Symmetrisistä ryhmistä symmetriaryhmiin 16. marraskuuta 2006 1 Symmetrisistä ryhmistä... Bijektiivistä kuvausta {1,..., n} {1,..., n} kutsutaan n-permutaatioksi. Merkitään n-permutaatioden joukkoa S n. Luonnollisen kuvausten yhdistämisen suhteen joukko S n muodostaa ryhmän, jota kutsutaan symmetriseksi ryhmäksi. Olkoon e n ryhmän identiteettialkio. Jos σ(x) = x, kutsutaan pistettä x {1,..., n} permutaation σ S n kiintopisteeksi. Jos puolestaan σ k (x) = x, kutsutaan joukkoa C σ (x) := (x 1 x 2...x k ) alkion x sisältäväksi k-sykliksi. Syklissä C σ (x) voidaan alkioksi x valita alkio x i, kun i {1,..., k}. Määritelmä 1.1 Olkoot C σ (x), C σ (y),...,c σ (z) kaikki permutaation σ S n syklit. Permutaation sykliesitys on tällöin C σ (x)c σ (y) C σ (z). Määritelmä 1.2 Permutaation σ S n aste on pienin kokonaisluku k, jolle yhtälö σ k = e n toteutuu. Määritelmä 1.3 Permutaatiota, joka on 2-sykli kutsutaan transpositioksi. Lause 1.4 Jokainen permutaatio vaidaan kirjoitaa transpositioiden tulona. Kutsutaan jatkossa permutaatiota, joka voidaan esittää parillisena määränä transpositioita parilliseksi ja vastaavasti parittomana määränä transpositioita parittomaksi. 1
Määritelmä 1.5 Kuvausta ε : S n { 1, 1}, joka määritellään { 1, kun σ on parillinen, ε(σ) = 1, kun σ on pariton, kutsutaan symmetrisen ryhmän S n alternoivaksi karakteriski. Olkoon σ S n. Permutaatiolle voidaan määritellä esitys n n -matriisien A avulla, kun A(σ) = (δ i,σ(j) ). Kyseisiä matriiseita kutsutaan permutaatiomatriiseiksi. Permutaatiomatriisit muodostavat ryhmän matriisitulon suhteen. Näistä ominaisuuksista seuraa seuraava tulos. Lause 1.6 Multiplikatiivinen n n-matriisien ryhmä on isomornen symmetrisen ryhmän S n kanssa. Lauseesta seuraa, että kun σ, τ S n. A(στ) = A(σ)A(τ), Määritelmä 1.7 Symmetrisen ryhmän S n aliryhmää G kutsutaan astetta n olevaksi permutaatioryhmäksi. Esimerkki 1.8 Symmetrinen ryhmä S n ja triviaaliryhmä {e n } ovat permutaatioryhmiä. Määritelmä 1.9 Olkoon astetta n oleva G permutaatioryhmä ja olkoot x, y {1,..., n}. Alkioiden x ja y sanotaan olevan ekvivalentteja modulo G jos on olemassa permutaatio σ G, joka kuvaa alkion x alkioksi y, eli σ(x) = y. Jos x ja y ovat ekvivalentit modulo G, merkitään usein lyhyesti x y mod G. Lause 1.10 Relaation on ekvivalenssirelaatio. Määritelmä 1.11 Relaation ekvivalenssiluokkia kutsutaan radoiksi ryhmässä G. Jos ryhmässä G on vain yksi rata, sanotaan ryhmän olevan transitiivinen. 2
Määritelmä 1.12 Olkoon G astetta n oleva permutaatioryhmä. Niiden permutaatioden σ G joukkoa, joilla x {1,..., n} on kiinteä piste, merkitään G x = {σ G : σ(x) = x}. Joukkoa kutsutaan alkion x stabiloijaryhmäksi 1. Merkitään permutaation σ kiintopisteiden lukumäärää F (σ):llä. Lemma 1.13 Olkoon G permutaatioryhmä ja x {1,..., n}. Jos O x on alkion x ekvivalenssiluokkien modulo G joukko, niin o(o x ) = o(g) o(g x ). Lemma 1.14 (Burnside) Olkoon G kertalukua n oleva permutaatioryhmä. Tällöin ryhmässä on t kappaletta ratoja ja t = 1 o(g) F (σ). Lause 1.15 (Cayley) Jokainen äärellinen ryhmä on isomornen transitiivisen permutaatioryhmän kanssa. σ G 2...symmetriaryhmiin Tarkastellaan tason origokeskeistä säännöllistä n-kulmiota. Esimerkkejä joistakin tason säännöllisita n-kulmoista liitteessä ensimmäisessä kuvista 3. On olemassa joukko tason kuvauksia (kierrot ja peilaukset suoran suhteen), jotka kuvaavat n-kulmion itselleen. Määritelmä 2.1 Tason kuvaukset jotka kuvaavat säännöllisen n-kulmion itselleen muodostavat ryhmän kuvausten yhdistämisen suhteen. Ryhmää kutsutaan symmetriaryhmäksi tai diedriryhmäksi ja merkitään D n. Tavallisesti n-kulmion kärjet numeroidaan 1,..., n, jolloin jokainen ryhmän D n alkio voidaan esittää permutaationa σ S n. 1 Tämä todellakin on ryhmä, sillä laskutoimitus on hyvin määritelty: σ(τ(x)) = σ(x) = x, ja loput laskusäännöt periytyvät permutaatioryhmältä G. 3
Esimerkki 2.2 (Diedriryhmä D 4 ) Liitteen kuvassa 1 on esimerkki ryhmän D 4 kertotaulusta. Numeroidaan neliön kulmat säännöllisesti numeroin 1, 2, 3, 4. Tason kuvaukset ovat tällöin identiteettikuvaus I, kierrot R 90, R 180, R 270, peilaus vaaka-akselin suhteen H, peilaus pystyakselin suhteen V ja peilaukset diagonaalien suhteen D ja D. Tällöin esimerkiksi kiertoa R 90 vastaa permutaatio (4123). Huomaa, että kierrot muodostavat ainoan ei-triviaalin aliryhmän. Tämä aliryhmä löytyy kuvasta laatikoituna vasemmasta ylikulmasta kertotaulua. Laatoituksella matematiikssa tarkoitetaan jonkun tietyn säännöllisen kuvion peilausta sivujen suhteen. Esimerkkinä kuvassa 2 peilataan neliötä sivujensa suhteen. Näin saadaan koko taso peitetyksi kyseisellä neliökuviolla. Laatoitus on luonnollisesta mahdollista toteuttaa myös muilla kuin neliökuviolla. Kuvassa 4 ja 5 on esitetty joitakin monimutkaisempia tapoja. Kuvassa 4 laatoitus on toteutettu symmetrisilla kuviolla, mutta kuvassa 5 laatoitus on toteutettu epäsymmetrisiä kuvioita hyväksi käyttäen. Esimerkki 2.3 (Ornamentit) Säännöllisten geometristen kuvioiden symmetriaryhmiä käytetään hyväksi ns. ornamenttikoristelussa. Esimerkkejä kuviosymmetrioista löytyy monista historiallisista rakennuksista. Liitteen jälkimmäisen kuvan 3 ornamentit ovat Espanjasta Alhambran linnoituksesta. Ornamentteja tarkasteltaessa havaitaan, että vaikka säännöllisesti toistuvaa kuviota voidaan muuttaa ja vaihtaa mielivaltaisen monella erilaisella tavalla, järjestelytapoja, siis tapoja liittää kuviot toisiinsa, näyttää olevan vain muutamia. Nykyisin tiedetään, että säännöllisiä tapoja (symmetriaryhmiä) tämän tyyppisten ornamenttien rakenteluun on kaikkiaan 17 kappaletta. Alhambran linnoituksesta on löydettävissä 17:sta ryhmästa 13. Puuttuvat 4 symmetriaryhmää voi löytää esimerkiksi islamin ornamenteista. Tässä esimerkissä olen käyttänyt lähteenä Kari Astalan kirjoittamaa artikkelia: Matematiikan monet kasvot. Artikkeli on julkaistu Arkhimedeksessä 4, 1995. 3 Symmetria dierentiaaliyhtälöiden teoriassa Ryhmäteorialla voidaan kuvata (fysikaaliseen) probleemaan liittyvää symmetriaa. Symmetria olemassaoloon liittyy aina jokin säilymislaki. Esimerkiksi, jos fysikaalinen systeemi on invariantti peilattaessa jonkin tason suhteen, ratkaisun pariteetti säilyy. Esimerkki 3.1 Tarkastellaan operaattorin Ly(x) = a d2 y dx 2 + bxdy dx + cy 4
määräämää yhtälöä Ly(x) = 0. Operaattori on symmetrinen x:n suhteen, eli jos y(x) on systeemin ratkaisu on sitä myös y( x). Koska L on lineaarinen, saadaan yhtälölle parillinen ja pariton ratkaisu y + (x) = y(x) + y( x), y (x) = y(x) y( x). Listataan lopuksi yleiset säännöt symmetrian käytöstä dierentiaaliyhtälöiden teoriassa. (1) Muodostetaan operaattori L, (2) etsitään operaattorin symmetriaoperaatiot, (3) muodostetaan operaatioiden symmetriaryhmä, (4) esitetään symmetriaryhmä redusoitumattomien karakterien avulla, (5) probleema voidaan ratkaista kullekkin esitykselle erikseen. Etuna edellä olevassa tavassa on se että, viakka ratkaistavien tehtävien lukumäärä lisääntyy, niiden koko vähenee. Esimerkiksi värähtelyprobeemissa päädytään usein matriisien ominaisarvoprobleemaan. Kyseinen probleema voideen edellä olevalla menetelmällä pilkkoa pienempiin osiin, jolloin ratkaistavaksi tulee pienempien matriisien ominaisarvotehtäviä. 5