Matematiikka B1 - TUDI

Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Matematiikka B1 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1

Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan tangenttitaso ja normaali Korkeamman kertaluvun osittaisderivaatat Ketjusääntö Lineaarinen approksimaatio Gradientti ja suunnattu derivaatta Taylor-polynomi ja approksimointi Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 2

Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Kurssin sisältö 2/2 Osittaisderivaatan sovellukset Ääriarvot Lagrangen menetelmä Pienimmän neliösumman menetelmä Newtonin menetelmä Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 3

Sisältö Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset 1 Osittaisderivointi 2 Osittaisderivaatan sovellukset Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 4

Sisältö Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset 1 Osittaisderivointi 2 Osittaisderivaatan sovellukset Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 5

Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Usean muuttujan funktioista 1/2 Lieriön tilavuus on V on V = πr 2 h, r > 0, h > 0. V on KAHDEN toisistaan riippumattoman muuttujan r ja h funktio. V(r,h) = πr 2 h, D(V) = {(r,h) R 2 r > 0,h > 0} Määritelmä n:n muuttujan reaaliarvoinen funktio f liittää jokaiseen pisteeseen (x 1,...,x n ) D(f) R n täsmälleen yhden arvon f(x 1,...,x n ) = y Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 6

Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Usean muuttujan funktioista 2/2 Kahden muuttujan funktion f kuvaaja z = f(x,y) on R 3 :n pistejoukko (x,y,f(x,y)), missä (x,y) D(f) R 2. Kuvaaja on R 3 :n pinta Esimerkki Määritä se funktio f, jonka kuvaaja on pisteiden (2,0,0), (0,4,0), (0, 0, 3) rajoittama kolmionpinta Esimerkki Funktion f(x,y) = 9 x 2 y 2 Määrittelyjoukko ja graafi Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 7

Määritä se funktio f, jonka kuvaaja on pisteiden (2,0,0), (0,4,0) ja (0, 0, 3) rajoittama kolmiopinta. n = u v = u = 2i +3k, v = 2i +4j i j k 2 0 3 2 4 0 = 12i 6j 8k = 2(6i +3j +4k) 6x +3y +4z = C 6 2+3 0+4 0 = C C = 12 6x +3y +4z = 12 z = 3 2 x 3 4 y +3 f(x,y) = 3 2 x 3 4 y +3, D(f) = { (x,y) 0 x 2, 0 y 2x +4 }.

Mikä on funktion f(x,y) = 9 x 2 y 2 määrittelyjoukko ja graafi? Määrittelyjoukko D(f): Ja graafi: 9 x 2 y 2 0 x 2 +y 2 3 2 (kiekko). z = 9 x 2 y 2 z 2 = 9 x 2 y 2 x 2 +y 2 +z 2 = 3 2, z 0 (puolipallo).

Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Tasa-arvokäyrät Tasa-arvokäyrät ovat funktion f(x,y) kuvaajan ja tason z = c xy-tasoon piirrettyjä leikkauskäyriä f(x,y) = c, missä c on vakio kullakin käyrällä (korkeuskäyriä) Esimerkki Funktion f(x,y) = 9 x 2 y 2 tasa-arvokäyrät Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 10

Funktion f(x,y) = 9 x 2 y 2 tasa-arvokäyrät 9 x 2 y 2 = C x 2 +y 2 = 9 C 2

Raja-arvo Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Määritelmä lim f(x,y) = L jokaiselle ǫ > 0 on olemassa δ(ǫ) > 0 (x,y) (a,b) siten, että f(x,y) L < ǫ aina kun 0 < (x a) 2 +(y b) 2 < δ L ei saa riippua lähestymisen valinnasta Esimerkki Määritä lim (x,y) (0,0) xy x 2 +y 2 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 12

Määritä lim (x,y) (0,0) xy x 2 +y 2. 1 o Lähestytään origoa pitkin x-akselia lim (x,0) (0,0) x 0 x 2 +0 2 = 0 2 Lähestytään origoa pitkin suoraa y = x lim x 0 1 ja 2 raja-arvoa ei ole. x x x 2 +x 2 = 1 2

Jatkuvuus Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Määritelmä Funktio f(x,y) on jatkuva pisteessä (a,b) f(x,y) = f(a,b) Esimerkki lim (x,y) (a,b) Miten funktio f(x,y) = x4 y 4 x y tulisi määritellä suoralla y = x, jotta siitä tulisi jatkuva koko R 3 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 14

Miten funktio f(x,y) = x4 y 4 tulisi määritellä suoralla y = x, x y jotta siitä tulisi jatkuva koko R 2 :ssa? f(x,y) = x4 y 4 x y = (x y)(x +y)(x2 +y 2 ) x y (x y) (x +x)(x 2 +x 2 ) = 4x 3 (x = y) Määritellään f(x,y) = x 4 y 4 x y 4x 3, kun x y, kun x = y. Silloin lim f(x,y) = f(x,x). x y

Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Osittaisderivaatta Määritelmä Osittaisderivaatta f 1 (a,b) ilmoittaa funktion f(x,y) muutosnopeuden tasossa y = b pisteessä (a,b,f(a,b)) ja f 2 (a,b) vastaavasti x = a pisteessä (a,b,f(a,b)) Funktion f(x, y, z) 1. kertaluvun osittaisderivaatta muuttujan y suhteen merkitään mm. f y, f 2, f y, D 2 f, D y f Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 16

Laske funktion f(x,y,z) = xy 2 +3x 2 z +xyz kaikki osittaisderivaatat f x = 1 y 2 +3 2xz +1 yz = y 2 +6xz +yz f y = x 2y +0+x 1 z = 2xy +xz f z = 0+3x 2 1+xy 1 = 3x 2 +xy Laske f 1 (0,π), kun f(x,y) = e xy cos(x +y). f 1 (x,y) = ye xy cos(x +y) e xy sin(x +y) = e xy( y cos(x +y) sin(x +y) ) f 1 (0,π) = e 0 π (πcosπ sinπ) = π.

f x, f y ja f z, kun f(x,y,z) = ln(1+exyz ) f x = 1 1+e xyz x (1+exyz ) = yzexyz 1+e xyz f y = xzexyz 1+e xyz f z = xyexyz 1+e xyz

Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Pinnan tangenttitaso ja normaali Funktion f(x,y) kuvaajan z = f(x,y) normaalivektori pisteessä (a,b,f(a,b)) on n = f 1 (a,b)ī +f 2 (a,b) j k eli Normaalivektori n = (f 1 (a,b),f 2 (a,b), 1) Tangenttitason yhtälö z = f(a,b)+f 1 (a,b)(x a)+f 2 (a,b)(y b) Normaalin yhtälö x a f 1 (a,b) = y b f 2 (a,b) = z f(a,b) 1 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 19

Mikä on kuvaajan z = sin(xy) normaalivektorin, tangenttitason ja normaalin yhtälöt pisteessä, missä x = π ja y = 1? 3 ( π ) ( z 3, 1 = sin π ) 3 = 3 2 Normaalivektori: z x = y cos(xy), z y = x cosxy ( π ) ( z 1 3, 1 = cos π ) = 1 3 2 ( π ) z 2 3,1 = π ( 3 cos π ) = π 3 3 1 2 = π 6 n = 1 2 i + π 6 j k = ( 1 2, π 6, 1 ). Tangenttitaso: 3 z = 2 1 ( x π ) + π 2 3 6 (y +1) 3x πy +6z = 2π 3 3.

Normaali: x π 3 1 2 = y +1 π 6 = z + 3 2 1 6x 2π 3 = 6y +6 π = 6z +3 3. 6 Mikä on pinnan z = x 2 4xy 2y 2 +12x 12y 1 vaakasuora tangenttitaso? Vaakasuoran tason yhtälö on muotoa z = k, joten pitää z x = z = 0 tangenttitason sivuamispisteissä. y z = 2x 4y +12 = 0 x z y = 4x 4y 12 = 0 { x = 4 y = 1 z( 4,1) = ( 4) 2 4( 4) 1 2 1 2 +12( 4) 12 1 1 = 31 Eli tangenttitaso on z = 31 ja sivuamispiste on ( 4,1, 31).

Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Korkeamman kertaluvun osittaisderivaatat Jos funktion f(x,y) 1. kertaluvun osittaisderivaattoja f 1 (x,y) ja f 2 (x,y) osittaisderivoidaan edelleen x:n ja y:n suhteen, saadaan neljä 2. kertaluvun osittaisderivaattaa: f 11 (x,y), f 22 (x,y), f 12 (x,y), f 21 (x,y) Jos z = f(x,y), niin 2 z x 2 = z x x = f 11(x,y) 2 z y 2 = z y y = f 22(x,y) 2 z x y = ( ) z = f 21 (x,y) x y 2 z y x = ( ) z = f 12 (x,y) y x Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 22

Määritä funktion f(x,y) = x 3 y 4 2. kertaluvun osittaisderivaatat. f x = 3x 2 y 4 f y = 4x 3 y 3 f xx = 6xy 4 f yy = 12x 3 y 2 f xy = 12x 2 y 3 f yx = 12x 2 y 3 HUOM f xy = f yx jatkuville funktioille

Ketjusääntö Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Ketjusääntö yhden muuttujan yhdistetylle funktiolle on: d dx f(g(x)) = f (g(x))g (x) Usean muuttujan yhdistetty funktiota koskeva derivoimissääntö: Jos z = f(x,y) ja f(x,y):llä on jatkuvat osittaiderivaatat ja jos x ja y ovat derivoituvia t:n funktioita, niin dz dt = z dx x dt + z dy y dt Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 24

Olkoon z = x 2 lny, missä x = t 3 2 ja y = t 2. Laske dz dt, kun t = 2, Suoralla sijoituksella: z = (t 3 2 ) 2 lnt 2 = t 3 2lnt dz dt = 3t2 2 t, dz dt (2) = 3 22 2 2 = 11. Ketjusäännöllä: dz dt = z dx x dt + z dy y dt = 2x 3 2 t 1 1 2 y 2t = 3t2 2 t dz (2) = 11. dt

Laske w s, kun w = 4x +y 2 +z 3, x = e rs2, y = ln r +s t w s = w x x s +w y y s +w z z s ja z = rst 2 = 4 e rs2 2rs +2y 1 r+s t 1 t +3z2 rt 2 = 8rse rs2 +2ln r +s t 1 r +s +3(rst2 ) 2 rt 2 = 8rse rs2 + 2 +s lnr +3r 3 s 2 t 6 r +s t

Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Lineaarinen approksimaatio Kahden muuttujan funktion likiarvon määrittäminen tangenttitason avulla: Pisteen (a, b) ympäristössä jatkuvan funktion f kuvaajan pisteeseen (a, b, f(a, b)) piirretyn tangenttitason yhtälö on z(x,y) = f(a,b)+f 1 (a,b)(x a)+f 2 (a,b)(y b) jos (x,y) on lähellä (a,b):tä niin f(x,y) z(x,y) eli f(x,y) f(a,b)+f 1 (a,b)(x a)+f 2 (a,b)(y b) Esimerkki Arvioi likimääräisesti funktion f(x,y) = x 3 +e 3y arvoa pisteessä (1.1, 2.01) pisteeseen (1, 2) kautta kulkevan tangenttitason avulla Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 27

Arvioi likimääräisesti funktion f(x,y) = x 3 +e 3y arvoa pisteessä (1.1, 2.01) pisteeseen (1, 2) kautta kulkevan tangenttitason avulla val. (a,b) = (1,2) (x,y) = (1.1,2.01) f(a,b) = f(1,2) = 1 3 +e 3 2 = 1+e 6 f x = 3x 2 f x (1,2) = 3 f y = e 3y 3 f y (1,2) = 3e 6 f(1.1,2.01) f(1,2)+f x (1,2)(1.1 1)+f y (1,2)(2.01 2) = 1+e 6 +3(0.1)+3e 6 (0.01) 416.8 (oikea arvo 417.0)

Differentiaali Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Olkoon f n:n muuttujan funktio f(x 1,x 2,...,x n ), jolla on kaikki osittaisderivaatat f x 1, f x 2,..., f x n. Tällöin f:n kokonaisdifferentiaali df on df = f x 1 dx 1 + f x 2 dx 2 +...+ f x n dx n Jos muuttujien x 1,x 2,...,x n mittaus- tai arviointivirhe on x 1, x 2,..., x n :n suuruinen, niin kokonaisvirhe [ ] [ ] [ ] f f f [ f] = x 1 + x 2 +...+ x n x 1 x 2 x n Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 29

Olkoon f(x,y,z) = xyz +xy +2y 2 z 3. Jos x:n mittausvirhe on 2%, y:n 3% ja z:n 1%, niin mikä on kokonaisvirhe, kun x = 1, y = 2, z = 3? x = 1 0.02 = 0.02, y = 2 0.03 = 0.06, z = 3 0.01 = 0.03 f x = yz +y, f y = xz +x +4yz 3, f z = xy +6y 2 z 2 f x (1,2,3) = 2 3+2 = 8, f y (1,2,3) = 1 3+1+4 2 3 3 = 4+8 27 = 220 f z (1,2,3) = 1 2+6 2 2 3 2 = 2+6 4 9 = 218 f = 8 0.02+220 0.06+218 0.03 = 19.9 absoluuttinen virhe Toisaalta f(1,2,3) = 224 f f(1,2,3) = 19.9 = 8.88% Suhteellinen virhe 224

Gradientti Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Määritelmä Funktion f(x,y) osittaisderivaattojen f 1 (x,y) ja f 2 (x,y) muodostamaa vektoria sanotaan GRADIENTIKSI ja merkitään f(x,y) = f 1 (x,y)ī +f 2 (x,y) j Gradientti f(a, b) on normaalivektori pisteen (a, b) kautta kulkevalle funktion f tasa-arvokäyrälle. Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 31

Piirrä funktion f(x,y) = x 2 +y 2 korkeuskäyrä ja gradientti pisteessä (1, 2) Tasa-arvokäyrä: x 2 +y 2 = 5. f(x,y) = x 2 +y 2 f(x,y) = 2xi +2yj f(1,2) = 2i +4j z = 1 2 +2 2 = 5

Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Gradientin ominaisuuksia pisteessä (a, b) 1 Pisteessä (a,b) funktio f kasvaa nopeiten f(a, b):n suuntaan ja suurin kasvunopeus on f(a,b) 2 Pisteessä (a,b) funktio f vähenee nopeiten f(a, b):n suuntaan ja suurin vähenemisnopeus on f(a, b) 3 Funktion f muutosnopeus pisteessä (a, b) on nolla pisteen (a, b) kautta kulkevan f:n tasa-arvokäyrän tangenttisuoran suuntaan Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 33

Ilmoittakoon funktio h(x,y) = x 2 y maaston korkeuden merenpinnasta (xy-taso). Jos ollaan paikassa ( 1, 1, 1), niin mihin suuntaan maasto on jyrkin ylöspäin? h(x,y) = x 2 y Eli suuntaan 2i +j. h(x,y) = 2xyi +x 2 j h( 1,1) = 2 ( 1)1i +( 1) 2 j = 2i +j Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta (1, 3, 3)? Eli suuntaan 6i j. h(1,3) = 6i j

Mihin suuntaan pisteessä (2, 1, 4) on lähdettävä, jotta pysytään samalla korkeudella? h(2,1) = 4i +4j v h(2,1) v h(2,1) = 0 (xi +yj)(4i +4j) = 0 4x +4y = 0 y = x Olkoon x = 1 y = 1. Eli suuntaan i j tai i +j.

Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Suunnattu derivaatta Suunnattu derivaatta D v f(a,b) ilmoittaa, mikä on funktion v f(x, y) muutosnopeus pisteessä (a, b) annetun xy-tason vektorin v suuntaan Määritelmä Esimerkki Dˆv f(a,b) = ˆv f(a,b) Laske funktion f(x,y) = y 4 +2xy 3 +x 2 y 2 muutosnopeus pisteessä (0,1) vektorin v = ī + j suuntaan Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 36

Laske funktion f(x,y) = y 4 +2xy 3 +x 2 y 2 muutosnopeus pisteessä (0,1) vektorin v = i +j suuntaan. v = 1+1 = 2 ˆv = v v = 1 2 (i +j) f(x,y) = (2y 3 +2xy 2 )i +(4y 3 +6xy 2 +2x 2 y)j f(0,1) = 2i +4j D v 0f(0,1) = 1 2 (i +j) (2i +4j) = 1 2 (2+4) = 6 2 = 3 2.

Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Taylor-polynomi ja approksimointi Mitä korkeampi on pisteen (a, b) ympäristössä jatkuvan funktion f(x, y) taylor-polynomin P n (x,y) = n j=0 ( 1 h j! x +k ) j f(a,b), y { h = x a k = y b asteluku n, sitä tarkemmin polynomi approksimoi funktiota f(x, y) pisteen (a,b) läheisyydessä f(x,y) P n (x,y) Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 38

Määritä funktion f(x,y) = e x 2y 3. asteen Taylor-polynomi pisteessä (2, 1) ja arvioi polynomilla lukua f(2.1, 0.9). (a,b) = (2,1), h = x 2 ja k = y 1. P 3 (x,y) = f(2,1)+f 1 (2,1)h +f 2 (2,1)k + 1 ( f11 (2,1)h 2 +2f 12 (2,1)hk +f 22 (2,1)k 2) 2 + 1 ( f111 (2,1)h 3 +3f 112 (2,1)h 2 k +3f 122 (2,1)hk 2 +f 222 (2,1)k 3) 6 f(x,y) = e x 2y,f(2,1) = 1 f 2 (x,y) = 2e x 2y,f 2 (2,1) = 2 f 1 (x,y) = e x 2y,f 1 (2,1) = 1 f 22 = 4e x 2y,f22(2,1) = 4 f 11 (x,y) = e x 2y,f 11 (2,1) = 1 f 222 = 8e x 2y,f 222 (2,1) = 8 f 111 = e x 2y,f 111 (2,1) = 1 f 112 = 2e x 2y,f 112 (2,1) = 2 f 12 (x,y) = 2e x 2y,f 12 (2,1) = 2 f 122 = 4e x 2y,f 122 (2,1) = 4

P 3 (x,y) = 1+(x 2) 2(y 1)+ 1 [ (x 2) 2 4(x 2)(y 1)+4(y 1) 2 + 1 [ (x 2) 3 6(x 2) 2 (y 1)+12(x 2)(y 1) 2 8(y 1) 3] 6 f(2.1,0.9) 1.3495 (tarkka: 1.3498...)

Sisältö Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset 1 Osittaisderivointi 2 Osittaisderivaatan sovellukset Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 41

Ääriarvot Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Jatkuvasti derivoituvalla funktiolla f(x, y) voi olla lokaali tai absoluuttinen ääriarvo pisteessä (a,b) D(f) vain jos (a,b) on Kriittinen piste eli f(a,b) = 0 D(f):n reunapiste f(a, b) on funktion lokaali maksimiarvo (minimiarvo), jos pisteen (a,b) jossakin ympäristössä f(x,y) f(a,b) (f(x,y) f(a,b)) ja f(a, b) on funktion f absoluuttinen maksimiarvo (minimiarvo), jos jokaiselle (x,y) D(f) pätee f(x,y) f(a,b) (f(x,y) f(a,b)) Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 42

Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Ääriarvot sisäpisteissä ja niiden luokittelu 1 { Etsitään kriittiset pisteet yhtälöryhmästä fx = 0 f y = 0 f = 0 2 Lasketaan kussakin kriittisessäpisteessä (a,b) : D = f xx f yy (f xy ) 2 (a) D > 0 ja f xx < 0, niin (a,b) on lokaali maksimipiste (b) D > 0 ja f xx > 0, niin (a,b) on lokaali minimipiste (c) D < 0, niin (a,b) on satulapiste (d) D = 0, niin on käytettävä muita keinoja (ei informaatiota) Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 43

Etsi funktion f(x,y) = x 3 +x 2 y +y 2 4y +3 paikalliset ääriarvopisteet. { fx (x,y) = 3x 2 +2xy = 0 x(3x +2y) = 0 f y = x 2 +2y 4 = 0 Ratkaistaan nollakohdat ja sijoitetaan. x = 0 : 2y 4 = 0, y = 2 y = 3x 2 : x2 3x 4 = 0 x = 1 tai x = 4 Kriittiset pisteet:(0, 2), ( 1, 3 ), (4, 6). 2

Kullekin kriittiselle pisteelle tehdään nyt diskriminanttianalyysi: ja havaitaan: D(x,y) = f xx f yy (f xy ) 2 D(0,2) = (6 0+2 2) 2 (2 0) 2 = 8 > 0 Koska f xx (0,2) = 4 > 0, kyseessä on lokaali minimipiste. ja D( 1, 3 2 ) = ( 6+3) 2 ( 2)2 = 10 < 0 D(4, 6) = (6 4 2 6) 2 (2 4) 2 = 40 < 0 ovat nämä molemmat pisteet satulapisteitä. Näin ollen piste (0,2) on funktion f(x,y) = x 3 +x 2 y +y 2 4y +3 ainoa ääriarvopiste.

Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Määrittelyjoukko on suljettu ja rajoitettu R 2 :n osajoukko Tutkitaan erikseen funktion sisäpisteet ja määrittelyalueen reuna Esimerkki Etsi funktion f(x,y) = 2xy pienin ja suurin arvo joukossa A = {(x,y) x 2 +y 2 4} Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 46

Etsi funktion f(x,y) = 2xy pienin ja suurin arvo joukossa A = { (x,y) x 2 +y 2 4 }. Sisäpisteissä: { fx = 2y = 0 KRP = (0,0) f y = 2x = 0 Reunalla: f(0,0) = 2 0 0 = 0. f xx = 0, f yy = 0, f xy = 2 D = 0 0 2 2 = 4 < 0 (0,0) satulapiste Ei ääriarvoja x 2 +y 2 = 4 y = ± 4 x 2, x [ 2,2], sij. funktioon f h(x) = f(x, 4 x 2 ) = 2x 4 x 2 h (x) = 2 4 x 2 + 2x( 2x) 2 4 x = 0 2 4 x 2 x 2 = 0 x = ± 2

h( 2) = 0, h ( 2 ) = 2 ( 2 ) 2 = 4, h ( 2 ) = 4, h(2) = 0 g(x) = f(x, 4 x 2 ) = 2x 4 x 2 g (x) = 2 4 x 2 + 2x2 = 0 4 x 2 4+x 2 +x 2 = 0 x = ± 2 g( 2) = 0, g ( 2 ) = 2 ( 2 ) 2 = 4, g( 2) = 4, g(2) = 0 Maksimiarvo: f ( 2, 2 ) = f ( 2, 2 ) = 4 Minimiarvo: f ( 2, 2 ) = f ( 2, 2 ) = 4

Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Sidotut ääriarvot Kahden muuttujan funktioiden sidotuilla ääriarvoilla tarkoitetaan sellaisia ääriarvoja, jotka funktio saa määrittelyjoukkoonsa sisältyvällä käyrällä Määritelmä Lagrangen menetelmä etsii ääriarvoja funktiolle f(x, y) rajoitteella g(x,y) = 0 seuraavasti Mikäli rajoitteita on useampia: L(x,y,λ) = f(x,y)+λg(x,y) L(x,y,λ,µ) = f(x,y)+λg(x,y)+µh(x,y) Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 49

Määritä origon ja käyrän x 2 y = 16 lyhin etäisyys Lagrangen kertoimien menetelmällä. Minimoidaan f(x,y) = x 2 +y 2 ehdolla g(x,y) = x 2 y 16 = 0 L(x,y,λ) = f(x,y)+λg(x,y) = x 2 +y 2 +λ(x 2 y 16) L = 2x +2λxy = 0 x L y = 2y +λx2 = 0 L λ = x2 y 16 = 0 välttämättä x 0 ja y 0. 2y +λx 2 = 0 2y 2 = λx 2 y 2y 2 = 16λ 2x +2λxy = 0 1+λy = 0 λ = 1 y 2y 2 = 16 y 2y 3 = 16 y = 2

x 2 2 = 16 x = ±2 2 Pisteet (±2 2,2) ovat kuvion perusteella todella ne käyrän pisteet, jotka ovat lähinpänä origoa. Minimietäisyys = f(±2 2,2) = 8+4 = 2 3.

Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Pienimmän neliösumman menetelmä Määritelmä Määrätään funktion f(x) parametrit siten, että summa S = n (y i f(x i )) 2 i=1 on pienin Esimerkki Etsi vakioiden a ja b arvot siten, että suora y = ax +b parhaiten liittyy data-pisteisiin (0, 2.10),(1, 1.92),(2, 1.84),(3, 1.71) ja (4, 1.64) Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 52

Etsi vakioiden a ja b arvot siten, että suora y = ax +b parhaiten liittyy data-pisteisiin (0, 2.1), (1, 1.92), (2, 1.84), (3, 1.71) ja (4,1.64). S = 5 (y i ax i b) 2 i=1 S on pienin kriittisessä pisteessä. 0 = S 5 a = 2 x i (y i ax i b) i=1 0 = S 5 b = 2 y i ax i b i=1 0 = 2 [ 0 (2.1 a 0 b)+1 (1.92 a 1 b) +2(1.84 a 2 b)+3(1.71 a 3 b)+4(1.64 a 4 b) ] 0 = 2 [ 2.1 a 0 b +1.92 a b +1.84 2a b +1.71 3a b +1.64 4a b ]

{ 60a+20b = 34.58 20a+10b = 18.42 { a = 0.113 b = 2.068