Jouni Sampo. 5. helmikuuta 2014

Transkriptio

1 B1 Jouni Sampo 5. helmikuuta 2014

2 Sisältö 1 Usean muuttujan funktioista Raja arvot ja jatkuvuus Osittaisderivaatat Normaalivektori, normaalisuora ja tangenttitaso Korkeamman kertaluvun derivaatat Ketjusääntö Differentioituvien funktioiden arvojen muutoksen tutkiminen ja approksimointi Lineaariset approksimaatiot Differentioituvuus ja differentiaalit Gradientti Suunnattu derivaatta Taylorin polynomi Implisiittifunktiot Funktion ääriarvot Kriittisten pisteiden luokittelu Funktioiden ääriarvojen etsintä rajoitteiden läsnä ollessa Lagrangen kertoimet Lineaarinen optimointi Pienimmän neliösumman menetelmä Kaksiulotteinen integraali 26 5 Parametrisia tehtäviä Derivoinnin ja integroinnin järjestyksen vaitaminen Verhokäyrät Implisiittisesti määriteltyjen funktioiden arviointi

3 1 Usean muuttujan funktioista Usean reaalimuuttujan funktio f on kuvaus, jossa jokaista funktion määrittelyjoukkoon D(f) kuuluvaa pistettä (x 1, x 2, x 3,..., x n ) R n vastaa yksikäsitteinen reaaliluku f(x 1, x 2,..., x n ). Määrittelyalueeksi (domain)d(f) on usein valittavissa jopa koko R n, mutta käytännön tilanteissa sitä voi olla järkevää rajoittaa. Kuten yhdenkin muuttujan funktioilla, usean muuttujan funktion f arvojoukko (range) R(f) koostuu kaikista funktion saamista arvoista, eli R(f) = {f(x 1, x 2,..., x n ) (x 1, x 2,..., x n ) D(f)}. Käytännössä arvojoukko voi olla erittäin haastavaa määrittää. Esimerkki 1.1. Painoindeksi w lasketaan kaavalla w = y/x 2 missä y on paino (kilogrammoina) ja x on pituus (metreinä). Painoindeksia voidaan siis ajatella kahden muuttujan funktiona w = f(x, y). a) Määritä R(f) jos D(f) = {(x, y) R x 2, 40 y 160}. b) Edellinen määrittelyjoukko ei mahdollista kaikille pituuksille samoja painoindeksejä. Mikä olisi määrittelyjoukon oltava jotta kaikille pituuksille 1.5 x 2 olisi mahdollista saada painoindeksiksi mikä tahansa luku väliltä [15, 40]? Kun muuttujia on korkeintaan kaksi, on funktioita vielä suhteellisen yksinkertaista kuvata graafisesti. Tällöin funktion f(x, y) kuvaaja, on joukko pisteitä R 3 :ssa, joiden koordinaatit ovat (x, y, f(x, y)). Kahden muuttujan funktio voidaan esittää graafisesti myös tasokäyrinä f(x, y) = C xy tasossa (topografinen kartta). Tasokäyrä on siis kuvaajan z = f(x, y) ja tason z = C leikkauskäyrän projektio, xy tasoon. Koska funktio saa tasokäyrän pisteissä aina vain samoja arvoja, kutsutaan tätä käyrää myös nimellä tasa-arvokäyrä. Esimerkki 1.2. Hahmottele funktion f(x 1, x 2 ) = x x 2 2 kuvaaja piirtämällä ensin muutamia tasokäyriä. Esimerkki 1.3. Olkoon f(x, y) = cos(x 2 y). Hahmottele tasokäyrät f(x, y) = 1 ja f(x, y) = 1. Esitä myös määrittely- ja arvojoukko f:lle ja yritä hahmotella f:n kuvaaja. 1.1 Raja arvot ja jatkuvuus Esitämme tässä raja-arvon määritelmän kahden muuttujan funktiolle: Raja arvo lim (x,y) (a,b) f(x, y) = L jos ja vain jos jokaista positiivista kokonaislukua ɛ vastaa positiivinen luku δ = δ(ɛ) siten, että f(x, y) L < ɛ, kun 0 < (x a) 2 + (y b) 2 < δ. (1) Yllä olevasta raja-arvosta on hyvä huomata kuinka samankaltainen se on A1 kurssilla esitettyyn yhden muuttujan raja-arvoon. Raja-arvon määritelmä yleistyisi n:n muuttujan funktioille 2

4 aivan samalla tavalla. Edellisestä määritelmästä seuraa että jos raja arvo on olemassa, se on yksikäsitteinen. Siis jotta raja arvo olisi olemassa, on f(x, y):n lähestyttävä lukua L, kun (x, y) lähestyy (a, b):tä mitä tahansa reittiä pitkin xy tasossa. Tämä tekee usein suhteellisen helpoksi tutkia sellainen tapaus jossa raja-arvoa ei ole olemassa. Esimerkki 1.4. Onko funktiolla f(x, y) = Ratkaisu: Reittiä y = 0 pitkin raja-arvoksi tulee lim (x,y) (0,0) Toisaalta reittiä y = x pitkin lim (x,y) (0,0) 2xy x 2 + y 2 = 2xy x 2 + y 2 = 2xy x 2 +y 2 raja arvoa, kun (x, y) (0, 0) lim (x,y) (0,0) 0 x 2 = lim 2x 2 (x,y) (0,0) 2x = 2 lim 0 = 0. (x,y) (0,0) lim 1 = 1. (x,y) (0,0) Koska eri reittejä pitkin saadut arvot eroavat toisistaan, ei funktiolla ole pisteessä (0, 0) rajaarvoa. Huom! Kun yhden muuttujan funktion tapauksessa raja-arvon olemassa oloa tutkittiin, voitiin tutkia erikseen raja-arvoa pistettä vasemmalta- ja oikealtapuolelta lähestyttäessä. Jos nämä raja-arvot täsmäsivät, oli raja-arvo olemassa. Koska useamman muuttujan funktiolla on mahdollisia lähestymissuuntia äärettömän monta eikä kaikkia voida millään käydä lävitse, rajaarvon olemassa olon todistamiseksi ainut matemaattisesti "vedenpitävä"menetelmä on suora raja-arvon määritelmän soveltaminen. Useamman muuttujan funktioiden raja arvot noudattavat samoja sääntöjä kuin yhden muuttujan funktioiden raja arvot, esim. jos lim (x,y) (a,b) f(x, y) = L ja lim (x,y) (a,b) g(x, y) = M lim (f(x, y) ± g(x, y)) = L ± M (x,y) (a,b) lim f(x, y)g(x, y) = LM (x,y) (a,b) f(x, y) lim (x,y) (a,b) g(x, y) = L M (2) Lisäksi jos F (t) on jatkuva, kun t = L, lim F (f(x, y)) = F (L). (3) (x,y) (a,b) Funktio f(x, y) on jatkuva pisteessä (a, b) jos ja vain jos lim f(x, y) = f(a, b). (4) (x,y) (a,b) 3

5 Esimerkki 1.5. Olkoon g(x, y) = e 1/(x2 +y 2) /(x 2 + y 2 ) kun (x, y) (0, 0). Kuinka g(0, 0) täytyisi määritellä jostta g olisi jatkuva koko R 2 :ssa? Ratkaisu: Merkitsemällä x 2 + y 2 = t funktio g(x, y) = e t 1 /t = F (t). Selvästi t on jatkuva funktio ja kun (x, y) (0, 0) niin t 0 +. Täten L Hospitalin säännön avulla saadaan lim (x,y) (0,0) g(x, y) = lim F (t) = lim t 0 + t 0 + t 1 e t 1 = lim t 0 + t 2 t 2 e t 1 1 = lim = 0. t 0 + e t 1 Täytyisi siis määritellä g(0, 0) = Osittaisderivaatat Kuten yhden muuttujan funktioiden tapauksessakin, useamman muuttujan funktioiden kasvua kuvataan derivaattojen avulla. Nyt kasvunopeus vain voi olla erilainen, riippuen siitä mihin suuntaan kasvua tarkastellaan. Mietitään ensin kahden muuttujan funktion kasvuominaisuuksia kun kuljetaan x tai y akselin suuntaan. Funktion f(x, y) ensimmäiset osittaisderivaatat muuttujien x ja y suhteen ovat funktiot f 1 (x, y) ja f 2 (x, y), jotka määritellään seuraavasti: f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) = lim h 0 h (5) f(x, y + k) f(x, y) f 2 (x, y) = lim, k 0 k (6) mikäli kyseiset raja arvot ovat olemassa. Huom! Kun kaavassa (5) määriteltiin lauseketta f 1 (x, y), laskettiin itseasiassa normaali derivaatta g funktiolle g(x) = f 1 (x, y), eli y muuttuja pidettiin vakiona. Samoin kun kaavassa (6) määriteltiin lauseketta f 2 (x, y), laskettiin itseasiassa normaali derivaatta h funktiolle h(y) = f 2 (x, y), eli x muuttuja pidettiin vakiona. Osittaisderivaattoja laskettaessa pätevätkin siis täysin samat laskusäännöt kuin yhden muuttujan funktioiden derivaattoja laskiessa! Esimerkki 1.6. Derivoi funktio g(x) = sin(ax) + 5ax 2. Laske osittaisderivaatat f 1 (x, y) ja f 2 (x, y) funktiolle f(x, y) = sin(yx) + 5yx 2. Ratkaisu: dg dx = a cos(ax) + 10ax, f 1(x, y) = y cos(yx) + 10yx ja f 2 (x, y) = x cos(yx) + 10x 2. Esimerkki 1.7. Laske osittaisderivaatat funktiolle f(x, y) = 1/2 + xy 3 + cos(xy) + ye y. Graafisesti osittaisderivaatat kuvaavat kasvunopeutta tiettyyn suuntaan: f 1 (a, b) on kuvaajan z = f(x, y) ja tason y = b leikkauskäyrän kulmakerroin pisteessä x = a. Esimerkki 1.8. Laske osittaisderivaatan f 2 (x, y) arvo pisteessä (x, y) = (0, 1/ 2) funktiolle f(x, y) = 1 x 2 y 2. Hahmottele tilanne myös graafisesti. 4

6 Esimerkki 1.9. Henkilö kävelee pitkin erästä pintaa joka on funktion f(x, y) kuvaaja. Aina ottaessaan h pituisen askeleen x akselin suuntaan, henkilö nousee 4h:n verran ylöspäin. Aina ottaessaan h pituisen askeleen y akselin suuntaan, henkilö laskeutuu 3h:n verran alaspäin. Määritä lausekkeet funktioille f 1 (x, y), f 2 (x, y) ja f(x, y). Kuten yhden muuttujan funktion derivaatoilla, on myös osittaisderivaatoilla useita vaihtoehtoisia merkintätapoja, esimerkiksi kahden muuttujan funktiolle z = f(x, y) Osittaisderivaatat pisteessä (a, b): ( z x (a,b) = x z y (a,b) = z x = x f(x, y) = f 1(x, y) = D 1 f(x, y) z y = y f(x, y) = f 2(x, y) = D 2 f(x, y) (7) ) f(x, y) ) ( f(x, y) y (a,b) = f 1 (a, b) = D 1 f(a, b) (a,b) = f 2 (a, b) = D 2 f(a, b) (8) Joskus käytetään myös merkintöjä f x ja f y. Edelliset merkintätavat yleistyvät myös useamman kuin kahden muuttujan funktioille. Esimerkki Tiedetään että eräästä prosessista mitattava suure y noudattaa mallia y = ce at missä c ja a ovat (mahdollisesti säädettäviä) prosessin parametreja ja t on aika. Laske prosessin säätöä/suunnittelua varten y, f ja f c t 3 kun y = f(t, c, a). Määritä myös f 3 (2, 3, ɛ) kun ɛ on jokin positiivinen vakio. Ratkaisu: y c = eat, f t = aceat, f 3 = tce at ja f 3 (2, 3, ɛ) = 2 3e ɛ 2. Esimerkki Laske osittaisderivaatat f Määritä myös arvo f 3 (1, 2, 0, 3). x, f u ja f 4 kun f(x, u, v, w) = x+xu+xuv +xuvw. Esimerkki Oletetaan että funktio f(x, y, z) kuvaa pisteen (x, y, z) etäisyyttä origosta. Laske f, f f ja. Laske myös f x y z 2(0, 1, 2). Esimerkki Olkoon g(x 1,..., x n ) = n i=1 xi i. Laske g x j sievennä myös n k=1 (g k(1, 1,..., 1)) 2. kaikille j = 1,..., n. Laske ja 1.3 Normaalivektori, normaalisuora ja tangenttitaso Seuraavat käsitteet yleistyisivät myös useamman kuin kahden muuttujan funktioille, tarkastelemme tässä kuitenkin vain kahden muuttujan tapausta. 5

7 Pinnan z = f(x, y) normaalivektori pisteessä (a, b, f(a, b)) on n = f 1 (a, b)i + f 2 (a, b)j k (9) Jos normaalivektori on siis esim. z-akselin suuntainen, on funktion kuvaaja (mikäli on sileä) pisteen (a, b) läheisyydessä xy-tason suuntainen (ja pisteessä (a, b) on mahdollisesti funktion minimi tai maksimikohta). Taso joka on kohtisuorassa normaalivektoria kohti ja kulkee pisteen (a, b) kautta on pinnan z = f(x, y) tangenttitaso pisteessä (a, b, f(a, b)). Tangenttitason yhtälö: Pinnan z = f(x, y) normaalisuoran yhtälö: z = f(a, b) + f 1 (a, b)(x a) + f 2 (a, b)(y b). (10) x a f 1 (a, b) = y b f 2 (a, b) = z f(a, b) 1 (11) On hyvä huomata että yhtälöissä (10) ja (11) on kyse aivan tavallisista (A2 kurssilta tutuista) tason ja suoran yhtälöistä. Esimerkki Etsi kuvaajan z = sin(xy) normaalivektori ja tangenttitason ja normaalisuoran yhtälöt pisteessä x = π/3, y = 1. Etsi myös ne pisteet jotka ovat normaalisuoralla ja joiden etäisyys on 5 yksikköä pisteestä (x, y, z) = ( π 3, 1, sin( π 3 )). Ratkaisu: Suoraan kaavoihin sijoittamalla, tangenttitaso ja normaalisuora z = sin( π 3 ( 1)) + ( 1) cos(π 3 ( 1))(x π 3 ) + π 3 cos(π ( 1))(y ( 1)) 3 x π 3 ( 1) cos( π 3 ( 1)) = Ilmoitetaan kysytyt pisteet paikkavektorin muodossa: y ( 1) π cos( π( 1)) = z sin( π ( 1)) r = π 3 i j + sin( π 3 )k + t n n, missä t = ±5 ja n = cos( π( 1))i + π cos( π ( 1))j k Esimerkki Muodosta tangenttitaso ja normaalisuora funktiolle f(x 1, x 2 ) = sin(x 2 x 1 ) + 5x 2 x 2 1 pisteessä (x 1, x 2 ) = (π/4, 1). 1.4 Korkeamman kertaluvun derivaatat Kahden muuttujan funktiolle z = f(x, y), voidaan laskea toisen kertaluvun derivaatat: Puhtaat toiset osittaisderivaatat x:n tai y:n suhteen 2 z x = z 2 x x = f 11(x, y) = f xx (x, y) 2 z y = z 2 y y = f 22(x, y) = f yy (x, y) (12) 6

8 Toiset sekaderivaatat x:n ja y:n suhteen: 2 z x y = x z y = f 21(x, y) = f yx (x, y) 2 z y x = z y x = f 12(x, y) = f xy (x, y) (13) Korkeamman kertaluvun derivaatoille ja useamman muuttujan funktiolle on aivan vastaavat merkinnät, esim. w = f(x, y, z) 5 w y x y 2 z = y x y w y z = f 32212(x, y, z) = f zyyxy (x, y, z) (14) Oletetaan, että funktion f kaksi n:nnen kertaluvun sekaderivaattaa sisältää samat derivoinnit mutta eri järjestyksessä. Jos f ja kaikki n:ää alemman kertaluvun osittaisderivaatat ovat jatkuvia pisteen P ympäristössä niin silloin edellä mainitut sekaderivaatat ovat samoja pisteessä P (tai yksinkertaisesti sanottuna: derivoimisjärjestys ei vaikuta lopputulokseen). Esimerkki Laske 2 f x 2, 3 f x 2 y kun f(x, y) = sin(xy). Ratkaisu: Ensinäkin 2 f x = 2 x ( f x ) = x (y cos(xy)) = y2 sin(xy). Koska vaikka kuinka derivoisi, lausekkeeseen ei selvästi ilmesty mistään jakajia, logaritmeja yms. tilanteita mistä epäjatkuvuutta voisi syntyä, voidaan varmasti derivoimisjärjestystä vaihtaa, jolloin saadaan käytettyä edellä laskettua hyväksi: 3 f x 2 y = 2 f y x = 2 y ( y2 sin(xy)) = 2y sin(xy) y 2 x cos(xy) Esimerkki Osoita suoraan laskemalla että f 223 (x, y, z) = f 232 (x, y, z) = f 322 (x, y, z) kun f(x, y, z) = e x 2y+3z. Korkeamman kertaluvun osittaisderivaattoja esiintyy muunmuassa osittaisdifferentiaaliyhtälöissä jotka ovat monen insinööritieteen kulmakiviä: tapa muotoilla ongelma matemaattiseen muotoon ratkaisua varten. Differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen voi olla haastavaa (ja tehdään usein numeerisesti) mutta annetun (analyyttisen) ratkaisun kelpoisuuden toteaminen on suoraviivainen sijoitustehtävä. Esimerkki Osoita että z = e kx cos(ky) sekä z = e kx sin(ky) kelpaavat kummatkin ratkaisuksi Laplacen yhtälölle 2 z x + 2 z 2 y = 0 (15) 2 Esimerkki Yksiulotteinen Aaltoyhtälö on muotoa 2 w t = 2 w 2 c2 (16) x 2 Osoita että ratkaisuiksi kelpaavat ainakin funktiot jotka ovat muotoa w(x, t) = f(x ct) + g(x + ct), olettaen että f ja g ovat kahdesti derivoituvia. 7

9 1.5 Ketjusääntö Matematiikka A1 kurssista tuttu yhdistetyn funktion derivoimiskaava on D(f(g(x))) = f (g(x))g (x). Merkintöjä y = f(u) ja u = g(x) käyttäen tämä voidaan kirjoittaa myös muodossa dy dx = df du du dx. (17) Käytettiin kumpaa tahansa muodoista, voidaan puhua ketjusäännöstä, joskin se on yleisempää jälkimmäisen kohdalla. Useamman muuttujan funktioiden kohdalla ketjusääntö muuttaa hieman muotoaan: Jos z on x:n ja y:n jatkuva funktio, jolla on jatkuvat ensimmäiset osittaisderivaatat ja jos x ja y ovat t:n derivoituvia funktioita, on voimassa dz dt = z dx x dt + z dy y dt (18) Yleisemmin: Olkoon f(x 1, x 2,..., x n ) jatkuva funktio, jolla on jatkuvat ensimmäiset osittaisderivaatat. Olkoon lisäksi x i, i = 1,..., n muuttujan t jatkuvia funktioita. Tällöin df dt = f dx 1 x 1 dt + f dx 2 x 2 dt + + f dx n x n dt. (19) Edellä on hyvä huomata että on aivan luonnollista tutkia derivaattaa df dt f on t:n funktio. koska pohjimmiltaan Esimerkki Laske ketjusäännön avulla dz dt kun z(x, y) = xy + y2, x = cos(t) ja y = t 2. Ratkaisu: dz dt = z dx x dt + z dy y dt = y dx + (x + 2y)dy dt dt = y sin(t) + (x + 2y)2t = t 2 sin(t) + ( cos(t) + 2t 2 )2t Esimerkki Olkoon f(x, y) = e x +x 2 +y 3, y = cos(t) ja x = e t. Laske df dt b) sijoittamalla ensin x:n ja y:n lausekkeet ja sitten derivoimalla. a) ketjusäännöllä Esimerkki Laske ketjusäännön avulla h f kun h(f, x) = ef x 2, f = ln(t) ja x = t. Esimerkki Laske ketjusäännöllä df dt kun f(x 1,..., x n ) = n i=1 xi i ja x j = t j, j = 1,..., n. 8

10 Koska osittaisderivaatat lasketaan aivan normaalien derivaattojen tapaan, ketjusääntö ei oleellisesti monimutkaistu vaikka "sisäfunktioilla"olisi useampiakin muuttujia. Oleellisin ero on että "d"merkit muuttuvat " "merkeiksi muistuttamaan siitä että funktion arvon taustalla on mahdollisesti useampia muuttujia. Esimerkiksi jos kolmen muuttujan funkton f(x, y, z) muuttujat x, y ja z riippuvat vielä muuttujista t ja s, niin voi olla mielenkiintoista tutkia funkton muutosta näiden muuttujien suhteen, eli laskea osittasiderivaatat f s = f x x s + f y y s + f z z s ja f t = f x x t + f y y t + f z z t (20) Esimerkki Eräässä piirissä virta I riippuu jännitteistä U 1, U 2 ja resistansseista R 1 ja R 2 kaavan I = U 1 /R 1 + U 2 /R 2 mukaisesti. Ajanhetkellä t = 0 on U 1 = U 2 = 0, ja R 1 = 1, R 2 = 10. Jos virran I muutosnopeudeksi hetkellä t = 0 tahdotaan 3 (ampeeria sekunnissa), mikä on oltava jännitteen U 1 muutosnopeus kun U 2 :n muutosnopeus on 4 (volttia sekunnissa), R 2 on vakio ja R 1 :n muutosnopeus on 3? Esimerkki Funktio z(x, y) = 2xy 3 + x 2, x = t 3 + cos(s) ja y = s 2. Laske z t ketjusäännön z s = z x x s + z y y s z t = z x x t + z y y t ja z s (21) avulla. Ketjusäännön kaavat ovat usein pitkiä erityisesti korkeamman kertaluvun derivaatoille ja niitä löytyy myös kaavakirjoista. Korkeamman kertaluvunkin derivaattoja voidaan kuitenkin laskea suoraviivaisesti derivoimalla "yksi derivaatta kerrallaan". Esimerkki Laske 3 f kun f(x, y) = t 2 s ex + y 2 missä x = s 4 ja y = s cos(t). Tee tämä ensin ketjusääntöä soveltamalla ja sitten sijoittamalla ennen derivointia x:n ja y:n lausekkeet. Ratkaisu: Koska 3 f = f f, lasketaan ensin t 2 s t t s tulon derivoimissääntöä kahdesti käyttäen saadaan f t s = ( e x 4s 3 + 2y cos(t) ) t = f s x = 4s 3 t ex + 2y cos(t) t = 4s 3 e x x t + 2 cos(t) t y + 2y t cos(t) = 4s 3 e x cos(t)( s sin(t)) + 2y( sin(t)) = 2 sin(t)(s cos(t) + y) x + f y = s y s ex 4s 3 + 2y cos(t). Täten 9

11 ja lopulta f t t s = ( 2 sin(t)(s cos(t) + y)) t = 2(s cos(t) + y) t sin(t) 2 sin(t) (s cos(t) + y) t = 2(s cos(t) + y) cos(t) 2 sin(t)( s sin(t) s sin(t)) = 4s(cos 2 (t) sin 2 (t)) Sijoittamalla: f(x, y) = e s4 +s 2 cos 2 (t). Täten f = s es4 4s 4 +2s cos 2 (t) ja t 4s sin(2t), eli = 8s cos(2t). t t f s f s = 0+2s( 2 sin(t) cos(t)) = Edellisessä esimerkissä ensimmäinen tapa oli paljon pidempi siitä syystä että tällä kertaa lausekkeessa x ja y esiintyivät hyvin harvoissa kohdissa, jolloin suora sijoitus tuli melko yksinkertaiseksi. Jos f:n x:n ja y:n lausekkeet olisivat pitkiä niin ketjusäännön käyttäminen toisi selvää etua myös laskun pituuteen sillä sisäfunktioiden derivaatat tulevat esiintymään aina vain kertaalleen. Esimerkki Laske ketjusääntöä soveltamalla sekä ilman ketjusääntöä (suoraan sijoittamalla) dl2 f funktiolle f(x, y) = ye 2x +y 4 kun x = sin(t) ja y = t. Laske myös kyseisen derivaatan dt 2 arvo kun t = 0. Ketjusäännön "ketju"voi olla pidempikin. Kolmelle sisäkkäiselle yhden muuttujan funktiolle saadaan derivoimiskaava soveltamalla kaksi kertaa ketjusääntöä: D(f(g(h(x)))) = f (g(h(x)))d(g(h(x))) = f (g(h(x)))g (h(x))h (x). Samoin voidaan toimia useamman muuttujan funktioiden kanssa. Esimerkki Määritä ketjusäännön avulla f z 1 kun f(x 1, x 2 ) = 2x 1 x 4 2, x 1 = 6y 1, x 2 = y 1 + cos(y 2 ), y 1 = 2z 2 2, y 2 = 7z 1 + 8z 2. Ratkaisu: Ketjusäännön mukaan f z 1 = f x 1 x 1 z 1 + f x 2 x 2 z 1 ( x2 y 1 + x ) 2 y 2 y 1 z 1 y 2 z 1 = f x 1 y 1 + f x 1 y 1 z 1 x 2 = 2x x 1 x 3 2 (1 0 sin(y 2 ) 7) = 56x 1 x 3 2 sin(y 2 ) = 56(6 2z 2 2(2z cos(7z 1 + 8z 2 ))) 3 Esimerkki Määritä ketjusäännön avulla f s kun f(x, y, z) = ex +y 2 +cos(x)z, x = h 2 +g, y = sin(hg), z = g 3, h = 2s + 3t + 4u, ja g = cos(s + u). Huomaa että f on pohjimmiltaan siis s:n, t:n ja u:n funktio. 10

12 Ketjusääntöä voidaan käyttää esimerkiksi kun: Ilmiö mallinnetaan osa kerrallaan ja ilmiön muutosnopeus eri muuttujien suhteen kiinnostaa. Tunnettuja tuloksia (kaavoja) muunnetaan hieman muuttuneeseen tilanteeseen tai tarkoituksenmukaisempaan muotoon, esimerkiksi kun siirrytään erilaiseen koordinaatistoon. Teoreettisten tulosten johtamisessa Esimerkki Olkoon g(z, y, z) = x 2 + y 2 + z 2. a) Määritä ketjusäännön avulla kuinka nopeasti g on muuttumassa ajan t suhteen ajanhetkellä t = 0 kun x(t) = sin(t), y(t) = cos(t) ja z(t) = t 2. b) Jos pisteen (x, y, z) muutosnopeus ajan suhteen z suunnassa pystytään mittaamaan, i) pystytäänkö pisteen muutosnopeus päättelemään myös x ja y suunnassa? ii) pystytäänkö funktion g muutosnopeus t:n suhteen päättelemään? Esimerkki Osoita että Laplacen yhtälö napakoordinaateissa on 2 z r + 1 z 2 r r z r 2 θ = 0 (22) 2 2 Differentioituvien funktioiden arvojen muutoksen tutkiminen ja approksimointi 2.1 Lineaariset approksimaatiot Käyrän y = f(x) tangenttisuoraa pisteessä x = a voidaan käyttää approksimaationa f(x):n arvoille, kun x on lähellä a:ta: f(x) L(x) = f(a) + f (a)(x a) (23) Funktiota L(x) kutsutaan f:n linearisaatioksi tai lineaariseksi approksimaatioksi pisteessä a. Vastaavasti funktion f(x, y) lineaarinen approksimaatio pisteessä (a, b) on f(x, y) L(x, y) = f(a, b) + f 1 (a, b)(x a) + f 2 (a, b)(y b) (24) Funktion f(x 1,..., x n ) linearisaatio pisteessä a = (a 1,..., a n ) määritellään samoin: L(x 1,..., x n ) = f(a 1,..., a n ) + n i=1 f x i a (x i a i ) (25) Linearisaatio L(x) on ekvivalentti Pisteeseen a asetetun tangenttitason kanssa Taylorin 1. asteen polynomin kanssa (tähän palataan myöhemmin) 11

13 Esimerkki 2.1. a) Muodosta funktiolle f(x, y) = x 2 + x sin(y) linearisaatio eli lineaarinen approksimaatio piteessä (2, 0). b) Olkoon f(x 1, x 2, x 3 ) = x x 2 + x 2 3. Muodosta f:lle lineaarinen approksimaatio pisteessä (1, 10, 0) ja arvioi tämän avulla mitä on f(1.02, 10 + a, 0.01), missä a on jokin vakio. Ratkaisu: a) Osittaisderivaatat ovat f 1 (x, y) = 2x + sin(y) ja f 2 (x, y) = x cos(y), joten f 1 (2, 0) = 4 ja f 2 (2, 0) = 2. Lisäksi f(2, 0) = 4, joten suoraan kaavaan (24) sijoittamalla saadaan L(x, y) = 4 + 4(x 2) + 2(y 0) b) Osittaisderivaatat ovat f 1 (x 1, x 2, x 3 ) = 2x 1 f 2 (x 1, x 2, x 3 ) = 1 ja f 3 (x 1, x 2, x 3 ) = 2x 3, joten f 1 (1, 10, 0) = 2 f 2 (1, 10, 0) = 1 f 3 (1, 10, 0) = 0 ja f(1, 10, 0) = 11. Täten suoraan kaavaan (25) sijoittamalla L(x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 1) + 1 (x 2 10) + 0 (x 3 0) ja L(1.02, 10 + a, 0.01) = a. Esimerkki 2.2. a) Muodosta funktiolle f(x, y) = xy + x linearisaatio eli lineaarinen approksimaatio piteessä (1, 1). b) Olkoon f(u, v, w) = u 2 + v 2 + w 2. Muodosta f:lle lineaarinen approksimaatio pisteessä (0, 1, 2) ja arvioi tämän avulla mitä on f(0.01, 0.95, 2.02). Yhden muuttujan funktioille linearisaatiota ei voida laske jos derivaatta ei ole määritelty. Useamman muuttujan funktioilla tilanne on se että osittaisderivaatat voivat olla määritellyt (eli linearisaatio pystytään teknisesti ottaen muodostamanaan), vaikka funktio olisi sellainen että linearisaatio olisi surkea approksimaatio funktiolle f jopa lähellä pistettä a. Tälläiset funktiot eivät ole differentioituva pisteen a ympäristössä. Funktion differentioituvuus voidaankin määritellä asettamalla laatuvaatimus linearisaatiolle: 2.2 Differentioituvuus ja differentiaalit Funktio f(x, y) on differentioituva pisteessä (a, b), jos f(a + h, b + k) f(a, b) hf 1 (a, b) kf 2 (a, b) lim = 0. (26) (h,k) (0,0) h2 + k 2 Tämä tarkoittaa että pistettä (a, b) lähestyessä funktion f(x, y) ja sen pisteeseen (a, b) muodostetun tangenttitason arvot lähenevät toisiaan oleellisesti nopeammin kuin mitä (x, y) piste lähestyy pistettä (a, b). Esimerkki 2.3. Hahmottele funktio (sen kuvaaja) jolle linearisaatio voidaan teknisesti ottaen muodostaa pisteessä (0, 0), mutta joka ei ole differentioituva kyseisessä pisteessä. Koska differentioituvuus on usein algoritmeille tärkeä ominaisuus, on käytännöllistä että varsin yksinkertaiset ehdot varmistavat tämän. Seuraava tulos on varsin hyödyllinen tieto: Jos f 1 ja f 2 ovat jatkuvia pisteen (a, b) ympäristössä niin tällöin f on differentioituva pisteessä (a, b). 12

14 Esimerkki 2.4. Osoita että f(x 1, x 2 ) = e x 1x 2 + cos(x 2 ) on kaikkialla differentioituva. Väliarvolause (mean value theorem): Jos f 1 (x, y) ja f 2 (x, y) ovat jatkuvia pisteen (a, b) ympäristössä ja jos h:n ja k:n itseisarvot ovat riittävän pieniä, on olemassa luvut θ 1 ja θ 2, molemmat 0:n ja 1:n välillä, siten, että f(a + h, b + k) f(a, b) = hf 1 (a + θ 1 h, b + k) + kf 2 (a, b + θ 2 k) (27) Väliarvolauseella on merkitystä usein matemaattisten menetelmien ja algoritmien tutkimisessa ja kehittämisessä mutta insinööri joutuu sitä harvemmin arkipäivän laskennassa käyttämään (luvut θ 1 ja θ 2 ovat useinmiten varsin hankalia määrittää). Sellaisessa pisteessä jossa funktiolla z = f(x 1,..., x n ) on jatkuvat ensimmäiset osittaisderivaatat, voidaan funktion arvon muutosta kuvaava (kokonais) differentiaali määritellä kaavalla dz = df = z x 1 dx z x n dx n = f 1 (x 1,..., x n )dx f n (x 1,..., x n )dx n. (28) Differentiaali sisältää saman informaation kuin ketjusääntö: jos (28) jaetaan puolittain dt:llä ja x i :t ajatellaan t:stä riippuvaisiksi niin saadaan näkyviin täsmälleen ketjusäännön mukainen kaava. Differentiaalia on kuitenkin usein ketjusääntöä suoraviivaisempaa käyttää käytännön laskuissa: Koska differentiaalit dx i ajatellaan mielivaltaisen pieniksi, korvaamalla ne pienillä luvuilla x i, differentiaalilla df voidaan arvioida f:n arvojen muutosta ilman että tarvitsee miettiä muuttujia x i sitovaa taustamuuttujaa t kuten ketjusäännön kaavassa täytyisi: f = f(x 1 + x 1,..., x n + x n ) f(x 1,..., x n ) f 1 (x 1,..., x n ) x f n (x 1,..., x n ) x n (29) Tälläisien approksimaatioiden käyttö on varsin yleistä insinööritieteissä. On opettavaista huomata ettei tässäkään approksimaatiossa ole itseasiassa kyse mistään muusta kuin linearisaation käyttämisestä funktion arvon muutoksen arviointiin. Esimerkki 2.5. Oletetaan että g(x, y) on differentioituva funktio. Jos g(0, 0) = 1, g 1 (0, 0) = 2 ja g 2 (0, 0) = 0.2, arvioi differentiaalin avulla funktion g arvoa pisteessä (0.1, 0.25). Esimerkki 2.6. Arvioi differentiaalin avulla prosentuaalista muutosta heilurin heilahdusajassa L T = 2π g, (30) jos pituus L kasvaa 2% ja gravitaatiokiihtyvyys g pienenee 0.6%? 2.3 Gradientti Jos pinnan normaalivektorista jätetään viimeinen komponentti pois, saadaan gradienttivektori f(x, y) = gradf(x, y) = f 1 (x, y)i + f 2 (x, y)j, (31) 13

15 missä (nabla) on vektoridifferentiaalioperaattori = i x + j y Useamman muuttujan funktiolle määritelmä menee samoin: ( f f(x 1,..., x n ) =,..., f ) x 1 x n (32) (33) Huomaa että edellisessä vektoria merkitään avaruuden R n pisteenä sen sijaan että koordinaattiakselien suuntaiset yksikkövektorit kirjoitettaisiin näkyviin. Kyseessä on vain (lyhyempi) merkintätapa. Esimerkki 2.7. a) Laske gradienttivektori pisteessä (x, y) = (1, 2) funktiolle f(x, y) = x 2 y + ln(x). b) Laske funktion f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 gradienttivektorin ja vektorin v = (1, 2, 0) pistetulo. Ratkaisu: a) Gradienttivektori pisteessä (x, y) on f(x, y) = f 1 (x, y)i + f 2 (x, y)j = (2xy + 1/x)i + x 2 j, joten piseessä (1,2) f(1, 2) = 5i + j. b) Gradienttivektori f(x, y, z) = (2x, 2y, 2z), joten pistetulo f(x, y, z) v = (2x, 2y, 2z) (1, 2, 0) = 2x 1 + 2y 2 + 2z 0 = 2x + 4y. Esimerkki 2.8. Määritä gradienttivektorit funktioille f(x, y) = e x y, g(x, y, z) = sin(xy) + cos(yz) ja h(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = 3x 1 + 2x 3 + e x 4. Esimerkki 2.9. Laske gradienttivektori seuraaville funktioille a) f(x, y) = cos(x) sin(y). b) x(y, z), kun x + ye x = z 2 c) g(x 1,..., x n ) = n i=1 a ix i, missä luvut a i ovat vakioita. Gradienttivektorin ominaisuuksia: Jos f(x, y) on derivoituva pisteessä (a, b) ja f(a, b) 0, niin f(a, b) on pisteen (a, b) kautta kulkevan f:n tasokäyrän normaalivektori. Funktion f(x, y) muutosnopeus pisteessä (a, b) on nolla pisteen (a, b) kautta kulkevan funktion f tasokäyrän suunnassa, eli kohtisuorassa vektoria f(a, b) vastaan. Pisteessä (a, b) funktio f(x, y) kasvaa nopeimmin gradienttivektorin f(a, b) suuntaan. Kasvun maksiminopeus on f(a, b). Pisteessä (a, b) funktio f(x, y) vähenee nopeimmin vektorin f(a, b) suuntaan. Vähenemisen maksiminopeus on f(a, b). 14

16 Aivan vastaavat ominaisuudet pätevät myös useamman muuttujan funktoille, tietystikin tällöin ei voida puhua tasokäyristä vaan esim. kolmen muuttujan funktion tapauksessa tasa-arvo pinnoista. Esimerkki Olkoon f(x, y) = e (x2 +y 2). a) Mihin suuntaan f kasvaa nopeimmin pisteessä (1, 1) b) Määritä se xy-tason käyrä joka kulkee pisteen (1, 1) kautta ja jota pitkin kulkiessa f:n arvo ei muutu. c) Määritä ne (x, y) pisteet joissa f(x, y) = 1 Esimerkki Olkoon f(x, y) = 20(3 + x 2 + 2y 2 ) 1. Mitä pisteen (3, 2) kautta kulkevaa xy-tason käyrää pitkin f(x, y) vähenee nopeimmin? 2.4 Suunnattu derivaatta Gradientti ja osittaisderivaatat kertovat funktion kasvunopeudesta tietyissä suunnissa, mutta entäpä jos kasvunopeutta pitäisi kuvata mielivaltaisesti valitussa suunnassa? Suunnattu derivaatta auttaa tässä. Olkoon u = ui + vj yksikkövektori, ts. u 2 + v 2 = 1. Funktion f(x, y) suunnattu derivaatta pisteessä (a, b) vektorin u suuntaan on f(x, y):n muutosnopeus suhteessa pisteestä (a, b) mitattuun etäisyyteen pitkin u:n suuntaista sädettä xy tasossa. Suunnattu derivaatta voidaan määritellä esim. tai f(a + hu, b + hv) f(a, b) D u f(a, b) = lim h 0+ h (34) D u f(a, b) = d dt f(a + tu 1, b + tu 2 ) t=0, (35) jos tämä derivaatta on olemassa. Ensimmäisessä muodossa joudutaan laskemaan raja-arvo. Jälkimmäinen muoto on varsin näppärä laskea ketjusäännön avulla, mikäli ketjusäänön oletukset ovat voimassa (jatkuva funktio, jatkuvat osittaisderivaatat). Tämä ketjusäännön käyttäminen voidaan kuitenkin kirjoittaa lyhyesti Gradientin avulla. Gradientti on siis usein kätevä työkalu suunntatun derivaatan laskemiseksi: Jos f on derivoituva pisteessä (a, b) ja u = ui + vj yksikkövektori, niin f:n suunnattu derivaatta pisteessä (a, b) vektorin u suuntaan on D u f(a, b) = u f(a, b). (36) Vektorin v suuntainen yksikkövektori saadaan jakamalla vektori sen pituudella. Näin ollen suunnattu derivaatta vektorin v suuntaan on D v/ v f(a, b) = v f(a, b). (37) v Mille tahansa yksikkövektorille u on voimassa missä θ on vektorien u ja f(a, b) välinen kulma. D u f(a, b) = u f(a, b) = f(a, b) cos θ, (38) 15

17 Esimerkki a) Laske funktion h(x, y) = sin(x) + cos(y) suunnattu derivaatta vektorin u = 2i j suuntaan pisteessä P = (0, π/2). b) Määritä vektori v siten että pisteessä P funktion h(x, y) suunnattu derivaatta vektorin v suuntaan on Ratkaisu: a) Lasketaan ensin kaavassa (37) tarvittavan gradientin arvo. Ensinä h(x, y) = cos(x)i sin(y)j joten h(0, π/2) = i j. Sijoitetaan nyt kaikki edellä mainittuun kaavan D u/ u h(0, π/2) = u h(0, π/2) = 2i u j ( 1) ( 1) (i j) = = Edelliset määritelmät ja ominaisuudet yleistyvät myös useamman muuttujan funktioille. Erityisesti: Jos f(x 1,..., x n ) on differentioituva pisteessä (a 1,..., a n ), niin f:n suunnattu derivaatta pisteessä (a 1,..., a n ) vektorin u suuntaan on D u f(a 1,..., a n ) = u f(a 1,..., a n ). (39) Esimerkki Laske suunnattu derivaatta funktiolle g(x, y) = x + 2yx pisteessä (1, 0) vektorin 2i + 3j suuntaan. Esimerkki Laske suunnattu derivaatta funktiolle g(x, y, z, t) = (x+2yx+3z+4t)pisteessä (1, 0, 3, 2) vektorin (2, 3, 0, 5) suuntaan. f(a, b), eli suun- HUOM! Usein suunnattu derivaatta määritellään kaavalla D v f(a, b) = v tavektorin normalisaatio on sisällytetty määritelmään. v 2.5 Taylorin polynomi Taylorin polynomin käsite on usean muuttujan funktioille samanlainen kuin yhden muuttujan funktiollekin: Funktio f(x, y), jolla on vähintään n:n kertaluvun jatkuvat osittaisderivaatat, voidaan lausua Taylorin polynomin ja jäännöstermin avulla: missä f(x, y) = f(a + h, b + k) = P n (x, y) + R n, (40) P n (x, y) = n 1 j=0 ( 1 h j! x + k ) j f(a, b) (41) y ja R n = 1 ( h n! x + k ) n f(a + θh, b + θk), 0 < θ < 1 (42) y Jäännöstermissä R n esiintyvä luku θ riippuu x:n ja y : n arvoista ja on yleensä hyvin hankala, jollei peräti mahdoton määrittää. Polynomia käytetäänkin yleensä approksimaationa alkuperäiselle funktiolle, eli f(x, y) P n (x, y) (43) ja jotta approksimaatio olisi hyvä, on piste (a, b) syytä valita sellaiseksi että se on kiinnostavien (x, y) pisteiden lähistöllä (eli h ja k ovat aina pieniä). 16

18 Esimerkki Muodosta toisen asteen Taylorin polynomi funktiolle (kolmannen asteen polynomille) f(x, y) = x 3 + xy + y 3 a) pisteessä (0, 0) kehitettynä ja laske P 2 (1, 1). b) pisteessä (1, 2) kehitettynä ja laske P 2 (1, 1). 1. Laske molemmissa tapauksissa approksimaatiovirheen f(1, 1) P 2 (1, 1) suuruus. Joskus polynomiapproksimaatio usean muuttujan funktiolle on kätevä rakentaa käyttämällä yhden muuttujan Taylorin polynomeja. Esimerkki Muodosta sellainen polynomi jolla voidaan approksimoidan funktion f(x, y, z) arvoja pisteen (1, 1, π) läheisyydessä kun f(x, y, z) = cos(xyz) + sin(x 2 ) cos(z). Käytä apuna ensimmäisen asteen (yhden muuttujan) Taylorin polynomeja funktioille cos(t) ja sin(t). Virhearviotarkastelu voi tietysti olla vielä monimutkaisempaa tälläisessä tapauksessa sillä kyseessä ei välttämättä ole enää (usean muuttujan) Taylorin polynomi eikä voida tarkastella yksittäistä virhetermiä. 2.6 Implisiittifunktiot Jo kurssilla Matematiikka A1 laskettiin funktion y = f(x) derivaatalle lausekkeita tapauksessa jossa y on määritelty implisiittisesti lausekkeen F (x, y) = 1 avulla. Virkistetään hieman muistia Esimerkki Olkoon y + e y = (x + x 3 )/2. a) Määritä lauseke dy dx. b) Laske y (x) siinä pisteessä x jolle y = 1. c) Kun x = 1 niin y = 0. Jos mahdollista, laske y (1) ja x (0). Jälkimmäisessä x:ää siis ajatellaan y:n funktiona. d) Edellisten perusteella, mieti kuinka 1. asteen Taylorin polynomia voisi käyttää arvioimaan käyrän kulkua pisteen (1, 0) läheisyydessä. Muotoillaan nyt edellisessä esimerkissä käytettyjä laskutoimenpiteitä hieman yleisempään muotoon: Oletetaan, että piste (a, b) toteuttaa yhtälön F (x, y) = 0 ja että funktiolla F on jatkuvat ensimmäiset osittaisderivaatat kaikissa pisteissä (a, b):n lähellä. Jos tästä yhtälöstä voidaan y ratkaista x:n funktiona, niin y:n derivaatta x:n suhteen pisteessä x = a voidaan ratkaista derivoimalla yhtälö F (x, y) = 0 puolittain (ketjusääntöä soveltamalla) x:n suhteen ja laskemalla tulos pisteessä (a, b): F 1 (x, y) + F 2 (x, y) dy = 0, (44) dx josta saadaan (ehdolla F 2 (a, b) 0) dy dx x=a = F 1(a, b) F 2 (a, b) (45) 17

19 Ongelmia aiheuttavat lähinnä pisteet joissa jakaja menee nollaksi: Tälläisissä pisteissä voi olla ettei käyrä edes määrittele pisteen (a, b) läheisyydessä y:tä x:n funktiona, varmaa on että numeerisia ongelmia tulee jos jokin algoritmi käyttää derivaatan arvoja. Vastaavasti jos ajateltaisiin x:ää muuttujan y funktiona, saataisiin F 1 (x, y) dx dy + F 2(x, y) = 0, (46) josta dx dy y=b = F 2(a, b) F 1 (a, b). (47) Esimerkki a) Olkoon F (x, y) = x 2 + y 2 1. Päättele ilman laskemista minkä pisteiden läheisyydessä yhtälö F (x, y) = 0 ei määrittele y:tä x : n funktiona. Laske näissä pisteissä F 1 (x, y). Päättele ilman laskemista ne pisteet joissa F 2 (x, y) = 0. b) Muodosta funktio F (x, y) siten että yhtälö F (x, y) = 0 määrittelee pisteen (0, 1) läheisyydessä x:n muuttujan y funktiona mutta F 1 (x, y) = 0. Ajatus toimii myös useamman muuttujan tapauksessa: esim. jos ajatellaan että yhtälö F (x, y, z) = 0 määrittelee z:n muuttujien x ja y funktiona, saadaan z x (x 0,y 0 ) = F 1(x 0, y 0, z 0 ) F 3 (x 0, y 0, z 0 ) ja z y (x 0,y 0 ) = F 2(x 0, y 0, z 0 ) F 3 (x 0, y 0, z 0 ) (48) Esimerkki a) Olkoon F (x, y, z) = x 3 y 2 + z 2. Ajatellaan y:tä x:n ja z:n funktiona. Määritä lausekkeet y, y x z ja z x b) Olkoon F (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 1. Määritä ilman laskemista ne pisteet joissa i) F 1 (x, y, z) = 0, ii) F 2 (x, y, z) = 0, iii) F 1 (x, y, z) = 0. Mikäli edellä esiintyneissä osittaisderivaattojen lausekkeissa jakajat eivät mene nollaan, voidaan implisiittisestikin määritellylle funktiolle etsiä approksimaatioita. Esimerkki Jos mahdollista, muodosta pisteeseen (x, y) = (0, 1) asetettu tangenttitaso (eli Taylorin 1. asteen polynomi) funktiolle z(x, y) jonka määrittelee yhtälö z 5 + xz + y = sin(y)x 2 + x. Edellä olemme käsitelleet tapauksia joissa funktion määrittelee yksi yhtälö ja funktiolla voi olla yksi tai useampia muuttujia. Entäpä jos yhtälöitä olisi useampia? Esim. tarkastellaan yhtälöryhmää { F (x, y, z, w) = 0 (49) G(x, y, z, w) = 0 18

20 Koska muuttujia on neljä ja yhtälöitä kaksi niin mahdolliseti kaksi muuttujaa voidaan eliminoida: Ratkaistaan ylemmästä yhtälöstä x (riippuu y:stä, z:sta ja w:stä) ja sijoitetaan se alempaan yhtälöön jonka jälkeen tästä yhtälöstä ratkaistaan y (joka tulee siis riippumaan z:sta ja w:stä) nyt saatu y:n lauseke sijoitetaan edellä laskettuun x:n lausekkeeseen, jolloin myös x riippuu enää z:sta jaw:stä. Tällä tavoin ratkaisten ollaan siis saatu x = x(z, w) ja y = y(z, w). Se mitkä muuttujat tahdotaan ratkaista (sidotut muuttujat) toisten muuttujien (vapaat muuttujat) funktioina riippuu sovelluksesta. Edelläkin olisi yhtä hyvin voitu yrittää ratkaista y ja w, jolloin muuttujiksi olisi jäänyt x ja z. Käytännössä, valittiin muuttujiksi mitkä tahansa, on tälläisten yhtälöryhmien ratkaisu hyvin haastavaa, usein mahdotonta, käsin laskien. Numeeriset ratkaisumenetelmät taasen tarvitsevat usein osittaisderivaattojen lausekkeita. Näitä osittaisderivaattoja määrittäessä täytyykin olla selvänä se mitä alkuperäisitä muuttujista ajatellaan vakioina (eli vapaina muuttujina) ja mitkä muuttujat riippuvat näistä vapaista muuttujista (eli ovat sidottuja muuttujia). Voidaan käyttää esimerkiksi seuraavia merkintöjä: ( ) x z w ( ) x z y vastaa tulkintaa vastaa tulkintaa { x = x(z, w) y = y(z, w) { x = x(y, z) w = w(y, z) Edellä mainitut osittaisderivaatat voidaan yrittää laskea esim. differentioimalla lausekkeita puolittain ja ratkaisemalla näin saadusta yhtälöryhästä haluttu derivaatta. (50) (51) Esimerkki Olkoon x + y + xzw = 0 ja yx + zw + w = 0. Määritä implisiittistä differentiointia ja ketjusääntöä soveltamalla ( ) y z x Muuttujien ja yhtälöiden määrän kasvaessa lisääntyy myös erilaisten tulkintojen määrä. Kun vapaat muuttujat on päätetty, voidaan hyvin yksinkertaisesti tarkistaa että sidottuja muuttujia voidaan ajatella vapaiden muuttujien funktoina. Tämä tapahtuu tarkastelemalla n.k. Jacobin determinanttia: Funktioiden F (x 1, x 2, x 3,..., x n ) ja G(x 1, x 2, x 3,..., x n ) Jacobin determinantti muuttujien x 1 ja x 2 suhteen on (F, G) (x 1, x 2 ) = F F x 1 x 2 G G = F 1 F 2 G 1 G 2 (52) x 1 Jos (F,G) 0, niin muuttujat x (x 1,x 2 ) 1 ja x 1 voidaan ajatella muuttujien x 3,..., x n funktioina jotka määritellään yhtälöillä F (x 1, x 2, x 3,..., x n ) = 0 ja G(x 1, x 2, x 3,..., x n ) = 0. Erityisesti tällöin myös osittaisderivaatat x 1 x j ja x 2 x j voidaan ratkaista esimerkiksi implisiittisesti differentioimalla (ja ketjusääntöä soveltamalla) kaikille j = 3,..., n. Huomaa että mikäli Jacobin determinantti on 0 jossain pisteessä niin saattaa olla että x 1 ja x 2 voidaan silti ratkaista muiden muuttujien funktoina. Kuitenkin tällöin on odotettavissa että osittaisderivaattoja (tai Jacobin matriisia) käyttävät algoritmit ovat todennäköisesti vaikeuksissa. x 2 Esimerkki Laske Jacobin determinantti muuttujien x ja y suhteen kun F (x, y, z, w) = x 2 + y 2 + z 2 w ja (x 1) 2 + y 2 + z 2 w 2 ) 19

21 3 Funktion ääriarvot Matematiika A1 kurssilta (ja lukiosta) tuttua: yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) < f(a) (f(x) > f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä a:ta. Jos epäyhtälö pätee kaikilla x:n arvoilla, f:llä on absoluuttinen maksimi (minimi) pisteessä a. Ääriarvoja voi esiintyä 1. kriittisissä pisteissä, joissa f (x) = 0 2. singulaaripisteissä, joissa f (x) ei ole olemassa 3. f:n määrittelyalueen päätepisteissä. Vastaavasti kahden muuttujan funktiolla on lokaali maksimi tai suhteellinen maksimi määrittelyalueensa pisteessä (a, b), jos f(x, y) < f(a, b) kaikille (x, y) pisteille, jotka ovat riittävän lähellä pistettä (a, b). Jos epäyhtälö pätee kaikille (x, y) (jotka kuuluvat f:n määrittelyalueeseen), f:llä on globaali maksimi (absoluuttinen maksimi) pisteessä (a, b). Vastaavasti määritellään lokaali ja globaali minimi. Välttämättömät ehdot ääriarvojen olemassaololle: Funktiolla f(x, y) voi olla lokaali tai globaali ääriarvo pisteessä (a, b) vain, jos (a, b) on 1. f:n kriittinen piste, ts. piste, jossa f(a, b) = 0 tai 2. f:n singulaarinen piste, ts. piste, jossa f(a, b) ei ole olemassa tai 3. f:n määrittelyalueen reunapiste. Vain tämäntyyppisistä pisteistä voi siis löytyä ääriarvoja. Miellyttävää on että nämä ehdot on hyvin helppo tarkistaa annetulle (a, b) pisteelle ja ne pätevät myös useammankin muuttujan funktioille. Ongelmallista on että pisteen (a, b) löytäminen, joka täyttää jonkin ehdoista (erityisesti 1. ehdon) voi olla hyvinkin haastavaa. Ja reunapisteiden tutkiminen kokonaan oma ongelmansa. Eikä yksikään näistä ehdoista vielä takaa sitä että pisteessä (a, b) todella olisi ääriarvo! Esimerkki 3.1. a) Osoita että funktiolla f(x, y) = e xy +x 2 y ei voi olla maksimia tai minimiä pisteessä (1, 2). b) Etsi funktion f(x, y) = x 2 y + x 1/2 mahdolliset kriittiset pisteet ja singulaaripisteet. Edellä käsitellyt ehdot ovat siis välttämättömiä, mutta eivät vielä riittäviä, varmistamaan että ääriarvo esiintyisi pisteessä (a,b). Mikä tahansa ehdoista saattaa siis olla voimassa ilman että maksimia tai minimiä esiintyy. Esimerkki 3.2. Osoita että (0, 0) on funktion f(x, y) = x 3 y 2 kriittinen piste mutta ei ole lokaali ääriarvopiste. Hahmottele myös sellaisen funktion kuvaaja joka on singulaarinen pisteessä (0, 0), mutta kyseinen piste ei ole funktion lokaali ääriarvopiste. Lopuksi hieman lisää terminolgiaa ja teoriaa: 20

22 Joukko R n on rajoitettu, jos se sisältyy kokonaisuudessaan palloon x 2 1 +x x 2 n R 2, missä säde R on äärellinen. Riittävät ehdot ääriarvojen olemassaololle: Jos f on jatkuva n:n muuttujan funktio, jonka määrittelyalue on suljettu ja rajoitettu joukko R n :ssä, niin f:n arvojoukko on rajoitettu joukko reaalilukuja ja sen määrittelyalueessa on pisteitä, joissa f saa absoluuttisia maksimi ja minimiarvoja. Jos (a, b) on funktion f määrittelyjoukon sisäpiste (ei rajalla oleva piste) ja myös f:n kriittinen piste niin sitä kutsutaan satulapisteeksi mikäli f:llä ei ole ko. pisteessä maksimi eikä minimiarvoa. Edellä esitetty riittävä ehto ääriarvon olemassa ololle on siinä mielessä tärkeä että sen avulla voidaan (tietyissä tilanteissa) sanoa että ongelmalla on ratkaisu. Se kuinka ratkaisu löydetään onkin sitten täysin toinen tarina. Satulapisteet ovat yksinkertaisesti pisteitä joista yhteen suuntaan edetessä funktio lähtee kasvuun johonkin toiseen suuntaan edetessä funktio lähtee vähenemään. 3.1 Kriittisten pisteiden luokittelu Maksimi-, minimi-, ja satulapisteiden toisistaan erottaminen suoraan f:n lausekkeesta voi olla välillä varsin vaikeaa. Yhden muuttujan funktioille voidaan ongelma ratkaista muodostamalla derivaatan merkkitaulukko. Usemamman muuttujan funktioilla tämä ratkaisu ei tietenkään onnistu. Yhden muuttujan funktoiden kriittiset pisteet voidaan yrittää määritellä myös käyttäen 2. derivaatan testiä. Tämä testi laajenee myös käytettäväksi useamman muuttujan funktioille: Toisen derivaatan testi: Olkoon (a, b) funktion f(x, y) kriittinen piste f:n määrittelyalueen sisällä. Oletetaan, että f:n toiset osittaisderivaatat ovat jatkuvia(a, b):n läheisyydessä ja niillä on arvot A = f 11 (a, b), B = f 12 (a, b) = f 21 (a, b), C = f 22 (a, b) (53) 1. Jos B 2 < AC ja A > 0, niin f:llä on lokaali minimi pisteessä (a, b) 2. Jos B 2 < AC ja A < 0, niin f:llä on lokaali maksimi pisteessä (a, b) 3. Jos B 2 > AC, niin f:llä on satulapiste pisteessä (a, b) 4. Jos B 2 = AC, ei testi anna informaatiota. Esimerkki 3.3. Etsi ja luokittele kriittiset pisteet funktiolle a) f(x, y) = 2x 3 6xy + 3y 2, b) f(x, y) = xye (x2 +y 2 )/2 kriittiset pisteet. Molemmissa tapauksissa tutki myös onko f:llä absoluuttista maksimia tai minimiä? Useamman kuin kahden muuttujan funktioille on olemassa samanlaiset, varsin suoraviivaiset, luokittelusäännöt mutta niitä ei käsitellä tällä kurssilla. Säännöt löytyvät esim. Betataulukkokirjasta mutta käsitteiden ymmärtäminen saattaa vaatia hieman kokemusta B2 kurssin aihealueelta. 21

23 3.2 Funktioiden ääriarvojen etsintä rajoitteiden läsnä ollessa Tilanteet joissa funktion f(x, y) muutujan arvoja ei ole rajoitettu millään tavalla ovat melko harvinaisia. Usein on asetettava esimerkiksi positiivisuusehtoja eli x 0 ja/tai y 0 jos muuttujat edustavat tiettyjen suureiden arvoja esim. pituutta tai painoa. Samoin geometriset rajoitteet voivat asettaa rajoitteita jotka ovat esim. muotoa x 2 +y 2 5. Ensimmäiset rajoitteet jättäisivät määrittelyalueen osittain avoimeksi kun taasen jälkimmäisessä tapauksessa määrittelyalue olisi suljettu. Ääriarvojen tutkimisesta rajoitteiden kanssa voidaan todeta aivan samat perusasiat kuin A1 kurssilla yhden muuttujan funktioiden tapauksessa: Jos jatkuvan funktion määrittelyalue on suljettu ja rajoitettu, sillä on absoluuttisia ääriarvoja. Suljetulla välillä määritellyn jatkuvan funktion ääriarvot löytyvät joko kriittisistä pisteistä, singulaaripisteistä tai sitten määrittelyjoukon rajoilta. Jos määrittelyalue on jostakin päin avoin, täytyy rajat silti tutkia. Tällöin saatetaan joutua laskemaan raja-arvoja. Maksimi- ja/tai minimiarvoja saattaa löytyä tai olla löytymättä, riippuen kriittisten pisteiden laadusta ja funktion (raja-)arvoista avoimilla rajoilla. Käytännössä ääriarvojen tutkiminen aloitetaan yleensä kuten edellisessäkin kappaleessa: Lasketaan kriittiset pisteet ja luokitellaan ne, sekä tutkitaan singulaaripisteet. Tämän jälkeen siirrytään tutkimaan rajoja. Tällä kurssilla käymme läpi kaksi eri menetelmää: 1. Muuttujien redusointi sijoituksen avulla (tässä kappaleessa) 2. Lagrangen kertoimien menetelmä (katso seuraava kappale) Esimerkki 3.4. Etsi funktion f(x, y) = 2xy minimi ja maksimiarvot suljetussa puolikiekossa x 2 + y 2 4, y 0. Esimerkki 3.5. Etsi funktion g(x, y, z) = x 2 +y 2 +y+z 2 minimi- ja maksimipisteet rajoitteella x 2 + (y/2) 2 + (z/4) 2 1 Kun sijoitus on tehty, voi lauseke olla vielä sen verran hankala että sen minimin tai maksimin löytäminen analyyttisesti on hankalaa tai jopa mahdotonta. Tällöin voidaan käyttää numeerisia algoritmeja mm. kriittisten pisteiden etsintään. Mutta mitä tehdä jos rajoitetta ei pystytä muokkaamaan sellaiseen muotoon että sijoituksen voisi tehdä? 3.3 Lagrangen kertoimet Olivat rajoitteet sitten yhtälöitä tai epäyhtälöitä, Lagrangen kertoimien menetelmää voidaan käyttää. Jälkimmäisessä tapauksessa täytyy vain alueen sisäpisteet tutkia erikseen (edellisten kappaleiden tyyliin). Reunapisteiden tutkiminen on sitten ekvivalentti yhtälörajoitteiden tutkimisen kanssa. Tästä syystä keskitymme tässä kappaleessa yhtälörajoitteisiin. Voidaan puhua myös sidotusta ääriarvotehtävästä. Sidotussa (constrained) ääriarvotehtävässä optimoitavan funktion muuttujat voivat riippua toisistaan rajoiteyhtälöiden tai epäyhtälöiden kautta. Esimerkkejä: 22

24 Maksimoi funktio f(x, y) ehdolla g(x, y) = C Minimoi funktio f(x, y, z, w) ehdoilla g(x, y, z, w) = C 1 ja h(x, y, z, w) = C 2 Maksimoi funktio f(x, y, z) ehdolla g(x, y, z) C Rajoitteet voivat siis olla yhtälömuotoisia (kaksi ensimmäistä tapausta) tai epäyhtälöitä (viimeinen tapaus). Rajoiteyhtälöiden ratkaisu on usein vaikeaa tai mahdotonta. Tällöin voidaan käyttää Lagrangen menetelmää. Teoreettinen viitekehys kahden muuttujan ja yhden rajoitteen tapauksessa on seuraava: Olkoon f(x, y) funktio jonka minimi ja maksimiarvot tahdotaan löytää käyrällä joka on osa yhtälön g(x, y) = 0 määräämää tasokäyrää. Oletetaan että 1. Funktiolla f ja g on jatkuvat ensimmäiset derivaatat lähellä pistettä P 0 = (x 0, y 0 ) käyrällä C, jonka yhtälö on g(x, y) = 0 2. Kun rajoitutaan käyrällä C oleviin pisteisiin, funktiolla f(x, y) on lokaali maksimi tai minimiarvo P 0 :ssa 3. P 0 ei ole C:n päätepiste 4. f(p 0 ) 0 Tällöin on olemassa luku λ 0 siten, että (x 0, y 0, λ 0 ) on Lagrangen funktion L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y) (54) kriittinen piste. Lukuja λ kutsutaan Lagrangen kertoimiksi. Jos teoreettinen Lagrangen kertoiminen viitekehys voi näyttääkin hieman monimutkaiselta ja antaa vain tiettyjen oletusten voimassa ollessa välttämättömän ehdon sille että piste olisi minimi tai maksimipiste, niin käytännön algoritmi on suoraviivainen: 1. Etsitään funktion L ja funktion g kriittiset pisteet (ja funktion f kriittiset pisteet, ellei niitä ole aiemmin laskettu). Arvoa λ:lle ei ole välttämätöntä määrittää. 2. Etsitään ne pisteet joissa gradientti f:lle tai g:lle ei ole olemassa 3. Valitaan jatkotarkasteluun ne edellisissä kohdissa lasketut pisteet jotka toteuttavat rajoitteen. 4. Lasketaan funktion f arvot edellisissä kohdassa valituissa pisteissä sekä rajoiteyhtälön (käyrän) mahdollisissa päätepisteissä. Edellistä algoritmia käyttääkseen täytyy osata i) derivoida (onnistuu aina) ii) ratkaista yhtälöryhmiä (tämä voi olla vaikeaa, mutta numeerisia menetelmiä on olemassa) Esimerkki 3.6. Etsi Lagrangen kertoimien menetelmää käyttäen funktion f(x, y) = 2xy minimi ja maksimiarvot suljetussa puolikiekossa x 2 + y 2 4, y 0. Kuinka tilanne muuttuisi jos kiekko puolikiekko olisi avoin, eli x 2 + y 2 < 4, y < 0 23

25 Lagrangen kertoimien menetelmä yleistyy myös useamman muuttujan funktioille ja useammalle rajoitteelle (kunhan rajoitteita ei ole yhtä paljoa kuin tutkittavalla funktiolla muuttujia). Esimerkiksi kolmiulotteinen ongelma, jossa on etsittävä funktion f(x, y, z) ääriarvot ehdoilla g(x, y, z) = 0 ja h(x, y, z) = 0, voidaan ratkaista käyttäen Lagrangen funktiota L(x, y, z, λ, µ) = f(x, y, z) + λg(x, y, z) + µh(x, y, z). (55) Tässä lukuja λ ja µ kutsutaan Lagrangen kertoimiksi. Esimerkki 3.7. a) Ratkaise Lagrangen kertoimien menetelmällä pisteen (0, 0, 1) lyhin etäisyys pinnan z = x 2 + 2y 2 ja tason x = z leikkauskäyrältä. b) Ratkaise sama tehtävä käyttäen muuttujien redusointia. Vastaavasti menetelmä pätee myös n:n muuttujan funktioille (katso esim. Beta-kaavakirja). 3.4 Lineaarinen optimointi Lineaarisen funktion minimien ja maksimien etsimistä lineaaristen rajoitteiden läsnäollessa kutsutaan lineaariseksi ohjelmoinniksi. Tästä on oma kurssinsakin, "Lineaarinen optimointi". Tällä kurssilla rajoitumme vain kahden muuttujan tapaukseen ja suoritamme maksimien (tai minimien) etsintään graafisesti. Oletetaan siis että f(x, y) = ax+by missä c ja d ovat vakioita. Lisäksi on n rajoitetta jotka ovat nyt joko muotoa y a i x + b i tai muotoa y a i x + b i, i = 1,..., n. Jos merkitään f(x, y) = c, etsitään siis (minimin etsinnässä) mahdollisimman pientä lukua c jolle x ja y toteuttavat edellä kuvatut ehdot. Algoritmillisesti voidaan toimia vaikka seuraavasti: 1. Määritetään ensin ehtojen rajaama alue (suhteellisen helppo piirtää). Olkoon tämä alue A. 2. Hahmoitellaan suora c = ax + by (eli y = ax + c ) jollakin luvun c arvolla. b b 3. Jos hahmoteltua suoraa nyt nostetaan (tai lasketaan) muuttamatta kulmakerrointa a/b, vaihdetaan oleellisesti c:n arvoa. Nostetaan tai (laseketaan) siis hahmoteltua suoraa niin ylös (tai alas) kuin mahdollista (eli edes yksi suoran piste kuuluu alueeseen A). Se liikutetaanko ylos vai alas päin riippuu b:n merkistä ja siitä ollaanko minimoimassa vai maksimoimassa. 4. Edellisessä kohdassa löydetty piste on minimi (tai maksimi) piste. Esimerkki 3.8. a) Etsi funktion f(x, y) = x + 2y maksimi- jaminimi arvot kun x 0, y x 4, y x + 6 ja y 3. b) Olkoon rajoitteet samat kuin edellä. Mikä olisi oltava luvun a jotta f(x, y) = x + ay saisi maksimiarvonsa useissa eri pisteissä? Tämäntyyppistä geometrista optimointia voidaan myös harjoittaa silloin kun vain minimoitava (tai maksimoitava) funktio on lineaarinen mutta rajoitteet eivät. Esimerkki 3.9. Määritä funktion f(x, y) = x y maksimi- ja minimiarvot kun x 2 + y 2 = 9. 24