖ Ô ÙÐÓ º Ë Ó Ö Ø Ù Ð Ø Ô Ø Ø x K, Ò Ò ÔÝ ÝÝ K ÐÐ t, Ð x K = φ t (x) K t. -3 Å Ø Ò ÒÝØ ØÝÝÔ ÐÐ Ò Ò ØÖ ØÓÖ ÝØØÝØÝÝ ÇÐ ÓÓÒ Ô Ø x K Ú Ô ÐÙ A ++. Ì Ø Ð Ø ÚÐÐ ØÖ ØÓÖ ÐÐ x ØØ y ÓÓÖ Ò Ø Ø Ú Ú Ø Ð ÙÐ Ø Ò Ó Ó Ò Ó ÐÐ ÝÐÚ ØÓÓÒ ÙÒÒ ØÙÐÐ Ò ÐÙ Ò A ++ K Ö ÙÒ ÐÐ º ÌÐÐ Ò ÚÓ ØÙÐÐ K Ò Ö ÙÒ ÐÐ ÐÐ ÐÐ ÒØØ Ó Ó ØØ ÒÔ Òº Ë ÑÓ Ò ÑÝ Ò ÚÓ Ø Ö¹ ÑØ ÝÖÒ y = x 3 x, ÐÐ ØÐÐ ÒØØ Ó Ó ØØ ÝÐ Ð A ++ Ò Ô Òº ÂÓÒÒ Ò ÓÒ ØÙÐØ Ú ÐÐ f(φ t (x )) c >, ÓÖ Ó Ø ÔÝ ÝØÒ ÖØ ÐÐ Ö Ø ÙØ ØÙÐ Ú Ø ÐØ ÔÓ Ô Òµº ÒÓ Ú ØÓ ØÓ ÓÒ ØØ Ø ÖÑØÒ y Ð Ò ÚÙØ Ò ÐÙ Ò A + K. Ë Ñ ÒÐ Ò Ò ÔØØ ÐÝ Ú Ñ Ø ÙÖ Ú ÝÖÒ y = x 3 x ÐÔ ÓÙ ÓÓÒ A K ÐØ A + K Ò ÙØØ Ø Ò A ++ K ÓÒº Æ Ò ÝØØÝØÝÝ Ó Ò Ò K ÙÐ Ú ØÖ ØÓÖ Ô Ø Ø Ô ÒÓÔ Ø ÓÖ Óµº ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ p = (, a ) ÐÐ Ô Ò K Ö ÙÒ Ò ÔÓ Ø Ú Ò y Ð Ò Ð Ù Ô Ø Ð a = 2. Ì ØÝÒ ÖÖÓ Ò A + A A + A ++ ÐÐ Ô Ò ÐÐ φ t (p ) Ó Ø y Ð Ò Ô Ø φ t (p ) = p = (, a ), Ñ a < a, ÐÐ p Ø Ð ØÒ Ø K Ò Ò Ø Ò Ö ÙÒ ÐÐ ÚÓ ØÙÐÐ º ÌÓ Ò ÖÖÓ Ò Ð Ò ÓÐÐ Ò Ô Ø p 2 = (, a 2 ) = φ t (p ). ÂÓ ÓÐ a 2 a, Ò Ò ÝÖ { φ t (p ) t [, t ] ÓÐ ÓÙØÙ¹ ÒÙØ Ð Ñ Ò ÝÖÒ { φ t (p ) t [, t ]. ÌÖ ØÓÖ Ø ÚØ ÚÓ Ð Ø ØÓ Ò ÐÐ ÑÙÙØÓ Ò Ð Ù Ô Ø Ø Ð Ø Ö Ø Ù µº Ë Ô a 2 < a. Æ Ò Ø Ò Ò Ô Ø ÓÒÓ {p k k = {(, a k ) k, Ñ a k+ < a k p k+ = φ t k (p k ). ÅÓÒÓØÓÒ ÐÐ Ö Ó Ø ØÙÐÐ ÓÒÓÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ö ÖÚÓ ÓØ Ò Ø Ø Ò a = lim k a k p = (, a ). Î Ø Ú Ø Ó f(p ),µ ÚÓ Ò ÔØ ÐÐ ØØ τ = lim k t k ÓÒ ÓÐ Ñ º φ Ò Ø ÙÚÙÙ Ø Ò ÒÝØ ÌÓ Ò ÒÓ Ò p ÓÒ Ô Ö Ó Ò Ò ØÖ ØÓÖ º p = lim k p k = lim k p k+ = lim k φ t k (p k ) = φ τ (p ). ÓÒ Ô Ö Ó Ò Ò Ô Ø Γ = { φ t (p ) t [, τ]
¼ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÇÐ ÑÑ ØÓ Ø Ò Ø ØØ Î Ò Ö ÈÓÐ Ò Ý ØÐ ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ô Ö Ó Ò Ò ØÖ ØÓ¹ Ö Γ ÓØ Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐØ Ð Ø ÚØ Ö Ø ÙØ Ð ØÝÚغ ÌÑ Ó ÐØ Ò Ð ØØ Ð ØÖÓÒ ÔÙØ Ò ÐÙÓØ ØØ ÚÙÙ Òº Ä Ø Ö Ø ÐÙ ÐÐ ÚÓ Ò Ú Ð ÒÝØØ ØØ ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð ÙØ Ò ÙÚ Ø ÚÓ ÔØ Ðе ØØ ÓÒ Ý Ø Ñ Ò ÒÓ Ô Ö Ó Ò Ò Ö Ø Ù ØØ Ö Ø ÙØ Ø Ô ÒÓÔ Ø ØØ ÐÙ ÙÙÒÓØØ Ñ ØØ Ð ØÝÚØ Γ º ÅÙØØ ÓÐ Ò Ø Ò Ó Ð ÐÐ ÓÑÑ º Ã Ñ Ò Ó ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ø Ô ÒÓÔ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ö Ø Ù Ò Ð Ð Ý¹ Ý ÑÓÒ ÑÙØ ÑÔ ÓÙ Ó Ó Ö Ø ÙØ ÔÝ Ý Úغ ÌÑ Ó ØÙÙ Ø ØØ Ó ØÖ ØÓÖ Ø ÚØ Ð ØÓ Ò Ò ÚØ Ô Ø Ó ÑÓÒ ÑÙØ Ø ÖØ Ð ÑÒ ØÓ ¹ Òº ÃÙÒ Ý Ø Ñ Ò Ñ Ò Ó ÓÒ Ú ÒØÒ ÓÐÑ ÚÓ ÒØÝ Ú Ö Ò Ñ Ð Ò ÒØÓ Ø ÝØØÝØÝÑ Øº ÃÙÙÐÙ Ñ Ö Ø Ø ÓÒ ÙÖ Ú Ñ Ö º½¾ ÄÓÖ ÒÞ Ò ØØÖ ØÓÖ µº Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ý Ø Ñ x = (y x) y = x(28 z) y. z = xy 8z 3 ÌÐÐ ÓÒ Ø Ô ÒÓÔ Ø Ø ÓÖ Ó p, q = (±6 2, ±6 2, 27), Ó Ð Ò Ö Ó Ù ÐÐ Ý ¹ Ø Ñ ÐÐ ÓÒ ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÖ Ó : λ = 22.83 λ 2 = 2.667 λ 3 =.83 p : λ p = 3.855 λ p 2,3 =.94 ± i.9 q : λ q = 3.855 λ q 2,3 =.94 ± i.9. ÇÖ Ó Ð Ò Ö Ó ÙÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ ÓÒ Ñ Ò Ó Ò Ò Ø Ð Ø ¹ Ó Ý Ñ Ò Ó Ò Ò Ô Ø Ð ÙÓÖ º p q Ø Ô ÒÚ ¹ ØÓ Ò Ý Ñ Ò Ó Ø Ø Ð Ø ÙÓ¹ Ö Ø Ñ Ò Ó Ø Ô Ø ¹ Ð Ø Ø ÓØ Ú Ø Ø Ò ÓÑÔÐ ÓÑ ¹ Ò ÖÚÓ º Ê Ø ÙØ ÔÝ Ö ÚØ p Ø q Ø ÔÓ Ô Òº Ç Ó ØØ ÙØÙÙ ØØ Ò Ø ÚØ Ò Ò ÙÒÒ ÔÙØÓ Ú Ø Ð ÐÐ ØÓ Ò Ô ¹ Ø Ð Ø Ó º Ã Ù Ð Ø ÚØ Ö Ø¹ ÙØ Ð ØÝÚØ Ò Ø Ô Ø Ø ÚØ ØÒÒ ÓÒÒ Ò ÙÐ Ñ Òº ÌÑ Ó Ò ÓÒ Ò º ØØÖ ØÓÖ º ÆÙ¹ Ñ Ö ÐÐ ÑÙÐÓ ÒÒ ÐÐ ÒÝØØ ØÐØ x p z q y